SKKN TINH SO DO GOC

Trong mäi trêng hîp t«i thêng lu ý c¸c em ®Õn chi tiÕt vÏ thªm h×nh phô th× ph¶i xuÊt ph¸t tõ yÕu tè gi¶ thiÕt träng t©m... TÝnh sè ®o gãc ANB.[r]

a, Tam giác:

+, Tổng số đo các góc trong của một tam giác bằng 1800

+, Số đo góc ngoài của tam giác bằng tổng số đo hai góc trong không kềvới nó

-, Với các đờng cao, phân giác, trung trực cũng tơng tự

+, Phơng pháp chứng minh:

-, Phơng pháp 1: Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau-, Phơng pháp 2: Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau-, Phơng pháp 3: Chứng minh tam giác có trung tuyến ứng vớimột cạnh đồng thời là đờng cao hoặc là đờng phân giác hoặc là đờngtrung trực

c, Tam giác vuông.

+, Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.

+, Tính chất:

-, Trong tam giác vuông tổng số đo hai góc nhọn bằng 900-, Trong tam giác vuông bình phơng độ dài cạnh huyền bằng tổngbình phơng độ dài mỗi cạnh góc vuông

+, Phơng pháp chng minh.

-, Phơng pháp 1: Chứng minh tam giác có một góc vuông-, Phơng pháp 2: Chứng minh tam giác có bình phơng độ dài mộtcạnh bằng tổng bình phơng độ dài mỗi cạnh còn lại

d, Tam giác vuông cân.

+, Định nghĩa: Tam giác vuông cân là tam giác cân có một góc vuông +, Tính chất:

-, Tam giác vuông cân có đầy đủ tính chất của tam giác cân, củatam giác vuông

-, Trong tam giác vuông hai góc nhọn bằng nhau và mỗi góc có số

đo bằng 450

+, Phơng pháp chng minh.

-, Phơng pháp 1: Chứng minh tam giác cân có một góc vuông.-, Phơng pháp 2: Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau vàmỗi góc có số đo bằng 450

e, Tam giác đều.

+, Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

+, Trong tam giác cân

-, Hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau

-, Hai phân giác ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau

-, Hai đơng cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau

( Sử dụng các kiến thức về hai tam giác bằng nhau dễ dàng chứng minh đợccác tính chất này)

+, Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 300 thì tam giác đó là một nửacủa tam giác đều có cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông

+, Trong tam giác đờng phân giác của hai góc ngoài tại hai đỉnh và đờngphân giác góc trong tại đỉnh còn lại cùng đi qua một điểm

+, Thiết lập mối quan hệ giữa các đơn vị kiến thức phân tích đợc từgiả thiết.

+, Đặt vấn đề cho các đơn vị kiến thức khai đợc với các kết luận củabài khi đó xảy ra hai khả năng

Kết luận đợc giải quyết sau khi thiết lập quan hệ các kiến thức

Kết luận cha đợc giải quyết sau khi thiết lập quan hệ các kiến thức+, Khi kết luận của bài toán cha đợc giải quyết thì học sinh cầnphải phân tích thật sâu kết luận theo sơ đồ phân tích đi lên, xem kết luậncủa bài liên quan đến đơn vị kiến thức nào

+, Với những bài toán khó học sinh cần phải thiết lập cả hai sơ đồ +, Trong việc phân tích học sinh cần cố gắng tìm ra “Sợi chỉ” liênkết giữa giả thiết và kết luận đó chính là “Một hoặc nhiều tam giác cân

đã biết số đo một góc”

+, Học sinh phải luôn định hình đợc rằng khi gặp các bài tập khóviệc phân tích tìm tòi tối u giả thiết vẫn cha đủ để đa ra hớng đi, khi đógiáo viên lu ý các em đến việc vẽ thêm hình phụ

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC có BAC 500, ABC 200 Trên đờng phân giác BE

của tam giác ta lấy điểm F sao cho FAB  200, Gọi N là trung điểm của AF,

CKB  KCB

= 1600  KCB

*, ACK tính thế nào thì các em thấy bối rối, bởi trong quá trình phân

tích chủ yếu các em nghĩ đến kiến thức tổng ba góc trong tam giác để tính số

đo góc Khi đó tôi hớng dẫn các em nghĩ đến kiến thức

*, Trong một tam giác cân chỉ cần biết số đo một góc ta sẽ tính đ ợc số

đo của các góc còn lại

*, Phân tích giả thiết, thiết lập quan hệ các kiến thức khai thác theo sơ

đồ và hệ thống

+, A 500 và B  200 C  1100

+, Tia BE là phân giác góc B CBE ABE 100

+, FAB  200 AFE ABF FAB 300 ( Tính chất góc ngoài)

AEK FEK  AEF 

BEC = BEK ( g - c - g) BK = BC BKC cân tại B+, B  200 CKB KCB  1800  20 : 2 800  0

Lời giải chi tiết.

