Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC... Gäi I lµ trung ®iÓm cña AC.[r]
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu I: (4,0 điểm)
Câu 1: (1,0 điểm) Giải phơng trình:
1 9
12
4 2
x
Câu 2: (3,0 điểm) Giải và biện luận phơng trình theo tham số a:
1
1 1
1
a a x
x a x
a x a
Câu II: (3,0 điểm)
Câu 1: Cho biết: ax + by + cz = 0
Và a + b + c =
2006 1
) ( ) ( )
2 2 2
y x ab z
x ac z y bc
cz by ax
Câu 2: Cho 3 số a, b, c thoã mãn điều kiện: abc = 2006
Tính giá trị của biểu thức:
1 2006
2006 2006
2006
c ac
c b
bc
b a
ab
a P
Câu III: (4,0 điểm)
Câu 1: Cho x, y là hai số dơng thoã mãn: xy 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
xy y x
A 2 1 2 2
Câu 2: Rút gọn biểu thức sau:
n n
A
1
1
4 3
1 3 2
1 2
1 1
Câu IV: (5,0 điểm)
Cho tứ giác ABCD có B = D = 900 Trên đờng chéo AC lấy điểm E sao cho ABE = DBC Gọi I là trung điểm của AC
Biết: BAC = BDC; CBD = CAD
Câu 1: Chứng minh CIB = 2 BDC
Câu 2: ABE ~ DBC
Câu 3: AC.BD = AB.DC + AD.BC
Câu V: (2,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có độ dài cạnh đáy là
12 cm, độ dài cạnh bên là 18 cm
a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp
b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp
Câu VI: (2,0 điểm) Cho biểu thức:
1
6
a a M
Trang 2Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.
H ớng dẫn chấm môn toán
Câu I: (4,0 điểm).
Câu 1: (1,0 điểm)
Trang 3Đa phơng trình về dạng: 2x 3 x 1 0,25 đ
Câu 2: (3,0 điểm)
Tập xác định = x/xQ;xa;x 1 0,25 đ
Biến đổi đa phơng trình về dạng:
Nếu a 1 thì
1
1
2
a
a
Giá trị này là nghiệm của phơng trình nếu:
a a
a
1
1
2
1
1
2
a
(mỗi điều kiện đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm) 0,5 đ
Câu II: (4,0 điểm).
Câu 1: (2,0 điểm)
Từ (ax + by + cz)2 = 0 =>
a2x2 + b2y2 + c2z2 = -2(abxy + bcyz + caxz) 0,5 đ Biến đổi mẫu số = (ax2 + by2 + cz2)(c + b + a) 1,0 đ
) )(
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2
c b a c b a cz by ax
cz by ax y
x ab z x ac z
y
bc
cz by ax
0,5 đ
Câu 2: (1,0 điểm)
Từ: abc = 2006
=>
1
.
c ac
c abc
b bc
b abc
a abc ab
a abc
Biếnđổi => P = 1
Câu III: (4,0 điểm).
Câu 1: (2,0 điểm)
) (
10
y x
Tìm đợc Amin = 10 khi
2
1
y
Câu 2: (2,0 điểm)
Rút gọn:
n n
A
1
1
3 2
1 2
1 1
HS tính đợc:
Trang 41
1
2 3 1
1
Câu IV: (5,0 điểm).
Cho tứ giác ABCD có B = D = 900 Trên đờng chéo AC lấy điểm E sao cho ABE = DBC Gọi I là trung điểm của AC
Biết: BAC = BDC; CBD = CAD
Câu 1: Chứng minh BIC = 2BDC
Câu 2: ABE ~ DBC
Câu 3: AC.BD = AB.DC + AD.BC
Chứng minh:
Vẽ hình đúng, cân đối, ghi đủ GT, KL
Câu 1: (1,5 điểm)
Sử dụng tính chất của đờng trung tuyển trong tam giác vuông và tính chất góc ngoài tam giác chứng minh đợc CIB = 2 BDC
Câu 2: (1,0 điểm)
Chứng minh: ABE ~ DBC (g.g)
Câu 3: (2,0 điểm)
Vì ABE ~ DBC
DC
AE DB
AB
AB.DC AE.DB (1)
BEC là góc ngoài ở đỉnh E của AEB nên BEC = EAB + EBA
Mà: EBA = BDC = CAD Do đó BEC = EAB + EAD = BAD
BEC
~
AD
EC BD
BC
Cộng (1) và (2) theo từng vế ta đợc:
AB DC + BC AD = AE DB + EC BD
=> AB DC + BC AD = (AE +EC) BD
Câu V: (2,0 điểm)
Tính đợc trung đoạn
S
B
C
E I
Trang 5Tính đợc: Sxq= p.d
Sxq= 4 12 180
2
1
180 24
cm2 0,75 đ
Tính đợc: Diện tích toàn phần hình chóp:
STP =Sxq +Sct
Stp = 24 180+122 = 24 180 + 144(cm2) 0,5 đ
Câu VI: (2,0 điểm)
Ta có:
1
5 1
a
Để M là số nguyên thì
1
5
Để
1
5
a là số nguyên thì a không thể là số vô tỉ
0,5 đ