De cuong luyen thi vao 10

các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B cắt nhau tại điểm P. Các đường tròn đường kính BH, CH cắt AB, AC tại điểm thứ hai tương ứng D, E. Tia Ex vuông góc với BE và tia Cy vuông góc [r]

Phần I CĂN BẬC HAI_ CĂN BẬC n

§ 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN LIÊN QUAN

Vậy f(x) < 0 nếu x < 32 ; f(x) > 0 nếu x > 32

(Hay 2x – 3 < 0 nếu x < 32 ; 2x  3 > 0 nếu x > 32 )

b) Ta có: a = 3 < 0

Nhị thức có nghiệm x0 =  53

Vậy f(x) < 0 nếu x >  53 ; f(x) > 0 nếu x< - 53

( Hay -3x – 5 < 0 nếu x >  53 ; 3x – 5 > 0 nếu x <  53 )

2 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

1) Tìm nghiệm của các nhị thức bậ nhất: 2x – 7 = 0  x = 72 ; 4x + 3 = 0  x = 34 2) Lập bảng xét dấu:

x ∞ 3

4 72 +∞ 2x – 7   0 +

4x + 3 + 0  

VT  0 + 0 

3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm của bất phương trình là: S = [34; 7 2] d) (x − 1)(2 − x ) 2 x −6 <0 1) Nghiệm của các nhị thức bậc nhất: x – 1 = 0  x = 1; 2 – x = 0  x = 2; 2x – 6 = 0  x = 3 2) Lập bảng xét dấu:

x -∞ 1 2 3 +∞

x – 1 - 0 +  +  +

2 – x +  + 0 

-2x – 6 -  -  - 0 +

VT +  -  +  -

3) Kêt luận : Từ bảng xét dấu ta có tập ghiệm S = (1;2)(3; +∞)

Ví dụ2: Giải các bất phương trình sau: a) 2x2 – 3x + 1 < 0 ; b) x2 + 4x +5 ≥ 0 ; c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0 ; d) 2x2 – 5x + 2 < 0 Hướng dẫn giải Phương pháp:

Phân tích vế trái của các bất đẳng thức thành tích các nhị thức rồi thực hiện cách giải như ví dụ 1.

a) 2x2 – 3x + 1 < 0 (1) (1)  2x2 – 2x – x + 1 < 0  2x(x – 1) – (x – 1) < 0  (2x – 1)(x – 1) < 0

b) x2 + 4x +5 ≥ 0  x2 + 4x + 4 + 1 ≥ 0  (x + 2)2 + 1 ≥ 0 Luôn đúng với mọi x

c) -2x2 +4x – 6 ≥ 0  -2(x2 – 2x + 1) – 4 ≥ 0  -2(x - 1)2 – 4 ≥ 0 vô lí

d) 2x2 – 5x + 2 < 0  2x2 – 4x – x + 2 < 0  2x(x - 2) – (x – 2) < 0

 (2x – 1)(x - 2) < 0

Ví dụ3:

Giải các bất phương trình sau:

a) 1 - 3x < 2 ; b) 5x + 3 > 4 ;

c) x2 – 5x + 5 ≥ 1 ; d) 3 x +1 2 − x < 3

Giải a) 1 - 3x < 2  - 2 < 1 – 3x < 2  - 3 < -3x < 1  - 13 < x < 1 Vậy bất phương trình có nghiệm x  (- 13 ; 1)

Vậy bất phương trình có nghiệm x (-∞; 56 )

Chú ý: Nhiều bạn thường hay mắc sai lầm ở phép biến đổi:

¿

3 x +1 2− x >− 3

+) Điều kiện có nghĩa của √A là A ≥ 0

Với các điều kiện có nghĩa thì:

a bb

a

a√b b

+) a

a) ab + ac + b2 + 2bc + c2; b) x3 – 6x2 + 11x – 6;

c) x6 – x4 – 2x3 + 2x2 d) x6 – y6

d) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

Giảia) Nhóm các số hạng:

(ab + ac) + (b2 + 2bc + c2) = a(b + c) + (b + c)2 = (b + c)(a + b + c)

Chú ý: Trong thực hành với đa thức bậc n, ta có thể sử dụng kết quả sau đây:

