Bài giảng lý thuyết điều khiển tự động 1

Khái niệm về điều khiển tự động

1.1.1 Khái niệm về điều khiển

* Trong mọi hoạt động của con người ở mọi nơi, mọi lúc, mọi lĩnh vực, vị trí đều liên quan đến thuật ngữ: Điều khiển

Điều khiển là tập hợp các tác động tổ chức nhằm đạt được mục tiêu mong muốn trong một quá trình cụ thể.

- Điều khiển trong lĩnh vực xã hội: Điều khiển một cuộc họp, điều khiển hoạt động kinh doanh của một công ty

- Điều khiển trong lĩnh vực kỹ thuật: Điều khiển các máy công cụ (Tiện, phay, bào, khoan, mài ), điều khiển hoạt động của một dây chuyền cán thép

- Điều khiển trong lĩnh vực sinh học: Điều khiển các giai đoạn sinh trưởng và phát triển của một loại cây trồng

- Điều khiển là nhân tố cuối cùng quyết định mọi thành bại của các hoạt động

Điều khiển học (Cybernetic) là một lĩnh vực khoa học nghiên cứu các quá trình điều khiển và truyền thông trong máy móc, sự vật và kinh tế Nó có tính tổng quát và có thể được chia thành nhiều nhánh, bao gồm toán điều khiển, điều khiển học kỹ thuật và điều khiển học kinh tế.

Điều khiển học kỹ thuật là một lĩnh vực khoa học nghiên cứu quy trình thu thập và xử lý thông tin, đồng thời tác động lên các hệ thống nhằm đạt được các mục tiêu đã được xác định trước.

* Lý thuyết điều khiển tự động (LTĐKTĐ): Là cơ sở lí thuyết của điều khiển học kỹ thuật

Điều khiển tự động là quá trình quản lý và điều phối một đối tượng trong kỹ thuật mà không cần sự can thiệp trực tiếp của con người, trái ngược với điều khiển bằng tay.

* Cơ sở lí thuyết điều khiển tự động (CSLTĐKTĐ): Là phần lí thuyết cơ bản của LTĐKTĐ

* Khái niệm về điều chỉnh:

Điều chỉnh là khái niệm hẹp hơn so với điều khiển, tập trung vào việc duy trì sự ổn định hoặc thay đổi một tham số nào đó của quá trình theo một quy luật nhất định Tham số này chính là yếu tố cần được điều chỉnh để đảm bảo hiệu quả của hệ thống.

*Cấu trúc của 1 hệ thống ĐCTĐ tương tự nhƣ của HTĐKTĐ (chỉ khác là ý nghĩa điều khiển đƣợc thay bằng điều chỉnh)

* Cơ sở LTĐKTĐ chỉ nghiên cứu các quá trình trong hệ thống điều chỉnh tự động

Phương pháp điều chỉnh của TBĐC tạo ra tín hiệu điều chỉnh được gọi là phương thức điều chỉnh Có ba phương thức điều chỉnh chính, bao gồm: phương thức điều chỉnh theo chương trình, phương thức bù nhiễu và phương thức điều chỉnh theo sai lệch.

+ Phương thức điều chỉnh theo chương trình:tín hiệu điều chỉnh được phát ra do một chương trình định sẵn trong TBĐC

Phương thức bù nhiễu là tín hiệu điều chỉnh được tạo ra khi có nhiễu loạn tác động lên hệ thống Mục đích của tín hiệu này là bù lại sự ảnh hưởng của nhiễu loạn, giúp duy trì giá trị đầu ra của đại lượng cần điều chỉnh không thay đổi Vì vậy, hệ thống bù nhiễu còn được gọi là hệ thống điều khiển bất biến.

+ Phương thức điều chỉnh theo sai lệch hình thành có sự sai lệch giữa giá trị mong muốn và giá trị đo đƣợc của đại lƣợng cần điều chỉnh

Trong kỹ thuật thường sử dụng phương thức điều chỉnh theo sai lệch (hình 1.1)

TBCĐ là thiết bị dùng để đặt giá trị chủ đạo x, đại diện cho giá trị mong muốn của đại lượng cần điều chỉnh Trong khi đó, TBSS là thiết bị so sánh giữa giá trị chủ đạo x và giá trị đo được y của đại lượng cần điều chỉnh, nhằm xác định sai lệch e = x - y Giá trị x còn được gọi là giá trị nhiễu đặt trước.

KCN là khối chức năng tạo ra tín hiệu điều chỉnh u dựa trên giá trị sai lệch u=f(e) CCCH là cơ cấu chấp hành thực hiện tác động điều chỉnh u lên ĐTĐC.

TBCN: thiết bị công nghệ có tín hiệu ra là đại lƣợng cần điều chỉnh

TBĐ: thiết bị đo để xác định giá trị y của đại lƣợng cần điều chỉnh

N: Tác động nhiễu phụ tải, là tác động không mong muốn từ bên ngoài lên hệ thống

1.1.2 Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động

- Một hệ thống điều khiển tự động gồm ba phần chủ yếu:

Thiết bị điều khiển (TBĐK), hay còn gọi là Controller, là tập hợp các phần tử trong hệ thống nhằm tạo ra tín hiệu điều khiển Tín hiệu này tác động lên ĐTĐK và được gọi là tác động điều khiển.

+ Đối tƣợng điều khiển (ĐTĐK) hay O (Object): Là phần tử tồn tại khách quan, tín hiệu ra là đại lƣợng cần điều khiển

+ Thiết bị đo lường (TBĐL) hay M (Measuring Device): Đo lường và biến đổi tín hiệu ra để đƣa vào đầu vào của TBĐK

R: Tín hiệu chủ đạo (chuẩn, tham chiếu) ( Reference) thường gọi là tín hiệu vào ( Input) U: Tín hiệu điều khiển

N: Tín hiệu nhiễu tác động từ bên ngoài vào hệ thống

F: Tín hiệu phản hồi (hồi tiếp)

Y: Tín hiệu cần điều khiển (Tín hiệu ra)

Hệ thống điều khiển kín (Closed loop control system) là một loại hệ thống điều khiển có phản hồi, trong đó tín hiệu đầu ra được đo lường và gửi lại cho thiết bị điều khiển để điều chỉnh hoạt động.

TBCĐ TBSS KCN CCCH TBCN TBĐ

Tín hiệu phản hồi kết hợp với tín hiệu vào tạo ra tín hiệu điều khiển, dựa trên cơ sở lý thuyết của hệ thống kín, đó là lý thuyết điều khiển tự động.

Hệ thống điều khiển kín, như hệ thống điều khiển nhiệt độ, đóng vai trò quan trọng trong nhiều quá trình công nghệ như sản xuất xi măng, gạch men, nhựa, cao su, hóa dầu và thực phẩm Mục tiêu chính của hệ thống này là duy trì nhiệt độ ổn định Tín hiệu ra, được đo lường và so sánh với tín hiệu đặt (tín hiệu vào mong muốn), giúp bộ điều khiển tác động lên đối tượng điều khiển (lò nhiệt) để đảm bảo nhiệt độ đạt yêu cầu.

Sơ đồ khối hệ thống điều khiển nhiệt độ

Hệ thống điều khiển kín có ưu điểm nổi bật là phản ứng nhanh chóng và chính xác với các thay đổi theo mệnh lệnh Tuy nhiên, nhược điểm của nó là tính phức tạp, dẫn đến chi phí đầu tư cao hơn.

* Hệ thống điều khiển hở (Open-loop control system ):

Hệ thống điều khiển hở là những hệ thống mà tín hiệu ra không được phản hồi và không ảnh hưởng đến tín hiệu điều khiển Điều này có nghĩa là trong hệ thống này, tín hiệu ra không được đo lường hoặc không được phản hồi để so sánh với tín hiệu vào.

Phép biến đổi Laplace

Bài toán mở rộng tập hợp số dẫn đến việc xác định tập hợp các số phức thông qua việc tìm nghiệm của phương trình x² + 1 = 0 Đồng thời, lý thuyết về trường số phức cũng được phát triển, bao gồm cả phép biến đổi Laplace.

Phép biến đổi Laplace là công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán vi phân tuyến tính và có ứng dụng rộng rãi trong lí thuyết mạch điện, điện tử, cơ học cũng như lí thuyết điều khiển tự động.

Phép biến đổi Laplace trong lý thuyết điều khiển tự động cho phép chuyển đổi tín hiệu của hệ thống từ miền thời gian sang miền tần số phức, giúp các phương trình vi phân trở thành các phương trình đại số thông thường, từ đó dễ dàng hơn cho việc tính toán.

Nếu có một hàm gốc f(t) có đối số theo thời gian thì ảnh Laplace của nó kí hiệu là F(p) đƣợc tính theo công thức:

F(p): Hàm ảnh f(t): Hàm gốc p: Biến toán tử Laplace

- Điều kiện tồn tại tích phân là:   f t e  pt dt 

- Mặt khác, để có được lời giải cho phương trình theo ẩn t, ta thực hiện phép biến đổi Laplace ngƣợc: f(t) =   

C là hằng số thực lớn hơn tất cả các phần thực của nghiệm của phương trình F(p) = 0

Trong thực tế, nhiều hàm cơ bản đã được tính toán sẵn, cho phép chúng ta tra cứu trong bảng mà không cần thực hiện các phép tích phân trực tiếp.

Bảng ảnh gốc của một số hàm đặc biệt f(t) F(p)

* Bổ túc về các tính chất của phép biến đổi Laplace:

Cho f 1 (t) và f 2 (t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là:

Giá trị ban đầu của f(t) khi t0 từ phía 0 +

Nếu các điều kiện đầu triệt tiêu thì: Lf (n)’ (t) = p n F(p)

Khi các điều kiện đầu triệt tiêu thì:

8/ Định lí giá trị đầu : t 0 p

9/ Định lí giá trị cuối : t p 0

Để thực hiện phép biến đổi ngược, cần phân tích biểu thức ban đầu thành các phần đơn giản và áp dụng các công thức biến đổi cơ bản đã biết Bảng ảnh – gốc cho các phép biến đổi của một số hàm số thường gặp đã được lập sẵn và có thể tìm thấy trong các sách về lý thuyết mạch hoặc LTĐKTĐ.

