Viết phương trình đường thẳng đi qua A và chia ABC thành 2 phần có tỉ số diện tích bằng 2.. Viết phương trình các đường thẳng AB, AC2[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TPHCM ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Trường PTTH Phú Nhuận Môn: TOÁN; Khối A – A 1 – D
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 1
1 2
x
x y
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M trên sao (C) cho khoảng cách từ điểm I(–1 ; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
2sin x sin 2x
2 Giải hệ phương trình :
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
2
4
sin x
2sin x cos x 3
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp OABC có 3 cạnh OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một tại O,
OB = a, OC = a 3và OA =a 3 Gọi M là trung điểm của cạnh BC
1 Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC )
2 Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và OM
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x2 y2 z2 Tìm giá trị lớn nhất của 3
biểu thức
5
P xy yz zx
x y z
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mp tọa độ Oxy, cho ABC có A(2 ; 5), B(–4 ; 0), C(5 ; –1) Viết phương trình đường thẳng
đi qua A và chia ABC thành 2 phần có tỉ số diện tích bằng 2.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 5;0
Viết phương trình đường thẳng d qua A biết d cắt Oz và tạo với Oz một góc 600
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm các số phức z thỏa mãn |z- 1| |= z+3|
và | | z 2+ = z2 2
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm
16 23
;
27 9
H
, phương trình
cạnh BC: x – 6y + 4 = 0 và trung điểm cạnh AB là
5 5
;
2 2
K
Viết phương trình các đường thẳng AB, AC
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2 x 4 y 6 z 2 0 và mặt phẳng (P): x + y + z + 2012 = 0
a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S)
b) Từ M thuộc (P) vẽ tiếp tuyến MN đến mặt cầu (S) ; N(S) Xác định tọa độ điểm M sao cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
x y x y
Trang 2
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
ĐÁP ÁN Câu I.
(2,0đ)
3 2 1
1 2
x x
x y
xlim y 2
Tiệm cận ngang: y 2
xlim y1 ; lim yx 1
Tiệm cận đứng: x 1
0,25
2
) 1 (
3 '
x
y
> 0, xD
Hàm số tăng trên từng khoảng xác định
0,25
x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y
-2 -1
1 2 3 4 5
0,25
2 Nếu
) ( 1
3 2
;
0
x x
thì tiếp tuyến tại M có phương trình
) ( ) 1 (
3 1
3
0 0
x x x
x
hay 3 ( ) ( 1 )2( 2 ) 3 ( 0 1 ) 0
0
x
0,25
Khoảng cách từ I(–1 ; 2) tới tiếp tuyến là
0 2 0
4 0
0 4
0
0 0
) 1 ( ) 1 ( 9
6 )
1 ( 9
1 6 1
9
) 1 ( 3 ) 1 ( 3
x x
x
x x
x x
Theo bất đẳng thức Côsi
6 9 2 ) 1 ( ) 1 (
0 2 0
Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi và chỉ khi
2 0 2 0
9 (x 1) (x 1)
(x0 + 1)2 = 3 x0 1 3
0,25
Vậy có hai điểm M : M 1 3; 2 3
hoặc M 1 3 ; 2 3 0,25
Câu II
(2,0đ)
1 Giải phương trình:
2sin x sin 2x
Điều kiện:
sin x 0 cos x 0
pt sin 2x sin 2x.sin x cos x 1 2cos 2x2
0,25
2
cos 2x 0 2cos x cos x 1 0 : VN
0,25
y 2
+
–
Trang 3k x
2 Giải hệ phương trình:
Khi x = 0 y = 0
Khi x 0 , ta có
3 3
3
x
Mà
x
0,25
Do đó
Ta có
y 2
y 2 2
x 1 x 2
x
Vậy HPT có nghiệm (0 ; 0) , (1 ; 2) , (2 ; 2)
0,25
Câu III
(1,0đ)
Tính tích phân I =
2
4
sin x
2sin x cos x 3
2
2 4
dx
Đặt t = sinx – cosx dt = (cosx + sinx)dx
Đổi cận: x =4
t = 0
x = 2
t = 1
I =
1
2 0
dt
2
0,25
Đặt t 2 tan u dt 2 1 tan u du 2
I =
1
2
2 0
2 1 tan u 1
du
2 tan u 2 2
0,25
1 arctan 2 0
1 u 2
=
arctan
Câu IV
(1,0đ)
Trong tam giác OBC, vẽ đường cao OK
Trong tam giác OAK, vẽ đường cao OH
Chứng minh OH vuông góc mp (ABC)
0,25
OH OA OK OA OB OC 2
5
a
Suy ra d(O, (ABC)) = OH =
5 5
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó O(0;0;0),
(0; 0; 3); ( ; 0; 0), (0; 3; 0),
0,25
z A
3
a
3
C
N O
M a
x B
Trang 4a a
, ( 3; 1; 1)
n là VTPT của mp ( OMN )
Phương trình mặt phẳng (OMN) qua O với vectơ pháp tuyến : 3 n xy z 0
Ta có:
( ; ( ))
5
15
5
a
MN là đường trung bình của tam giác ABC AB // MN
AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) =
15
5
a
0,25
Câu V
(1,0đ)
Ta có :
x y z 2 x2 y2 z2 x y z 2 3
xy yz zx
Đặt t = x + y + z, ta có:
2
2
3 t 3
0,25
2
P f t
,
3
'
Vậy ta có: P f t f 3 14
3
.