Gọi CK cắt BE tại M

Ta có : EFA FBA FAB  100200 300( Góc ngoài của FAB)

Mà : EAF  500  200 300

Suy ra : EAF EFA 

Nên : EAF cân tại A ( Có hai góc bằng nhau)

Do đó : AEF 1200 ( Vì EAF EFA = 300)

Mặt khác: EN là trung tuyến của EAF

Hay : EN là phân giác AEF của EAF

Suy ra : AEK KEF = 600

Cho tam giác ABC cân có B C   500 Trên cạnh BC lấy điểm D sao

cho CAD  300 Gọi I là giao điểm của AD và BE Tính số đo các góc trong

của tam giác IDE

ra lời giải, tất nhiên khi các em đợc tiếp cận lí thuyết của dạng toán này thìphần nào cũng dự đoán là IDE cân tại I Sau đó có những em biết tam giácIDE cân đợc là do chứng minh đợc 2 cạnh bằng nhau chứ không thông quagóc Khi đó tôi dẫn dắt các em tiếp tục phân tích sâu các giả thiết của bài theosơ đồ hoặc hệ thống kiến thức và kết hợp các kiến thức đó để tìm tòi hớng đi.

em đến việc vẽ thêm hình phụ

+, Ta cần có ID = IE mà ID nằm trên DA còn IE nằm trên EB nên lấy Ktrên IB sao cho IK = IA, khi đó ta chỉ việc chứng minh DA = EK là xong

+, Từ IK = IA và KIA EID 1000 AIK cân tại I

IAK IKA400

KAE KEA 700 KAE cân tại K AK = KE

+, Vấn đề đợc đặt ra là chứng minh AD = AK, đến đây có rất nhiều

ph-ơng án vẽ thêm hình phụ nh vẽ tam giác đều cạnh AB, tam giác đều cạnh DAhoặc cạnh DB song tôi vẫn muốn hớng các em vào việc lầm xuất hiện tam giáccân biết số đo một góc Khi đó các em suy nghĩ và phát hiện ra vẽ tia phângiác của góc DAK

+, Vẽ tia AM là phân giác DAK 400 MAB MBA  300

ABM cân tại M MB = MA và AMB 1200

Trên IB lấy điểm K sao cho IK = IA

Suy ra: IAK cân tại I

Mà : AIK DIE 1000 ( Hai góc đối đỉnh)

Do đó: IAK IKA 400 ( Hai góc đáy tam giác cân)

Kẻ tia AM là phân giác góc IAK ( M thuộc IB)

Nên : MAI MAK 200 ( Tính chất tia phân giác)

Suy ra: MAB IAB IAM    300

Do đó: MAB cân tại M ( Vì có hai góc bằng nhau)

MAD MAK  200

AM là cạnh chung AMD AMK 1200

AMD = AMK ( g - c - g)Nên : AD = AK

Lại có: AKE cân tại K ( Vì có hai góc bằng nhau)

Vậy : IDE IED  400 (ĐPCM)

3.3.2 Dạng 2 Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông

có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.

+, Trong phân tích và khai thác khá triệt để giả thiết mà không thiết lập

đợc mối quan hệ để giải quyết vấn đề thì các em cần phân tích kết luận (theosơ đồ phân tích đi lên)

+, Kết hợp sơ đồ phân tích giả thiết và phân tích kết luận mà vẫn cha tìmtòi đợc hớng giải thì các em cần đặc biệt lu ý đến việc vẽ thêm yếu tố phụ

+, Khi vẽ thêm yếu tố phụ thì cũng phải phân tích thật sâu giả thiết vàkết luận của bài toán để tìm ra “ Sợi chỉ” liên hệ giữa các đơn vị kiến thứcnhằm vẽ chính xác sát thực với nhu cầu chánh đợc việc vẽ xa rời thực tế

Hình phụ vẽ không thể thoả mãn nhiều điều kiện, mà chỉ

vẽ thoả mãn một điều kiện Các hình phụ thờng đợc vẽ là

+, Vẽ tia phân giác của góc+, Vẽ đờng trung trực của đoạn thẳng

+, Vẽ đờng vuông góc với đờng thẳng+, Vẽ đờng thẳng song song với đờng thẳng+, Vẽ tạo với tia cho trớc một góc có số đo xác định.