* Một số ví dụ minh họa :

( e e dt p t p dt e t t L p F t t f pt  at pt 

( Nhớ lại rằng :     b a b a b a vdu uv udv )

5/ Viết phương trình Laplace mô tả mạch điện sau:

Ta có : u 1 = iR + u 2 ; u 2 = C 1  idt  i  C du dt 2 Vậy, u 1  RC du dt 2  u 2 Đặt : RC = T thì : ( ) ( )

Biến đổi Laplace phương trình (*)  1 ( ) TpU 2 (p) U 2 (p) p p k

Ma trận và các phép tính ma trận cơ bản

Ma trận là một mảng các số hoặc kí hiệu đƣợc sắp xếp thứ tự theo m hàng và n cột Ta có các kí hiệu khác nhau nhƣ:

21 22 2 j 2n i1 i2 ij in ij m1 m1 mj mn a a a a a a a a a a a a

Trong đó : a ij là các phần tử của ma trận A(m x n)

Hai ma trận A và B bằng nhau nếu các phần tử tương ứng bằng nhau: a ij = b ij

1.3.1 Các loại ma trận cơ bản:

Ma trận chỉ có 1 hàng, cỡ 1xn( m=1)

Còn gọi là vectơ hàng

Ma trận chỉ có 1 cột, cỡ mx1(n=1) kí hiệu :

  còn gọi là vectơ cột

Ma trận có số hàng và số cột bằng nhau (m=n)

Cấp của ma trận vuông là số hàng (cột)

Tính toán định thức và nghịch đảo chỉ tiến hành đƣợc trên ma trận vuông

Ma trận vuông có các số hạng bằng 0 trừ các số hạng trên đường chéo chính

Ma trận chéo nhƣng các số hạng khác 0 đều bằng nhau

Ma trận chéo có mọi số hạng trên đường chéo chính bằng 1

Ma trận có mọi số hạng đều bằng 0

Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đường chéo chính có giá trị bằng nhau ij ji a a

Ma trận mà các số hạng đối xứng nhau qua đường chéo chính có giá trị đối nhau ij ji a  a

Các số hạng trên đường chéo chính đều bằng 0

- Ma trận tam giác trên ( phải): các số hạng bên dưới ( trái) đường chéo chính đều bằng 0

- Ma trận tam giác dưới ( trái): các số hạng bên trên (phải) đường chéo chính đều bằng 0

1.3.2 Các phép tính ma trận cơ bản:

Phép tính ma trận đƣợc dùng để giải các bài toán điều khiển trong không gian trạng thái

A’là ma trận chuyển vị của ma trận A nếu hoán vị cột của ma trận A thành hàng của ma trận A’

2- Phép cộng( trừ) hai ma trận :

C = A+B c ij = a ij +b ij (1.4) Tính chất: A +B = B+A

Trừ ma trận: D = A- B, hay là d ij = a ij – b ij

4- Phép nhân hai ma trận : Điều kiện: Hai ma trận phải tương thích, nghĩa là số cột của ma trận đứng trước phải bằng số hàng của ma trận đứng sau

Chú ý: Phép nhân này không có tính chất giao hoán

Khi một ma trận được nhân với một đại lượng vô hướng, mỗi phần tử của ma trận sẽ được nhân với đại lượng vô hướng đó Phép nhân này có tính chất giao hoán, tức là thứ tự không ảnh hưởng đến kết quả.

5-Vết của ma trận : Là tổng tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận vuông:

6- Phần phụ đại số : Nếu định thức A, ta bỏ đi hàng thứ i và bỏ đi cột thứ j và giữ lại

Để tính ma trận nghịch đảo, ta sử dụng phần phụ đại số của phần tử ma trận A, ký hiệu Aij, được xác định bởi (-1)^(i+j) nhân với định thức của ma trận con có kích thước (n-1) hàng và (n-1) cột.

; Ta tính các phần phụ đại số:

8- Định thức của ma trận vuông A(n x n) là tổng đại số của n! số hạng lập nên các phần tử của ma trận

12 11 a a a a , định thức của nó là det(A) hay A

9- Phép nghịch đảo ma trận

Cho ma trận vuông A(a ij ) , i = 1, 2, 3…., m ; j= 1, 2, 3…, n, trong đó aij là những số thực hoặc phức, nói cách khác AR m  n Nếu tồn tại một ma trận B thoả mãn:

AB = BA = I thì ma trận B đƣợc gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A và kí hiệu là B = A  1

- Công thức tính ma trận nghịch đảo:

- Chuyển vị của ma trận nghịch đảo và nghịch đảo của nghịch đảo:

10- Trị riêng và vectơ riêng

Ta xét phương trình véc tơ: y  A x (1.10)

Trong phương trình A x = λ y, với x và y là các véc tơ cột và A là ma trận vuông, ý nghĩa của phương trình này là tồn tại véc tơ x mà qua phép biến đổi của ma trận A, nó trở thành véc tơ y có cùng hướng với x Nếu véc tơ x tồn tại, ta nói y tỉ lệ với x, tức là x và y có mối quan hệ tuyến tính với hệ số tỉ lệ λ Hệ số λ là một đại lượng vô hướng, và bài toán này liên quan đến trị riêng hay số đặc trưng của ma trận A Giá trị λ, ví dụ λ_i, cho phép phương trình y = Ax có nghiệm x_i ≠ 0, được gọi là véc tơ riêng hay véc tơ đặc trưng.

Ta có: y = Ax hay là : ( A  I ) x  0 (1.12) Phương trình này có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi :

Det(A - I) = 0 (1.13) Phương trình (1.13) gọi là phương trình đặc trưng.

Phương trình trạng thái, không gian trạng thái, khảo sát hệ thống trong miền thời

1.4.1 Phương trình trạng thái dạng tổng quát

Trước hết, ta xét ví dụ về mạch điện gồm ba phần tử : R, L, C:

Hình 1-5 Điện áp đặt vào mạch là u 1 Phương trình mô tả trạng thái động: u uRuL uC

Trạng thái của mạch được xác định bởi điện áp ra \( u_2 \) và dòng điện \( i \), được gọi là các biến trạng thái Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình với \( u_2 = x_1 \) là biến trạng thái thứ nhất và \( i = x_2 \) là biến trạng thái thứ hai.

Dạng chính tắc của hệ trên đƣợc viết lại nhƣ sau:

Hay viết dưới dạng ma trận:

Khi đó ta có phương trình: u B X A

X   (1.20) gọi là phương trình trạng thái

Không gian hai chiều với trạng thái dòng điện i = x2 và điện áp trên tụ C là u2 = x1 được gọi là không gian trạng thái Mối liên hệ giữa x1 và x2 được biểu diễn bằng công thức x2 = C.x1 Đồng thời, không gian với hai tọa độ x1 và x2 cũng có thể được xem xét dưới dạng x1 và ẋ1, được gọi là không gian pha.

Đặc tính động học của hệ thống điều khiển tự động được mô tả qua hàm truyền đạt, xác định từ hàm truyền đạt của các phần tử trong hệ thống thông qua các phép biến đổi đại số sơ đồ khối Bằng cách thay p = jω vào hàm truyền đạt, ta có được hàm truyền tần số, từ đó có thể nghiên cứu đặc tính động học trong miền tần số qua các đặc tính tần số.

Đặc tính động học của hệ thống có thể được nghiên cứu trong miền thời gian thông qua phương trình vi phân dạng tổng quát Phương trình này mô tả sự thay đổi của các biến số theo thời gian, cho phép phân tích và hiểu rõ hơn về hành vi của hệ thống Việc áp dụng các phương trình này giúp xác định mối quan hệ giữa các yếu tố và sự ảnh hưởng của chúng đến động lực học của hệ thống.

Ý nghĩa hàm truyền đạt chỉ tồn tại trong hệ tuyến tính với một tín hiệu vào một tín hiệu ra (SISO) hoặc nhiều tín hiệu vào một tín hiệu ra (MISO), nhưng không áp dụng cho hệ MIMO Trong trường hợp này, hàm truyền đạt được thay thế bằng hệ phương trình trạng thái.

* Hệ phương trình trạng thái dạng tổng quát:

Nếu mô tả đặc tính động học của hệ thống điều chỉnh tự động dạng phương trình vi phân (PTVP):

Chuyển (*) thành n phương trình vi phân bậc 1 với cách đặt biến: dt y dy dt y dy dt dy dt y dy y y 1  ; 2   1 ; 3  2 ; n  n  1

A y A t x dt K dy dt y dy dt y dy n n n n n

A  a  n  n  y 1, y 2 , , y n : Các biến trạng thái của hệ thống

Hệ phương trình trạng thái (1-21) mô tả trạng thái của hệ thống, cho phép dự đoán trạng thái trong tương lai dựa trên thông tin hiện tại Khi nắm rõ hệ (1-21) và trạng thái hiện tại, ta có thể xác định trạng thái của hệ thống tại các thời điểm tiếp theo.

* Các ma trận chuyển trạng thái:

Ngoài ra, có thể viết (1-21) dưới dạng ma trận vectơ:

Các phương trình ma trận vectơ viết gọn:

(**) (**) là hệ phương trình trạng thái y: Vectơ trạng thái của hệ thống; x(t): Tín hiệu vào; y(t): Tín hiệu ra; A, B, C: Các ma trận

Các biến trạng thái có thể được lựa chọn theo nhiều phương pháp khác nhau Một trong những phương pháp phổ biến là mô hình hóa hệ thống thông qua sơ đồ cấu trúc hệ thống, sử dụng phần tử tích phân p.

1.4.2 PTTT biểu diễn bằng sơ đồ cấu trúc theo dạng toán tử Laplace

* Chuyển đổi phương trình trạng thái về hàm truyền đạt

Ví dụ: Vẫn với mạch điện R, L, C như hình 1.5 ta đã có phương trình (1.17):

Qua phép biến đổi laplace ta viết lại hệ nay nhƣ sau:

Ta thế X 2 (p) pCX 1 (p) từ (1.22) vào vế trái phương trình (1.23) và ta có phương trình sau: ( ))

Từ phương trình (1.25) ta biến đổi thành: ( )

W(p) đƣợc gọi là hàm truyền đạt của mạch

Hàm truyền đạt của hệ thống được định nghĩa là tỷ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào, được biểu diễn theo biến đổi Laplace với điều kiện ban đầu triệt tiêu.

