Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính

Phương trình sai phân tuyến tính không chỉ có ứng dụng trong Toán học thuần tuý mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học như: Sinh học, Kinh tế, Hóa học,… Phương trình s

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

KHOA TOÁN - TIN -

NGUYỄN THỊ ĐỨC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH

SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngành: Sư phạm Toán học

Phú Thọ, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

KHOA TOÁN - TIN

-

NGUYỄN THỊ ĐỨC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH

SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngành: Sư phạm Toán học

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: ThS TRẦN ANH TUẤN

Phú Thọ, 2018

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài khoá luận

Trong những năm gần đây, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết kỹ thuật số và ứng dụng của nó trong khoa học cũng như trong cuộc sống hàng ngày mà lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng của nó đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước, cũng như các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên của các trường Đại học, Cao đẳng trên cả nước

Phương trình sai phân tuyến tính không chỉ có ứng dụng trong Toán học thuần tuý mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học như: Sinh học, Kinh tế, Hóa học,… Phương trình sai phân tuyến tính không phải ở bậc Đại học hay cao hơn Đại học mới xuất hiện mà phương trình sai phân đã xuất hiện ở bậc Trung học phổ thông cũng như trong các kì thi học sinh giỏi Toán thông qua những bài toán hay và khó về dãy số, giới hạn, tích phân,… được cho dưới dạng một phương trình sai phân tuyến tính hay sử dụng phương trình sai phân tuyến tính để giải Qua đó ta thấy phương trình sai phân tuyến tính còn có cả ứng dụng trong giải các bài toán sơ cấp để phục

vụ cho việc giảng dạy Toán học phổ thông Phương trình sai phân và ứng dụng của nó rất quan trọng, nó không những góp phần giải quyết các bài toán dãy số mà còn giúp giải một số bài toán khác như: phương trình hàm, đa thức, tích phân,…

Chính vì vậy mà nhiệm vụ nghiên cứu những ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính đã được rất nhiều các thầy, cô giáo và các nhà khoa học trên thế giới quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên đây vẫn là một nhiệm vụ cấp thiết và quan trọng cần được nghiên cứu, tìm tòi hơn nữa Việc tổng hợp

có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính và tổng hợp một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính sẽ giúp mọi người

có thêm tài liệu để nghiên cứu về phương trình sai phân tuyến tính, để từ đó

mở rộng các ứng dụng đó trong thực tiễn giảng dạy, đưa những ứng dụng của khoa học vào đời sống Đó chính là những lí do em chọn nghiên cứu đề tài

khoá luận “ Một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính ”

2 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

2.1 Ý nghĩa khoa học

Khoá luận nêu được một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong Toán học minh họa qua các ví dụ cụ thể và nêu một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong Sinh học và Kinh tế

2.2 Ý nghĩa thực tiễn

Khoá luận tạo điều kiện cho việc dạy và học Toán tốt hơn, đạt kết quả cao hơn và là tài liệu tham khảo cho thầy cô và các bạn sinh viên ngành Sinh học, Kinh tế

3 Mục tiêu khoá luận

Minh họa một số ứng dụng của phương trình sai phân tuyến tính trong Toán học thông qua các ví dụ cụ thể và nêu một số ứng dụng của phương trình sai phân trong Sinh học và Kinh tế

