4 Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất... 3 OE là đường trung bình của tam giác ABQ.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức
x 1 A
x 1
khi x = 9
2) Cho biểu thức
a)Chứng minh rằng
x 1 P
x
b)Tìm các giá trị của x để 2P 2 x 5
Bài II (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Bài III (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
5
x y y 1
1
x y y 1
2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y =
x2
a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P)
b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P) Tính diện tích tam giác OAB
Bài IV (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại B cắt các đường thẳng AM, AN lần lượt tại các điểm Q, P
1) Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn
3) Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME // NF
4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định
vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Bài V (0,5 điểm)
Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 2a bc 2b ca 2c ab
Trang 2BÀI GIẢI Bài I: (2,0 điểm)
1) Với x = 9 ta có
3 1
2
3 1
A
2) a)
P
1
x
b)Từ câu 2a ta có
2 x 2
x
2 x 2 2x 5 x
2x 3 x 2 0
1
2
và x >0
Bài II: (2,0 điểm)
Gọi x là sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch (x > 0)
Số ngày theo kế hoạch là :
1100
x
Số ngày thực tế là
1100
x 5 Theo giả thiết của bài toán ta có : 1100
x -
1100
x 5 = 2
2
1100(x 5) 1100x 2x(x 5)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 50 sản phẩm
Bài III: (2,0 điểm)
1) Hệ phương trình tương đương với:
Đặt
1
u
x y
và
1 v
y 1
Hệ phương trình thành :
Do đó, hệ đã cho tương đương :
Trang 3
x y
y 1
2)
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là
2 6
x x x2 x 6 0 x2hay x3
Ta có y (2)= 4; y(-3) = 9 Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là B(2;4) và A(-3;9)
b) Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A và B xuống trục hoành
Ta có SOAB SAA'B'B SOAA' SOBB'
Ta có A’B’ = xB' xA' xB' xA' , AA’ =5 yA , BB’ = 9 yB 4
Diện tích hình thang : SAA'B'B AA ' BB'2 .A 'B' 9 42 .5 652
(đvdt)
OAA'
S 12A 'A.A 'O272 (đvdt); SOBB' 12B'B.B'O 4 (đvdt)
OAB AA 'B'B OAA' OBB'
Bài IV (3,5 điểm)
1) Tứ giác AMBN có 4 góc vuông, vì là 4 góc nội tiếp chắn nửa
đường tròn
2) Ta có ANM ABM (cùng chắn cung AM)
và ABM AQB (góc có cạnh thẳng góc)
vậy ANM AQB nên MNPQ nối tiếp
3) OE là đường trung bình của tam giác ABQ
OF // AP nên OF là đường trung bình của tam giác ABP
Suy ra F là trung điểm của BP
Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF
Xét tam giác vuông NPB có F là trung điểm của cạnh huyền BP
Xét 2 tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên ONF 90 0
Tương tự ta có OME 90 0nên ME // NF vì cùng vuông góc với MN
4)
MNPQ APQ AMN
Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy ra
QBBA AB2 BP.QB Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có PB BQ 2 PB.BQ 2 (2R) 2 4R
P
Q
O
F
E
N
M
Trang 4Ta có
AM.AN
= 2R2
Do đó,2SMNPQ 2R.4R 2R 2 6R2 Suy ra SMNPQ 3R2
Dấu bằng xảy ra khi AM =AN và PQ = BP hay MN vuông góc AB
Bài V: (0,5 điểm)
Ta có Q 2a bc 2b ca 2c ab
2a bc (a b c)a bc (Do a + b +c = 2)
2
(Áp dụng bất đẳng thức với 2 số dương u=a+b và v=a+c)
Vậy ta có 2a bc
(a b) (a c) 2
(1) Tương tự ta có :
2b ca
(a b) (b c)
2
(2) 2c ab
(a c) (b c)
2
(3) Cộng (1) (2) (3) vế theo vế Q 2(a b c) 4
Khi a = b = c =
2
3 thì Q = 4 vậy giá trị lớn nhất của Q là 4