Hàm truyền đạt có thể có nhiều dạng, nhƣng tổng quát ta viết đƣợc:

Trong biểu thức (1.27), các nghiệm của đa thức B(p) ở tử số được gọi là điểm không (zero), trong khi các nghiệm của đa thức A(p) ở mẫu số được gọi là điểm cực (poles).

Kết luận: Các bước xác định hàm truyền đạt từ PTTT:

- Từ hệ phương trình trạng thái, hoặc sơ đồ khối cấu trúc

- Chuyển sang phép biến đổi Laplace

- Tìm cách thế các biến để cuối cùng đƣa về dạng : Y(p) Y(p)

Hàm truyền đạt từ đặc tính động học mô tả sự thay đổi của tín hiệu đầu ra theo thời gian (t) khi có tác động ở đầu vào Quá trình động học trong các phần tử thường được diễn tả bằng các phương trình vi phân tuyến tính có dạng tổng quát, thể hiện mối quan hệ giữa các biến số và sự thay đổi của chúng theo thời gian.

Trong đó : a0, ……, an ; b 0 ,…… Bm :Các hệ số (m  n)

Sử dụng phép biến đổi Laplace với 2 tính chất cơ bản (Tính chất tuyến tính và đạo hàm) : -NếuL   y(t) Y(p);L   x(t)  X(p)thì : L  ay(t)bx(t)aL   y(t) bL   x(t) aY(p)bX(p)

(1-28) đƣợc gọi là hàm truyền đạt của phần tử hay hệ thống

Hàm truyền đạt của một phần tử hoặc hệ thống được định nghĩa là tỷ số giữa chuyển đổi Laplace của tín hiệu đầu ra và chuyển đổi Laplace của tín hiệu đầu vào, với điều kiện ban đầu được triệt tiêu.

- Phương trình ở mẫu : a 0 p n + a 1 p n-1 + +a n-1 p +a n = 0 gọi là phương trình đặc tính của phần tử hay hệ thống

* Chú ý: Khái niệm hàm truyền chỉ có ở hệ tuyến tính và không phụ thuộc vào kích thích hay sơ kiện

- Nếu biết W(p) sẽ tìm đƣợc đáp ứng Y(p) với một kích thích X(p) bằng cách: y(t) = L -

* Chuyển đổi hàm truyền đạt về phương trình trạng thái

Nếu hệ thống được mô tả động học qua hàm truyền đạt, có thể chuyển đổi sang mô tả bằng hệ phương trình trạng thái.

Ví dụ: Xét hệ thống bậc 3, tƣ̉ số bậc 1, mẫu số bậc 3:

 ; Suy ra: Phương trình vi phân của hệ thống là: x dt b b dx y dt a a dy dt y a d dt y a d 2 2 3 2 3

0       Hay : y dt a a dy dt y a d x dt b b dx dt y d

3      Tƣ̀ đây, thiết lập sơ đồ cấu trúc của hệ thống :

Qua vài phép biến đổi đại số đơn giản (chuyển đổi bộ cộng, tín hiệu ra), ta được sơ đồ khối tương đương như sau:

Từ sơ đồ cấu trúc, viết hệ hệ phương trình trạng thái của hệ thống:

* Kết luận: Các bước xác định PTTT hay hệ PTTT từ hàm truyền :

- Chuyển đổi về dạng phương trình vi phân:

Suy ra: b x dt b dx dt x b d dt x b d y dt a a dy dt y a d dt y a d m m m m m m n n n n n n

- Chuyển hàm truyền đạt của hệ thống về dạng : n n n m m m

- Xây dƣ̣ng sơ đồ khối cấu trúc của hệ thống theo nguyên tắc sau :

+ Số khâu tích phân bằng max (m,n), tín hiệu vào trước khâu tích phân là đạo hàm tín hiệu ra của khâu đó

+ Các hệ số A1, A 2 , …, An nằm ở các khối phản hồi âm phía dưới

+ Các hệ số B 0 , B 1 , B 2 ,…., B m nằm ở các khối bù phía trên

Các hệ số A i và B j đều có chỉ số tăng dần từ phải sang trái Hệ số gắn với bậc p sẽ tương ứng với bộ cộng được đặt đúng vị trí từ khâu tích phân p.

1 trong sơ đồ cấu trúc tính tƣ̀ trái qua phải Hệ số nào bằng không thì khâu đó không có trong sơ đồ

Sơ đồ khối cấu trúc dạng tổng quát nhƣ sau:

- Xác định HPT trạng thái của hệ thống dạng đầy đủ :

Hệ SISO tuyến tính có hệ phương trình trạng thái rút gọn dạng tổng quát :

( Ma trận B là vectơ cột b, ma trận C thành vectơ hàng c T , ma trận D thành số thƣ̣c d)

Ví dụ 1: Xét hệ thống có m=n=3, a 0 =1:

Ta xây dựng sơ đồ cấu trúc nhƣ sau:

Ví dụ 2: Chuyển hàm truyền sau sang phương trình trạng thái:

Ta viết lại hàm truyền đạt dưới dạng đầy đủ :

Sơ đồ cấu trúc tương đương:

Hay viết dưới dạng ma trận:

1.4.3 Các quy tắc biến đổi sơ đồ khối:( Đại số sơ đồ khối)

Đại số sơ đồ khối là một thuật toán quan trọng giúp xác định hàm truyền đạt của hệ thống dựa trên hàm truyền đạt của các phần tử thành phần Thuật toán này bao gồm các phương pháp xác định hàm truyền đạt cho các phần tử mắc nối tiếp, mắc song song, mạch phản hồi, và nguyên lý chuyển đổi tín hiệu.

1.4.3.1 Các phép biến đổi tương đương

* Hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp

Hệ thống được cấu thành từ các phần tử mắc nối tiếp khi tín hiệu ra của phần tử này là tín hiệu vào của phần tử tiếp theo Tín hiệu vào của toàn bộ hệ thống chính là tín hiệu vào của phần tử đầu tiên, trong khi tín hiệu ra của phần tử cuối cùng sẽ là tín hiệu ra của hệ thống.

Kết luận: Hàm truyền đạt của hệ thống gồm các phần tử mắc nối tiếp bằng tích số hàm truyền đạt của các phần tử thành phần

* Hệ thống gồm các phần tử mắc song song

Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống tuyến tính

2.1.1 Tín hiệu tác động vào của một khâu hay hệ thống Đối với một khâu hay hệ thống thường có hai loại tín hiệu tác động vào: Tín hiệu tiền định và tín hiệu ngẫu nhiên

Bất cứ một tín hiệu phức tạp nào cũng có thể phân tích thành các tín hiệu đơn giản điển hình

1-Tín hiệu bậc thang đơn vị: x(t)=

Là loại tín hiệu thường dùng trong các hệ thống điều khiển tự động

2-Tín hiệu xung đơn vị (xung dirac) x(t)=

Thường dùng để mô tả nhiễu

3-Tín hiệu tăng dần đều (hàm dốc đơn vị )

5-Tín hiệu có dạng hàm mũ t x(t)

6-Tín hiệu có dạng bất kì :

Mô tả bởi hàm 1(t) hoặc (t )

- Biểu diễn x(t) qua 1(t) : phân tích hàm x(t) theo tích phân Duyhamen x(t) = x( ) 1(t) + t  d d dx

Thật vậy, theo tính chất (2-2) ta có:

Khi đó x(t) = x( ) lấy lại giá trị t = , lúc đó hàm đƣợc đƣa ra ngoài dấu tích phân:

Nếu hàm x(t) xác định và liên tục với mọi giá trị của t thì :

- Phương pháp biểu diễn gần đúng tín hiệu x(t) qua 1(t):

2.1.2 Phản ứng của một khâu hay hệ thống

Hàm quá độ của một khâu là phản ứng của khâu đó khi tín hiệu tác động vào là một hàm bậc thang đơn vị 1(t), được ký hiệu là h(t).

2- Hàm trọng lượng : Là phản ứng của khâu đó khi tín hiệu tác động vào là hàm xung đơn vị (t ) Kí hiệu hàm trọng lƣợng là (t )

Nếu x(t) =(t)1thì:(t)Y(p)W(p).1W(p) (2.10) Qua (2.10) chứng tỏ rằng hàm trọng lƣợng (t) là hàm gốc của hàm truyền đạt của một khâu Qua biểu thức(2.9) và (2.10) ta thấy: h(t) p

 Nhƣ vậy, giữa hàm h(t) và (t ) có mối liên hệ: h(t) = t dt t

Đặc tính tần số của một khâu

2.2.1 Đặc tính tần số biên – pha: Đặc tính tần số là quan hệ giữa lƣợng ra và lƣợng vào của một khâu ở trạng thái xác lập khi lƣợng vào biến đổi theo qui luật điều hoà: x  X m sin t

Lƣợng ra sẽ có dạng: y  Y m sin( t )

Nếu một khâu đơn giản được mô tả bởi phương trình vi phân bậc hai:

2 2 d y dy d x dx a0 dt2 a1dt a y2 b0 dt2 b1dt b x2

- Đối với lƣợng vào x(t) và các đạo hàm của nó có thể biểu diễn bằng các số phức: t ej xm j m t x dt x d t ej xm j m t dt x dx t ej xm m t x t x

- Đối với lƣợng đầu ra y(t):

 t ej ym j m t y dt y d t ej ym j m t dt y dy t ej ym m t y t y

Bây giờ thế các số hạng của (2.14)và (2.15) vào (2.13) ta có: j( t ) j t

Là hàm truyền đạt tần số hay hàm truyền đạt phức thì: Nếu xét phương trình vi phân của khâu (2.13) đƣợc biểu diễn theo hàm truyền đạt ta có:

Từ (2.16)(2.17) ta thấy rõ ràng muốn tìm hàm truyền đạt trong miền tần số, ta chỉ việc thay thế biến p = j  cho hàm truyền đạt của một khâu

- Nếu hàm truyền đạt phức W(j) viết dạng môđun – góc pha thì:

) W(j   j   (2.18) Trong đó A() là biên độ của W(j) còn () là pha của W(j) Nếu W(j) có dạng (2.16) thì:

- Nếu W(j) viết dạng phần thực và phần ảo thì: W(j) = P() + jQ() (2.21)

Hàm truyền đạt tần số được biểu diễn dưới dạng một đường cong trên mặt phẳng phức, được gọi là đặc tính tần số biên-pha, khi tần số  thay đổi từ - đến +.

