ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi.... T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.[r]
Trang 2II giải quyết vấn đề
1 Các kiến thức cần nắm
1.1 Các hệ thức cơ bản
+ cos2α +sin2α=1 + 1 + tg2 = 1
cos2α ( α ≠
π
2 + kπ) + tg cotg = 1 ( kπ
2 ) + 1 + cotg2 =
1 sin2α ( α ≠ kπ )
1.2 Công thức cộng góc
+ cos( ) = cos cos ∓ sin sin
+ sin( ) = sin cos cos sin
+ tg ( ) = tg α ± tg β
1 ∓ tgα tg β ( α ; β ≠
π
2 + kπ ) + cotg( ) = tg α ± tg β
1 ± tg α tg β ( α ± β ≠
π
2 + kπ ) ( α ; β ≠ kπ )
1.3 Công thức nhân
+ sin2 = 2 sin cos
+ cos2 = cos2 - sin2 = 2cos2 - 1 = 1 - 2sin2
+ tg2 = 2 tg α
1 − tg2α ( α ≠
π
4 + k
π
2 ) + cotg2 = cot g2α −1
2 cot gα ( α ≠
kπ
2 ) + sin3 = 3sin - 4sin3
+ cos3 = 4cos3 - 3cos
+ tg3 =
α ≠ π
6 + k
π
3
3 tg α − tg3α 1− 3 tg3α ¿
)
1.4 Công thức hạ bậc
+ cos2 = 1+cos 2 α
1 −cos 2 α
2 + tg2 = 1 −cos 2 α
1+cos 2 α ( α ≠
π
2 + kπ )
1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cos + cos = 2cos α+β
2 cos
α − β
2 + cos - cos = - 2sin α+β
2 sin
α − β
2 + sin + sin = 2sin α+β
2 cos
α − β
2 + sin - sin = = - 2cos α+β
2 sin
α − β
2 + tg tg = sin(α ± β )
cos α cos β ( α ; β ≠
π
2 + kπ )
1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cos.cos = 1
2 [ cos (α+β )+cos(α − β )]
+ sin.sin = 1
2 [ cos (α − β )+cos(α+β )]
+ sin.cos = 1
2 [cos (α+β )+cos(α − β )]
2 Nội dung của sáng kiến
Qua một quá trình nghiên cứu tham khảo bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng ph ơng pháp lợng giác ở nhiều sách đều đa ra các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp lợng giác rất mơ hồ cha có hệ thống, cha phân chia thành các dạng bài tập Với các kiến thức về chứng minh bất đẳng thức bằng ph ơng pháp lợng giác mà tôi đợc biết tôi đã phân chia thành 5 dạng bài tập cơ bản mà tôi sẽ giới thiệu sau đây
Trang 3Trong mỗi dạng bài tập tôi đều đa ra phơng pháp chọn cách đặt để học sinh nhanh chóng chuyển 1 vế của bất
đẳng thức đại số phải chứng minh về biểu thức lợng giác sau đó biến đổi để đánh giá bất đẳng thức lợng giác bằng các bất đẳng thức lợng giác đơn giản nh:
| sin | 1;| cos | 1; sin n 1; cos n 1 ( n N *)
* Để học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống tôi đã lập bảng một số dấu hiệu nhận biết sau:( Giả sử các hàm số lợng giác sau đều có nghĩa)
Biểu thức đại số Biểu thức lợng giác tơng tự Công thức lợng giác
cos2t
4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t
2 x
1 − x2
2 tgt
1 − tg2t
2 tgt
1 − tg2t = tg2t
2 x
1 − x2
2 tgt
1 − tg2t
2 tgt 1+tg2t = sin2t
x + y
1 − xy
tg α +tg β
1 − tg α tg β
tg α +tg β
1 − tg α tg β = tg(+)
cos2α − 1
1 cos2α − 1 = tg
2
một số phơng pháp lợng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt
¿
x=sin α y=cos α
¿ {
¿ với [0, 2]
b) Nếu thấy x2 + y2 = a2 (a > 0) thì đặt
¿
x=a sin α y=a cos α
¿ {
¿
với [0, 2]
