Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a.. a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA. Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằn[r]
Trang 1ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOÁN
LỚP11 (Nâng cao)
Chương 3:DÃY SỐ.CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.
I.Kiến thức cơ bản:
1)Cấp số cộng:
-Định nghĩa : (un) là CSC un+1 = un + d , d là hằng số ;-Số hạng tổng quát un = u1 + (n-1)d
-Tổng n số hạng đầu sn = ( 1 )
2
n
n u u
= [2u1 ( 1) ]
2
n n d
2)Cấp số nhân:
-Định nghĩa: (un) là CSN un+1 = un q ,q là hằng số ;-Số hạng tổng quát un = u1qn-1
-Tổng n số hạng đầu sn = 1( 1)
1
n
u q q
, q 1
II.Ví dụ minh họa:
1)Cho dãy số (un) với un = 9-5n
a)Viết năm số hạng đầu của dãy
b)Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng.Chỉ rõ u1 và d
c)Tính tổng của 100 số hạng đầu
Giải:
a)4,-1,-6,-11,-16
b)Xét hiệu un+1-un = 9-5(n+1)-9+5n=-5, do đó dãy (un) là một cấp số cộng với u1=4 và d = -5
c) 100
100[2.4 (100 1)( 5)]
24350 2
2)Cho dãy số (un) với un = 22n+1
a)Chứng minh rằng dãy (un) là một cấp số nhân.Nêu nhận xét về tính tăng ,giảm của dãy số
b)Lập công thức truy hồi của dãy số
c)Hỏi số 2048 là số hạng thứ mấy của dãy số này
Giải:
a)Lập tỉ số
2( 1) 1 1
2 1
2
4 2
n n
n n
u u
, vì n 1
n
u d u
= 4>1 nên dãy số (un) tăng và là cấp số nhân
b)Cho n = 1, ta có u1 = 8 Công thức truy hồi là 1
1
8
4 , 1
u
u u n
c)Ta có un = 2048 = 211 = 22n+1, suy ra 2n+1 = 11 n = 5.Vậy 2048 là số hạng thứ năm của dãy
III.Bài tập:
1)Cho cấp số cộng (un) có u17-u20=9 và u17 2+u202 =153.Hãy tìm số hạng đầu và công sai của CSC
2)Cho cấp số cộng (un) có công sai d>0,u31+u34 = 11 và u312+ u342=101 hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó
3)Cho cấp số nhân (un) có u20=8u17 và u3+u5=272 Tì số hạng đầ và công bội của CSN đó
4)Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạng là 5
3, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là
39
25 Tìm số hạng đầ và công
bội của cấp số nhân đó
Chương 4: GIỚI HẠN.
A.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.
I Kiến thức cơ bản:
-Các giới hạn đặc biệt: lim 1k
n = 0, limn
k = +,k nguyên dương; limqn = 0 ,q <1;
limqn = +, q>1;limc = c ,c hằng số
-Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1+u2+u3+ = 1
1
u q
II Ví dụ minh họa: Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
lim
n n
n
b)lim 5 2 12
1 2
n
c)lim(n2n n1) d)lim( n2 2n 4 n)
Trang 2a)
2
2
lim
n n
n
2
1 1 4
lim 3 2
n n n
= 2 b) 2
2
1 3 lim
1 2
n n
2
3 lim
1 2
n
= 0
c)lim( n2) 1 1 12
n n
d)lim 2 2 4
2 4
n
=
2
4 2 lim
2 4
n
n n
=2
III Bài tập:
1)Tính các giới hạn sau:
a)
3
3 2
2 1 3
lim n n
n n
b)
3
2
lim
4
n n n
c)lim3 4 1
2.4 2
n n
n n
d)lim (n n21 n22) 2)Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số
a) 0,666 b)0,2121 c)0,32111
B.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC.