Hình 2.2a và 2.2b trình bày đặc tính tần số biên độ A(ω) và đặc tính tần số pha φ(ω) Trong khi đó, hình 2.2c và 2.2d thể hiện đặc tính tần số phần thực P(ω) và phần ảo Q(ω).

Vì A() và P() là hàm chẵn nên đặc tính đối xứng qua trục tung còn () và Q() là hàm lẻ nên đặc tính đối xứng qua gốc toạ độ

2.2.2 Đặc tính tần số logarit

Dựa vào đặc tính tần biên pha j ( )

) W(j     , nếu lấy logarit cả hai vế ta sẽ có: )

Rõ ràng ln A() và ()là các hàm thực của biến , đó chính là đặc tính tần số biên độ, pha logarit

1- Đối với đặc tính tần số biên độ logarit thường được đo theo đơn vị đêxiben, viết tắt là dB

Ben là đơn vị đo logarit thập phân của hệ số khuếch đại công suất tín hiệu, với 1 ben tương ứng với hệ số khuếch đại 10 lần Do công suất tín hiệu tỉ lệ với bình phương biên độ, nên việc sử dụng ben giúp dễ dàng so sánh và tính toán các hệ số khuếch đại khác nhau trong các ứng dụng điện tử.

Khi tính theo đơn vị đo là db: (1 bel db):

Do vậy nếu biết biên độ A(), ta sẽ xây dựng đƣợc đặc tính tần số biên độ logarit L():

Trục tung L (ω) được đo bằng đơn vị decibel (db), trong khi trục hoành sử dụng logarit của tần số ω Đơn vị đo tần số ω được gọi là decac, viết tắt là dec, tương ứng với logarit của sự gia tăng tần số gấp 10 lần.

Nếu ghi trên trục hoành là lg thì có thể chia đều nhƣng ghithì khoảng chia giữa các tần số không đều nhau

Có khi đơn vị đo trên trục hành người ta còn dùng Ôctavit tức là logarit của độ tăng tần số hai lần , viết tắt là Oct: 1oct 1

2- Đối với đặc tính tần số pha logarit thường đo đơn vị  là độ còn đối số (hoành độ) là

Khi có nhiều khâu động học nối tiếp, biên độ A tđ sẽ bằng tích các biên độ A i của từng thành phần Do đó, 20lgA i () sẽ là tổng của các biên độ logarit Tương tự, đặc tính () của nhiều khâu nối tiếp cũng là tổng của các đặc tính riêng lẻ.

 i thành phần , mà nếu lấy theo logarit của tổng các số hạng đó không thể phân tích đƣợc nữa, nghĩa là xem tổng i () là tối giản.

Phân loại các khâu động học điển hình

2- Khâu quán tính bậc một: W(p) 1

4- Khâu không ổn định bậc một: W(p) 1

1- Khâu vi phân lí tưởng: W(p) = kp

2- Khâu vi phân: W(p) = Tp + 1 hoặc W(p) = Tp – 1

Khâu tích phân là khâu động học mà ở chế độ xác lập, lƣợng ra y(t) tỉ lệ với tích phân đầu vào

Khâu tích phân điển hình nhất là khâu tích phân lí tưởng có: W(p) = k/p.

Đặc tính động học của các khâu bậc 1, bậc 2

1- Đặc tính tần số a Đặc tính tần số biên pha

W( j)= k là một điểm nằm trên trục hoành (hình 2-4a) a.) b.)

Hình 2.4 b Đặc tính tần số logarit

- Đặc tính tần số biên độ logarit

L() = 20lgA() = 20lgk là một đường thẳng nằm ngang (hình 2.4b)

- Đặc tính tần số pha logarit

Q ; chính là trục hoành trên hình 2.4b

Phương trình động học của khâu khuếch đại là: y(t) = k.x(t) (2.27) a Hàm quá độ: khi x(t) = 1(t) thì: h(t) = k.1(t) (2.28) b Hàm trọng lượng: theo biểu thức (2.12):

Hình 2.5b Các đặc tính thời gian của khâu khuyếch đại

2.4.2 Khâu quán tính bậc một

Hàm truyền của khâu quán tính bậc 1: W(p) 1

1- Đặc tính tần số a Đặc tính tần số biên pha

Từ biểu thức (2.29) và A2()P2()Q2() giải ra ta có:

   Đây là phương trình chính tắc của một vòng tròn bán kính k/2; tâm O(k/2,0), được vẽ trên hình 2.6

 chính là điểm B trên hình 2.6

Hình 2.6 Hình 2.7 b Đặc tính tần số logarit:

 () độ a b c Đường tiệm cận khi  0: L 1 ()20lgk khi 0 1/T Đường tiệm cận khi : L2()20lgk20lg T khi 1/T

Hai đặc tính L 1 (),L 2 () cắt nhau tại điểm b Tại đó tần số gãy đƣợc tính nhƣ sau: gT k k L

2- Đặc tính thời gian a Hàm quá độ: Ta có:

Vậy nên: h(t)= k(1-et/T ) (2.32) b Hàm trọng lượng:

Hàm truyền khâu dao động với điều kiện  1:

1- Đặc tính tần số a Đặc tính tần số biên pha

Khi   1 / 2 thì A() có cực đại , với tần số cộng hưởng :

A  Đặc tính tần số biên – pha vẽ trên hình 2-9

A  b Đặc tính tần số logarit

- Sai lệch biên độ logarit ở tần số  0  1 / T

Tại  0  1 / T , từ (2.38) bỏ qua số hạng  2 ta có: ( )20lgk20lg2

Sai lệch biên độ ở  ch :

Rõ ràng  càng lớn thì  L càng bé

2- Đặc tính thời gian a Hàm quá độ

Phương trình đặc tính của khâu dao động:

Phương trình có hai nghiệm phức liên hợp:    

T j p  1 2  Trong đó:  0 ;  1 0 ; 0 1/T b Hàm trọng lượng t t e k t dt t t dh  

(    (2.40) Đồ thị đặc tính h(t) và (t ) vẽ trên hình 2-10

Từ đồ thị h(t) ta xác định đƣợc các tham số k; A1; A 2 ; T Từ đó tính đƣợc:

2.4.4 Khâu không ổn định bậc 1

Hàm truyền đạt khâu không ổn định bậc 1:

1-Đặc tính tần số a Đặc tính tần số biên- pha:

Tương tự như quán tính bậc một, đặc tính tần số biên pha được xác định bởi một nửa vòng tròn với bán kính k/2, có tâm tại O1 (-k/2, 0) Điều này cho thấy rằng p(ω) < 0 và Q(ω) cũng có liên quan.

Hình 2.11 b.Đặc tính tần số logarit

  Hoàn toàn giống biên độ của khâu quán tính bậc một; điểm uốn tại  1 / T

Hình 2.12 2- Đặc tính thời gian a Hàm quá độ H(t) = k(et/T 1) (2.43) Đồ thị vẽ trên hình 2-13

Đặc tính động học của các khâu vi phân

2.5.1 Khâu vi phân lý tưởng

Hàm truyền đạt của khâu vi phân lí tưởng là:

1- Đặc tính tần số a Đặc tính tần số biên – pha: W()=jk Đặc tính tần số vẽ trên hình 2-14 b Đặc tính tần số logarit:

Nếu k = 1 thì: L()20lg Đó là đường 1 trên hình 2-15a, cắt trục hoành tại tần số  c  1

Nếu k >1 ta có đặc tính L ()  20 lg k  là đường số 2

Vì phần thực của W(j) bằng không nên: arctg 

2- Đặc tính thời gian a Hàm quá độ h(t) = k 1( ) ( ) t dt k t d   (2.44) b Hàm trọng lượng dt t k d dt t t dh w ( )

2.5.2 Khâu vi phân bậc một

Hàm truyền của khâu vi phân bậc một:

Đặc tính tần số bao gồm hai thành phần chính: đặc tính tần số biên pha và đặc tính tần số logarit Đặc tính tần số biên pha được biểu diễn bằng công thức W(jω) = k(jωT + 1), trong đó nó có hình dạng một nửa đường thẳng song song với trục ảo, như minh họa trong hình 2.16 Bên cạnh đó, đặc tính tần số logarit cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích tần số của hệ thống.

2-Đặc tính thời gian a Hàm quá độ

Từ phương trình: y = k.x +kT dt dx với x(t) = 1(t) h(t) = k.1(t) + kT 1( ) 1( ) ( ) t kT t dt k t d    (2.46) b.Hàm trọng lượng: dt t kT d t dt k t t dh ( )

Đặc tính động học của khâu tích phân

Hàm truyền của khâu tích phân lý tưởng: W(p) p k

1- Đặc tính tần số a Đặc tính tần số biên- pha:

W(j  là một nửa trục ảo âm b Đặc tính tần số logarit

Nếu k = 1 ta có L() ứng với đường 2 luôn đi qua tần số  1 trên trục hoành và có độ nghiêng -20db/dec

2- Đặc tính thời gian a Hàm quá độ:

Đặc tính động học của khâu chậm trễ

Phương trình của khâu chậm trễ: y(t) = x(t -  ) (2.48) Hàm truyền đạt khâu chậm trễ:

1- Đặc tính tần số a Đặc tính tần số biên- pha:W = e j

Biên độ A() =1; pha () =  Đặc tính W(j) là một vòng tròn bán kính bằng 1, tâm gốc O b Đặc tính tần số logarit

Vì A() =1 nên L() =0 Hình 2-22 Đặc tính L() trùng trục hoành trên hình (2-23)

- Đặc tính tần biên pha:()  ()

2-Đặc tính thời gian a.Hàm quá độ

Từ phương trình (2.48) ta có: h(t)1(t) b.Hàm trọng lượng

(t)= ( )  1(t)(t) dt d dt t dh Đặc tính h(t) và w(t) vẽ trên hình 2.24

Khái niệm chung

Đối với các hệ thống điều khiển tự động trong thực tế , có hai bài toán đƣợc đặt ra là: Thiết kế (tổng hợp) và phân tích hệ thống

Để thiết kế bộ điều khiển hiệu quả, cần xác định tham số và cấu trúc dựa trên yêu cầu điều khiển như độ sai lệch và độ tác động nhanh Sau khi thiết lập, việc phân tích hệ thống là cần thiết để đảm bảo chất lượng hoạt động của toàn bộ hệ thống.

