VÏ c¸c tiÕp tuyÕn Ax, By (Ax vµ By vµ nöa ®êng trßn cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê AB).. Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt k× thuéc nöa ®êng trßn.[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn:Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút.
Đề bài:
Câu 1: (4 điểm).
Giải các phơng trình:
1) x3 - 3x - 2 = 0
2) 7 x- + x - 5 = x2 - 12x + 38
Câu 2: ( 6 điểm)
1) Tìm các số thực dơng a, b, c biết chúng thoả mãn abc = 1 và a + b + c + ab + bc + ca 6
2) Cho x > 0 ; y > 0 thoã mãn: x + y 6
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
M = 3x + 2y +
y x
8 6
Câu 3: (3 điểm)
Cho x + y + z + xy + yz + zx = 6
CMR: x2 + y2 + z2 3
Câu 4: (5 điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm 0 có đờng kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax và
By và nửa đờng tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn Tiếp tuyến tại M cắt Ax; By theo thứ tự ở C; D
a) CMR: Đờng tròn đờng kính CD tiếp xúc với AB
b) Tìm vị trí của M trên nửa đờng tròn (0) để ABDC có chu vi nhỏ nhất c) Tìm vị trí của C; D để hình thang ABDC có chu vi 14cm Biết AB = 4cm
Câu 5: (2 điểm)
Cho hình vuông ABCD , hãy xác định hình vuông có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông ABCD sao cho hình vuông đó có diện tích nhỏ nhất./
Hết
Đáp án đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Môn:Toán 9 Câu 1: (4 điểm)
Trang 21 (2 điểm)
Giải phơng trình: x3 - 3x - 2 = 0
( x3 - 2x2) + (2x2 - 4x) + (x - 2) = 0 (0,5đ)
x2 (x - 2) + 2x (x - 2) + (x - 2) = 0
x - 2 = 0 => x = 2
2 (2 điểm)
Giải PT: 7 x- + x -5 = x2 - 12x + 38
+ ĐK: 7 - x 0
x - 5 0 5 x 7
(0,25đ)
+ áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số không âm ta có:
VT = 7 x- + x -5
2
1 + 5 -+ 2
1 +
= 2 Dấu bằng xảy ra 7 - x = 1
Mặt khác :
+ VP = (x - 6)2 + 2 2
+ Vậy : 7 x- + x -5 = x2 - 12x + 38
7 x- + x -5 = 2 = x2 - 12x + 38
Câu 2: (6 điểm)
1 (3 điểm)
c
a
=
b ac
Thay vào bắt đẳng thức đã cho có :
a + b + c + ab + bc + ac 6
0
2 1 2
1 2
c
c b
b
a
1
-a
6 b
1 a
1 c
1 c b
a
a a
1 0
1
b
(1,0đ)
x = 6
(1,0đ)
Trang 31
c
2 (3đ)
- Biến đổi :
x y
y
y x x y
2
3 8 2
6 2
3 2
3 2 3
y
y x
2
6 2
3
(0,5đ)
áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có :
y
y x
2 2 2 2 6 6 2
3
Dấu bằng xảy ra khi x = 2; y = 4
M nhỏ nhất bằng 19 (khi x = 2; y = 4) (0,5đ)
Câu 3 : (3đ)
+ Ta có :
x2 + 1 ≥ 2x
y2 + 1 ≥ 2y
(x2 + y2 + z2) + 3 ≥ 2(x + y + z) (0,5đ) Mặt khác ta có :
2 (x2 + y2 + z2) ≥ 2 (xy + yz + zx) (0,5đ)
Do đó : 3 (x2 + y2 + z2) + 3 ≥ 2 (x + y + z + xy + yz + zx)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
Câu 4 : (5 điểm)
+ Vẽ hình đúng ghi giả thiết
kết luận (0,5đ)
c
X
M I
D Y
Trang 4Câu a : (1,5đ)
+ OC; OD là 2 tia phân giác của 2 góc kề bù góc COD = 900 (0,5đ) Gọi I là trung điểm của CD thì ta có :
IO = IC = ID
+ Tứ giác ACDB là hình thang, có OI là đ ờng trung bình; từ đó suy ra IO AB (tại O)
Câu b : (1,5đ)
- Chu vi hình thang ABDC bằng :
AB + AC + BD + CD
- Chứng minh đợc :
AC + BD = CM + MD = CD
C ABDC nhỏ nhất CD nhỏ nhất
CD = AB CD // AB
Vậy : M là điểm chính giữa góc AB thì chu vi hình thang ABDC nhỏ nhất
Câu c : (1,5đ)
+ Đặt AC = x
BD = y
CABDC = AB + 2CD = 4 + 2 (x + y)
Mà xy = MC.MD = OM2
Kết hợp (1) và (2) ta có :
1 5
4
x
Vậy : Nếu C Ax và C cách A 1cm hoặc 4cm thì CABCD = 14 (cm) (0,5đ)
Câu 5 : (2đ)
Gọi EFGH là hình vuông cần xác định
+ Chứng minh đợc : Δ AHE = Δ CFG (Cạnh huyền,góc nhọn)
EH = CG
AEGC là hình bình hành
Trang 5Mà AE // CG
Do đó EG qua trung điểm O của AC
Tơng tự ta có : HF qua trung điểm O của BD
Tâm 0 của hình vuông ABCD và tâm của hình vuông
2
2 2
2
1
OE OE
OE HF
GE
+ Gọi K là nhỏ nhất OE = OK
E = K
SEHGF nhỏ nhất E, F, G, H là trung điểm các cạnh hình