0,25
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 Vậy
14 max P
3
Câu VI.a
(2,0 điểm)
1 TH1: Ta có:
AMC AMB
S S
Trong ABC, dựng đường cao AH
1 2
1 2
MB
BM AH
0,25
Khi đó:MC 2MB ( 1; 1 )
3
M
Pt đường thẳng d1: 16x – 9y – 4 = 0
0,25
TH2:
AMB AMC
S S
Cm tương tự:
2
3
M
Pt đường thẳng d2: x – 2 = 0
0,5
2 Gọi K là giao điểm của d và trục Oz K(0 ; 0 ; k)
0
2
1
2 27
k
AK k
k
3
k
0,25
Trang 5 0;0; 3 , 2;5; 3
Phương trình d :
;
Trang 6Câu VII.a
(1,0 điểm) Gọi z = a + bi (a, b ), ta có:
|z- 1| |= z+3|
1
a
b R
0,25
| | z + = z 2
2 1 0
a ab
1 0
a
0 2
a b
Vậy z = –1
0,5
Câu VI.b
(2,0đ)
1 đt AH qua H vuông góc BC (AH) : 6x + y + 1 = 0
A thuộc AH suy ra A(a ; –6a – 1 )
B thuộc BC suy ra B(6b – 4 ; b)
K trung điểm AB suy ra a = –1 ; b = 0
0.25
Suy ra A(–1 ; 5) , B(–4 ; 0)
Pt (AB): 5x – 3y + 20 = 0
0.25 đường cao CH qua H , vuông góc AB : (CH) : 3x + 5y – 11 = 0 0.25
HC cắt BC tại C suy ra C(2; 1) suy ra pt (AC) : 4x + 3y – 11 = 0 0.25
2 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song mặt phẳng (P) và tiếp xúc (S)
b) Từ M thuộc (P) vẽ tiếp tuyến MN đến mặt cầu (S) ; N(S) Xác định tọa độ điểm
M sao cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất
MN2 = IM2 – R2
MN nhỏ nhất khi IM nhỏ nhất suy ra M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (P).
0,5
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:
x 1 y 2 z 3
x y z 2012 0
Vậy
2017 2008 2023
0,25
Câu VII.b
(1,0 điểm)
x y x y
x y x y
ïïí
( )
2
x y x y
ïí
2
2
2
x y
x y
0,25
2
9 3
x
y hay
1 1
x y
So điều kiện x > 1 ; y > 1 hệ phương trình có nghiệm
9 3
x y
0,25
Trang 7Đáp án HKG cổ điển cách 2
b) OM = MN = a , ON =
a 6
2 SOMN =
2
a 15 8
OB = OM = MB = a OBM đều SOBM =
2
a 3 4 Gọi I là trung điểm OC NI là đường trung bình của OAC NI (OBC) và NI =
a 3 2
VN.OBM =
1
3 SOBM.NI =
3
a 8 Mặt khác, VN.OBM =
1
3 SOMN.d[B,(OMN)] d[B,(OMN)] =
NOBM OMN
3V
3a 15
MN là đường trung bình của tam giác ABC AB // MN
AB //(OMN) d(AB;OM) = d(AB;(OMN)) =
3
15
d B NOM