Phân tích hệ thống là quá trình đánh giá chất lượng hệ thống, thường diễn ra sau khi thiết kế hoặc khi cần điều chỉnh Đầu tiên, cần xác định mô tả toán học cho từng phần tử trong hệ thống Tiếp theo, tiến hành xem xét tính ổn định và các chỉ tiêu chất lượng động của hệ thống.

+ Phân tích và thiết kế hệ thống có mối liên hệ chặt chẽ và là một quy trình khép kín:

Ổn định là tiêu chí cơ bản đầu tiên của hệ thống điều chỉnh tự động, và nó là điều kiện tiên quyết để xác định tính khả dụng của hệ thống.

Một hệ thống điều chỉnh tự động được coi là ổn định khi nó có khả năng tự điều chỉnh để quay trở lại trạng thái cân bằng sau khi bị gián đoạn do nhiễu, bao gồm nhiễu đặt trước hoặc nhiễu phụ tải Hệ thống này có thể trở về trạng thái ban đầu hoặc chuyển đổi từ trạng thái xác lập này sang trạng thái xác lập khác.

 ( ) (Quá trình quá độ tắt dần theo (t))

- Ngƣợc lại, nếu do tác động của nhiễu, tín hiệu ra của hệ thống bị thay đổi và   thì hệ thống là không ổn định

Trạng thái biên giới ổn định là trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định, trong đó tín hiệu ra của hệ thống dao động với biên độ ổn định và không thay đổi.

Nếu mô tả tính ổn định của hệ thống bằng biểu thức toán học thì:

+ Điều kiện để hệ thống ổn định là:

Lim t ( Hoặc 1 giá trị cố định)

+ Hệ thống không ổn định khi:

+ Hệ thống ở biên giới ổn định khi:

Lim dao động có biên độ không đổi

(1) - Ổn định không dao động

(2) - Ổn định có dao động

(4) - Không ổn định có dao động

(5) - Không ổn định không dao động

* Vấn đề đặt ra là dựa vào đâu để biết hệ thống có ổn định hay không?

Hệ thống điều khiển tự động được mô tả qua phương trình vi phân, thể hiện mối quan hệ giữa lượng đầu vào và đầu ra Phương trình này cho thấy cách mà các yếu tố như m, b, n, và a ảnh hưởng đến sự thay đổi của hệ thống theo thời gian Việc hiểu rõ các thành phần trong phương trình là rất quan trọng để tối ưu hóa hiệu suất của hệ thống điều khiển.

Nghiệm của phương trình được biểu diễn dưới dạng y(t) = y cb (t) + y td (t), trong đó y cb (t) đại diện cho thành phần cưỡng bức tương ứng với tín hiệu vào x(t) Khi giá trị yêu cầu cần điều khiển là y 0, y cb (t) trở thành nghiệm riêng của phương trình (3.1) và phụ thuộc vào tín hiệu vào, phản ánh tính chất xác lập của hệ thống Nếu x cố định, y r cũng sẽ cố định, điều này cho thấy y cb (t) không ảnh hưởng đến tính chất ổn định của hệ thống.

*Vậy, ổn định là tính chất bên trong của hệ thống, bản chất của hệ thống

Khi hệ thống đã ổn định, không có yếu tố bên ngoài nào có thể làm mất đi sự ổn định đó Biến y_td(t) đại diện cho thành phần tự do, phản ánh lượng ra của hệ thống khi lượng vào không có x(t)=0, và nó là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất mà không có vế phải.

Tìm y td (t) bằng cách giải phương trình đặc tính (Phương trình đặc trưng): a 0 p n + a 1 p n-1 + +a n-1 p +a n = 0 (3.3)

Giả thiết (3.3) có n nghiệm p i  0 riêng biệt, dạng tổng quát của y td (t) là : y td (t) = 

Trong đó: C i : Là hệ số tích phân, đƣợc xác định nhờ điều kiện đầu p i : Là nghiệm của phương trình đặc tính

Nghiệm p i có thể là 1 trong các dạng sau:

- Xét ảnh hưởng của các loại nghiệm lên tính chất ổn định của hệ thống:

* p i là nghiệm thực: p i = i Ta có:

 nên hệ ở biên giới ổn định

 ( ) lim y t t nên hệ không ổn định

* p i là nghiệm phức: pi,i+1=ij.i Ta có:

* Xét một nghiệm có  * i =0 còn ( 1

 nên hệ ở biên giới ổn định + xét một nghiệm có  * i >0 còn (n/2-1) nghiệm khác có  i 0

) ( lim y t t nên hệ không ổn định

- HTĐKTĐ( HTĐCTĐ) sẽ ổn định ( 0 ( )  0

Điều kiện để phương trình đặc tính có nghiệm thực âm và nghiệm phức có phần thực âm là khi và chỉ khi Re{p_i} < 0 (với i = 1, 2, 3, …, n) Điều này cho thấy quá trình quá độ sẽ tắt dần theo thời gian.

- Hệ thống không ổn định (  

Lim qđ t ) khi PTĐT có nghiệm thực dương (+) hoặc nghiệm phức có phần thực dương (+) (Quá trình quá độ tăng dần theo thời gian):

Hệ thống sẽ duy trì sự ổn định ở biên giới nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm thuần ảo, trong khi tất cả các nghiệm còn lại là nghiệm thực âm hoặc nghiệm phức có phần thực âm Điều này dẫn đến việc quá trình quá độ không thay đổi hoặc dao động không tắt dần.

Trên mặt phẳng phân bố nghiệm số, nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính nằm bên trái trục ảo, hệ thống được coi là ổn định Ngược lại, sự xuất hiện của một nghiệm bên phải trục ảo sẽ dẫn đến tình trạng không ổn định Trong trường hợp có một nghiệm trên trục ảo và các nghiệm còn lại đều nằm bên trái, hệ thống sẽ ở trạng thái biên giới ổn định.

Để đánh giá tính ổn định của hệ thống, cần tìm nghiệm của phương trình vi phân (3.1) và giới hạn theo (3.5) Việc giải trực tiếp phương trình này thường gặp nhiều khó khăn, đặc biệt đối với hệ thống bậc cao Do đó, các phương pháp gián tiếp được áp dụng để xem xét ổn định của hệ thống điều khiển tự động, được gọi là các tiêu chuẩn ổn định.

Các tiêu chuẩn ổn định:

- Tiêu chuẩn đại số : Tìm điều kiện ràng buộc giữa các hệ số của phương trình đặc tính để hệ thống ổn định Đó là tiêu chuẩn Routh- Hurwitz

- Tiêu chuẩn ổn định tần số: Thông qua các đặc tính tần số của hệ thống để xét tính ổn định Đó là tiêu chuẩn Mikhailov, Nyquyst

- Lý thuyết phân vùng ổn định.

Tiêu chuẩn đại số

3.2.1 Điều kiện ổn định cần thiết của hệ thống ĐKTĐ

- Điều kiện cần để hệ ổn định:

+ Nếu không tồn tại điều kiện ổn định cần thiết thì hệ thống có cấu trúc không ổn định và phải thay đổi lại cấu trúc của hệ thống

Có thể biểu diễn PTĐT dưới dạng:

Hình 3-1 - Phân vùng ổn định trên mặt phẳng phân bố nghiệm số

*Phát biểu: Điều kiện cần để hệ thống ĐKTĐ ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc tính phải dương (+) ( Phải cùng dấu)

3.2.2 Tiêu chuẩn Routh (điều kiện đủ)

1- Phát biểu: Điều kiện đủ để cho hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hạng trong cột thứ nhất của bảng Routh phải cùng dấu ( cùng dương)

2- Cách lập bảng Routh từ các hệ số của phương trình đặc tính a 0 a 2 a 4 ……… a 1 a 3 a 5 ……… b 0 1

Từ phương trình đặc trưng: a 0 p n +a 1 p n-1 + +a n-1 p+a n = 0, bảng Routh được lập như sau:

- Dòng đầu tiên của bảng ghi các hệ số có chỉ số chẵn Dòng thứ hai ghi các hệ số có chỉ số lẻ

Kết hợp cột đầu tiên với các cột tiếp theo để tạo ra các định thức bậc hai Dòng thứ ba được hình thành bằng cách lấy giá trị của các định thức này, đổi dấu thành âm và chia cho phần tử đầu tiên của hàng ngay trên nó.

Các dòng tiếp theo được hình thành bằng cách lấy cột đầu tiên của hai dòng phía trên và kết hợp với các cột tiếp theo để tạo ra các định thức bậc hai Các số hạng trong dòng này sẽ tương ứng với giá trị của các định thức vừa được thành lập nhưng có dấu âm.

- Bảng Routh sẽ kết thúc khi dòng cuối cùng chỉ còn một số hạng

3- Các tính chất của bảng Routh và các điểm cần chú ý

- Có thể nhân hoặc chia tất cả các số hạng trong cùng một hàng của bảng Routh với một số dương thì tính chất của bảng Routh không đổi

Số lần đổi dấu của các số hạng trong cột đầu tiên của bảng Routh tương ứng với số nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực dương, tức là nằm bên phải mặt phẳng phức Ví dụ, trong trường hợp trên, có 2 nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, tương ứng với 2 lần đổi dấu của các số hạng trong cột đầu tiên.