Xét đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x + a0

- Nếu P(x) có nghiệm x = a, tức P(a) = 0 thì P(x) chia hết cho (x – a) và ngược lại

Khi đó P(x) = (x - a)Q(x) trong đó Q(x) có bậc n – 1

- Nếu tổng các hệ số an+ an-1+ …+ a2+ a1+ a0 = 0 thì P(x) có nghiệm x = 1

= ( √a + √b )(a - √ab - b - b) = ( √a + √b )[a – b - √b ( √a + √b )] = ( √a + √b )2( √a - 2 √b )

II.Bài tập vận dụng:

Bài 1: Phân tích thành nhân tử:

a) a2 – 2ab –c2 + b2 ; b) 3xy2 + 6xy + 3x; c) -6x2 + 5x + 1;

d) abx2-(a2 + b2)x + ab; e) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x – y)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

Bài 3: Phân tích thành nhân tử:

b) Trục căn thớc khỏi mẫu sốbằng cách nhân cả tử, cả mẫu với các biểu thức liên hợp:

+) Phân tích đa thức thành nhân tử

+) Giản ước các biểu thức đồng dạng

Lưu ý: Đối với biểu thức có chứa biển đưới dấu căn bậc hai nên đặt điều kiện để căn thức

a) A= x −5√x+6

x − 4 ; b) B= 3√x − 2 x −1

4 x − 4√x+1 ; c)C= √x(√x +5)+√y(√y+5)+2(√xy+3)

√x(√x+6)+√y(√y +6)+2√xy và tính giá trị của biểu thức nếu √x+√y=2008

Gi¶i a) A= x −5 x − 4√x+6 = x −2√x −3√x+ 6

Gi¶ia) Vì x < 12 nên x – 1 < 0 x - 1 = 1 – x

3x2 – 4x + 1 = 3x2 - x – 3x + 1 = (x - 1)(3x - 1)

Vậy P =

1

03x 1

Có P(a) = 3 a− 11 >0 (vì a > 1)

P(-a) = − a −11 =− 1

a+1 < 0 (vì -a < -1 < 0) Suy ra: P(a).P(-a) < 0

Ví dụ 3:

Thực ra đây cũng là bài toán rút gọn biểu thức, vì vậy khi thực hiện bài toán này các em chỉviệc rút gọn biểu thức đó đến khi không còn biến số thì ta được điều phải chứng minh.

Suy ra A không phụ thuộc vào biến số (đpcm)

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số:

11

C =

.2(1 )(1 )

Để biến đổi A = B ta có thể áp dụng các phương pháp sau:

1) Chỉ ra A – B = 0

2) Biến đổi A thành B (hoặc ngược lại)

3) Biến đổi A = C và đồng thời B = C

a) Điều kiện để M có nghĩa là:

a a

a a

Vớ dụ 1:

b)Tìm các giá trị của a sao cho N < 1.

c)Tính giá trị của N nếu a = 19 - 8 3

Gi¶ia)§iÒu kiÖn cã nghÜa a ≥ 0 và a ≠ 1

a a

x  , Ta có P  Z 

21

x   Z  x - 1 là ước của 2.Do đó x - 1 nhận các giá trị bằng 1; 2, từ đó:

+) x - 1 = -1  x = 0 ; +) x - 1 = 1  x = 4;

Ví dụ 2:

Ví dụ 3:

+) x - 1 = -2  Vô nghiệm ; +) x - 1 = 2  x = 9

x y

§iÒu kiÖn:

019

a a

a a

Vậy với a = 4 hoặc a =

9

25 thì A =

6

5

a a a

 a - 6a + 1 = 0 

a a

a 

+1 =

3

2(a + 1) (1) Theo điều kiện bài toán thì a + a + 1 > 0 suy ra

(1) 

11

x x x

x x

b) Tính giá trị của Q với a = 2; b = 3

Bài 2: Cho biểu thức: M =

b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên

Bài 3: a)Chứng minh đẳng thức:

2 2

a a



 đạt giá trị nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ nhất đó

Bài 4: Cho biểu thức : Q =

b) Xét dấu của biểu thức: P 1 a

Bài 8: Cho biểu thức: P =

2 Các khái niệm liên quan:

+) Giá trị x gọi là biến số (đối số) của hàm số Giá trị y gọi là giá trị của hàm số

+) Tập D gọi là tập xác định của hàm số.

