Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C).. Gọi I là trung điểm của BC. a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông... b) Gọi I là trung điểm của SC[r]
Trang 1NỘI DUNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 - MÔN TOÁN LỚP 11
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1) Lim
3
3
2) lim
(1+2 n)(2− 3 n)
n3− 2 n 1− 3 n2
4) lim n
2
− 3 n3
2n3+5 n − 2 6) lim (√n+1 −√n¿ 7) lim
2n3− 4 n2+3 n+3
n3−5 n+7
8) lim¿ ¿ 9) lim(√3 n −1 −√2 n −1) 10) lim 4
n
−5 n
2n
+3 5n
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
3
) lim n n
a
3 2
) lim
b
n
) lim
n c
5
) lim ( 2) (5 1)
d
2
) lim
1 2
e
n
3 2.5 ) lim
3.5 4
n n
n n
) lim 2.4 2
n n
n n
) lim
2
h
n
Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
2
) lim(3 1)
a n n b) lim( 2 n4n2 n3) c) lim 3 n2nsin 2n d) lim 3n2 n 1
) lim 2.3n 5.4n
e f)lim 3n2 1 2n g) lim n2 1 n h)lim n2 n n
) lim 3 6 1 7
i n n n k) lim n n1 n l) lim n2 3n n m) lim3 n3n2 n
Bài 4: Tính các giới hạn sau:
2
x x
2, 3
1 lim
2
x
x x
lim
3
x
x x
1 lim ( 4)
x
x x
5,
x x x x
6,
2 2 1
lim
x
2 lim
7 3
x
x x
3
lim
1
x
9,
lim
x
x
1
x x x
2
x x x x
12, lim 2 2 1
x x x x
13, 1 2
3 lim
x
x
3
lim
x
15,
3 0
lim
x
x
x
16, 2
2 2 lim
7 3
x
x x
lim
49
x
x x
Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
):
a)
3
lim
x
3
lim
x
x x
2
lim 3
x
d)
lim
x
2
) lim
x
x e
lim
2 5
x
x
Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a)
x x x x
b)
x x x x
c)
2
x x x
d)
2
x x x
e) lim 3 2 2
x x x x
f) lim 2 2
x x x x
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
Trang 2a) 3
1
lim
3
x
x
x
b) 4 2
1 lim
4
x
x x
c) 3
lim
3
x
x x
d) 2
lim
2
x
x x
lim
1
x
x x
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
0
0 ):
a/
2
3
9
lim
3
x
x
x
b/
2 1
lim
1
x
x
c) 3 2
3 lim
x
x
d)
3 2 1
1 lim
1
x
x x
e)
2 2 1
lim
x
f) 2
2
lim
7 3
x
x
x
g)
2 3
9 lim
1 2
x
x x
h) 4
lim
2
x
x x
i) 1
2 1 lim
5 2
x
x x
k)
2 2
lim
2
x
x
Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0 ):
1
1
x
x x
x
b)
2 3
3
x
x x
x
c/ 3
2 2
2
x
x x
x
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng - ):
a) lim 2 1
b) lim 2 2 2 1
x x x x
c) lim 4 2 2
x x x x
d) lim 2 2 1
x x x x
Bài 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1,
2
x
voi x
f x x
voi x
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3
3,
( )
x voi x
f x
x voi x
f (x)={2 x − 1 x2
, x <1 , x ≥ 1
tại x = 1
Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2
2
2
x
voi x
f x x
voi x
2
1
2
( )
x voi x x
g x
voi x
3,
f (x)={1−√x 1− x
1 2
, x ≠ 0
2 2
x > 2 2
khi
5, 1
2
f x
x
Bài 13: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,
( )
x voi x
f x
ax voi x
1
x = -1
khi
Bài 14: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
Trang 3a)
x
khi x
f x x
khi x
khi x<3
5 khi 3
x
tại x0 = 3
c)
2
1
7 1
khi x
khi x
3
3 3
x
khi x
khi x
tại x0 = 3
e/
2
2 2 2
x
khi x
khi x
2 2
3 4 2
x
khi x
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 15: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
a)
2
1 2
khi x
khi x
2
1 2 2
( )
3 2
x
khi x x
f x
khi x
c)
x 2 2
x x
khi
f x x
x khi
2
x khi x
f x x khi x
x x khi x
ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1
Bài 16: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0
a)
1 1
1
khi x
2
( )
x khi x
f x
ax khi x
c)
7 3 2
1 2
x
khi x
2
( )
x khi x
f x
a khi x
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 17:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2x310x 7 0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x31000x0,1 0
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)
d) Chứng minh phương trình x2sinx x cosx có ít nhất một nghiệm 1 0 x00;
e) Chứng minh phương trình m x 1 3 x 22x 3 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 18:
a) x4 5x có ít nhất một nghiệm.2 0
b) x5 3x 7 0 có ít nhất một nghiệm
c) 2x3 3x2 có ít nhất một nghiệm5 0
Trang 4d)2x310x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm
g) x33x21 0 có 3 nghiệm phân biệt
h) 1 m2 x13x2 x 3 0
luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m