Từ cột đầu tiên của bảng Routh, chúng ta có thể xác định giá trị tới hạn của một tham số biến đổi trong hệ thống, chẳng hạn như hệ số khuếch đại.

- Tiêu chuẩn Routh áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín với phương trình đặc tính có bậc bất kỳ

Chú ý rằng nếu trong hệ thống có khâu chậm sau e -p, phương trình đặc tính sẽ không phải là đại số tuyến tính Do đó, để áp dụng tiêu chuẩn này, cần chuyển A(p) về phương trình đại số tuyến tính bằng cách khai triển Taylor hàm.

* Các trường hợp đặc biệt :

Khi phần tử đầu tiên của một dòng trong ma trận bằng 0, trong khi các phần tử khác khác 0, ta thay thế 0 bằng một giá trị rất nhỏ (ε) và tiếp tục thực hiện các phép tính như bình thường Sau đó, cần xác định giới hạn của các phần tử trong cột đầu tiên khi ε tiến gần đến 0.

 0, nếu chúng cũng không đổi dấu thì hệ ổn định

Ví dụ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh của hệ thống có PTĐT:

+ PTĐT thỏa mãn điều kiện cần ( a 0 = 1; a 1 =1; a 2 = 4; a 3 = 4; a 4 = 2; a 5 = 1)

+ Vậy, hệ không ổn định và có 2 nghiệm nằm ở bên phải mặt phẳng phức ( MPP)

Khi một dòng trong bảng Routh có các phần tử bằng 0, chúng ta cần sử dụng các hệ số của dòng trên để lập phương trình phụ F1(p) = 0 Tiếp theo, ta thực hiện đạo hàm dF1/dp = 0, thay thế các dòng bằng 0 bằng các hệ số của phương trình đạo hàm và tiếp tục tính toán như bình thường.

Ví dụ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh cho hệ thống có PTĐT:

+ PTĐT thỏa mãn điều kiện cần ( a 0 = 1; a 1 ; a 2 = 16; a 3 = 160; a 4 = 1; a 5 = 10)

Trong trường hợp hệ thống có khâu trễ e -pT, phương trình điều tiết có thể được chuyển đổi về dạng đại số tuyến tính bằng cách sử dụng khai triển Taylor, lấy gần đúng hai số hạng đầu Cụ thể, ta có thể viết: pT pT e pT pT    .

Ví dụ tự làm: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh cho các hệ thống có PTĐT :

Độ dự trữ ổn định là một chỉ số quan trọng (+) phản ánh mức độ ổn định của hệ thống Khi vượt qua ngưỡng dự trữ này, hệ thống sẽ chuyển từ trạng thái ổn định sang mất ổn định.

Theo tiêu chuẩn ổn định đại số, khoảng cách  giữa trục ảo j và nghiệm của phương trình đặc trưng gần trục ảo nhất cho biết độ dự trữ ổn định của hệ thống Do đó, hệ thống có độ dự trữ ổn định  theo tiêu chuẩn này thể hiện khả năng duy trì sự ổn định trong hoạt động.

Ví dụ 1: Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ khối nhƣ hình sau:

1/ Tìm k để hệ ổn định

2/ Tìm k để hệ ổn định với  = 1/2

Giải 1/ Sau khi tìm hàm truyền đạt của hệ, ta đƣợc PTĐT:

F(p) = p(p+2) 2 +k = p 3 +4p 2 +4p +k = 0 + PTĐT thỏa mãn điều kiện cần ( a0 = 1; a 1 =4; a 2 = 4; a 3 = k)

Hình 3.2: Độ dự trữ ổn định 

Vậy điều kiện cần và đủ để hệ ổn định là:

2/ Đặt z = p+ (suy ra: p = z-) Vì hệ ổn định với độ dự trữ  nên R e p i  -  R e p i + i 

0  R e z i  0 Dùng tiêu chuẩn Routh để xét ổn định hệ với độ dự trữ  cho đa thức F(z)

- Thay p = (z - ) = (z – 1/2) vào PTĐT F(p), ta có: k z z z k z z z z

   k k k Điều kiện ổn định là:

Vậy, để hệ ổn định với độ dự trữ nào đó thì miền xác định của k đã bị thu hẹp

* Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc tính sau:

Giải: Ta lập bảng Routh từ các hệ số của phương trình đặc tính

Tất cả các giá trị trong cột đầu tiên đều dương, điều này cho thấy tất cả các nghiệm của đa thức đã cho có phần thực âm, từ đó khẳng định hệ thống là ổn định.

3.2.3 Tiêu chuẩn Hurwits (điều kiện đủ):

Hệ thống điều khiển tự động (ĐKTĐ) sẽ ổn định khi phương trình đặc tính có các hệ số cùng dấu và tất cả các định thức Hurwitz đều dương.

Cách thành lập các định thức Hurwitz:

Nếu phương trình đặc trưng tổng quát có dạng : a 0 +a 1 p + +a n-1 p n-1 +a n p n = 0, các định thức Hurwitz đƣợc lập nhƣ sau:

1- Thành lập ma trận tổng quát H kiểu (n x n ) từ các hệ số của phương trình đặc trưng : Đường chéo chính được sắp xếp bởi các hệ số a i từ a 1 đến a n với chỉ số tăng dần từ trên xuống Bổ sung các cột bởi các hệ số a i với chỉ số giảm dần từ trên xuống

2 - Xác định ma trận vuông H i i=1, 2, …, lấy từ H sao cho H i có đúng i phần tử trên đường chéo chính của H

3- Tính định thức D i = det(H i ) , i=1, 2, …… ,n a- Đa thức cho trong bên trái (3.4) sẽ là đa thức Hurwitz khi và chỉ khi tất cả các định thức

D i cùng dấu và khác 0 b- Số lần đổi dấu trong đó:

Trong ma trận D có n cột và n hàng, đường chéo chính bắt đầu từ a1 đến an Các số hạng trong cùng một cột trên đường chéo chính có chỉ số tăng dần, trong khi các số hạng dưới đường chéo chính có chỉ số giảm dần Những số hạng có chỉ số lớn hơn n và nhỏ hơn 0 sẽ được ghi là 0 Đối với các hệ thống bậc 1 và 2, điều kiện cần và đủ là các hệ số a0, a1, a2 phải lớn hơn 0.

- Tiêu chuẩn này áp dụng cho cả hệ hở và hệ kín với PTĐT có bậc  4

- Nếu có một H i nào đó bằng không thì hệ cũng không ổn định

- Cũng có thể xác định được giá trị của thông số biến đổi bằng cách giải hệ bất phương trình Hi>0

Ví dụ: Sử dụng tiêu chuẩn Hurwitz, tìm điều kiện cho tham số k để hệ có hàm truyền đạt sau là ổn định: A(p) 1

Giải: Áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz với A ( p )  3  2 p  ( k  2 ) p 2  kp 3 tức là:

Vậy để hệ ổn định ta phải có:

Cách 2: Nếu PTĐT tổng quát có dạng: a 0 p n +a 1 p n-1 + +a n-1 p+a n = 0, định thức Hurwitz tổng quát cấp n được xây dựng như sau:

+ Trên đường chéo chính của định thức, ta ghi các hệ số của phương trình đặc tính, bắt đầu từ a 1  a n

Tiêu chuẩn tần số

Tiêu chuẩn Mikhailov được xây dựng dựa trên hàm A(p), trong đó vế trái của phương trình đặc tính (3.4) được thay p bằng jω để kiểm tra tính Hurwitz của A(p) Cụ thể, tiêu chuẩn này phân tích tính Hurwitz của A(p) thông qua dạng đồ thị của A(jω), do đó nó thuộc nhóm các tiêu chuẩn hình học.

Xét đa thức hệ số thực: pn an p a p a a p

Gọi các nghiệm của A(p) là p i , i=1, 2,…, n Khi đó A(p) đƣợc viết thành:

Kí hiệu  = A(j) là góc pha của A( j), tức là A(j) = A(j )e j thì:

Xét sự thay đổi riêng của thành phần:

Trong công thức (3.10), khi đi từ ta thấy:

- Nếu p i nằm bên trái trục ảo thì góc nhìn của ta có độ rộng là  i 

- Nếu p i nằm bên phải trục ảo thì góc nhìn là   

Nếu giả thiết rằng đa thức A(p) không có nghiệm nào trên trục ảo và số nghiệm bên phải trục ảo là n+, thì số nghiệm bên trái trục ảo sẽ là n- Do đó, ta có: Δ arg A(jω) = (n - n+) · π khi Re(pi) < 0.

Đa thức A(p) được coi là đa thức Hurwitz khi và chỉ khi tất cả n nghiệm pi (i = 1, 2,…,n) của nó nằm bên trục ảo Điều này có nghĩa là khi  thay đổi từ - đến +, đồ thị A(j) sẽ bao gốc tọa độ một góc chính xác bằng n.

 Định lý Mikhailov: Đa thức: A(p) = a a pa p2 anpn

0 là đa thƣ́c Hurwitz khi và chỉ khi đường đồ thị A(j) với  đi từ - đến + bao quanh gốc toạ độ đúng bằng một góc bằng

 n Nói cách khác: A(p) là đa thức Hurwitz khi và chỉ khi: arcA ( j )  n 2 ( 0   )

* Hệ quả tiêu chuẩn Mikhailov:

- Giao điểm của đường quĩ đạo biên pha A( j) của đa thức Hurwitz A(p) với trục thực phải nằm xen kẽ giữa những giao điểm của nó với trục ảo

- Giá trị tại hai giao điểm kề nhau của A(j) với trục thực của đa thức Hurwitz A(p) phải trái dấu nhau

- Giá trị tại hai giao điểm kề nhau của A(j) với trục ảo của đa thức

Hurwitz A(p) phải trái dấu nhau

Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền đạt:

Xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Mikhailov

Ta có đa thức đặc tính:

Hình 3-4 là đồ thị của A(j) Đường đồ thị đó không bao gốc toạ độ , góc nhìn A(j) từ gốc toạ độ khi  đi từ 0 đến  là

3 ) Bởi vậy A(p) không phải là đa thức Hurwitz, nên hệ không ổn định

Ví dụ tự làm : Xét các đa thức hệ số thực sau:

A 2 (p)= p 4 +3.p 3 +2.p 2 +3p+1 Đây có phải là các đa thức Hurwits không ?