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ĐẠT ĐƯỢC

CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH

1.1 Dãy số, hàm lưới và sai phân

Như vậy ta có thể xem dãy số là một hàm đối số tự nhiên n

Dãy  u n xác định trên tập có dạng khai triển là: u u1, 2, ,u n,

Ví dụ 1.1: Dãy số tự nhiên xác định bởi u n n, n

Ta gọi: h là bước lưới theo không gian,  là bước lưới theo thời gian

Giao điểm của các đường lưới xx m và tt n được gọi là điểm lưới m n , 

Tập hợp các điểm lưới m n được gọi là lưới, kí hiệu là ,  h

Hàm u x t tại điểm lưới  ,  m n có giá trị ,  u mh n ,  được kí hiệu là u m n

Sai phân hữu hạn cấp k của hàm số  x n là sai phân của sai phân cấp

k 1 của hàm số  x n (với k  ), kí hiệu là 2 k x n

k c

Trong đó:  k x n là sai phân cấp k của x , n k là bậc của phương trình sai

phân

Định nghĩa 1.6

Phương trình sai phân tuyến tính của hàm x là một hệ thức tuyến tính n

giữa các giá trị của hàm x n tại các điểm khác nhau

Dạng: L x h( n)a x0 n k a x1 n k 1 a x k n  f n. (2) Trong đó: a a0, , ,1 a k (với a0 0, a k 0) là các hệ số biểu thị bởi hằng số

cho trước hay các hàm số của n ;

h: khoảng cách giữa các mối, còn gọi là bước lưới, h x n1x n ; L x là h n

toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm số x n xác định trên lưới có bước lưới h ;

n

f là một hàm số của biến n ; x n là ẩn số cần tìm

Định nghĩa 1.7

- Nếu f  n 0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

- Nếu f  n 0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

- Nếu f  n 0:

i) a a0, , ,a1 k là các hằng số, a0 0, a k 0 thì (2) trở thành

L x h( n)a x0 n k a x1 n k 1 a x k n  0 (3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng

ii) a a0, , ,1 a là các hàm của n thì (2) là phương trình sai phân tuyến k

tính với hệ số biến thiên

Hàm số x thoả mãn (3) được gọi là nghiệm tổng quát của phương n

trình sai phân tuyến tính thuần nhất (3) nếu với mọi tập giá trị ban đầu

0, , ,1 k 1

x x x  ta đều xác định được duy nhất các tham số C C1, 2, ,C để k

nghiệm x trở thành nghiệm riêng của (3), tức là đồng thời thoả mãn (3) và n

Nghiệm tổng quát của (2) là: x n xn x*n

Trong đó: x n là nghiệm tổng quát của (3), x*n là nghiệm riêng của (2)

Định lí 1 2

Nghiệm tổng quát của (3) có dạng: xn C x1 n1C x2 n2  C x k nk

Trong đó: x n1,x n2, ,x nk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (3) và

1, 2, , k

C C C là các hằng số tuỳ ý

Định lí 1.3

Xét phương trình đặc trưng: L ha0k a1k1 a k 0 (4)

Trường hợp 1: Nếu (4) có k nghiệm thực khác nhau là  1, 2, ,k thì hệ

 1n, 2n, ,k n là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (3)

Khi đó nghiệm tổng quát của (3) là xn C1 1n C2 2n  C kk n

Trong đó C là các hằng số tuỳ ý ( với i i1,k )

Trường hợp 2: Nếu (4) có nghiệm thực j bội s thì ngoài nghiệm n j ta bổ sung thêm s 1 nghiệm nn j, n2n j, , n s1n j cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (4)

Trong đó: C C C là các hằng số tuỳ ý ( với i, 1j, 2j i1,k )

1.2.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng x n*

* Phương pháp chọn (hệ số bất định)

Trong một số trường hợp đặc biệt hàm f n có thể tìm x*n đơn giản hơn

Để xác định các tham số trong các dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số bất định

Trường hợp 1: Khi f n P n m( )là đa thức bậc m của , n m 

- Nếu (4) không có nghiệm   1; ta chọn x *n Q n m( )

- Nếu (4) có nghiệm  bội s ; ta chọn 1 x*n n Q n s m( )

Trường hợp 2: Khi f n n P n m( ),  0, m ,P n m( ) là đa thức bậc m của

n

- Nếu (4) đều có các nghiệm thực khác  ; ta chọn x n* n Q n m( )

- Nếu (4) có nghiệm  bội s ; ta chọn x*n n sn Q n m( )

Trường hợp 3: Khi f n cosnx+ sinnx , (với ,  là các hằng số)

1

1

0

0

k k

x x y

Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q không suy biến sao cho QAQ-1 =

 Trong đó  là ma trận đường chéo Gioocđan

Thực hiện phép đổi biến un Qy Fn, n Qfn

ta được:

