[r]
Trang 1 NHỮNG CễNG THỨC CƠ BẢN VỀ DÃY SỐ- CẤP SỐ - GIỚI HẠN-ĐẠO HÀM-TÍCH PHÂN
GV:nguyễn đức tuyên -THPT nguyễn bính
DÃY SỐ:
1/Dóy số (un) :TĂNG Nếu un un 1 hay un 1 un 0, n N *
Hoặc
*
n 1
n n
u
1,u 0, n N u
2/Dóy số (un) :GIẢM Nếu un un 1 hay un 1 un 0, n N *
Hoặc
*
n 1
n n
u
1,u 0, n N u
3/Dóy số (un) :BỊ CHẶN TRấN Nếu M : n N , u * n M
4/Dóy số (un) :BỊ CHẶN DƯỚI Nếu m : n N ,u * n m
5/Dóy số (un) :BỊ CHẶN NếuM, m : n N , m u * n M
1/(un) :Cấp số cộng un 1 un d, n N * 2/Số hạng tổng quỏt : un u1(n 1)d
3/Tổng n số hạng đầu tiờn :
n
n 2u (n 1)d n(u u )
S
4/Tớnh chất : a,b,c :Cấp số cộng
a c b
2
Tổng quỏt :
k
2
CẤP SỐ NHÂN:
1/(un) : Cấp số nhõn un 1 u q, n Nn * 2/Số hạng tổng quỏt :un u q1 n 1 , n 2
3/Tổng n số hạng đầu tiờn :
n 1
n
u (1 q )
1 q
4/Tớnh chất : a,b,c :Cấp số nhõn:
2
b ac
Tổng quỏt: u2k uk 1 uk 1 , k 2
GIỚI HẠN DÃY SỐ:
1/
* k
n
n
1
n
1 lim lim
n
2/
n n
q 0 , q 1
lim
3/
* 3
n
n
1
n
1 lim lim
n
4/Cho (u ),(v )n n : un v , nn lim vn 0 lim un 0
5/Nếu :lim un L Thỡ : a/ lim un L lim u3 n 3 L
b/ Nếu : un 0, n L 0 lim u n L
6/Nếu lim un a,lim vn b Thỡ : lim(un v ) a bn lim u vn n a.b
Trang 2
n n
7/Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn :
1 u
S , ( q 1)
1 q
1
u
9/
n
n
u
v
10/limnk ,n N * 11/lim qn ,q 1
12/
n
n
u lim u a 0,lim v 0 v 0, n lim
v
13/lim un lim vn a 0 lim u vn n
0
x x
lim x x
; limC Cx x 0
2/
k x
limx
3/
0
x x
cL lim cf (x)
x
-, k 2n , k 2n 1
limx
5/
*
Thì :
0
x x
L M lim f (x) g(x)
x x 0
L ,(M 0) M
f (x) lim g(x)
0
x x
L.M lim f (x).g(x)
0
k k
0
x x
ax
lim ax
f (x) 0 limf (x) L L 0 lim f (x) L
7/Nếu x x 0
L
limf (x)
Thì : x x 0
L lim f (x)
3 3
x x
L lim f (x)
8/
* k
x
,k N
lim x
9/
k
x
, k 2n
lim x
.