I Kiến thức cơ bản:
1)Giới hạn của hàm số:
-Quy tắc tìm giới hạn vô cực:quy tắc 1, quy tắc 2 SGK (lớp 11 nâng cao) trang 160-161
-Các dạng vô định: 0
0,
,0. và 2)Hàm số liên tục:
-Hàm số y = f(x) liên tục tại điểm xo lim ( ) ( )
o
o
x x f x f x
lim ( ) lim ( ) ( )
o
x x f x x x f x f x
-Hàm số y =f(x) liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó
-Nếu hàm số y =f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b)
II Ví dụ minh họa:
1)Tính các giới hạn sau:
a)lim2 2
7 3
x
x
x
b)
3
3 2
lim
1
x
x x
x x
c)
0
1 1
1
x x x
d) lim ( 4 2 2 )
Giải:
a)
2
(2 )( 7 3)
lim
2
x
x x
x
=lim (x2 x 7 3)6 b)
3
3 2
lim
1
x
x x
x x
3
3 4 2
lim
1 1 1
x
x x
x x
=-2
c)lim0 1 ( 1)
( 1)
x
x
x x
=
0
1
1
x x
d)
2
(4 ) 4 lim
x
x x x
x
x
x
lim
4 1
x
x
2)Tìm m để hàm số f(x) =
2
x x
khi x x
liên tục trên R
Giải:
*)Hàm số f(x) =
2 2 2 2
x x
liên tục trên R\{2}
*)
2
2
2 lim
2
x
x x
x
=3 ; f(2) = m Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì m = 3
*)Để hàm số liên tục trên R thì m = 3
3)Chứng minh rằng phương trình (1-m2)x5 - 3x – 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi m
Giải:
Trang 3Xét hàm số f(x) = (1-m2)x5 - 3x – 1 liên tục trên R
Vì f(0) = -1<0 và f(-1) = m2 + 1>0 nên f(0)f(-1)<0 ,suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b), (ĐPCM)
III Bài tập:
1.Tính các giới hạn sau:
a lim 11
2
x
x b) lim 4 1
2
2
x
x c)
6
3 3 lim
x
x
d) xlim24x x6 e) lim 172 1
x f) x x x x
1 2
lim
2
2 Tính các giới hạn sau:
a
5 3
lim
x
x
x c) lim 2 17
x
x
3 Tính a) lim 4 2 1
x b) lim 2 3 3 2 5
x
c) lim 2 2 5
x d)
x
x x
1 lim
2
4.Xét tính liên tục của các hàm số
a)
2
x x 2 ; x 2
f (x) x 2
Tại…x=2 b)
2 2x 5x 2 khi x 2
f (x) x 2
tại x=2
5.a)Cho
2
2 x 4 khi x 0
4m 1 khi x 0
Xét tính liên tục của các hàm số tại
x = 0
)2 (3 2
2 2
2 2
3 )(
2
3
x x mx
x x
x x
f Xác định m để hàm số liên tục trên R
6.CMR: Phương trình 5 3 4 5 2 0
x có ít nhất ba nghiệm trên (-2; 5)
7 CMR: Phương trình x77x512x35x1 0 có 7 nghiệm
8 CMR: Phương trình x5 4x3 x 5 2 x3 3x6 có ít nhất 5 nghiệm
9 Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
a)(1-m2)x5-3x-1= 0 b)(1-m2)(x+1)3+x2-x-3 = 0 c)m(2cosx- 2) = 2sin5x +1
10 Chứng minh rằng các phương trình luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m:
a m(x-1)2(x2- 4) + x4-3 = 0 b.x3- 3x = m
Chương 5:ĐẠO HÀM.
I.Kiến thức cơ bản:
1)Bảng đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
(c)/ = 0,( c là hằng số )
(x)/ = 1
(xn)/ = nxn-1 (n là số tự nhiên )
/
2
(x 0)
2
x
(un)/ = nun-1.u/
2
u / 2u/
u
Trang 4(sinx)/ = cosx
(cosx)/ = -sinx
(tanx)/ = 12
os
c x
(cotx)/ = 12
sin x
(sinu)/ = u/cosu (cosu)/ = -u/sinu (tanu)/ =
/
2 os
u
c u
(cotu)/ =
/ 2 sin
u u
2)Các quy tắc tính đạo hàm:
(uv)/ = u/ v/ (uv)/ = u/v + uv/ (ku)/ = k(u)/,k là hằng số
2
u u v uv
3)Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =f(x) tại điểm Mo(xo;yo) thuộc đồ thị là
y = f /(xo)(x-xo) + yo
4)Vi phân của hàm số : df(x) = f/(x)dx hay dy = y/dx
5)Đạo hàm cấp cao : f(n) = (n 1) /
f
II.Bài tập:
1 Tính đạo hàm của các hàm số sau
x x x
y b) y 2 5x x2 c) ( )
2 2
3
const a
x a
x
x
x y
1 1
e)
sinx+cosx
x
y f) t anx
1+tanx
x
y g) 1 3
osx- os 3
y c c x i)ysin ( os5x)5 c
2)Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau
a)y =x4-3x3+x2-1 b)y = cos2x c)y = 1
2
x
3)Giải phương trình f/(x) = 0 ,biết:
a)f(x) = 3cosx+sinx-2x-5 b)f(x) =1
2sin2x + sinx-3 4)Giải phương trình 1+5y+6y/ = 0, biết y = 1
1 x 5)Gọi (C) là đồ thị của hàm số f(x) = x3-5x2+2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau: a)Biết (C) đi qua điểm có hoàng độ bằng -4 b)Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c)Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 1
7x + 2009 d)Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A (0;2)
6)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2
2
x x
,biết tiếp tuyến đó tạo với trục 0x một góc 1350 7)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
1
x x x
,biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
y = 4 1
3x 3
ĐỀ ÔN TẬP
ĐỀ 1.
Câu 1: Tính các giới hạn sau
a)
2 2
2 lim
1 3
n
b)lim( n25n 1 n) c)lim2 1
.3n
n n
d)
2
2
6 lim
2
x
x x x
3
2
lim
1
x
x
x x
f ) lim ( 2 2 )
Trang 5Câu 2: Tìm gá trị của m để hàm số
3
3
3
x khi x
liên tục tại xo = 3
Câu 3:
a)Cho f(x) = 2cos2x + sin2x + 3 Giải phương trình f /(x) = 0
b)Cho f(x) =
3 2
15
3 2
x x
x
Giải bất phương trình f /(x) 0 c)Chứng minh rằng đối với hàm số y = xsinx ta có : xy//-2(y/-sinx) + xy = 0
d)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
2 5 4 2
x x x
, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 3x +2009
Câu 4:Tìm ba số liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của ba số đó bằng 21 và tổng bình phương của chúng bằng 155
ĐỀ 2.
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a)
3 3
lim
72 5
n n
4 2 4
2
lim
n n
c)lim 2osn
n 1
c
d)
2 2 2
lim
4
x
x x x
e)lim 2 2
1
x
x x
1
Câu 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) = x3 + 3x2
a)Tính y/
b)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ,biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 9x-2 Câu 3: Cho hàm số y = x45 – 2x40 – 2008x2008 Tính y(2008)(2008)
Câu 4: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 10,tổng của năm số hạn đầu tiên của cấp số nhân đó bằng 155
16 .Tìm số hạn đầu tiên và công bội của cấp số nhân đó.
Câu 5: Xác định a để hàm số f(x) =
2 1
1 ax+2 ,khi x 1
x
khi x x
liên tục trên R
Câu 6: Chứng minh rằng đối với hàm số y = x x213ta có: (1+x2)y// + xy/- 9y = 0
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC A LỚP 11 HỌC KỲ II
I Kiến thức cơ bản:
Trang 61 Lý thuyết:
- Hai mặt phẳng song song (định nghĩa,tính chất,định lí Ta-lét)
- Góc giữa hai đường thẳng ,hai đường thẳng vuông góc
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ,điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng,định lí ba đường vuông góc,góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Hai mặt phẳng vuông góc,góc giữa hai mặt phẳng
- Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
+ Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
+ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
+ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
2 Ví dụ minh hoạ
* Ví dụ 1:Cho tứ diện ABCD.Gọi G1,G2,G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC,ACD,ABD.Chứng minh:(G1G2G3)//(BCD)
Giải:
Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của BC,CD,DB
Theo tính chất trọng tâm ta có:
3
2 J
2
A
AG AI
AG
G1G2 // IJ
Mà: IJ (BCD)
Nên: G1G2//(BCD)
và
3
2 K
3 1
A
AG AI
AG
G1G3// IK
Mà: IK (BCD)
Nên: G1G3 // (BCD)
Vậy: (G1G2G3)//(BCD)
*Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,SAvuông góc với mp(ABC) Gọi
'
', C
B lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng SB,SC Chứng minh rằng :
a) BC (SAB) : AB (SBC).'
b) Chứng minh: AB SC.'
c) (SAC) (AB'C' )
Giải:
a) Ta có: BC SA (vì SA (ABC))
Và: BC AB (gt)
BC (SAB)
*Ta có: BC (SAB) AB BC (do ' AB' (SAB))
Mặt khác: AB SB'
Nên: AB (SBC).'
b) Ta có : AB (SBC)'
AB SC (do SC ' (SBC))
c) Ta có: AB (SBC).'
SC AB (do SC ' (SBC))
Mặt khác : SC AC'
SC ( ' ' )
C AB
Do đó: (SAC) (AB'C' )
* Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,cạnh đáy bằng a và đường cao SO=
2
a
Gọi I là trung điểm của BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI
S
A
B
C B'
C '
A
C
K
G3
Trang 7a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và DC
Giải:
a) * Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O lên đường thẳng SD
Ta có: OH SD
d(O;SD)=OH
Tam giác SOD vuông tại O,có OH là đường cao nên:
12 12 12
SO OD
OH (*)
Ta có: BD=AB 2=a 2 OD=
2
2 2
a BD
Từ (*): 1 2 22 42 62
a a a
6
2
2 a
OH OH=
6
6
a
Vậy d(O;SD)=
6
6
a
b) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC)
Ta có:OK (SBC) OK là khoảng cách từ điểm O đến (SBC)
Tam giác SOI vuông tại O,có OK là đường cao nên:
12 12 12 42 42 82
a a a SO OI
8
2
2 a
OK OK=
4
2
a Vậy d(O;(SBC))=
4
2
a c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và DC
Ta có: CI SI và CI DC CI là khoảng cách giữa SI và DC
Mặt khác: CI=
2
a
Vậy: d(SI,DC)=
2
a
II.Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA (ABCD).Gọi H,I,K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SC,SD.Chứng minh:
a) BC (SAD) ;BD (SAC)
b) HK (SAC).Từ đó suy ra HK AI
Bài 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau.Gọi H là điểm thuộc mặt
phẳng(ABC) sao cho OH (ABC).Chứng minh rằng:
a) BC (OAH)
b)H là trực tâm của tam giác ABC
c) 1 2 12 12 12
OC OB OA
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,AD=a 3 Cạnh bên SAvuông góc với đáy và SA=a
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Tính góc giữa đường thẳng SB và CD
c) Tính góc giữa đường thẳng SD và (SAB)
d) Tính diện tích tam giác SBD
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD,có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a
a) Tính độ dài đường cao SO của hình chóp
b) Gọi M là trung điểm của SC,chứng minh (MBD) (SAC)
c) Tính diện tích tam giác SBC và SAC
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC,cạnh đáy bằng a và đường cao SO=
3
3
a
.Gọi I là trung điểm của
BC và K là hình chiếu vuông góc của O lên SI
S
D
A
B
C I
K H
O
Trang 8a) Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SA.
b) Chứng minh: BC (SOI) và OK (SBC)
c) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,tam giác SAB đều,SC=a 2.Gọi K là trung điểm của AD.Chứng minh:
a) (SAB) (ABCD)
b) AC SK; CK SD
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a,mặt bên (SBC) vuông góc với đáy.
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AB,SA,AC
a)Chứng minh:(MNP)//(SBC)
b)Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP)và (SBC)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,SA (ABCD) và SA=2a.
a) Chứng minh:(SAC) (SBD); (SCD) (SAD)
b)Tính góc giữa SD và (ABCD) ; SB và (SAD)
c) Tính d(A;(SCD)); d(B;(SAC)); d(C:(SBD))
d) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa các đường thẳng SD và BC; AD và SB
Bài 9:Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a.Gọi O là tâm của đáy ABCD.
a) Chứng minh:(SAC) (SBD); (SBD) (ABCD)
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABCD);từ O đến (SBC)
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SD
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA (ABC).Vẽ đường cao AH của tam
giác SAB.Chứng minh rằng:
a) BC (SAB);AH SC
b) Tam giác SBC vuông tại B
c) (SAB) (SBC);(AHC) (SBC)
Bài 11 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi H là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh BC (AHA’) Tính diện tích tam giác AHA’
b) Tính khoảng cách từ A đến mp(A’BC)