1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng

1.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng

ax  bx  hoặc x n1 qx n, trong đó a, b hay q là các hằng số khác 0

* Nghiệm tổng quát x n của phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng

Ta có: x n xn x n* Trong đó: x là nghiệm tổng quát của phương trình n

sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất với hệ số hằng, x*n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số hằng

* Nghiệm riêng x n* của phương trình sai phân tuyến tính cấp một không thuần nhất

Trường hợp 1: f n P n m( ) là đa thức bậc m của ,n m 

- Nếu  1 thì x*n Q n m( )

1.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng

* Nghiệm tổng quát x n của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng

Ta có: x n xn x n* Trong đó: x là nghiệm tổng quát của phương trình n

sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất với hệ số hằng, x là nghiệm riêng của n*

phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất với hệ số hằng

* Nghiệm riêng x của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai không thuần *n nhất

Trường hợp 1: f n P n m( ) là đa thức bậc m của ,n m 

- Nếu  1 thì x*n Q n m( ), Q n là đa thức bậc m( ) m của n

- Nếu  1 là nghiệm đơn thì x n* nQ n m( )

- Nếu  1 là nghiệm kép thì x*n n Q n2 m( )

Trường hợp 2: f n n P n m( ), 0,m ,P n m( ) là đa thức bậc m của n

- Nếu   thì x n* n Q n m( ), Q n là đa thức bậc m( ) m của n

- Nếu có một nghiệm đơn  thì x*n nn Q n m( )

- Nếu có nghiệm kép   thì x n* n2n Q n m( )

Trường hợp 3: f n P m(n)cos n Q l(n)sinn, ( với P n Q n tương ứng m( ), l( )

là các đa thức bậc m, l của n) Ký hiệu kmaxm l, 

- Nếu  cos isin , i2  1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì x n* T n k( )cos n nR ( )sin  k n n

- Nếu  cos isin , i2   là nghiệm của phương trình đặc trưng 1thì *

( )cos n R ( )sin

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương một của khóa luận đã trình bày tóm lược những kiến thức cơ bản, trọng tâm về phương trình sai phân tuyến tính để sử dụng ở chương hai

Ba nội dung chủ yếu, cốt lõi của chương là:

 Các kiến thức cơ bản về phương trình sai phân tuyến tính

 Phương pháp giải dẫn đến nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp một với hệ số hằng và có ví dụ minh hoạ cụ thể

 Phương pháp giải dẫn đến nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TUYẾN TÍNH TRONG GIẢI TOÁN

2.1 Tìm giới hạn của dãy số

Bài toán: Cho  x n thoả mãn f x x( n, n1,x n2)0 Tìm lim n

u x v

cos2

22

n

x n

n n

u u

Giải

Từ giả thiết:

2 1 1

kiện ban đầu: u 1 0 và u   2 3

Nhân cả hai vế của (*) với 3

2

n n

n

x x

Đối với dạng này ta xét thêm một giá trị x gọi là nghiệm riêng của phương *n

trình sai phân Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi:

n

x c x Trong đó nghiệm riêng x*n được xác định như sau:

- Nếu a  thì nghiệm riêng b 0 *  

7:

n

x x

Phương pháp giải:

Số hạng tổng quát của dãy số là:

n n

n

n

b d a b

b a

a a

n n

x x

Gọi x*1n là nghiệm riêng của phương trình ax n1bx n d1 1n

Gọi x*2n là nghiệm riêng của phương trình ax n1bx n d22n

Gọi x *k n là nghiệm riêng của phương trình ax n1bx n d kk n

Khi đó nghiệm riêng của phương trình (1) sẽ là x n* x*1n x*2n x*3n  x*n k

x x

Phương pháp giải:

Gọi x*1n là nghiệm riêng của phương trình ax n1bx n P n k 

Gọi x*2n là nghiệm riêng của phương trình ax n1bx n dn

Khi đó số hạng tổng quát của dãy được xác định bởi: x n c.n x*1n x n*2

Từ giá trị của x0 tìm được giá trị c

Ví dụ 2.6:

1

3:

x x

Gọi x*2n là nghiệm riêng của phương trình x n15x n 2.3n x*2n  3n

x x

Ta tìm a n từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:  

