Nh÷ng kiÕn thøc nµy hoµn toµn kh«ng khã ®èi víi häc sinh mµ chØ do häc sinh quªn hoÆc nhÇm lÉn nªn sÏ kh«ng mÊt nhiÒu thêi gian.. 4..[r]
Trang 1Dùng phơng pháp giản đồ véctơ
để giải bài toán điện xoay chiều
I đặt vấn đề
Điện xoay chiều là một phần rất quan trọng trong Vật lý 12, hầu nh có mặt trong tất cả các đề thi vào đại học cao đẳng Các bài toán điện xoay chiều rất phong phú và đa dạng, có thể dùng phơng pháp đại số hoặc phơng pháp giản đồ véc tơ để giải Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy tôi thấy khi đa ra phơng pháp giản đồ véc tơ
để giải bài toán thì ban đầu học sinh thờng "ngại" dùng hoặc với một số thì hiệu quả không cao Thực ra nếu biết khai thác triệt để những tính chất hình học (tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều,hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi…các hệ thức lợng trong tam giác) trong các giản đồ véc tơ thì việc tính toán thờng ngắn gọn
và không phức tạp, giảm bớt đợc sự nhầm lẫn vì tránh đợc việc phải giải các phơng trình hoặc hệ phơng trình phức tạp, cồng kềnh
Đặc biệt với các bài toán cho nhiều hiệu điện thế, nhiều độ lệch pha, các bài toán về cực trị đối với uL, uc, viết các phơng trình hiệu điện thê, cờng độ dòng điện thì việc giải bằng phơng pháp giản đồ véc tơ thờng đơn giản hơn rất nhiều so với phơng pháp đại số và tránh đợc sự nhầm lẫn về sự nhanh pha hay chậm pha giữa các hiệu điện thế và dòng điện
Sở dĩ học sinh còn cha "mặn mà" với phơng pháp này vì:
+ Ngày nay việc sử dụng máy tính với nhiều chức năng tính toán, có thể giải
đợc cả phơng trình bậc hai, hệ phơng trình… hỗ trợ nhiều cho việc học của các em Tuy nhiên cũng dẫn đến một hệ quả không tốt là các em "lời" tính toán, suy luận logíc bị hạn chế Vì vậy nếu phải chọn lựa giữu việc lập các phơng trình để giải và một bên là vẽ hình và khai thác triệt để hình để tính toán thi cách thứ nhất vẫn sẽ đ
-ợc u tiên hơn
+ Kiến thức hình học đối với các hình có thể xuất hiện trong giản đồ véc tơ của các em nhiều chỗ bị "hổng" hoặc do không dùng thờng xuyên nên quên, vì vậy việc hoc sinh lớp 12 không biết tính đờng chéo hình thoi hoặc phải dùng đến định
lý Pitago để tính đờng chéo hình vuông là không ít Cùng với đó là sự mai một về
hệ thức lợng trong tam giác, các kiến thức về véc tơ… khiến các em gặp khó khăn
+ Với thời lợng giành cho giờ bài tập về điện xoay chiều nh hiện nay nếu giáo viên không có sự chuẩn bị, định hớng trớc cho các em nắm vững phơng pháp
1
Trang 2véctơ quay (từ chơng trớc) thì đến giờ bài tập dù không muốn giáo vên cũng đành u tiên hơn cho phơng pháp đại số vì nó cũng gắn liền với các biểu thức định luật Ôm hoặc những biểu thức đã rút ra đợc từ bài lý thuyết (mà thực chất cũng đợc xây dựng trên chính giản đồ véctơ), hơn nữa lại đợc nhiều học sinh hởng ứng hơn
+ Với cơ chế thị trờng nh hiện nay có rát nhiều sách tham khảo phục vụ cho chơng trình học của các em, nhng hầu nh không có quyển sách nào hoăc một chuyên đề nào bàn riêng về vấn đề sử dụng phơng pháp giản đồ véc tơ để giải bài toán điện xoay chiều
Chính vì các lý do trên đã thôi thúc tôi đi sâu tìm hiểu và viết đề tài "Dùng
phơng pháp giản đồ véctơ để giải các bài toán điện xoay chiều".
