[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Thời gian: 150 phút
Phần I: Trắc nghiệm (4 điểm)
Khoanh tròn vào chữ cái đứng trớc câu trẻ lời đúng
1 Nghiệm nhỏ trong 2 nghiệm của phơng trình
0 5
2 x 2
1 x 2
1
x
2
A
2
1
5
2
2
1
D
20 1
2 Đa thừa số vào trong dấu căn của a b với b 0 ta đợc
A a2b B a2b
C a b D Cả 3 đều sai
3 Giá trị của biểu thức 5 3 5 48 10 7 4 3 bằng:
4 Cho hình bình hành ABCD thoả mãn
A Tất cả các góc đều nhọn
B Góc A nhọn, góc B tù
C Góc B và góc C đều nhọn
D Â = 900, góc B nhọn
5 Câu nào sau đây đúng
A Cos870 > Sin 470
B Sin470 < Cos140
C Cos140 > Sin 780
D Sin 470 > Sin 780
6 Độ dài x, y trong hình vẽ bên là bao nhiêu Em hãy khoanh tròn kết quả đúng
A x = 30 2 ; y 10 3
B x = 10 3 ; y 30 2
C x = 10 2 ; y 30 3
D Một đáp số khác
Phần II: Tự luận (6 điểm)
Câu 1: (0,5đ) Phân tích đa thức sau ra thừa số
a4 + 8a3 - 14a2 - 8a - 15
Câu 2: (1,5đ) Chứng minh rằng biểu thức 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 với n là số tự
nhiên
Câu 3 (1,0đ) Tìm số trị của
b a
b a
nếu 2a2 + 2b2 = 5ab
Và b > a > 0
Câu 4 (1,5đ) Giải phơng trình
a y 2 x y 2 x x 2 2
b x4 + x2 2006 2006
Câu 5 (0,5đ) Cho ABC cân ở A đờng cao AH = 10cm, đờng cao BK = 12cm Tính độ
dài các cạnh của ABC
Câu 6 (1,0đ) Cho (0; 4cm) và (0; 3cm) nằm ngoài nhau OO’ = 10cm, tiếp tuyến
chung trong tiếp xúc với đờng tròn (O) tại E và đờng tròn (O’) tại F OO’ cắt đờng tròn
y
x
3 00
3 0
1 5
Trang 2tâm O tại A và B, cắt đờng tròn tâm (O) tại C và D (B, C nằm giữa 2 điểm A và D) AE cắt CF tại M, BE cắt DF tại N
Chứng minh rằng: MN AD
Trang 3Đáp án môn toán
Phần trắc nghiệm (4 điểm)
1 D
20
1
1 điểm
2 D cả 3 đều sai 0,6 điểm
4 B góc A nhọn, góc B tù: 0,6 điểm
5 B sin 470 < Cos140 0,6 điểm
6 B x = 10 3; y = 10 2 0,6 điểm
II Phần tự luận (6 điểm)
Câu 1: (0,5 điểm) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a - 15
= a4 + 8a3 + 16a2 - a2 - 8a - 16 - a2 + 1
= (a4 + 8a3 + 16) - (a2 + 8a + 16) - (a2 - 1)
= (a2 + 4)2 - (a + 4)2 - (a2 - 1)
= a2(a + 4)2 - (a + 4)2 - (a2 - 1)
= (a2 - 1)[(a + 4)2 - 1]
= (a - 1)(a + 1)(a + 3)(a + 5)
Câu 2 (1,5 điểm): Ta có
10n - 1 =
n
9
99 (n chữ số 9)
Vậy 10n + 18n - 1 =
n
9
99 + 9 2n
= 9(11 1 2n) 9
n
Mà (11 1 2n) (11 1 2n n 3n
n n
Số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số d trong phép chia cho 3 (theo
dấu hiệu chia hết cho 3) nên (11 1 2n) 3
n
Câu 3: (1điểm): 2a2 + 2b2 = 5ab 2a2 - 5ab + 2b2 = 0
( 2a - b) (a - 2b) = 0 (1)
Vì b > a > 0 nên a 2b
(1) thỏa mãn thì 2a - 2b = 0 2a = b
a
a 3 a 2 a
b 2 a b a
b a
Câu 4 ( 1,5điểm) y 2 x y x x 2 2
Trang 4 y x x 2 y x
4y2 + x +2 ( y 2 x )( x 2 2 ) x 2 2 y x
(4y2 - 4y +1) + (x2 + 2x + 1) + 2 ( 4 y 2 x )( x 2 2 ) 0
(2y - 1)2 + ( x+1)2 + 2 ( 4 y 2 x )( x 2 2 ) 0
Vế trái =0 (2y - 1)2 = 0, (x + 1)2 = 0, ( y 2 x )( x 2 2 ) 0
x = -1; y =
2
1
, Vậy nghiệm của PT là
2
1 y
1 x
b x4 + x2 2006 2006
x4 = 2006 - x2 2006
x4 + x2+
4
1 2006 x
2006 x
4
(x2 + 2 2 ) 2
2
1 2006 x
( ) 2
1
x2+
2
1 2006 x
2
1 2006 x
2
x2+ 1 = x2 2006
x4 + 2x2 + 1 = x2 + 2006
x4 + x2 - 2006 = 0 Hàm số đặt ẩn phụ đa về phơng trình trùng phơng đợc kết quả
Câu 5 ( 0,5 điểm)
Đặt AC = x = AB; BC = y
12x = 10y
6
7 5
x
(1)
y
2
Giải ra đợc: x = 12,5; y = 15
Câu 6 ( 1điểm) Chứng minh EF là tiếp tuyến trung trong OE EF O’FEF OE // O’F
O1 =O’2( so le trong) OE = OB B1 =
2
O
180 0 1
A
K
H y
x
Trang 5O’C =O’F C1=
2
' O
180 1
, O1 = O’1 B1 =
2
O
180 1
,
O’C = O’F C1 =
2
O
180 0 1
; O1 = O’1.
B1 = B2 , C1 = C2 ( Đối đỉnh)
B2 = C2 FN // FM Tơng tự EM//FN MENF là hình bình hành
AB là đờng kính AEB = 900 MEN = 900
MENF là hình chữ nhật; EF cắt MN tại K KE = KM M1 = E2
Số đo A1 = sđ
2
BE
sđ E1 = sđ
2
BE
sđ A1 = sđ E1
Có E1 + E2 = 900 A1 + M1 = 900 MNAD
B 2
E
M
O
C
2
2
1
1
1 1 1