    3

1

a n a n n Phương trình thuần nhất: a n 1a n  0

Phương trình đặc trưng: k  1 0 k 1

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: a n C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng:

40

A A

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: a n C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng:

Phương trình đặc trưng: k  1 0 k 1

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: a n C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng:

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: a n C

Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng:

Từ (1), ta có: sx n1 psx n qsy n (5) Thế (5) vào (4), ta được: x n2 ps x n1rq ps x n (6) (6) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

 

2cos3

n x

n n

n n

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 2

2

n n n n

x y

2.5 Giải các bài toán về tích phân

Các bài tập tính tích phân dưới đây sử dụng phương pháp truy hồi để giải các phương trình sai phân tuyến tính, từ đó tính được các tích phân đã cho

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta thu được: I n n 1I n 2, n 2

1

n n

Tính I:

Đặt:

2 3

2

322

11

n n

m n

n n n

k n

n n

2.6 Giải các bài toán về phương trình hàm

Trong bài toán giải phương trình hàm, ẩn hàm là hàm số với đối số xác định trên các tập số thực hay trên tập con của tập số thực Khi mà ẩn hàm của

phương trình hàm có đối số xác định trên tập  thì nó chính là dãy số với vai trò là nghiệm của phương trình sai phân Như thế việc sử dụng phương trình sai phân để giải bài toán về phương trình hàm với ẩn hàm có đối

số trên tập số thực, đó chính là phương pháp nội suy

n

a x

a

Do hàm f liên tục nên ta suy ra:   lim   lim  5 1

Giả sử tồn tại hàm số f n  thoả mãn yêu cầu bài toán

Nghiệm tổng quát của phương trình f n 1nf n  là 0

n n n

u u u

Mặt khác: 2 2  2

1 1

Suy ra: u n abn.1n abn, (Trong đó a, b là các hằng số tuỳ ý)

Từ các giá trị ban đầu xác định được: u n  1 2003n

Thử lại ta thấy hàm f x  1 2003x thoả mãn yêu cầu bài toán

Bài tập tham khảo

coscos 2

x x

22

22

u u

u u

n

n n

n

u u

Phần hai của chương nêu việc sử dụng phương trình sai phân tuyến tính

để giải 6 dạng bài tập về tìm số hạng tổng quát của một dãy số

Phần ba của chương nêu ứng dụng của phương trình sai phân trong một

số bài tập tính tổng của một dãy số

Phần bốn của chương nêu phương pháp giải một số hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một nhờ phương trình sai phân tuyến tính

Phần năm của chương nêu việc sử dụng phương trình sai phân tuyến tính để giải một số bài toán liên quan đến tích phân truy hồi

Phần cuối của chương nêu việc sử dụng phương trình sai phân tuyến

tính để giải các bài toán về phương trình hàm

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG CÁC LĨNH VỰC KHÁC

3.1 Ứng dụng của phương trình sai phân trong sinh học

3.1.1 Sự phân chia tế bào

Giả sử một tế bào phân chia đồng thời, mối tế bào đó sinh ra một lượng

là a  tế bào con Ta đặt lượng tế bào trong từng thế hệ tương ứng với chỉ 2

số dưới là 1, 2, , n thì khi đó S1, S2, , S n là số lượng tế bào riêng biệt trong thế hệ thứ nhất, thứ 2, , thứ n

Theo giả thiết, ta có phương trình biểu diễn thế hệ tiếp theo là:

1 2

S   S (3.1) Giả thiết rằng ban đầu có S 0 99 tế bào, quần thể sẽ lớn như thế nào sau n thế hệ Sử dụng phương trình (3.1) được kết quả sau:

Từ (3.2) thì qua n  thế hệ thì ta có số lượng tế bào sẽ là: 7 S 7 99.27

Trong trường hợp tổng quát số lượng tế bào được xác định bởi phương trình sau:

a  S là hằng số qua các thế hệ tiếp theo

3.1.2 Sự sinh trưởng của một quần thể côn trùng

Côn trùng nói chung có nhiều giai đoạn trong chu kỳ sống của nó từ