De dap an thi thu dai hoc 02

[r]

Đ THAM KH O Ề Ả

Email: phukhanh@moet.edu.vn

Đ THI TUY N SINH Đ I H C, CAO Đ NG NĂM 2012 Ề Ể Ạ Ọ Ẳ

Môn thi : TOÁN - kh i B ố

Ngày thi th : tháng 03 năm 2012 ử

I PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả

Câu I: Cho hàm s : ố y  x 3  3x 2  3m m 2 x 1    có đ th là ồ ị C , m m là tham s ố

1. Kh o sát s bi n thiên và vẽ đ th ả ự ế ồ ị  C c a hàm s khi ủ ố m 0 

2. Tìm các giá tr c a tham s ị ủ ố m đ đ th ể ồ ị C m c a hàm s có ủ ố 2 đi m c c tr ể ự ị A,B mà đ dài ộ AB 2 5 

Câu II:

1 Gi i phả ương trình: t anx.cot2x 1 sin 4x 1sin x cos x 4 4 



2 Gi i phả ương trình: 2 2

3

Câu III: Tính tích phân: 4

2 0

sinx

5sinx.cos x 2cosx









Câu IV: Cho đường cao kh i chóp đ u ố ề S.ABC b ng ằ h không đ i, góc đáy c a m t bên b ng ổ ở ủ ặ ằ  v i ớ ;

4 2

 

 

 

.Tính th ể tích c a kh i chóp đó theo ủ ố h và .V i giá tr nào c a ớ ị ủ  thì th tích kh i chóp đ t giá tr l n nh t ể ố ạ ị ớ ấ

Câu V: Cho các s th c ố ự x,y thay đ i trong đo n ổ ạ 1;2 Tìm t t c giá tr c a s th c ấ ả ị ủ ố ự z đ bi u th cể ể ứ

x yz x y xyz

P

x xy y



  có giá tr l n nh t là ị ớ ấ M th a mãn ỏ M 2 

II PH N RIÊNG Thí sinh ch đ Ầ ỉ ượ c ch n làm m t trong hai ph n ( ph n A ho c B ) ọ ộ ầ ầ ặ

A Theo ch ươ ng trình chu n ẩ

Câu VI.a:

1.Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy, cho  ABC có A 2;7 ,  đường th ng ẳ AB c t tr c ắ ụ Oyt i ạ E sao cho AE 2EB                             

, đ ngồ

th i ờ  AEC cân t i ạ A và có tr ng tâm ọ G 2;13

3

 

 

  Vi t phế ương trình ch a c nh ứ ạ BC

2. Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxyz, cho đường th ng ẳ  d :x 1 y 3 z,

  và đi m ể M 0; 2;0   Vi t phế ương trình m tặ

ph ng ẳ  P đi qua đi m ể M song song v i ớ  d đ ng th i kho ng cách gi a đồ ờ ả ữ ường th ng ẳ  d và  P b ng ằ 4

Câu VII.a: Tìm số nguyên dương n, biết:

2C 3.2.2C 1 k k 1 2 C  2n(2n 1)2  C  40200

B Theo ch ươ ng trình nâng cao

Câu VI.b:

1 Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxy, cho tam giác ABCcó C 2;3  và trọng tâm G 2 1;

3 3

 

 

 , phương trình đường phân giác trong của góc A là2x 5y 7 0    Hãy xác định tọa độ các đỉnh A,B

2 Trong m t ph ng to đ ặ ẳ ạ ộ Oxyz cho 3 điểm A 1;1;1 , B 5;1; 2 , C 7;9;1      .Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc

Acủa tam giác ABC

Câu VII.b: Cho số phức z x yi   x,y  Biết x 2  2y 2  10 Tìm x,y để số phức w z  2  2z 5  là số thuần ảo

ĐÁP ÁN:

Câu I:

1 T vẽ ự

2 Ta có: y'  3x 2  6x 3m m 2    .

Đ th ồ ị C m c a hàm s có ủ ố 2 đi m c c tr ể ự ị A,B khi và ch khi ỉ y' 0  có 2 nghi m phân bi t ệ ệ x ,x 1 2    ' 9 m 1  2 0

 

Ta th y, ấ y 1x 1 y' 2 m 1 x  2 m 12

3

      và do y' x 1  y' x 2  0 nên suy ra y x 1 2 m 1 x  2 1m 1 2,

y x 2 m 1 x  m 1

Ta có:   2  2

A x ;2 m 1 x  m 1 ,   2  2

B x ;2 m 1 x  m 1

AB x  x 4 m 1 x x  x  x  4 m 1 1    x x 4x x   4 m 1 1 

4 4m m 2 4 m 1 1 2 m 1 4 m 1 1

              

Mà AB 2 5  m 1 24 m 1  41  5m 1 24 m 1  415

Đ t ặ tm 1 2 0 t 4t 21 5 4t3 t 5 0 t 1   t 1 21 0 t 1

V i ớ t 1   m 1  2  1 m  2 ho c ặ m 0  th a đ bài.ỏ ề

Câu II:

