Trªn tia ®èi cña tia DC lÊy ®iÓm P tïy ý.[r]
Trang 1UBND huyện lục yên đề thi chọn học sinh giỏi cấp thcs phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Lục Yên – Năm học 2007-2008
môn: toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm): Giải phơng trình:
a) √2 x2 +5 x+1=√x +1
b) √3 x2 +6 x +7+√5 x2 +10 x+21=5 −2 x − x 2
Bài 2 (2 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức sau:
A=√x −2004+√2005 − x
b) Tìm giá trị lớn nhất của:
B= 3 x2−6 x +17
x2−2 x +5
Bài 3 (1,5 điểm): Cho M và N thứ tự là trung điểm của các cạnh AD và BC của
hình chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia DC lấy điểm P tùy ý Giao điểm của PM
và AC tại Q
Chứng minh rằng: góc QNM = góc MNP
Bài 4 (1,5 điểm): Cho hình vuông ABCD, một đờng thẳng qua A cắt các cạnh BC
và CD lần lợt ở E và F
Chứng minh rằng: 1
AE2+
1
AF2=
1
AB2
Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh rằng với mọi n là số lẻ thì n3−3 n2−n+3 chia hết cho 48 b) Cho dãy số:
¿
102; 108 ; ; 1002 }
A=¿
1) Tính số phần tử của A
2) Tính số hạng thứ 151 của dãy trên
Trang 2UBND huyện lục yên kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thcs phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Lục Yên – Năm học 2007-2008
Hớng dẫn chấm Môn: toán Bài 1 (3 điểm):
a) √2 x2 +5 x+1=√x +1
⇔{2 x x ≥ −12
x ≥− 1
¿ Thoa man
¿
x=− 2(Loai )
¿
¿
x=0¿
x ( x +2)=0 ⇔¿
⇔¿
(0,5 điểm)
Vậy phơng trình có một nghiệm x = 0 (0,25 điểm) b) √3 x2+6 x +7+√5 x2+10 x+21=5 −2 x − x2
x +1¿2+4
¿
x+1¿2+ 16
¿
x +1¿2
5 ¿
3 ¿
⇔√ ¿
(0,5 điểm)
Vì x+1¿2≥ 0
3 ¿ ; x+1¿2≥ 0
5 ¿ nên: (0,25 điểm)
x+1¿2+ 4
¿
3 ¿
√ ¿
x+1¿2+ 16
¿
5 ¿
√ ¿
(0,25 điểm)
Do đó vế trái của phơng trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải rõ ràng là không lớn hơn 6 (0,25 điểm) Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra: x = -1 (0,25 điểm)
Bài 2 (2 điểm):
a) A=√x −2004+√2005 − x
Điều kiện: 2004 ≤ x ≤ 2005
A ≥0, ⇒ A2 =1+2√(x −2004 )(2005− x) (0,25 điểm)
Do đó: A ≥1 , dấu “=” xảy ra khi:
x=2004 x=2005
(x − 2004)(2005 − x)=0 ⇔¿
(0,25 điểm) Vậy Min A = 1
+) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm, ta có:
Trang 32√(x − 2004)(2005 − x)≤ x −2004+2005− x=1 (0,25
điểm)
Do đó: A2≤2 ⇒ A ≤√2 Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi:
x − 2004=2005− x
⇔2 x=4009 ⇔ x=4009
2 (0,25 điểm)
Vậy Max A = √2
b) B= 3 x
2
−6 x +17
x2−2 x +5
x −1¿2+4
¿
¿
x2−2 x +5=3+
2
¿
(0,5 điểm)
Max B=31
2 khi x = 1 (0,5
điểm)
Bài 3 (1,5 điểm): I là giao của AC và MN
Theo đề bài MA = MD; NB = NC ⇒ MN là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD
Kẻ HI MN (H QN) ⇒ HI là trục đối xứng (0,25
điểm)
⇒ HI // BC, theo Talét ta có: QH
QN=
QI
QC (1) (0,25 điểm)
MN // BC, theo Talét ta có: QI
QC=
QM
QP (2) (0,25 điểm)
Từ (1) và (2) ⇒ QH
QN=
QM
QP ⇒HM // NP (Theo Talét)
⇒ Góc M1 = góc N2 (so le trong) (3) (0,25 điểm) Mặt khác, I là giao của hai trục đối xứng ⇒ IN = IM
Mà IH MN ⇒ Δ HMN cân ⇒ góc M1 = góc N1 (4) (0,25
điểm)
Từ (3) và (4) ⇒ góc N1 = góc N2 hay góc QNM = góc MNP (đpcm) (0,25
điểm)
Dựng AM AF (M DC)
Ta có: góc A1 + góc A2 = 1v; góc A3 + góc A2 = 1v (0,25 điểm)
⇒ góc A3 = góc A1; có AB = AD (gt) (1) (0,25
điểm)
⇒ Tam giác vuông ABE = tam giác vuông ADM
điểm)
Trong tam giác vuông AMF có AD là đờng cao
1
2 1
M
I H
Q
P D
C N
A B
Trang 4⇒ 1
AD2=
1
AM2+
1
AF2 (3) (0,5 ®iÓm)
Tõ (1), (2) vµ (3) ⇒ 1
AB2=
1
AE2+
1
AF2 (®pcm) (0,25
®iÓm)
3 2 1
F
E
Trang 5Bài 5 (2 điểm):
a) n3−3 n2−n+3=n2
(n − 3)−(n −3)=(n −3)(n −1)(n+1) (0,25 điểm) Với n là số lẻ ⇒(n− 3)(n −1)(n+1) là tích ba số chẵn liên tiếp có dạng:
2 k (2 k +2)(2 k +4 )=8 k (k +1)(k +2) (với k ∈ N❑ ) (0,25
điểm)
k (k +1)(k +2) là tích ba số nguyên liên tiếp
⇒k(k+1)(k +2)⋮2 và k (k +1)(k +2)⋮3 (0,25
điểm)
Mà (2, 3) = 1 ⇒k(k +1)(k +2)⋮6
⇒8 k (k+1)(k +2)⋮48 (đpcm) (0,25
điểm)
b)
1) Ta có dãy cách đều thì:
số cuối - số đầu
Số phần tử = +1 (0,25 điểm)
khoảng cách của dãy
⇒ Số phần tử của A là 1002− 102
6 +1=151 phần tử (0,25
điểm)
2) Mặt khác, trong dãy cách đều thì:
Un = U1 + (n - 1).d (với d là khoảng cách của dãy) (0,25 điểm)
⇒ U151 = 102 + (151 - 1).6 = 1002 (0,25 điểm)
(Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)