II giải quyết vấn đề
A Cơ sở lý thuết
Để học sinh có kỹ năng vận dụng giản đồ véc tơ vài giải quyết tốt các bài tập
điện xoay chiều trớc hết cần trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết là các kiến thức cơ bản có liên quan, sau đó đa ra các bài toán để áp dụng Cụ thể, về nội dung lý thuyết cơ bản cần làm cho học sinh nắm chắc các nội dung sau:
1 Phơng pháp giản đồ véc tơ Frexnen:
+ Mỗi dao động điều hoà có phơng trình x = Asin(ωt + φ) đợc mô tả nhờ một véctơ A có độ lớn bằng A, hợp với trục làm gốc một góc φ và quay theo chiều thuận với vận tốc góc bằng ω
+ Dùng giản đồ véctơ để tổng hợp 2,3… dao động điều hoà cùng phơng cùng tần số
+ Khi áp dụng vào mạch điện xoay chiều, các đại lợng hiệu điện thế u, cờng
độ dòng điện i đều là các dao động điều hoà, nên có thể biểu diễn chúng nhờ các véctơ quay U0, I0 (hoặc tơng đơng U , I )
2 Có hai cách vẽ giản đồ véc tơ:
Cách 1: Theo nh SGK: Quy các véc tơ U của các phần tử R,L,C về cùng một gốc, véc tơ tổng hợp đợc xác định bằng quy tắc hình bình hành
Cách 2: Các véctơ U của các phần tử R, L, C "nối đuôi nhau", tức là véc tơ này nối tiếp véctơ kia, véc tơ tổng đợc xác định bằng cách nối điểm gốc của véctơ
đầu tiên và ngọn của véctơ cuối cùng
Minh ho ạ: A M N B
Trang 3Cách 1 U L U d Cách 2
U r U R
U
U MB
U C
Nếu mạch có nhiều phần tử R,L,C, bài toán tìm cực trị của UL hoặc UC khi C hoặc L thay đổi thì cách vẽ thứ hai sẽ thuận lợi hơn vì hình vẽ đơn giản và dễ thấy quan hệ về góc (pha) của các phần tử
3 Các công thức lợng giác: Định lý hàm số sin, cosin, hệ thức trong tam giác, các tính chất về tam giác đều, cân, vuông, hình chữ nhật, hình thoi Giáo viên
có thể nhắc lại từ khi luyện về tổng hợp các dao động điều hoà bằng phơng pháp giản đồ véctơ Những kiến thức này hoàn toàn không khó đối với học sinh mà chỉ
do học sinh quên hoặc nhầm lẫn nên sẽ không mất nhiều thời gian
4 Mối quan hệ về pha giữa các đại lợng u với i; Định luật Ôm đối với các giá trị hiệu dụng
b các ví dụ
Ví dụ 1: Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ
Biết: i = 2sin(100πt) A;
uAM = 40 2 sin (100πt + π/3) V;
u lệch pha so với i là π/6 Tìm R, r, C?