11/Nếu x x 0
lim f (x)
Thì x x 0
1 0
f (x)
lim
Trang 312/Các dạng vô định :
0
; ; 0 ; 0
13/MỘT VÀI QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC : Nếu 0 0
0
1
f (x)
Quy tắc 1: Nếu
0
x x 0
lim f (x)
0
x x
f(x).g(x)
lim
+
+
Quy tắc 2: Nếu x x 0 x x 0 L 0, 0 g(x) 0 limf (x) limg(x) Hoặc g(x) 0 Dấu của L Dấu của g(x) 0 x x f(x) g(x) lim +
+
+
+
HÀM SỐ LIÊN TỤC:
Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu 0
0
x x
f (x )
limf(x)
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn a;b và f (a).f (b) 0 thì c a;b : f (c) 0
g(x) f (x) h(x) limg(x) lim h(x) L limf(x)=L
f(x ):liªn tôc bªn ph¶i f(x ):liªn tôc bªn tr¸i
f(x) liên tục trên đoạn
0
0
0
x x
0
x x
f(x) f(x )
f(x)liªn tôc trªn (a;b)
lim lim
ĐẠO HÀM :
0
0
f '(x )
Trang 4Quy tắc tính đạo hàm: Tính y f(x0 x) f(x ) 0 Tìm : x 0 0
y
f '(x ) x
lim
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M (x ;f(x )) (C)0 0 0 là: y f '(x )(x x ) f(x ) 0 0 0
Vận tốc tức thời:
t 0
s(t t) s(t )
t
lim
VI PHÂN : df(x ) f '(x ) x0 0
df(x) f '(x).dx hay dy y'dx f(x0 x) f(x) f '(x ) x 0
BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
(u +v+t)' = u' + v' + t' (uv)' = u'v+v'u
(u-v-t)' = u' - v' - t' (uvt)' = u'vt +uv't +uvt'
¿
¿
(u v)¿'
= u ' v − v ' u
v2 ,(v 0 ) (Cv)' = Cv' (C : hằng số )
¿
¿
(x α)'
¿
= α x α− 1
(1x)' = − 1
x2 , (x 0 )
¿
¿
(√x)'
¿
= 1
2√x , (x > 0)
(u ❑α¿' = αu α −1 u'
¿
¿ (1u)¿'
= − u '
u2 , (u 0 )
¿
¿
(√u)'
¿
= 1
2√u u ' , (u > 0)
(sin x)' = cos x
(cos x)' = - sin x
(tan x)' =
2 2
1
1 tan x cos x , (cos x
0 )
(cotx)' = - 1
sin2x=−(1+cot g
2
x ) (sin x 0 )
(sin u)' = u'.cos u
(cos u)' = -u'.sin u
(tan u)' =
2 2
u '
u '(1 tan u)
(cot u)' =
2 2
u '
u '(1 cot u) sin u
,(sin u 0 )
(e ❑x )' = e ❑x
(a ❑x )' =a ❑x lna , (o < a 1
)
(e ❑u )' = u' e ❑u
(a ❑u )' = a ❑u u'lna
(ln |x| )' = 1x , (x 0 )
(ln x)' = 1
x , (x > 0)
( loga x )' = x ln a1 , (x > 0, 0 < a
1 )
( loga|x| )' = x ln a1 , (x 0 , 0 < a
1 )
(ln |u| )' = u ' u , (u 0 )
(ln u)' = u '
u , (u > 0)
( loga u )' = u ln a1 .u ' , (u > 0, 0<a 1 )
( loga|u| )' = u ln a1 .u ' , (u 0 ,0<a 1 )
Đạo hàm cấp cao : f(n)(x )=[f(n − 1)
(x)]' ,(n N,n 2) y'x y' u'u x :Đạo hàm hàm số hợp
Vi phân : dy =y'dx u = u(x) ; v = v(x)
Trang 5 n giai thừa : n! =1.2.3 n=(n-1)!n
¿
¿
(ax +b cx +d )¿'
=
cx+d¿2
¿
ad − bc
¿
lim
sin x
1
x
=e
¿
¿
lim ¿
lim
❑ln(1+ x)
x
−1
x →0
1+1
x¿
x
=e
¿
¿
lim ¿
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM THƯỜNG DÙNG
1dx x C 1du u C
1
x
1
1
u
1
1
dx ln x C (x 0)
1
du ln u C (u 0)
e dx e C
e du eu u C
x
ln a
u
ln a
cosx dx sinx C cosu du sinu C
sinx dx cosx C sinu du cosu C
1
dx tan x C
2
1
du tan u C
1
dx cotx C
2
1
du cot u C
Chú ý:
dx ln ax+b C
a
1 cos(ax+b)dx sin(ax+b) C
a
1 sin(ax+b)dx cos(ax+b) C
a
Đổi biến số trong tích phân :
Nếu f(x) chứa a2 x2 x = a.sint
Nếu f(x) chứa a2 x2 x = a.tant
Trang 6Nếu f(x) chứa x2 a2
a
x = cost.Đặcbiệt:
1
Tích phân từng phần:
b a
udv uv vdu
Dạng1: P(x) ax
sin ax cosax dx e
Dạng 2: P(x).ln(ax+b)dx u = ln(ax+b),( Còn lại : Đặt dv)
.