+) Tập M gồm tất cả các giá trị của y gọi là tập giá trị của hàm số.

Chú ý: Nếu hàm số được cho bởi một công thức thì tập xác định của hàm số là tập

hợp tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa.

Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên D.

Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên D.

c.Đồ thị: Đồ thị hàm số bậc nhất là một đường thẳngcắt cả trục tung và trục hoành lần

lượt tại

Nhận xét: Đồ thị hàm số đồng biến là một đường hướng lên từ trái qua phải.

Đồ thị hàm số nghịch biến là đường hướng xuống từ trái qua phải

- Đồ thị của hàm số bậc nhất còn gọi tắt là đường thẳng , còn biểu thức y = ax + b còn gọi

là phương trình của đường thẳng, a gọi là hệ số góc của đường thẳng và a tan (với

 là góc tạo bởi đường thẳng và trục hoành)

- Nếu a = 0 thì hàm số có dạng y = b , đồ thị là một

đường thẳng đi qua điểm A(0;b) và song song với

trục hoành

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng có phương trình: y = a1x + b1 (d1) ; y = a1x + b1 (d2)



 Nếu a = 0; B ≠ 0: Pt (1) vô nghiệm

1) Song song với trụ hoành.

2) Song song với đường thẳng cú phương trỡnh: x – 2y = 1 (d’)

3) Cắt trục hoành tại điểm A cú hoành độ x = 2 -

3

2 . c) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi , tìm điểm

cố định đó

Giảia) -Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 > 0  m > 1

-Hàm số đồnh biến nếu: m – 1 < 0  m < 1

b)Tìm m:

1) Đờng thẳng (d) song song với Ox khi và chỉ khi m – 1 = 0  m = 1

2) Viết lại đờng thẳng (d’) dới dạng: y =

1

2x -

12 Hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau khi và chỉ khi :

11

32

2

m

m m

 c) Điểm cố định:

Cỏch 1: (Phương phỏp hệ số bất định)

Gọi M(x0;y0) là điểm cố định (nếu cú) của đường thẳng (d), khi đú:

y0 = (m - 1)x0 + m  m  R

 (m - 1)x0 + m – y0 = 0 (*)  m  R

Vỡ (*) đỳng với mọi  m  R nờn:

Với m = 0: - x0 – y0 = 0  x0 = -y0 (a)

Với m = 1: 1 – y0 = 0  y0 = 1 thay vào (a) ta cú: x0 = -1

Vớ dụ 1:

Vậy đường thẳng (d) luụn đi qua một điển cố định M(-1;1).

Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua một điển cố định M(-1;1)

Cho hàm số y = (m - 2)x + n () trong đú hai số m , n là hai số thực cho trước.a) Tỡm m và n để đường thẳng () đi qua hai điểm A(1;-2) và B(3; -4)

b) Tỡm m và n để đường thẳng () cắt trục tung tại điểm M cú tung độ y = 1 - 2 và cắt trụ hoành tại điểm N cú hoành độ x = 2 + 2

c) Tìm m, n để đờng thẳng () :

1) Vuông góc với đờng thẳng có phơng trình x – 2y = 3 (1)

2) Song song với dờng thẳng có phơng trình 3x + 2y =1 (2)

3) Trùng với đờng thẳng có phơng trình y – 2x + 3 = 0 (3)

Giải a) Vì đờng thẳng () đi qua A và B nên ta có hệ sau:

1) Đường thẳng (1) viết lại dưới dạng: y =

2x  2 Điều kiện để đường thẳng () vuụng gúc với đường thẳng (1) là:

a) Giải phương trỡnh khi m = 2 1 

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất âm

Vớ dụ 2:

Vớ dụ 3:

Giải a) Đa phơng trình về dạng: (m - 1)x = m2 +1



 Giải cỏc phương trỡnh sau:

3

x x

 2x2 – 2x = 2x2 + 5x – 6x – 15

 x = 15 (thỏa món điều kiện)