Giải
Vì mạch không có tụ C nên u sớm pha hơn i
3
A
M B
R L,r
R
M
N
L U
C U
U
L
r
Trang 4L,r
N C
R
M
UL =
2
3
40 V ZL = 20 3 Ω L = 0,2 3
Lấy trục i làm gốc ta có giản đồ véc tơ
Ta có: I = 1 A
+ Ur = UAM cos π/3 = 20 V r = 20 Ω
+ UL = Usin π/6 = UAMsin π/3 *
+ Từ * ta có U = 2UL = 40 3V
Và UR + Ur = Ucos π/6 = 60 V
Suy ra R + r = 60 Ω R = 40 Ω
Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ Tần số dòng điện là f
Cho:
UAB = 2UAM = 4UNB = 200V Viết biểu thức UAM, lấy gốc thời gian của cờng độ dòng
điện? Biết UAB trùng pha với i
Giải
Có: + UAM = 100 V; uAM trùng pha với i
+ UNB = 50 V; uNB chậm pha π/2 so với i
+ UMN sớm pha so với i góc φ
Ta có giản đồ véc tơ
Từ giản đồ véc tơ ta có:
UMNCosφ + UAM = UAB; Cosφ = 100/UMN (1)
UMNSinφ = UNB; Sinφ = 50/UMN (2)
Từ (1) và (2): UMN = 50 5 V ; tgφ = 1/2
Vậy biểu thức của uMN là: uMN = 50 10 sin (2πft + φ) V; Với tgφ = 1/2
Ví dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng toàn quốc - 2002)
Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ
Hiệu điện thế uAB ở hai đầu mạch có tần số 100Hz và giá trị hiệu dụng không đổi U
L
N
C
M
R
2
R
1
MN U
AM
I
Trang 5U =
cos
I
P
= 120V
R1 =I2
P
1
R
Z L
L =
f
Z L
2 =
3
I =
1
1
R
U R
= 0,15 3A
1 Mắc Ampe kế có điện trở rất nhỏ vào M và N thì Ampe kế chỉ I = 0,3A, dòng điện trong mạch lệch pha 600 so với uAB, công suất toả nhiệt là P = 18W
Cuộn dây thuần cảm Tìm R1, L, U
2 Mắc vôn kế cos điện trở rất lớn vào M và N thay cho Ampe kế thì vôn kế chỉ 60V, hiệu điện thế trên vôn kế trễ pha 600 so với uAB Tìm R2,C?
Giải
1 Khi mắc Ampe kế vào M và N thì trong mạch chỉ còn R1, L nên hiệu điện thế nhanh pha hơn dòng điện; φ = π/3
P = UI Cosφ
ZL = 200 3 Ω Vậy:
2 Ký hiệu UAM = U1; UMN = U2 = 60V Mạch có R1, L, R2, C
Ta có giản đồ véc tơ
U = 120V = 2U2
φ2 = 600; Tam giác OHN vuông tại H
Do L, R1 vẫn nh trớc nên φ1 = 600
Suy ra uAB nhanh pha so với i góc 600;
Góc NOM = 300
U1 = Ucos 300 = 60 3 V
UR1 = U1cos 600 = 30 3 V
UR2 = U2cos 300 = 30 3 V ; R2 = UR2/I = 200 Ω
UC = UR2tg300 ZC = R2.1/ 3 = 200/ 3 Ω
Vậy: C = 1,38.10- 15 F.
Ví dụ 4:
Cho mạch điện nh hình vẽ
Cuộn dây thuần cảm; C = 15,9àF
Hiệu điện thế giữa hai đầu mạch có biểu thức: uAB = 200sin(100πt) V
5
L C
L U
C U
1
U
2
U UR2
1
R
0
M
N
H
φ
1
φ
2
Trang 6I =
C
C
Z
U
= 1A
U =
2
Uo
= 120V U = UL
Cos
Zx
Rx
X
RX = ZX cosX = cos / 6
I Ux
tgX = -
Zx
Rx
=
-3
Tìm R, L biết hiệu điện thế giữa hai bản tụ là: uC = 200 2sin(100πt - π/4) V
Giải
Vì uC chậm pha hơn i góc π/2; theo đề ra uC chậm pha hơn u góc π/4 nên giản đồ véc tơ nh hình vẽ:
Từ tam giác OMN có:
UR = Ucos = 100 2 cos π/4 = 100V
Tam giác OMN vuông cân nên:
UC - UL = UR UL = UC - UR = 100V
Vậy: R = UR/I = 100 Ω;
ZL = UL/I = 100 Ω L = 1/π H
Ví dụ 5:
Cuộn dây chỉ có hệ số tự cảm L = 0,636 H mắc nối vào đoạn mạch X rồi áp hai đầu cả đoạn mạch vào một hiệu điện thế u = 120 2sin (100πt) V thì cờng độ dòng điện qua cuộ dây là i = 0,6 2 sin (100πt - π/6) A
a Tìm hiệu điện thế hiệu dụng ux giữa hai đầu đoạn mạch x
b Đoạn mạch x gồm hai trong ba phần tử Điện trở Rx, cuộn dây chỉ có độ tự cảm Lx tụ điện có điện dung Cx mắc nối tiếp Hãy xác định hai trong ba phần tử đó?