3.3.2.1 Tiêu chuẩn Nyquist theo đặc tính tần số biên pha

1- Phát biểu: Điều kiện cần và đủ để hệ thống kín ổn định:

- Khi hệ hở ổn định (hoặc ở biên giới ổn định) là đặc tính tần- piên- pha (TBP) của hệ hở

Hệ hở không ổn định là đặc tính của TBP trong hệ bao điểm (−1, j0) m/2 vòng kín khi tần số ω thay đổi từ 0 đến vô cực, với m là số nghiệm có phần thực dương của phương trình đặc tính của hệ.

Xét hệ thống một vòng có sơ đồ cấu trúc nhƣ hình vẽ:

Hình 3.5 Để thuận tiện cho việc chứng minh ta xét hai nguyên lí cơ bản sau: a Nguyên lí bao và không bao

*Thế nào được gọi là một đường cong kín bao một điểm? Để dễ tưởng tượng, ta làm như sau:

+ Kẻ một vectơ có điểm gốc là điểm được bao, điểm ngọn tựa vào đường cong

+ Cho điểm ngọn của vectơ trượt từ đầu đường cong đến cuối đường cong Khi đó, góc  tạo đƣợc gọi là góc bao điểm đã cho

Chú ý: Nếu vectơ quay theo chiều kim đồng hồ , quy ƣớc góc quay lấy dấu âm và ngƣợc lại

Ví dụ, với hai hình vẽ trên, ta thấy: Ở hình (3.6a) ta kẻ hai đường tiếp tuyến với đường cong (C) qua A, cắt (C) tại A 1 và

A 2 Dễ thấy, theo chiều mũi tên, từ A1 đến A 2 , vectơ AA ’ quay đƣợc 1 góc là -, từ A 2 đến

Khi vectơ AA’ quay một góc , điểm ngọn A’ của vectơ này di chuyển một vòng quanh đường cong kín (C), dẫn đến tổng góc quay là - +  = 0 Do đó, nếu điểm A không nằm trong đường cong kín (C), ta kết luận rằng đường cong này không bao gồm điểm A.

A ( Hay nếu đi dọc theo đường cong kín theo chiều KĐH thì điểm A khi đó luôn nằm ở phía bên trái của đường cong)

Trong trường hợp hình (3.6b), theo chiều ngược chiều KĐH, tổng góc quay của vectơ BB’ được tính là:  +(2 -) = 2 Do đó, nếu điểm B nằm trong một đường cong kín (C), thì đường cong kín (C) được coi là bao điểm B.

Một đường cong kín có thể bao một điểm nhiều lần, ứng với nhiều vòng kín b Nguyên lí góc quay Đối với phương trình đặc tính:

Có n nghiệm, nếu thay p = j ta có:

Giả sử có m nghiệm có phần thực dương và n – m nghiệm có phần thực âm tương ứng với các nghiệm nằm bên phải và bên trái trục ảo

Nếu nghiệm p i nằm bên trái trục ảo; đối với véc tơ MX = ( j  p i )

Còn p ở bên phải trục ảo, đối với véc tơ NX = (j p i )

arg(j pj) (3.14) Phương trình (3.12) có thể viết :

- Khi hệ hở ổn định

Xét véc tơ MA trên hình (3 - 9) có:

Trong đó bậc B(p)  bậc của D(p)

D(p) = 0 là phương trình đặc tính hệ hở có bậc n

Do đó : A(p) = D(p) + B(p) =0 là phương trình đặc tính hệ kín cũng có bậc n

Véc tơ MA kết nối điểm M(-1,j0) với điểm A trên đường cong W h (jω), có mối liên hệ với hệ kín và hệ hở thông qua biểu thức (3.14) Nếu đặc tính W h (jω) không bao gồm điểm M(-1,j0), điều này có ý nghĩa quan trọng trong phân tích hệ thống.

Khi hệ hở ổn định phương trình có n nghiệm ở bên trái trục ảo theo (3.9) và (3.12):

Hệ thống kín muốn ổn định , phương trình A(p) có n nghiệm ở bên trái trục ảo nên:

Tính góc quay của MA theo (3.14):

Vậy khi hệ hở ổn định , muốn hệ kín muốn ổn định , đặc tính của Wh(j) phải không bao điểm có toạ độ (-1, j0)

- Khi hệ hở không ổn định

Trong phương trình đặc tính D(p) có m nghiệm bên phải trục ảo và n – m nghiệm ở bên trái trục ảo Khi đó theo (3.15) ; (3.16) ; (3.17) ta có:

Hệ kín muốn ổn định:

Vì đặc tính W h (j) đối xứng qua trục hoành với nhánh có    0 và nhánh có

-  Điều này chứng tỏ W h (j) bao điểm M(-1, j0) m/2 vòng tròn kín khi  chạy từ 0 đến 

- Khi hệ ở biên giới ổn định

Ta xét trường hợp đơn giản khi D(p) = 0 có 1 nghiệm P1 = 0 và (n – 1) nghiệm ở bên trái trục ảo, tức là trong cấu trúc của hệ có một khâu tích phân

(3.21) Để tránh điểm gián đoạn = 0, ta uốn cong trục ảo bằng một nửa vòng tròn, bán kính rất bé Khi đó có : p.e j  ;

- p = j;    và  const, còn  biến đổi từ - / 2 đến +/2 (BCD)

Qua hình (3.10) ta thấy nghiệm p = 0 bây giờ đã ở bên trái trục ảo, cho nên hệ kín sẽ ổn định

- Trước khi dùng tiêu chuẩn Nyquist cần phải xét xem hệ hở có ổn định hay không

Đặc tính tần biên pha W h (jω) = R(ω) + jI(ω) có tính đối xứng qua trục thực trong khoảng ω = -∞ đến +∞ Tuy nhiên, trong thực tế, người ta chỉ khảo sát đặc tính TBP trong đoạn ω = 0 đến +∞ và sau đó lấy đối xứng qua trục thực Điều này dẫn đến việc đặc tính TBP của hệ hở có thể là đường cong không khép kín, gây khó khăn trong việc xác định số điểm (-1; j0) mà nó có Đặc tính tần W h (jω) sẽ không bao điểm M(-1,j0) nếu không có giao điểm với trục thực trong khoảng (-∞, -1) hoặc nếu số giao điểm chuyển đổi dương C(+) bằng số giao điểm chuyển đổi âm C(-) Tóm lại, điều kiện để đường cong TBP không bao điểm M(-1,j0) là C(+) = C(-) Nếu điều kiện này không được thỏa mãn, đặc tính tần số sẽ bao điểm M(-1,j0).

Quy tắc bàn tay trái được áp dụng trong trường hợp hệ hở ổn định hoặc ở biên giới ổn định, cho thấy rằng hệ kín sẽ ổn định nếu điểm (-1; j0) luôn nằm bên trái đường đặc tính TBP của hệ hở khi di chuyển dọc theo đường đó theo chiều tăng của .

3.3.3.2 Tiêu chuẩn Nyquist theo đặc tính tần số logarit

Điều kiện để hệ thống kín ổn định khi hệ thống hở ổn định là số giao điểm chuyển đổi dương bằng số giao điểm chuyển đổi âm của đặc tính () với đường thẳng – trong phạm vi tần số , với yêu cầu L()>0 Nếu hệ thống hở ổn định hoặc ở biên giới ổn định, hệ thống kín sẽ ổn định khi đặc tính PTL của hệ thống hở cắt đường thẳng () = - số chẵn lần trong giới hạn  = 0 đến  c, đồng thời đặc tính BTL của hệ thống hở cắt trục hoành (L( c ) = 0).

Vì L() = 20lgA() nếu A( 1) thì L()  0 Tại các giao điểm chuyển đổi thì

Dựa vào tiêu chuẩn Nyquist và đặc tính tần số biên – pha, cần xem xét phạm vi A(ω) trong khoảng (-∞, -1) Khi hệ hở ổn định, nếu C(+) và C(-) đều tồn tại, thì hệ kín cũng sẽ ổn định.

Điểm chuyển đổi dương, ký hiệu C(+), là giao điểm của đặc tính () với đường thẳng -, trong đó khi  tăng, () cắt đường thẳng - từ trên xuống dưới Ngược lại, điểm chuyển đổi âm, ký hiệu C(-), là giao điểm của () với đường thẳng -, khi  tăng, () cắt đường thẳng - từ dưới lên trên.

* Ví dụ1 : Xét hệ phản hồi âm có hàm truyền đạt hệ hở là G h (p)kH(p), trong đó:

Hãy xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Nyquist

Ta thấy hàm truyền đạt H(p) có một điểm cực p 1 = 0 nằm trên trục ảo và một điểm cực p 2

Điểm 1 nằm bên phải trục ảo Khi điểm p di chuyển dọc theo đường cong Nyquist (hình 3-9a), đồ thị của đối tượng sẽ có hình dạng như hình 3-9b Đồ thị này cho thấy rõ ràng các đặc điểm của hệ thống.

Khi điểm p di chuyển dọc theo trục ảo và tiến gần đến p1 = 0, nó sẽ theo nửa đường tròn N2 với bán kính rất nhỏ bên trái điểm đó Điều này được thể hiện trong đồ thị Nyquist H(N), nơi nửa đường tròn nằm phía bên phải trục ảo, quay ngược chiều kim đồng hồ với bán kính vô hạn H(p) là một hàm bảo giác, và tại điểm p1 = -0,1, giá trị của hàm H(p) đạt khoảng 0,4, cho thấy H(0,1) > 0.

Từ hình đồ thị ta thấy ngay, đồ thị Nyquist H(N) bao đoạn: 1 0 , 0185

 k một góc đúng bằng 2 (theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ ) Điều này chỉ ra rằng hệ kín sẽ ổn định với mọi giá trị k thuộc khoảng :

Ví dụ2: Hệ thống ĐKTĐ có hàm truyền đạt của hệ thống hở dạng:

Xét ổn định của hệ thống hở và hệ thống kín theo tiêu chuẩn Nyquist

1/ Xét ổn định của hệ thống hở:

Xét nghiệm của phương trình: 4 p 4  2 p 3  6 p 2  2 p  1  0 (**)

Phân tích cho thấy rằng nghiệm của phương trình (**) phân bố hoàn toàn bên trái trục ảo Điều này dẫn đến việc phương trình (*) có một nghiệm nằm trên trục ảo, trong khi các nghiệm còn lại hoàn toàn nằm bên trái trục ảo Do đó, hệ thống được xác định là ổn định.