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2 + b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng: − √ 2 ≤ S = a(c+d) + b(c-d) √ 2
Giải:
Đặt
¿
a=sin u
b=cos u
¿ {
¿
và
¿
c=sin v d=cos v
¿ {
¿ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
S = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v)
S= √ 2 sin [ ( u+v )− π
4 ] ∈[− √ 2 , √ 2] ⇒− √ 2≤ S=a(c +d )+b(c − d)≤ √ 2 (đpcm)
VD2: Cho a2 + b2 = 1 Chứng minh rằng: ( a2+ 1
a2)2+ ( b2+ 1
b2)2≥ 25
2
Giải:
Đặt a = cos và b = sin với 0 2 Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi
Trang 4( a2
+ 1
a2)2+ ( b2
+ 1
b2)2= ( cos2α+ 1
cos2α )2+ ( sin2α + 1
sin2α )2
= cos4 + sin4 + 1
cos4α +
1 sin4α +4=cos
4
α+sin4α + cos
4α+sin4α
cos4α sin4α + 4
= ( cos4α+sin4α ) ( 1+ 1
cos4α sin4α ) + 4
= [ (cos2α+sin2α)− 2 cos2α sin2α] (1+ 1
cos4α sin4α )+4
= ( 1 − 1
2 sin
2
2α ) ( 1+ 16
sin42 α ) + 4 ≥ ( 1 − 1
2 ) (1+16)+4= 17
2 +4=
25
2 (đpcm) Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bớc nữa để xuất hiện a2+b2=1
VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 Chứng minh rằng:
A = |a2−b2
+2√3 ab −2(1+2√3)a+(4 −2√3)b+4√3 −3|≤ 2
Giải:
Biến đổi điều kiện: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0 (a-1)2 + (b-2)2 = 1
Đặt
¿
a −1=sin α
b −2=cos α
⇒
¿ a=1+sin α b=2+cos α
⇒ A= | sin2α − cos2α+2 √ 3 sin α cos α |
¿ {
¿
A ¿ | √ 3 sin 2α −cos 2 α | =2 | √ 3
2 sin 2 α −
1
2 cos 2 α | =2 | sin (2 α − π
6 ) | ≤2 (đpcm)
VD4: Cho a, b thoả mãn : |5a + 12b + 7| = 13
Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a) - 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2 + b2 + 2(b-a) - 1 (a-1)2 + (b + 1)2 1
Đặt
¿
a −1=R sin α
b+1=R cos α
¿ {
¿
với R 0
a=R sin α +1 b=R cos α −1
b +1 ¿2= R2
¿
¿
¿ {
a− 1 ¿2+ ¿
⇔ ¿
Ta có: |5 a+12 b+7|=13⇔|5(R sin α+1)+12(R cos α − 1)+7|=13
| 5 R sin α+12 R cos α | =13 ⇔1=R | 13 5 sin α+
12
13 cos α | = R | sin ( α+arccos 5
13 ) | ≤ R
Từ đó (a-1)2 + (b+1)2 = R2 1 a2 + b2 + 2(b - a) - 1 (đpcm)
II Dạng 2: Sử dụng tập giá trị ¿ sin α∨≤1 ;∨cosα∨≤ 1
1 Ph ơng pháp :
Trang 5a) Nếu thấy |x| 1 thì đặt
2 2
b) Nếu thấy |x| m ( m 0) thì đặt
2 2
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p + (1-x)p 2p |x| 1 ; P 1
Giải:
Đặt x = cos với [0, ], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cos)p + (1-cos)p
= ( 2 cos2α
2 )p+ ( 2 sin2α
2 )p=2p( cos2 pα
2 + sin
2 pα
2 ) ≤2p( cos2α
2 + sin
2α
2 ) = 2p
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: √ 3− 2≤ A=2 √ 3 a2+2 a √ 1− a2≤ √ 3+2
Giải:
Từ đk 1 - a2 0 |a| 1 nên
Đặt a = cos với 0 √ 1− a2 = sin Khi đó ta có:
A= 2 √ 3 a2+2 a √ 1− a2= 2 √ 3 cos2α+2cos α sin α= √ 3(1+cos 2α )+sin2 α
= 2 [ √ 3
2 cos 2 α+
1
2 sin 2 α ] + √ 3=2 sin ( 2 α+ π
3 ) + √ 3 ⇒ √ 3 −2 ≤ A ≤ √ 3+2 (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng:
1+a ¿3
¿
1 − a ¿3
¿ ≤2 √ 2+ √ 2− 2a2(1)
¿
√¿
√ 1+ √ 1− a2
¿
Giải:
Từ đk |a| 1 nên
Đặt a=cos với [0,] √ 1− a= √ 2 sin α
2 ; √ 1+a= √ 2cos
α
2 ; √ 1− a2=sin α (1) √ 1+2sin α
2 cos
α
2 .2 √ 2 [ cos3α
2 − sin
3α
2 ] ≤ 2 √ 2+2 √ 2sin α
2 cos
α
2
( sin α
2 +cos
α
2 )( cos α
2 −sin
α
2 )( cos2α
2 + sin
α
2 cos
α
2 +sin
2 α
2 ) ≤ 1+sin α
2 cos
α
2
( sin α
2 +cos
α
2 )( cos α
2 −sin
α
2 ) =cos2α
2 −sin
2α
2 = cos α ≤ 1 đúng (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: S =
1− a2
¿3
¿ ( − a3¿ )+3 ( a − √ 1− a2)
√¿
¿
4 ¿
¿
Giải:
Trang 6Từ đk |a| 1 nên:
Đặt a = cos với [0, ] √ 1− a2 = sin Khi đó biến đổi S ta có:
S= | 4 (sin3α − cos3α)+3 (cos α − sin α) | = | (3 sin α −4 sin3α)+(4 cos3α −3 cos α ) |
= |sin 3 α+ cos3 α|=√2|sin(3 α + π
4) |≤√2 (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng A = | a √ 1− b2+ b √ 1− a2+ √ 3 ( ab − √ (1− a2)(1− b2) ) | ≤ 2
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a2 0 ; 1 - b2 0 |a| 1 ; |b| 1 nên
Đặt a = sin, b = sin với , [ − π
2 ;
π
2 ]
Khi đó A = | sin α cos β+cos α sin β − √ 3 cos(α+β) | =
= | sin(α+β )− √ 3 cos (α +β) | =2 | 1
2 sin(α +β)− √
3
2 cos (α+β ) | =2 | sin [ ( α +β)− π
3 ] | ≤ 2
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| 1 a [1; 3]
Giải:
Do a [1, 3] nên |a-2| 1 nên ta đặt a - 2 = cos a = 2 + cos Ta có:
A =
2+cos α ¿2+ 45(2+cos α)− 26 2+cos α ¿3− 24 ¿ = | 4 cos3α − 3 cos α | = | cos 3 α | ≤ 1
4 ¿
¿
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A =
2
2 a a 3 a 3 2 a [0, 2]
Giải:
Do a [0, 2] nên |a-1| 1 nên ta đặt a - 1 = cos với [0, ] Ta có:
A =
1 − cos α ¿2
¿
2(1+cos α)− ¿ = | √ 1 −cos2α − √ 3 cos α |
√¿
¿
= |sin α −√3 cos α|=|2(12sin α −
√3
2 cos α) |=2|sin(α+ π
3) |≤2 (đpcm)
III Dạng 3: Sử dụng công thức: 1+tg 2 = 1
cos2α ⇔ tg2α= 1
cos2α −1 ( α ≠
π
2 + kπ )
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu |x| 1 hoặc bài toán có chứa biểu thức √ x2−1
thì đặt x = 1
cos α với ¿∪¿
b) Nếu |x| m hoặc bài toán có chứa biểu thức √ x2−m2
thì đặt x = m
cos α với ¿ ∪ ¿
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A =
a
a a
Trang 7Do |a| 1 nên :
Đặt a = 1
cos α với ¿∪¿ √ a2− 1= √ tg2α =tg α Khi đó:
A = | √ a2− 1+ √ 3
a | = | ( tg α+ √ 3)cos α | = | sin α+ √ 3 cos α | =2 | sin ( α + π
3 ) | ≤ 2 (đpcm)
VD2: Chứng minh rằng: - 4 A = 5 − 12 √ a2−1
a2 9 a 1
Giải:
Do |a| 1 nên:
Đặt a = 1
cos α với ¿ ∪ ¿ √ a2− 1= √ tg2α=tg α Khi đó:
A = 5 − 12√a2−1
a2 = (5-12tg)cos
2 = 5cos2-12sincos= 5 (1+cos 2 α)
2 − 6 sin 2α
= 5
2 +
13
2 ( 13 5 cos 2 α −
12
13 sin 2 α ) = 5
2 +
13
2 cos ( 2 α+arccos 5
13 )
- 4 = 5
2 +
13
2 ( −1)≤ A=
5
2 +
13
2 cos ( 2 α+arccos 5
13 ) ≤ 5
2 +
13
2 1=9 (đpcm)
VD3: Chứng minh rằng: A = | √ a2− 1+ √ b2− 1
ab | 1 a b ; 1
Giải:
Do |a| 1; |b| 1 nên
Đặt a = 1
cos α ; b =
1
cos β với ¿∪¿ Khi đó ta có:
A = | ( tg α+tg β)cos α cos β | = | sin α cos β+sin β cos α | = | sin(α+β ) | ≤ 1 (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + a
√a2−1 ≥2√2
1
a
Giải:
Do |a| > 1 nên:
Đặt a = 1
cos α với ( 0 ; π
2 ) ⇒ a
√ a2−1 =
1
cos α .
1
√ tg2α =
1
sin α Khi đó:
√ a2−1 =
1
cos α +
1
sin α ≥ 2. √ 1
cos α .
1
sin α =
2 √ 2
√ sin 2 α ≥2 √ 2 (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng y √ x2− 1+4 √ y2−1+3 ≤ xy √ 26 x y ; 1
Giải:
Bất đẳng thức √ x2− 1
1
x ( 4 √ y2−1
3
y ) ≤ √ 26(1)
Do |x|; |y| 1 nên Đặt x = 1
cos α ; y=
1
cos β với , ( 0, π
2 ) Khi đó: (1) S = sin + cos(4sin + 3cos) √ 26
Trang 8Ta có: S sin + cos √ ( 42+32)(sin2β+cos2β )=sin α +5 cos α
(1 5 )(sin cos ) 26
(đpcm)
IV Dạng 4: Sử dụng công thức 1+ tg 2 = 1
cos2α
1 Ph ơng pháp:
a) Nếu x R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tg với ( − π
2 ,
π
2 )
b) Nếu x R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtg với ( − π
2 ,
π
2 )
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S =
1+x2¿3
¿
¿ ≤ 1
√¿
3 x
√ 1+x2− 4 x
3
¿
¿
Giải:
Đặt x = tg với ( − π
2 ,
π
2 ) √ 1+x2= 1
cos α , khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tg.cos - 4tg3.cos3| = |3sin - 4sin3| = |sin3| 1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A =
1+2 a2
¿2
¿
3+8 a2+12 a4
¿
Giải:
Đặt a √ 2 = tg với [ − π
2 ,
π
2 ] thì ta có: A =
1+tg2α ¿2
¿ 3+4 tg2α+3 tg4α
¿
=
cos2α +sin2α ¿2
¿ sin2α+cos2α ¿2−2 sin2α cos2α
¿
3 cos4α +4 sin2α cos2α+3 sin4α
¿
= 3 - sin22 α
2 =3 −
1
2 ≤ A=3 −
sin22 α
2 ≤ 2−
0
2 =3 Với α = 0 a = 0 thì MaxA = 3 ; Với α = π
4 a =
1 2
❑
thì MinA = 5
2
VD3: Chứng minh rằng: | ( a+b)(1− ab)
( 1+a2)(1+b2
) | ≤ 1
2 a, b R
Giải:
Đặt a = tg, b = tg Khi đó | ( a+b)(1− ab)
( 1+a2)(1+b2
) | = | ( tg α+tg β )(1 − tgα tg β)
(1+tg2α)(1+tg2β ) |
= | cos2α cos2β sin(α +β)
cos α cos β .