+, Sau khi vẽ thêm hình phụ phải phân tích sâu chi tiết đó nhằm tìm ra

và thiết lập đợc hệ thống các đơn vị kiến thức để giải bài

+, Đờng cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằngnhau

ABM cân tại A (Đ/cao đồng thời là P/giác) AH đồng thời là trung

đã có nhiều em nghĩ đến vẽ thêm đờng phụ và các em tự đặt cho mình câu hỏi

? Hình phụ phải liên quan đến MAC MAH  HAB và liên quan đến

Khi đó có sơ sơ đồ phân tích

AM  AC tại K VgAHM = VgAKM MK = MH

MK =

1

2MC C = 300 HAC  600

HAM MAC 300  HAB 300  BAC900  B 600

Lêi gi¶i chi tiÕt:

VÏ MK vu«ng gãc víi AC t¹i K

Suy ra: AH lµ trung tuyÕn øng víi c¹nh BM

Hay : H lµ trung ®iÓm cña BM

AM lµ c¹nh huyÒn chung

Nªn : VgAHM = VgAKM ( C¹nh huyÒn gãc nhän)

Suy ra: HM = KM ( Hai c¹nh t¬ng øng)

VËy : C  300,B 60 ,0 A900

Bµi to¸n 2:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Về phía ngoài của tam giác ABC ta

vẽ các tam giác đều ABE và ACF H là trực tam giác ABE, N là trung điểm BC.Tính các góc của tam giác FNH

ở đây hình vẽ gợi đến cho các em FNH là một nửa của tam giác đều

và nh thế muốn phân tích tìm tòi lời giải thì ta thờng vẽ thêm hình để xuất hiệnnửa của tam giác đều ( phần còn lại)

Khi đó hầu hết các em thờng phát hiện ra việc vẽ thêm nh sau

Trên tia đối của tia NH lấy điểm K sao cho NH = NK Sau khi vẽ hìnhphụ yêu cầu các em phân tích sâu vào yếu tố vẽ thêm và kết hợp với giả thiếtcủa bài thì các em sẽ định hình đợc sơ đồ giải bài toán

Lời giải chi tiết.

Trên tia đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK

Suy ra: CK = BH = HA ( Hai cạnh tơng ứng)

Mặt khác: FAH HAB FAC BAC 

Hay: = 300 + 600 + BAC < 1800 (1)

Lại có: NCK NBH CBA HBA CBA   300

Lại có: HFK HFC CFK   HFC HFA AFC  600

Nên: FHK là tam giác đều

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC có B 45 ,0 C 1200 Trên tia đối của tia CB lấy

điểm D sao cho CD = 2CB Tính số đo góc ADB

+, CBH B1HAB  HAB  150 BHA cân tại H  HB = HA

 AHD vuông cân tại H

 HDA HAD  450  ADC ADH HDC 450 300 750

Lời giải chi tiết:

Ta có: ACB ACD  1800 ( Hai góc kề bù)

Mà : ACB 1200 ( Gt)

Nên : ACD 600

Kẻ DH vuông góc với CD tại H

Từ (1) và (2) suy ra: BHD cân tại H

Hay : HD = HA ( Cạnh bên tam giác cân) (*)

Ta có: ABH ABC HBC  450  300 150

Nên : AHB cân tại H

Suy ra: HA = HB ( Cạnh bên tam giác cân) (**)

Từ (*) và (**) suy ra AHD vuông cân tại H

Do đó: HAD HDA  450( Hai góc đáy tam giác vuông cân)

Vậy : ADB ADH HDC  450 300 750

Bài toán 2

Cho tam giác ABC có góc BAC tù, đờng cao AH, đờng phân giác BD

sao cho AHD 450 Tính số đo góc ADB.

kiến thức bổ sung trong đó có tính chất “Trong tam giác đờng phân giác củahai góc ngoài tại hai đỉnh và đờng phân giác góc trong tại đỉnh còn lại cùng điqua một điểm”.

Lời giải chi tiết.

Kẻ BK vuông góc với AC tại K

Ta có: AHD45 ;0 AHC900 (Giả thiết)

Nên :

452

AHD CHD  AHC Hay : Tia HD là phân giác của góc AHC

Xét : AHB có

Tia BD là phân giác góc trong tại đỉnh B vàTia HD là phân giác góc ngoài tại đỉnh H cắt nhau tại D

Do đó: Tia AD là phân giác góc ngoài tại đỉnh A

Suy ra: HAC xAC ( Tính chất tia phân giác)

Mà : HAC KBH  ( Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc)

Hay : HAC KBD DBH  

Mặt khác: xAC ADB ABD ( Tính chất góc ngoài của tam giác)

Lại có: HAC xAC

ABD DBH ( Vì tia BD là tia phân giác góc ABC)Nên : KBD ADB 

Do đó: KBD vuông cân tại K

Vậy : KBD KDB 450

3.3.4 Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đều.

Những bài toán cho ở dạng này thờng không thể hiện rõ hớng đi khi các

em vận dụng lí thuyết cơ bản và lời giải thông thờng nên với những bài toán ra

ở dạng này tôi thờng xuyên yêu cầu học sinh tuân thủ theo hớng đi

Phân tích giả thiết Tổng hợp

Quy nạp

+, Phân tích thật kỹ và sâu sắc giả thiết bài toán cho

+, Tổng hợp, quy nạp các giả thiết phân tích đợc để tìm ra các mắt xíchcủa một vấn đề mới hớng tới kết luận của bài toán

Có thể tìm ra lời giải của bài toán

Có thể tìm ra nhu cầu và cách vẽ thêm đờng phụ( thờng vẽthêm tam giác đều)

(Sau khi vẽ thêm hình phụ nếu có thì yêu cầu học sinh tiếp tục suy nghĩnhanh theo quy trình

Phân tích giả thiết Tổng hợp

Quy nạp

từ đó học sinh sẽ hình thành đợc lời giải)

+, Đôi khi có những bài toán cơ bản hơn thì học sinh thì học sinh có thểdùng sơ đồ phân tích đi lên

Bài toán 1

Cho tam giác ABC vuông ở A và B 750 Trên tia đối của tia AB lấy

điểm H sao cho BH = 2AC Tính số đo góc BHC

ra vấn đề có góc 750, góc 150 ( 750 - 150 = 600) liên quan đến điều gì? lập tức

có nhiều học sinh nảy ra suy nghĩ đến tam giác đều Nhng vấn đề đặt ra là tamgiác đều cạnh là đoạn thẳng nào? Trong mọi trờng hợp tôi thờng lu ý các em

đến chi tiết vẽ thêm hình phụ thì phải xuất phát từ yếu tố giả thiết trọng tâm

Ví dụ:Trong bài này thì B 750,C  150 lấy cạnh tam giác đều là BC.

Vẽ tam giác BCE đều ( E nằm trên nửa mặt phẳng chứa BC)

Kết hợp giả thiết: BH = 2BC lấy K là trung điểm của BH

BK = HK = BC

Từ đó học sinh hình thành sự phân tích sâu việc vẽ thêm và tìm ra hớng giảiquyết của bài toán

Lời giải chi tiết

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ tam giác đều BCE

Vì : EBC ECB 600 750

Nên : Điểm E nằm ở miền trong tam giác HBC

Gọi K là trung điểm của BH

Suy ra: BAC EKB 900( Hai góc tơng ứng)

Xét BEH có

EK là trung tuyến ứng với cạnh BH

KE là đờng cao ứng với cạnh BH

Suy ra: HEB = HEC ( c - g - c)

Hay : BHE CHE  150 ( Hai góc tơng ứng)

Vậy : BHC 300

Bài toán 2

Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, điểm E nằm trong tam giác sao

cho EAC ECA  150 Tính số đo góc AEB.

Ví dụ: Khi các em đi vẽ tam giác AEK đều cạnh AE, hiển nhiên các em

sẽ coi điểm K nằm trong tam giác ABE nhng thực tế cha chắc vì điểm K có thểtrùng với một dỉnh của tam giác ABE, nằm ngoài tam giác ABE do số đo gócAEB và góc EAB cha biết ( hoặc khi đã biết nhng số đo lại nhỏ hơn hoặc bằng

600)

Nên bài này tôi sẽ lu ý các em ba vấn đề trong suy nghĩ giải toán

+, Luôn quan tâm tới sự xuất hiện của tam giác đều mà khôngphải là vẽ trực tiếp

+, Yếu tố vẽ thêm không đợc xa giả thiết trọng tâm và đặc biệtcần xuất hiện tam giác mà ta có thể chứng minh đợc tam giác đó là tam giác

đều

+, Trong bài toán này có sự xuất hiện của tam giác vuông cân và

ở cạnh AC có giả thiết EAC ECA 150.

Khi đó có khá nhiều học sinh đã nghĩ đến việc lấy điểm K trong tam

giác ABC sao cho KAB KBA  150, từ đó các em lập đợc sơ đồ phân tích để

giải bài toán

Lời giải chi tiết:

Trong ABC lấy điểm K sao cho KBA KAB 150

Suy ra: AK = AE ( Hai cạnh tơng ứng)

Mà : KAE BAC KAB EAC    

Do đó: BEK BAK 150( Hai góc tơng ứng)

Vậy : BEA BEK KEB   600150 750

Bài tập tơng tự

Bài toán 1.

Cho tam giác ABC cân tại A, trên AB lấy điểm D sao cho AD = DC = CB Tính

số đo các góc của tam giác ABC

Bài toán 2.

Cho tam giác ABC với B C  500 N là một điểm thuộc miền trong của tam

giác ABC thoả mãn  

NBC  NCB Tính số đo góc ANB.

Bài toán 3.

Cho tam giác ABC nhọn, ở miền ngoài của tam giác ta vẽ các tam giác

đều ABC’ và ACB’ Gọi K Và L theo thứ tự là trung điểm của C’A và B’C.Trên BC lấy điểm M sao cho BM = 3MC Tính số đo các góc của tam giácKLM

Bài toán 4.

Cho hai tam giác ABD và CBD, A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối

góc DAC và số đo góc ADB

Bài toán 5.

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, BAC 200 Lấy các điểm M, N theo

thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BCM 50 ,0 CBN 600 Tính số đo gócMNA

Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 200 Các điểm M, N theo thứ tự thuộc

các cạnh bên AB, AC sao cho BCM 50 ,0 CBN 600 Tính MNA.

Bài toán 10.

Cho tam giác ABC cân tại A có BAC 200 Trên nửa mặt phẳng không chứa B

có bờ AC, vẽ tia Cx sao cho góc ACx có số đo bằng 600, trên tia ấy lấy điểm D

sao cho CD = CB Tính ADC.

+, Cung cấp dến cho các em đầy đủ kiến thức cơ bản và các kiến thức

bổ sung có liên quan

+, Phân dạng toán cụ thể để các em làm quen với việc nhìn nhận, hìnhthành, t duy, suy luận lôgíc

+, Xây dựng và chỉ rõ cách phân tích giả thiết, phân tích kết luận, cáchkết hợp các giả thiết khai thác đợc, cách đặt vấn đề, cách hình thành sơ đồphân tích, cách đặt câu hỏi và tự trả lời

+, Hình thành cho học học sinh một kỹ năng phân tích để vẽ hình phụ

và tạo cho các em một thói quen, một cảm giác khi nào cần vẽ hình phụ

+, Đa đến cho các em các hình phụ thờng đợc vẽ là gì và nhấn mạnhmỗi hình phụ đợc vẽ chỉ đợc thoả mãn một yêu cầu

IV Kết quả

Qua việc chọn lọc, sắp xếp hệ thống và phân loại nh trên đã trình bầy,tôi thấy khả năng phát hiện, tổng hợp kiến thức lí thuyết, phán đoán tìm lờigiải của học sinh có tốt hơn Các em hào hứng, say mê học tập và chịu khónghiên cứu, t duy lôgíc để tìm lời giải và mở rộng ra các bài toán tơng tự

Cụ thể qua kiểm tra học sinh lớp 7A trờng THCS Phùng Hng, tôi thu đợckết quả nh sau:

Xếp loại Trớc khi dạy thực nghiệm Sau khi dạy thực nghiệm