2/ Xét ổn định của hệ kín:

Xây dựng đặc tính TBP ( Biểu đồ cực) cho hệ hở:

Hàm truyền tần số của hệ hở:

Tách phần thực và phần ảo của (17) bằng cách nhân cả tử và mẫu của nó với liên hợp của mẫu, ta đƣợc: W h ( j )  R ()  jI () (3-23)

Cho I() = 0 ta tìm đƣợc giá trị của tần số mà tại đó đặc tính TBP của hệ hở cắt trục thực Suy ra: 6 a 4 – 3 = 0   a = 0,841 (*)

Phương pháp quỹ đạo nghiệm số

3.6.1 Phương pháp xây dựng quĩ đạo nghiệm số

Xét hệ thống ĐKTĐ có phương trình đặc tính bậc n:

Nếu trong hệ thống có một thông số biến đổi thì phương trình đặc tính có dạng:

N(p) là đa thức toán tử có bậc n

M(p) là đa thức toán tử có bậc m (m  n)

Gọi: ''(j 1,2, ,m) pj  là các nghiệm của phương trình M(p) = 0

' pi (i = 1, 2,….,n) là các nghiệm của phương trình N(p) = 0 pi (i = 1, 2,….,n) là các nghiệm của phương trình A(p) = 0

Ta có thể biểu diễn M(p), N(p), A(p) qua dạng tích của các thừa số:

1- Xác định điểm xuất phát của quĩ đạo nghiệm số

Giá trị ban đầu  0 tương ứng với các điểm xuất phát của quỹ đạo Khi  0 theo (3.25), các nghiệm p i của phương trình đặc tính A(p) cũng là các nghiệm p, i của phương trình N(p) Do bậc của A(p) và N(p) đều bằng n, quỹ đạo nghiệm số sẽ có n điểm xuất phát.

Vậy: Ứng với giá trị  0 , quĩ đạo nghiệm số sẽ xuất phát từ n nghiệm p, i của phương trình N(p) = 0

2- Xác định điểm kết thúc của quĩ đạo nghiệm số

Các điểm kết thúc của quĩ đạo nghiệm số ứng với giá trị

Phương trình đặc tính (3.21) có thể viết:

Khi   theo (3.26) thì các nghiệm p i của phương trình đặc tính A(p) = 0 cũng chính là các nghiệm p,, j của phương trình M(p) = 0

3- Xác định số lượng quĩ đạo nghiệm trên mặt phẳng nghiệm

Phương trình A(p) = 0 có n nghiệm, được thể hiện qua n vị trí trên mặt phẳng nghiệm tương ứng với một giá trị  xác định Khi giá trị này thay đổi từ 0 đến , các nghiệm p i của A(p) = 0 cũng sẽ biến đổi, dẫn đến việc các vị trí của n nghiệm tạo thành n đường trên mặt phẳng nghiệm số.

Nếu m < n, quỹ đạo nghiệm số sẽ có m đường bắt đầu từ m nghiệm p, i và kết thúc ở m nghiệm p, j Vì quỹ đạo nghiệm số tổng cộng có n đường, nên sẽ còn lại (n-m) nghiệm p, j và hướng ra xa vô cùng.

- Vì các nghiệm của A(p) = 0 có thể có các nghiệm phức liên hợp nên các quĩ đạo nghiệm số sẽ đối xứng qua trục thực

4- Xác định các đường tiệm cận

Nếu quĩ đạo nghiệm số có (n-m) đường tiến ra xa vô cùng khi   , do đó ta cần phải tìm các đường thẳng tiệm cận cho (n – m) đường đó

Từ (3.25) ta có thể viết:

 m pm j pj pm pn n i pi pn m j p pj n i p pi

Thực hiện chia đa thức tử số và mẫu số của vế phải (3.23) sau đó chỉ lấy gần đúng hai số hạng đầu ta có:

Thừa số thứ hai ở vế phải của (3.29) có dạng một nhị thức Newton, nếu khai triển ra và chỉ lấy gần đúng hai số hạng đầu ta có: m n m j p j n i p i m p n 

Phương trình (3.32) là phương trình các đương tiệm cận của (n – m) quĩ đạo tiến ra xa vô cùng

Theo (3.32) với   0, p = R 0 = const, cho thấy rằng (n – m) đường thẳng tiệm cận đều đi qua một điểm trên trục hoành có hoành độ là R0 Những đường thẳng tiệm cận này hình thành một hình sao với (n– m) tia, trong đó mỗi tia tạo với trục hoành một góc nghiêng nhất định.

5- Xác định hướng dịch chuyển của quĩ đạo nghiệm

Từ phương trình đặc tính (3.19) ta viết thành:

Giả thiết p là số thực, ta xây dựng đồ thị của hàm f(p) = N(p)/M(p) Giao điểm của đường cong xác định nghiệm pi của A(p) = 0 ứng với trị số  xác định

- Từ đồ thị f(p) và các đường thẳng - tuỳ thuộc sự biến đổi của  mà ta xác định được hướng dịch chuyển của quĩ đạo

Trình tự xây dựng quỹ đạo nghiệm số là:

1/ Xác định điểm đầu, điểm cuối của quỹ đạo

- Viết phương trình đặc tính dạng : A(p) + *B(p) = 0

- Điểm đầu của quỹ đạo tương ứng với n nghiệm của A(p) = 0

- Điểm cuối của quỹ đạo tương ứng với m nghiệm của B(p) =0

2/ Xác định các đường thẳng tiệm cận của (n-m) quỹ đạo tiến ra  :

- Xác định hoành độ của tâm hình sao của các tia tiệm cận:

- Góc tạo bởi các tia của hình sao và trục hoành: 2 1 ( 0 , 1 , , 1 )

3/ Xác định điểm tách khỏi trục thực và hướng dịch chuyển của quỹ đạo:

- Vẽ đồ thị hàm để xác định hướng dịch chuyển của quỹ đạo

- Tính đạo hàm : ( ) 0 dp  p df để xác định điểm tách khỏi trục thực

- Nếu hàm số có nhiều điểm cực trị, ta chọn điểm có < 0 để phù hợp với phương trình (3-

4/ Xác định giao điểm của trục ảo và quỹ đạo nghiệm : Giải hệ phương trình để tìm  A ,

*Ví dụ 1: Xây dƣ̣ng quĩ đạo nghiệm số cho hệ thống có hàm truyền đạt hệ hở :

Hàm H(p) có ba điểm cực tại p1 = 0, p2 = -2, và p3 = -4, trong khi không tồn tại điểm không Điều này dẫn đến quỹ đạo nghiệm số của hệ kín có ba nhánh, tất cả đều tiến xa ra vô cùng.

Các nhánh quỹ đạo nghiệm số đều có chứa các đoạn thẳng trên trục thực, nối giữa các điểm p1 = 0, p2 = -2 và kéo dài đến nửa đường thẳng bên trái tại điểm p3 = -4 Đường tiệm cận của các nhánh đồng qui tại (0, 2, 4).

0     r và hợp với trục thực các góc :

Các nhánh giao nhau tại:

1  p là giao điểm, còn p 2 không thuộc về quĩ đạo nghiệm số nên bị loại

Tại giao điểm p 1 có r = 4 nhánh nên các nhánh đó hợp với nhau một góc bằng

 Cuối cùng, quĩ đạo nghiệm số cắt trục ảo tại :

*Ví dụ 2: Xây dựng quỹ đạo nghiệm số đối với hệ thống có hàm truyền đạt trạng thái hở:

Theo trình tự các bước xây dựng quỹ đạo nghiệm số, ta có:

1/ Xác định điểm đầu, điểm cuối của quỹ đạo:

- Phương trình đặc tính của hệ kín : 1) 0

- Điểm đầu của quỹ đạo:

- Điểm cuối của quỹ đạo : Phương trình B(p) = 1 0 Vậy, quỹ đạo nghiệm không có điểm kết thúc cố định p j ’’ , QĐNS có 3 đường   khi  

2/ Xác định các đường thẳng tiệm cận cho (n-m) đường  :

- Tâm của hình sao có hành độ:

- Hình sao này có 3 tia, mỗi tia của hình sao tạo với trục hoành những góc lần lƣợt là:

 3/ Xác định điểm tách khỏi trục thực và hướng dịch chuyển của quỹ đạo:

(   p p p p B p p A f khi p =(- +) f(p) cắt trục hoành ở 3 điểm: p1 ’

Khi giá trị của  tăng dần, hai nghiệm p1 ’ và p2 ’ sẽ tiến lại gần nhau cho đến khi  đạt giá trị -0 = f(p), tại đó chúng gặp nhau tại điểm cực trị p0 ’ Theo QĐNS, khi  = -0 = f(p), p1 ’ dịch sang trái và p2 ’ dịch sang phải Tại điểm gặp nhau p0 ’, nếu  lớn hơn 0, đường thẳng - chỉ cắt hàm f(p) tại p3 ’, dẫn đến phương trình Y(p) = 0 chỉ còn một nghiệm thực p3 ’, trong khi hai nghiệm còn lại p1 ’ và p2 ’ là hai nghiệm phức liên hợp.

Suy ra: Sau khi gặp nhau tại điểm p 0 ’ , QĐNS tách khỏi trục thực , trở thành 2 đường đối xứng nhau qua trục thực

+ Điểm chập p 0 ’ có hoành độ là nghiệm của phương trình ( ) 3p 2 120p5000 dp p df

’ sẽ hướng về nửa trái trục thực ( - ) 4/ Giao điểm của trục ảo và QĐNS:

Thế p = j A vào phương trình Y(p) = 0, ta có:

* Kết luận: Điều kiện để hệ thống ổn định là: 0<  = k/T 1 T 2