1 sinx.cos2x sin2x.cosx.cos4x 11 2sin x.cos x2 2 



2

2

cos4x 1 1 sin 2x cos 2x 7cos 2x cos2x 5 0

2cos x

Đ t ặ t cos2x, 1 t 1     Ta có phương trình: t 3  7t 2      t 5 0 t 1;3  14;3  14

Đ i chi u đi u ki n, suy ra ố ế ề ệ t 3 14 x 1arccos 3 14 k ,k

2

2 0 x 1  

Cách 1: Bình phương 2 v r i rút g n, ta đế ồ ọ ược: 4 x x  26 x x 20

Cách 2: Đ t ặ t  x  1 x  , ta tìm được t 2  ( không th a ), ỏ t 1  th a.ỏ

Cách 3: 2 x 1 x 3 1 x 3 x 3 1 x 3 x 3,

2 x 3



       



9 x 4



Đ t ặ t x 1 x 3t 3

2t 3





H n n a ơ ữ   2 2 2 3t 3 2

2t 3





  , quy đ ng r i rút g n, đ t nhân t ta đồ ồ ọ ặ ử ược t t 1 2t    24t 3 0

Cách 4: a  x , b  1 x  v i ớ a 0,b 0  

3

ab 0

a b 2ab 1

a b 1





ho c ặ

a b 2 3 ab 2

 











Cách 5:   x 2 1 x 21 g i ta nghĩ đ n ợ ế sin a cos a 1 2  2 

Đ t ặ x sina,  0 a

2



 

Câu III:

5sinx.cos x 2cosx 5tanx 2 1 tan x cos x

Đ t ặ t tanx  , 1 2 1

3 t 2 2t 1 2 3 2t 5t 2

Câu IV:

SBA SBC

    và SA SB SC  

G i ọ H là chân đường vuông góc k t ẻ ừ S và SH h  , H là tâm

đáy

G i ọ K là trung đi m ể BC  SK BC 

Đ t ặ BC 2x   BK x 

Trong  SBK có SK x.tan  

Trong  SHK có

2

SH HK SK h x tan x

 

2x 3 3h 3

S

4 3tan 1

 

Do đó , V 1SH.SABC 1.h. 3h 322 h 332

2

h 3 h 3 h 3

 

 



 

 

V y, ậ maxV h 33 tan 1



      

Câu V: Ta có:

2

2 2

2

x 2z 1 x z

t 2z 1 t z y

y P

y y

  

 

 

v i ớ t x t 1;2

 

    

 

Xét hàm s : ố    

2 2

t 2z 1 t z

f t

t t 1

  



  v i ớ t 1;2

2

 

  

  Theo bài toán, ta có: t 1;2 

2

maxf t M

 



Ta có: M 2 t2 22z 1 t z 2 z t2 t 2

2t 1

t t 1



2

 

 

  Xét  

2

t t 2

g t

2t 1

 



t ;2 2

t ;2 ming t z

 

 

 

Câu VI.a:

1 Gọi I là trung điểm của EC Vì G là trọng tâm  AEC nên AG 2AI

3



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I 2;3

Hơn nữa E Oy nên E o;e 

Vì  AEC cân tại A nên AI EC   AI.EC 0     e 3 

E 0;3 ,

 C 4;3  Mặt khác, AE 2EB                               B 1;1 

Vậy, phương trình chứa cạnh BC: 2x 5y 7 0   

2 Giả sử  P : ax by cx d 0     có vectơ pháp tuyến na;b;c 0

 d đi qua điểm A 1;3;0  có vectơ chỉ phương u1;1;4

Ta có:  

n.u a b 4c 0 b a 4c

|a 5b|

4 a 5c 2a 17c 8ac a -2ac 8c 0

d A, P 4

a b c

    

 



 



 

 

b a 4c

a

4 P : 4x 8y z 16 0 a

2 P :2x 2y z 4 0 a

c

 





 



  





Câu VII.a:

Xét:  2n 1 0 1 2 2  k k k 2n 1 2n 1

1 x  C C x C x 1 C x C  x 

L y đ o hàm ấ ạ 2 v ta đế ược: 2n 1 1 x  2n C12n 1 2C22n 1x  1 kCk k2n 1xk 1 2n 1 C 2n 1 2n2n 1  x

L y đ o hàm ấ ạ 2 v l n n a, ta đế ầ ữ ược:    2n 1 2 3  k   k k 2   2n 1 2n 1

2n 2n 1 1 x  2C 3C x 1 k k 1 C x  2n 2n 1 C  x 

2n 2n 1 2C 3.2.2C 1 k k 1 2 C  2n 2n 1 2  C 

2n 2n 1 40200 2n n 20100 0 n 100

Tác gi không có ch tr ả ủ ươ ng s a ph n nâng cao ử ầ