Vậy phương trỡng cú một nghiệm x = 15

b) Điều kiện cú nghĩa là : x ≠ 1 ( Chỳ ý rằng x2 + x + 1 =

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm x = 0

1

2 : 1 2 x  x 1 2x – 1= x – 1  x = 0 (loại vỡ 0 <

1

2)Vậy phương trỡnh đó cho vụ nghiệm

Cỏch 2: Nhận xột: Vế trỏi của phương trỡnh đó cho là khụng õm nờn:

a b

b) Chứng minh rằng với mọi a hệ đều có nghiệm

c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y < 0

d) Tìm a để hệ cónghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện x = y 2

b) Cách1: Rút y = ax – 2 từ phươngtrình đầu, thay vào phương trình thứ hai ta được:

(a2 + 1)x = 3 + 2a Vì a2 + 1 ≠ 0 a nên:

2

3 21

a x



 Vậy với mọi a hệ đều có ngiệm

Cách 2: Với a = 0 hệ có nghiệm x = 3; y = -2

Với a ≠ 0 thì hai đường thẳng có phương trình y = ax – 2 (d1) và y =

x a

 +

3

a

là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên cắt nhau

Vậy hệ luôn có nghiệm với mọi a

c) Theo câu b) ta có hệ có nghiệm duy nhất 2

3 21

a x

y x





 , Đặt

1, 0

y

t t x

x y

  (thỏa mãn điều kiện (*)

Vậy hệ phơng trình đã cho có (2) nghiệm (3;4) và (-1;2)

a) Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) và cú hệ số gúc bằng k.b) Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm M(x1;y1) và N(x2;y2)

c) Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua diểm M(-1;3) và:

Vớ dụ8:

Vớ dụ 9:

1) Song song với đường thẳng có phương trình 3x – 2y = 1.

2) Vuông góc với đường thẳng có phương trình: 3y – 2x + 1 =0

Giải a) Phương trình đường thẳng có dạng y = kx + b (*) Vì đường thẳng đi qua A(x0;y0) nên y0 = kx0 + b  b = y0 – kx0 Thay vào (*) , ta có y = kx + (y0 – kx0) , hay:

b) Xét các trường hợp:

 y1 = y2 và x1 ≠ x2 : Đường thẳng MN//Ox có phương trình: y = y1 (= y2)

 x1 = x2 và y1 ≠ y2 : Đường thẳng MBN//Oy có phương trình x = x1 (= x2)

 x1 ≠ x2 và y1 ≠ y2 Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax +b Vì đường thẳng

đi qua M, N nên ta có :

3x  3 Vậy a =

2

3 Gọi k là hệ số góc đường thằng cần tìm ta có k

2

3 = 1  k =

-3

2 Vậy phương trình cần thành lập là: y =

Bài 4: Giải phương trình:

a) (3x - 2)2 = (x + 3)2; b) 2 2 2 2

(x a x a )(  )  (x a x a )(  ) 3 (a x  a ) c) x4 – 2x3 + 2x2 – 2x + 1 =0; d) ax3 + x2 – ax – 1 = 0

Bài 5: Giải phương trình:

a) 3x  2  3 2 ; b) x 5 x 1;

c)

4 2 34

; d) 4x 4 x 1 7 4 3 0.Bài 6: Giải các hệ phương trình:

a)

1

32

b) Có vô số nghiệm

Bài 8: Cho hệ phương trình:

ax 2y a (1)2x y a 1 (2)

b) Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x – y = 1

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi giá trị của a, b thì phương trình x3 + ax2 + b = 0 không thể đồng thời có các nghiệm số là 1 và -1

Bài 10: Giải phương trình:

a) (y - 1)2 + (2 - x)2 = 0 ; b) (x – 2y)2 + y2 = 3(2y - 3)

c) (y – x - 2)2 + (x + 2y)2 = 0; d) y2 4xy4x2  x2 4x4 0

Bài 11: Giải hệ phương trình:

 Chiều biếm thiêm:

a > 0: Hàm số nghịch biến trong khoảng ( - ; 0] và đồng biến trên khoảng (0 ; + ) Giá trị nhỏ nhất bằng không

a < 0: Hàm số đồng biến trong khoảng ( - ; 0] và nghịch biến trên khoảng (0 ; + ) Giá trị lớn nhất bằng không

Nếu  < 0 (’< 0) thì phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu  = 0 (’ = 0) thì phương trình đã cho có nghiệm kép x1 = x2 = 2

b a

(

'

b a

) Nếu  > 0 (’ > 0) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:

x x a

1) Tìm hai số nếu biết tổng và tích:

Nếu hai số x ; y thỏa mãn 2 4

thì x ; y là hai nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0

2) Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

 Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu  ac < 0

 Phương trình có hai nghiệm dương (x1 > 0; x2 > 0 )

000

S P

S P

Chú ý rằng f(-1993) = f(1993); vì a = -2 < 0 nên với x > 0 hàm số nghịch biến



Ví dụ 1:

a a

d) Cỏc điểm trờn đồ thị P

12

Cho phương trỡnh : (m – 2)x2 – 2mx + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a) Với giỏ trị nào của m thỡ (1) là phương trỡnh bậc hai

b) Giải phương trỡnh khi m =

3

2. c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Giả sử (1) có hai nghiệm x1và x2,tính x1 + x2

Giải a) Để (1) là phơng trình bậc hai thì m – 2 ≠ 0  m ≠ 2

x x





  

 c) Điều kiện để(1) cú hai nghiệm phõn biệt là:

3m phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt

Chỳ ý: Học sinh rất dễ mắc sai lầm khụng nờu điều kiện a ≠ 0, chẳng hạn ở vớ dụ trờn khi m =

2 thỡ (1) là phương trỡnh bậc nhất cú một nghiệm duy nhất x = -

m

m m

x x m

a) Chứng minh rằng với mọi m phương trỡnh luụn luụn cú hai nghiệm phõn biệt

b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm trỏi dấu

c) Chứng minh biểu thức : M = x1(1 – x2)+ x2(1 – x1) khụng phụ thuộc vào m

Vớ dụ 2:

Vớ dụ 3:

d) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là : 1 2

m m



 x +

14

m  = 0 hay (m – 4)x2 – 2(m + 1)x + 1 = 0 (m ≠ 4)

Giải các phương trình sau:

x2 + (2 2 - 1)x + 2 - 6 = 0

1 3 22

x x

Vậy để phương trình có nghiệm thì a ≠ 0 Suy ra:

Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu a ≠ 0 thì phương trình có hai nghiệm

03

2x2 – x – 3 = 0 

132

x x

Với x = -1 (loại) vì không thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có một nghiệm x =

32

Ví dụ 4:

Giải các phương trình sau:

t2 – 2t – 3 = 0 

13

t t

x x

x x

t t

x x

 2x2 – 5x + 2 = 0 

122

x x

x x

t  t  (t ≠ 0,t ≠ 5 ) Khử mẫu, rút gọn ta có:

2t2 – 19t -75 = 0 

3252

t t

x x

2 662

x x

t t

Với t = 2 , suy ra : x 12 = 2  x -12 = 4  x = 16

Vậy phương trỡnh cú nghiệm x = 16

Chỳ ý: Ta khụng cần đặt điều kiện x – 12  0 vỡ rằng với t  0 thỡ x – 12 = t2  0 Vậy điều kiện điều kiện x – 12  0 thỏa món

e) Điều kiện x  0; x ≠ 1 Đặt x = t, t  0.Quy đồng và rút gọn ta đợc:

2t2 = 24  t2 = 12  x = 12

Vậy phơng trình có nghiệm x = 12

Cho hàm số: y = 2x2 (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tỡm trờn đồ thị cỏc điểm cỏch đều hai trục tọa độ

c) Tựy theo m hóy xột số giao điểm của đường thăng y = mx – 1 với (P)

d) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A(0; -2) và tiếp xỳc với (P)

e) Tỡm tập hợp cỏc điểm M sao cho qua M cú thể kẻ được hai đường thẳng cuụng gúc với nhau cựng tiếp xỳc với (P)

f) Tỡm trờn (P) cỏc điểm cú khoảng cỏch đến gốc tọa độ bằng 5

Giải a) Đồ thị (bạn đọc tự vẽ)

b) Cỏch 1: Dựng đồ thị vẽ thờm hai đường thẳng y = -x và y = x rồi tỡm tọa độ giao điểm Cỏch 2: Dựng tớch chất:

Để điểm A(xA; yA) cỏch đều hai trục tọa độ thỡ x A y A

(1) Mặt khỏc A lại nằm trờn đồ thị (P) nờn: y A 2x2A (2)

A A

x x

12