i) m x 13x2 4x4 3 0
luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y x 3 b)y3x2 1 c) y x 1 d)
1 1
y x
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2 b) y = 1
x; x0 = 2 c) y = x −1
x +1; x0 = 0 d) y = √x - x; x0 = 2 e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y = 2 x −1 x −1 ; x0 = 3 g) y = x.sinx; x0 =
π 3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =
π
3 i) Cho f (x)=√3 x +1, tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f”(x)
m) Cho f x x 10 6.TÝnh f '' 2 l)f x sin 3x Tính ; 0
f '' f '' f ''
Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1 y=x3
−2 x+1 2 y=2 x5− x2+3 3.y=10 x4+ 2
x2 4 y=(x3
+2)(x +1)
5 y=5 x2(3 x − 1) 6 y=¿ 7 y=(x2
+1)(5 −3 x2
) 8 y=x (2 x − 1)(3 x +2)
9 y=(x +1)¿ 10 y= 2 x
x2− 1 11 y=
2 x2−6 x +5
2 x +4
12 y= 5 x −3
x2
+x+1 13 y=√x2+6 x+7 14 y=√x −1+√x+2 15 y=(x +1)√x2+x +1 16 y=√x2−2 x +3
2 x +1
2
17
x x
y
x 18) y = 2
2
x
+ 19) 3 2 3
y
x x x
20)y 3a bx 3 21)
y (a b ) 22) y x x 3 2 23)
2
3 4
(x 2) y
(x 1) (x 3)
24)y (x 7x)2 25) y x2 3x 2 26)
1 x y
1 x
27)
1 y
x x
28/ y= x√1+x2 30/ y= 1+x
√1 − x 31/ y= (2x+3)10 29/ y= √x(x2-√x+1)
32/ y= (x2+3x-2)20
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y=3 sin2x sin 3 x 2) y=¿ 3) y=cos x sin2x 4) y = 2 −sin x 1+sin x 5) y=sin4x2
6)y=
sin x +cos x
sin x −cos x 7)
3
y cot (2x )
4
8) y 2 tan x 2 9) 3
3sin x 3
Trang 510) y =√1+cos2x
2 11) y= 1
¿ ¿ 12) y = sin4 p- 3x 13) y = cos ( x3 ) 14) y= 5sinx-3cosx 15) y = x.cotx 16) y cot 1 x 3 2 17) y= sin(sinx)
18) y sin (cos3x) 2 19)
xsin x y
1 tan x
20)
sin x x y
x sin x
21)
x 1
y tan
2
22) y 1 2tan x
Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
y= ax+b
cx+d y=ax
2
+bx+c dx+e y=
ax2+bx+ c
mx2+nx + p
Áp dung: y= 3 x + 4
−2 x +1 y=
− x2
+x − 2
2 x −1 y=
x2− 3 x +4
2 x2+x +3
Bài 6: Cho hai hàm số : f x( ) sin 4xcos4 x và
1 ( ) cos 4
4
Chứng minh rằng: '( )f x g x'( ) ( x )
Bài 7: Cho y=x3−3 x2
+2 Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a)
0
2
x
x
b) 1 2x 1 2
Bài 9: Cho hàm số f(x) 1 x Tính : f(3) (x 3)f '(3)
Bài 10:
a)
2
x 3
x 4
b) y 2x x ; 2 y y" 1 03
h) Cho hàm số: y= x2+2 x +2
2 Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’
2
Bài 12: Cho hàm số
2
2
y x
(C) a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1
Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2
Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x 3 5x2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) 2
a) Tại M (0;2)
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =
1
7 x – 4
Bài 15: Cho đường cong (C):
2 2
x y x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng
1 3
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:
a) y=x3−2 x+1 b) y=sin4x
2 c) y=√x2+6 x+7
Trang 6Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1)
1
2
x
y
x
4) y x x 2 5) 1 y x 2sinx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a)
1 1
y x
HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA (ABC).
a) Chứng minh: BC (SAB)
b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH SC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA (ABCD) Chứng minh rằng:
a) BC (SAB)
b) SD DC
c) SC BD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC AD
b) Gọi AH là đường cao của ADI Chứng minh: AH (BCD)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2
a) Chứng minh SO (ABCD)
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a√3, SA (ABCD)
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO (ABCD)
c) Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A lên SB, SD
a) Chứng minh BC (SAB), BD (SAC)
b) Chứng minh SC (AHK)
c) Chứng minh HK (SAC)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA (ABC).
Gọi I là trung điểm BC
a) Chứng minh BC (SAI)
b) Tính SI
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC) (SAB)
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC)
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC)
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC