[r]
Trang 1Phòng Giáo dục và đào tạo Đề khảo sát học sinh giỏi Năm học 2011-2012
Huyện kiến xơng Môn : Toán 7
(Thời gian làm bài 120phút )
Bài 1(4 điểm)
Thực hiện phép tính:
a)
3
b) : 5,1 6
-
-39 6 51 B
Bài 2 (5 điểm)
Cho hai đa thức: A(x) = x5 - 2x3 + 3x4 - 9x2 + 11x - 6
B(x) = 3x4 + x5 - 2(x3 + 4) - 10x2 + 9x
a) Tớnh C(x) = A(x) - B(x)
b) Tỡm x để C(x) = 2x + 2
c) Chứng tỏ rằng C(x) khụng thể nhận giỏ trị bằng 2012 với mọi xZ
Bài 3 (4 điểm)
1) Cho a c b
+ + -
d
2) Tỡm số nguyờn x, y, biết: 42 - 3y - 3= 4(2012 - x)4
Bài 4 (5 điểm)
Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là
đờng thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đờng thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD
= AC
a) Chứng minh BD = CE
b) Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA Chứng minh ADE = CAN c) Gọi I là giao điểm của DE và AM Chứng minh 1
Bài 5 (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh là BC = a, AC = b, AB = c thoả món:
a2 + b2 > 5c2 Chứng minh rằng C 60 0
Họ và tên thí sinh: SBD:
Phòng Giáo dục - đào tạo
Để khảo sát học sinh giỏi
Môn : Toán 7- Năm học 2011-2012
Bài 1(4 điểm) Thực hiện phép tính:
Trang 2a)
3
-3 3 3 b) : 5,1 6
-
-39 6 51 B
a
(2®)
3
2 :
1
= 4 4
:
3 3
b
(2®)
-
-39 6 51 B
: 5
+
1
:
4 1
3 6
8 31
1
1
Bµi 2 (5 ®iÓm)
Cho hai ®a thøc: A(x) = x5 - 2x3 + 3x4 - 9x2 + 11x - 6
B(x) = 3x4 + x5 - 2(x3 + 4) - 10x2 + 9x
a) Tính C(x) = A(x) - B(x)
b) Tìm x để C(x) = 2x + 2
c) Chứng tỏ rằng C(x) không thể nhận giá trị bằng 2012 với mọi xZ
a
(2®)
Ta có: A(x) = x5 + 3x4 - 2x3 - 9x2 + 11x - 6
B(x) = x5 + 3x4 - 2x3 - 10x2 + 9x - 8
C(x) = A(x) - B(x) = x2 + 2x + 2
Vậy: C(x) = x2 + 2x + 2
1 1
b
(1,5®)
C(x) = 2x + 2 x2 + 2x + 2 = 2x + 2
x2 + 2x + 2 - 2x - 2 = 0
x2 = 0 x = 0
Vậy để C(x) = 2x + 2 thì x = 0
0,5 0,5 0,5
c
(1.5®)
Giả sử C(x) = 2012 x2 + 2x + 2 = 2012 x2 + 2x = 2010
x(x + 2) = 2010
Với xZ, do 2010 là số chẵn nên x(x + 2) là số chẵn x hoặc x + 2
là số chẵn
Mà x và x + 2 hơn kém nhau 2 đơn vị nên chúng cùng là số chẵn
x(x + 2)4
Nhưng 2010 không chia hết cho 4 C(x) 2012
Vậy C(x) không thể nhận giá trị bằng 2012 với mọi xZ
0.5 0.5 0.5
Trang 3Bài 3 (4 điểm)
a) Cho a c b
+ +
d
b) Tỡm số nguyờn x, y, biết: 42 - 3y - 3= 4(2012 - x)4
a
(2đ)
Từ a c b
d
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
d
+ +
d
1 0,5
0, 5
b
(2đ)
42 - 3y -3= 4(2012 - x)4
42 = 3y -3 + 4(2012 - x)4
Do 3y -30 với mọi giá trị của y nên 4(2012 - x)4 42
(2012 - x)4 <11< 24 2012 - x = 0 hoặc 2012 - x = 1
(vì 2012 - x là số nguyên (do x nguyên))
* Nếu 2012 - x = 1 x = 2012 hoặc x = 2013 và 38 = 3y -3
y -3= 38/3 (không có giá trị của y thoả mãn vì y nguyên)
* 2012 - x = 0 x = 2012 và 42 = 3y -3
y -3= 14 y = 17 hoặc y = -11
Vậy cặp số (x,y) = (2012; 17); (2012; -11)
0,5 0,5 0,5
0,5
Bài 4 (5 điểm)
Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM Trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là
đờng thẳng AB vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng chứa điểm B bờ là đờng thẳng AC vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AC và AD
= AC
a) Chứng minh BD = CE
b) Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA Chứng minh ADE =CAN c) Gọi I là giao điểm của DE và AM Chứng minh 1
0,5
a
(2đ) +Chứng minh đợc ABD = AEC ( c g.c)
BD = EC ( 2 cạnh tơng ứng)
1,0 0,5
A
E D
N I
Trang 4 CN = AB và ABC NCM
Có DAE DAC BAE BAC 900900 BAC 1800 BAC (1)
ACN ACM MCN ACB ABC 1800 BAC (2)
Từ (1) và (2) DAE ACN
+Chứng minh đợc ADE = CAN ( c g.c)
0,5 0,5 0,5
c
(1đ)
ADE = CAN ( cmt) ADE CAN (2 góc tơng ứng)
Mà DAN CAN 900DAN ADE 900
hay DAI ADI 900 AI DE
áp dụng định lí Py- ta-go cho AID (AID 900) và AIE (
900
AIE ) có: AD2 - DI2 = AE2 - EI2 (=AI2)
AD2 + EI2 = AE2 + DI2
0,5
0,5
Bài 5 (2 điểm)
Cho tam giỏc ABC cú độ dài ba cạnh là BC = a, AC = b, AB = c thoả món:
a2 + b2 > 5c2 Chứng minh rằng C 60 0
Giar sử c a > 0 c2 a2 Mà a2 + b2 > 5c2 a2 + b2 > 5a2
b2 > 4a2 b > 2a (1)
Vỡ c2 a2 c2 + b2 a2 + b2 > 5c2 b2 > 4c2 b > 2c (2)
Từ (1) và (2) suy ra 2b > 2a + 2c b > a + c, vụ lớ Vậy c < a
Lập luận tương tự ta được c < b Từ đú suy ra c là độ dài cạnh nhỏ nhất
C là gúc nhỏ nhất C < A; C < B
3C < A+ B+ C = 1800 C 60 0 Vậy: C 60 0
Chú ýHS giải bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Bài 4 chỉ nêu trình tự các bớc chứng minh, trong trình bày HS phải có hình vẽ đúng và lập luận đầy đủ mới cho điểm tối đa Hình vẽ sai hoặc không có hình không cho điểm