Giải
a ZL = ωL = 200 Ω; UL = I.ZL = 120V
Giản đồ véc tơ nh hình vẽ
Từ giản đồ ta có: tam giác OAB đều
(OA = OB, Góc AOB = 600)
Vậy: UX = UL = 120V
b Từ giản đồ ta thấy
+ UX trễ pha hơn i góc: X /6
Vậy: Hai phần tử của X là RX và CX
+
RX = 173 Ω
6
L U
R U
C U
U
M
N
P
φ π/4
φ
x
A
B
C
L U
X U U
Trang 7I =
AM
AM Z
U
= 2 2
L
AM
Z r
U
ZAM = 2 2
C Z
R =
I
U MB
= 200 Ω
ZAB = (Rr) 2 (Z L Z c) 2 =
I
U AB
= 400
+
Vậy: ZCX = 100 Ω; CX = 31,8 10- 6 (F)
Ví dụ 6: Cho mạch điện nh hình vẽ
Biết: r = 100 3 Ω; L = 3/π H;
Vôn kế có điện trở vô cùng lớn
Đặt vào hai đầu A,B một hiệu điện
thế uAB = 120 2sin (100πt) V thì
vôn kế chỉ 60 3V và hiệu điện thế
giữa hai đầu vôn kế nhanh pha hơn hiệu điện thế uAB góc π/6 Tính R và C?
Giải
Vẽ giản đồ véc tơ theo cách 2
Ta có: 2 2 2 cos / 6
MA AB AB
UMB = 60V
Định luật Ôm: ; I = 0,3A
R2 + Z2
C = 4.104 (1)
Vậy: (100 3 + R)2 + (300 - ZC)2 = 16.104 (2)
Từ (1) và (2): R = 100 3 Ω;
ZC = 100 Ω C = 31,8 10- 6 F
Ví dụ 7: Cho mạch điện nh hình vẽ
uAB = 200 sin (100πt) V; i = 2 2 sin (100πt - π/12) A
Các vôn kế V1, V2 chỉ cùng một giá trị, nhng uNB nhanh pha hơn uAN góc π/2; điện trở các vôn kế vô cùng lớn Tính
a R, L, R0 và L?
7
R
V
L,R
0
C
V 2 2 2 2 V
A
M
B
AM
U
MB U
AB U
π/ 6
Trang 8UAN = UNB =
2
AB
U
= 100 V
ZAN = ZNB =
I
U NB
= 50 Ω
Cos
2
3
AN
AN Z
R
2
3
AN
φAN = - π/6 tgφAN =
2
3
R
Z C
Cos φNB =
NB Z
R0
=12 R0 = 25
0
R
Z L NB
Z L R0 3 25 3; L = 0,138H
b Công suất tiêu thụ của mạch?