cos α cos β − sin α sin β
Trang 9= | sin(α+β )cos (α +β) | = 1
2 | sin [ 2(α +β) ] | ≤ 1
2 (đpcm)
VD4: Chứng minh rằng:
¿ c − a∨ ¿
√ ( 1+c2)(1+a2
) ∀ a , b , c
¿ b − c∨ ¿
√ (1+b2)(1+c2
)
≥ ¿
√ ( 1+a2
)( 1+b2 ) + ¿
¿
Giải:
Đặt a = tg, b = tg, c = tg Khi đó bất đẳng thức
¿tg γ − tg α∨ ¿
√(1+ tg2γ )(1+tg2α)
¿tg β − tg γ∨ ¿
√(1+tg2β )(1+ tg2γ) ≥¿
¿tg α − tg β∨ ¿
√(1+tg2α)(1+tg2β )+¿
¿
| cos α cos β sin(α − β )
cos α cos β | + | cos β cos γ sin( β − γ)
cos β cos γ | ≥ | cos γ cos α sin(γ −α )
cos γ cos α |
|sin(-)|+|sin(-)| |sin(-)| Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(-)|= |sin[(-)+(-)]| = |sin(-)cos(-)+sin(-)cos(-)|
|sin(-)cos(-)|+|sin(-)cos(-)|=|sin(-)||cos(-)|+|sin(-)||cos(-)|
|sin(-)|.1 + |sin(-)|.1 = |sin(-)| + |sin(-)| (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: √ ab+ √ cd ≤ √ ( a+c)(b+d )(1) ∀ a , b , c, d >0
Giải:
(1) √ ab
( a+c )(b+d) + √ cd
( a+c )(b+d) ≤ 1 ⇔ 1
√ ( 1+ c
a )( 1+ b
d )
ab
√ ( 1+ c
a )( 1+ b
d )
≤ 1
Đặt tg2= c
a , tg2=
d
b với , ( 0, π
2 ) Biến đổi bất đẳng thức
√ (1+tg2α)(1+tg2β ) +
√ tg2α tg2β
√ (1+tg2α)(1+tg2β ) = √ cos2α cos2β + √ sin2α sin2β ≤ 1
cos cos + sin sin = cos(-) 1 đúng (đpcm)
Dấu bằng xảy ra cos(-) = 1 = c
a =
d b
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 6 a+4∨a2−1∨ ¿
a2+1
¿
Giải:
Đặt a = tg α
2 Khi đó A = 6 tg
α
2 + 4∨tg
2α
2 −1∨ tg2α ¿
2 + 1
=3
2 tg α 2 1+tg2α 2 + 4 | tg2α
2 −1
tg2α
2 + 1 |
¿
A = 3sin + 4 |cos| 3 sin + 4.0 = 3sin 3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
Trang 10A = (3sin + 4 |cos|) (3 + 4)(sin + cos) = 25 A 5
Với sin = 1 a = 1 thì MinA = - 3 ; với
¿ cos α∨ ¿
4
sin α
3 = ¿
thì MaxA = 5
V Dạng 5: Đổi biến số đa về bất đẳng thức tam giác
1) Ph ơng pháp:
a) Nếu
¿
x ; y ; z>0
x2
+ y2
+ z2+2 xyz=1
¿ {
¿
thì
∃ ΔABC :
A ; B;C ∈(0 ; π
2 )
x=cos A ; y=cos B ; z=cos C
¿ {
b) Nếu
¿
x ; y ; z >0
x+ y+ z=xyz
¿ {
¿
thì
∃ ΔABC :
A ; B;C ∈(0 ; π
2 )
x=tgA ; y=tgB ; z=tgC
¿ {
c) Nếu
¿
x ; y , z >0
xy +yz+zx =1
¿ {
¿
thì
∃ Δ ABC:
¿ A ; B ;C ∈(0 ; π
2 )
x=cot gA ; y=cot gB ; z=cot gC
¿
¿
¿
A ; B ;C ∈(0 ;π )
¿
¿
x=tg A
2 ; y =tg
B
2 ; z =tg
C
2
¿
¿
¿
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
S = 1
x +
1
y +
1
z −3(x + y +z )
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg α
2 ; y = tg
β
2 ; z = tg
γ
2 với , , ( 0, π
2 )
Do xy + yz + zx = 1 nên tg α
2 tg
β
2 + tg
β
2 tg
γ
2 + tg
γ
2 tg
α
2 = 1
tg α
2 ( tg β
2 + tg
γ
2 ) = 1 - tg β
2 tg
γ
tg β
2 + tg
γ
2
1 − tg β
2 tg
γ
2
tg α 2
⇔ tg ( β 2 +
γ
2 ) =cot g α
2
tg ( β 2 +
γ
2 ) =tg ( π 2 +
α
2 ) ⇔ β
2 +
γ
2 =
π
2 −
α
2 ⇔ α+β +γ
π
2 ⇔α +β+γ=π
S = 1
x +
1
y +
1
z −3(x + y +z ) = cotg
α
2 + cotg
β
2 + cotg
γ
2 -3 ( tg α
2 + tg
β
2 + tg
γ
2 )
S = ( cot g α
2 − tg
α
2 ) + ( cot g β
2 − tg
β
2 ) + ( cot g γ
2 − tg
γ
2 ) −2 ( tg α
2 + tg
β
2 + tg
γ
2 )
Trang 11S = 2(cotg+cotg+cotg) - 2 ( tg α
2 + tg
β
2 + tg
γ
2 )
S = (cotg+cotg-2tg γ
2 ) + (cotg+cotg-2tg
α
2 ) +(cotg+cotg-2tg
β
2 )
Để ý rằng: cotg + cotg = sin(α+β )
sin α sin β =
2sin γ 2sin α sin β =
2sin γ cos (α − β)−cos (α+ β)
1 −cos (α +β) =
2sin γ 1+cos γ =
4 sin γ
2 cos
γ
2 2cos2γ
2
= 2 tg γ
2 ⇒ cot gα+cot gβ −2 tg γ
2 ≥0
T đó suy ra S 0 Với x = y = z = 1
√ 3 thì MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và x
1 − x2+
y
1 − y2+
z
1 − z2=
4 xyz (1− x2)(1− y2)(1 − z2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg α
2 ; y = tg
β
2 ; z = tg
γ
2 với , , ( 0, π
2 )
Khi đó tg = 2 x
1 − x2 ; tg =
2 x
1 − x2 ; tg =
2 x
1 − x2 và đẳng thức ở giả thiết
2 x
1 − x2 + 2 x
1 − x2 + 2 x
1 − x2 = 8 xyz
(1− x2)(1 − y2)(1− z2) tg+tg+tg = tg.tg.tg
tg + tg = - tg(1-tg.tg) tg α +tg β
1 − tg α tg β = - tg tg(+) = tg(-)
Do , , ( 0, π
2 ) nên + = - + + = Khi đó ta có:
tg α
2 tg
β
2 + tg
β
2 tg
γ
2 + tg
γ
2 tg
α
2 = 1 xy + yz + zx = 1 Mặt khác:
(x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = 1
2
z − x ¿2
y − z ¿2+ ¿ ≥ 0
x − y ¿2+ ¿
¿
¿
S = x2 + y2 + z2 xy + yz + zx = 1 Với x = y = z = 1
√ 3 thì MinS = 1
VD3: Cho
¿
x , y , z>0
x+ y+ z=1
¿ {
¿
Chứng minh rằng: S = x
x +yz +
y
y +zx +
z
z +xy ≤
9 4
Giải:
Đặt √ yz
x = tg
α
2 ; √ xz
y =tg
β
2 ; √ xy
z = tg
γ
2 với , , ( 0, π
2 )
Trang 12Do √ yz
x . √ zx
y + √ zx
y . √ xy
z +. √ xy
z . √ yz
x = x + y + z = 1
nên tg α
2 tg
β
2 + tg
β
2 tg
γ
2 + tg
γ
2 tg
α
2 = 1
tg ( β 2 +
γ
2 ) = cotg α
2 tg ( β 2 +
γ
2 ) = tg ( π 2 −
α
2 ) β
2 +
γ
2 =
π
2
-α
2
α+β +γ
π
2 ⇔α +β+γ=π
S = x
x +yz +
y
y +zx +
z
z +xy =
1
2 [ ( x+yz 2 x −1 ) + ( y +zx 2 y − 1 ) + ( z +xy 2 z −1 ) ] + 3
2
= 1
2 ( x − yz x − yz +
y − zx
y +zx +
z − xy
z +xy ) + 3
2 =
1
2 ( ❑
❑ )
= 1
2 (cos + cos + cos) +
3
2 =
1
2 [ (cos α + cos β ) 1−( cos α cos β −sin α +sin β) ] + 3
2
cos α+cos β
( ¿ )
¿
( ¿ 2+1 ¿ + 1
2 (sin
2
α +sin2β)−cos α cos β ] + 3
2 =
3
4 +
3
2 =
9 4 1
2 ¿ 1
2 ¿
(đpcm)
3 Các bài toán đ a ra trắc nghiệm
Trớc khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của 2 lớp 11A1 và 11A2 ở trờng tôi, tôi đã
ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trớc trong thời gian 2 tuần Với các bài tập sau:
Bài 1: Cho a2 + b2 = 1 CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| 13
Bài 2: Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5 CMR: 2a + b 10
Bài 3: Cho
¿
a ;b ≥0 a+b=2
¿ {
¿ CMR: a4 + b4 a3 + b3
Bài 4: Cho a; b ; c 1 CMR: ( a − 1
b )( b − 1
c )( c − 1
a ) ≥ ( a − 1
a )( b − 1
b )( c − 1
c )
Bài 5: Cho
¿
x ; y ; z>0
x2
+ y2 + z2 + 2 xyz=1
¿ {
¿
CMR:
a) xyz 1
8
b) xy + yz + zx 3
4 c) x2 + y2 + z2 3
4