Giải
a uAN chậm pha hơn i (mạch có R,C)
uNB nhanh pha hơn i (mạch có R0, L)
Theo đề ra: UAN = UNB và UNB nhanh pha hơn UAN góc π/2
Ta có giản đồ véctơ
+ Tam giác ANB vuông cân
AN = π/4 - π/12 = π/6
ZC = 25 Ω; C = 127àF
+ Tính chất góc ngoài tam giác cho ta:
φNB = φ + ABN = π/12 + π/4 = π/3
b P = I 2 (R + R0) = 273,2 W
Ví dụ 8: (Trích đề thi đại học Quốc gia Hà Nội - 1998)
Cho mạch điện xoay chiều nh hình vẽ
Đặt một hiệu điện thế có tần số 50Hz vào hai đầu M,Q thì vôn kế chỉ 90V Khi đó
UMN lệch pha 1500 và UMP lệch pha 300 so với UNP, đồng thời UMN = UMP = UPQ Cho
L,R
R
V
P
A
B
N
φ φ
AN
AB
U
φ
NB
NB U AN
U
Trang 9U
3 30 30 cos 0
MN
U
2 2
I =
R
U R
I
U
U
U R
L . = 15 3
R = 30Ω Tính hiệu điện thế hiệu dụng UMQ và hệ số tự cảm L của cuộn dây? Vôn
kế có điện trở vô cùng lớn
Giải
Dựa vào độ lệch pha giữa các hiệu điện thế so với nhau
và với dòng điện ta có giản đồ véctơ
+ Theo đề ra UMN = UMP nên tam giác MNP
là tam giác cân tại M, MH là đờng trung tuyến
UR0 = ULtg300 = 15 3V
UR = UPQ = UMN =30 3V
Vậy:
+
L = 0,0827 H, với ω = 2πf = 100π rad/s
Ví dụ 9: (Trích đề thi Cao đẳng s phạm Hà Nội - 1997)
Cho mạch điện xoay chiều
uAB = 120 2sin(100πt) V Hiệu điện thế hiệu dụng UAM = 120V và uAM sớm pha so với uAB là π/2.
a Viết biểu thức hiệu điện thế uAM, uMB?
b cho R = 50 Ω Tính L,C?
Giải
a
+ uAM = 120 2 sin(100πt + π/2) V
+ Giản đồ véc tơ biểu diễn phơng trình
AM
U + U MB = U AB
9
A
M B
C L,R
M
N
P
H φ
MN
30 0
R U
L U
C U
I
A
M
B
φ
φAM
AM U
AB U
R
U UMB UC
I
Trang 10tg 1 Z R 50
R
Z U
U
L L
R
L
AM
U
U
I
U
R
C
C 100 31 , 8 10 6
1
U
U
UAN = V
Sin
U
60
2
Tam giác AMB vuông cântại A (vì uAM = uAB)
φ = 450 = π/4
uMB trễ pha π/4 so với uAB
và UMB = U2AM U2AB
= 120 2V U0MB = 240V
Vậy: uMB = 240 sin(100πt - π/4) V
b.
UR = UAMcosφAM = 120cos π/4 = 60 2 V
UL = UR = 60 2 V
L = 0,16H
Ví dụ 10: (Đề thi Đại học Ngoại thơng - 1998)
Cho mạch điện nh hình vẽ
uAB = 80 2sin(100πt) V; R= 15 Ω; Các vôn kế lần lợt chỉ U1 = 30V; U2 = 30 3V
U3 = 100V; Điện trở của các vôn kế rất lớn, cuộn dây thuần cảm
Viết biểu thức của cờng độ dòng điện i; Tìm các giá trị C, L, R0?
Giải
Giản đồ véc tơ nh hình vẽ
* Viết biểu thức i:
+
+ Theo đề ra: UAB = 80V; UNB = 100V
Tam giác BAN vuông tại A (theo Pitago)
L
C
R
0
V
A
R
B
H
φ α
2
U
1
U
3
U
U
I
Trang 11I = 2
R
U R
A
ZC = 15 3
I
U C Ω C = 122,5 àF
ZL = 46
I
U L
L = 0,146H
C = F
9
10 3
tg
3
1 180
60
AM
MB
U
U
0 , 32rad
I =
AM
AM Z
U
= 2 A
uAB sớm pha hơn i góc φ = π/2 - π/3 = π/6
Mặt khác
Vậy: i = 2 2sin(100πt - π/6) A
* Tính C, L, R0
+
+ Trong tam giác ABH có BH = UL - U2 = UABsinφ = 40V UL = 40 + 30 3
+ Trong tam giác vuông NQB có: 32 2
2
R U U
U
UR0 = 39,19 V; R0 = 19,6 Ω
Ví dụ 11:
Cho mạch điện nh hình vẽ
X là đoạn mạch gồm 2 trong số 3 phần tử R0, L0, C0 mắc nối tiếp Đặt vào A,B một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị U không đổi
Khi R = 90 Ω thì uAM = 180 2sin(100πt - π/2) V và uMB = 60 2sin(100πt) V
a Viết biểu thức uAB?
b Xác định các phần tử của X và giá trị của chúng?
Giải
Theo bài ra uMB sớm pha π/2 so với uAM nên uMB = ux nhanh pha hơn i
X chứa hai phần tử R0, L0
Giản đồ véc tơ:
a Trong tam giác vuông AMB có
2
U = U AM2 U MB2 = 1802 + 602 U190V
uAB sớm pha so với uAM góc α
Vậy: uAB = 190 2 sin(100πt - π/2 + 0,32) V
b Ta có ZC = 90 Ω = R
UC = UR, tam giác ANM vuông, cân
11
X
N C
R
M
A
B
M N
450
H
R U
U
I
0
L U
0
R U
Trang 12tgφRC = tgφAM = Z R C = const
C
C RC
Z R
Z
C
Z R
R
= cos φRC
sin
U
U L
sin
sin
U
U L
UL)max =
sin
U
khi sin =1
ZAM = R 2 Z C2 = 90 2 Ω ;
Góc BMH = góc MBH = 450 tam giác MHB vuông, cân
UR0 = UL0 = UMBsin450 = 30 2 V
R0 = ZL0 = 30 Ω; L0 = 3/10π H.
Ví dụ 12:
Cho mạch điện xoay chiều
Biết:
UAB = U = const;
R, C, ω không đổi
Điều chỉnh L để số chỉ của vôn kế đạt cực đại
Xác định giá trị L tơng ứng? Cuộn dây thuần cảm
Giải
Do R, C, ω không đổi ZC = const;
φRC = const; φRC < 0 Dựa vào độ lệch pha của các hiệu điện thế với dòng điện ta có giản đồ véctơ
Từ giản đồ véc tơ có:
α = π/2 - φRC = const (1)
áp dụng định lý hàm sin ta có:
( hay β = π/2;
Khi đó tam giác BAM vuông tại A
Khi đó UAM = ULCosα
Kết hợp với (1) ZAM = ZLSin φRC
L
C
A
R
V
L U C U
R
A
B
M
RC
Trang 132 2
2 2 2
2
C
C L C
Z R
Z Z Z
R
C
C C
C L
Z
Z R L Z
Z R
Z
2 2 2
2
2 2
L R Z
R
U
U
III kết quả khảo sát
* Trong những năm qua bài toán về mạch điện xoay chiều luôn có trong các
đề thi Đại học, Cao đẳng, tốt nghiệp THPT Những năm trớc đây khi đề thi còn ở dạng tự luận tôi nhận thấy học sinh áp dụng phơng pháp giản đồ véc tơ để giải bài toán mạch điện xoay chiều là không nhiều; thậm chí có những đề còn yêu cầu vẽ giản đồ véc tơ, nhng học sinh sau khi vẽ giản đồ véctơ vẫn giải quyêt các vấn đề bằng phơng pháp đại số mặc dù có thể dựa vào giản đồ véctơ để giải một cách đơn giản và nhanh hơn nhiều Nguyên nhân là do những lý do tôi đã nêu ở trên
* Chuyên đề này tôi đã quan tâm và áp dụng nhiều năm nay, với nhiều đối t-ợng học sinh khác nhau, và có đợc kết quả rất khả quan
* Kết quả khảo sát tại hai lớp 12A1 và 12A7 mà tôi dang dạy(2007 - 2008)
nh sau: Chia đôi mỗi lớp (lực học hai nửa là tơng đơng nhau), mỗi nửa áp dụng một phơng pháp làm khác nhau (phơng pháp đại số và phơng pháp giản đồ véctơ), với cùng một đề bài:
+ Kết quả khảo sát tại lớp 12A1
Số học sinh
giỏi Khá Trung bình Yếu
ADPP Đai số
(25)
13