bai tap day them

Trên đường thẳngqua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E. tính thể tích khối tứ diện CDEF. Bài 2 cho hình ch[r]

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I )TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC

Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu

a) xác định đường cao

b) tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy

Để xác định đường cao ta lưu ý

 Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy

 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyếncủa mặt phẳng đó và đáy

Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mp đó

Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý

Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông

Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định

CÁC CÔNG THỨC

Thể tích khối hộp chữ nhật: V= abc ( a,b,c là 3 kích thước)

Thể tích khối lập phương : V = a3 (a là cạnh khối lập phương)

Thể tích khôi chóp: V = Bh

3

1

( B diện tích đáy, h chiều cao)

Thể tích khối lăng trụ: V = Bh ( B diện tích đáy,h chiều cao)

B

A

C M

1

AC AB

AC EF

3

2



Đường cao trong tam giác đều cạnh a

là đường trung tuyến, trung trực,…

Sau đây là các bài tập

a

Bài 2

Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a Các mặt bên

SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600.Tính thể tích của khối chóp đó

Bài giải

Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy

AB 

=9a Nên SABC= p(p a)(p b)(p c)=6a2 6

Có SO chính là đường cao

SABC=1/2.AB.AC.sin1200=

4

3 2

a và BC=2BD=2.ABsin600=a 3

OA=R=

s

c b a

4

.

SB SA

SB SA

2 3

a

bài 5

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A,D; AB=AD=2a,CD=a Góc giữa hai mpSBC và ABCD bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp SBI,SCI cùng vuông góc với mpABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD

SIBA=1/2.IA.AB=a2 và SCDI=1/2.DC.DI=1/2.a2

 SIBC=SABCD-SIAB-SDIC=

Cho chóp SABC có SA=SB=SC=a, ASB= 600,CSB=900, CSA=1200

CMR tam giác ABC vuông rồi tính thể tích chóp

a

Nên AB  mp(ACC1A) do đó AC1B=300 và AC1=AB.cot300=3a.

Á.D pitago cho tam giác ACC1 : CC1= 2 2

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=

4

3 2

a

mặt khác A1A= A1B=A1C  A1ABC là tứ diện đều

gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao

Trong tam giác A1AG có AG=2/3AH=

a

Bài9

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB= 2.Cho biết mpABB1vuông góc với đáy,A1A= 3,Góc A1AB nhọn, góc giữa mpA1AC và đáy bằng 600 hãy tính thể tích trụ

Do đó A1G=

5

5 3

vậy VLT=A1G.SABC=

10

5 3

Bài 10

Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hcn với AB= 3 và AD= 7 Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1

giải

N H M

Gọi H là hình chiếu của A1 lên mpABCD

Từ H hạ HM  AD tại M và HN  AB tại N

Theo gt  A1MH=600 và A1NH=450

Đặt A1H=x(x>0) ta có A1M= 0

60sin

x

=

3

2x

tứ giác AMHN là hcn( góc A,M,N vuông)

Nên HN=AM mà AM= 2

khác với S thì

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC

C B

A1 1 1 1 1 1

 đôi khi gặp bài toán kết hợp cả

Chứng minh bài toán Tỉ số thể tích hai khối tứ diện(chóp tam giác)

1 1 1

sin

3 1

sin 3 1

1 1

SC SB

SB E A

AH BSC

SC SB E A

BSC SC

SB AH V

V

C B SA

SB SA

SA V

V

ABC

C B

Nhận xét các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó nhưng

ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc Ta liên tưởng đến bài 6 phần I

Vây ta có lời giải sau

B1

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1=a,

Trên SC lấy C1 sao cho SC1=a,

Ta có

12

2 3

1 1

a

V SAB C  (theo bài 6)

Mà . 1 1.

1 1

C SAB

SC

SC SB

SB SA

SA

2

2 3

a

Bài 2

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a A1A =2a và

A1A tạo với mpABC một góc 600 Tính thể tích khối tứ diện A1B1CA

giải

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC

Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600=a 3

Mà VLT=A1H.SABC=

4

3 4

3 3

DDF

Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1,A1B1,B1B,D1D lần lượt tại J,I,H,K(hv)

Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp

Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1

Ba tam giác IEB1,EFC1,FJD1 bằng nhau “ c.g.c”

Theo TA-LET

3

11

1 1

72 3

2

2

2

1 3

1

3

1

1 1

3 2

3 2

1 3

1

2

1 3

1

1

abc c

b a JA

AI AA

V1= V AA J JI -2.V HIEB1 =

72

25 72 2 8

I

E

F

J

III) BÀI TOÁN ÔN TẬP

Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp

Bài 1

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a

a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C

b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F Hãy tính thểtích chóp C.A1B1FE

2

3 3

1

3

a a a S

H

Tương tự gọi K là trung điểm AB

Nên

12

3 4

3 3

1

a V

b) cách 1 Tính trực tiếp

gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=ACd và F=BC d

MpCKQ chính là mp trung trực của AB,FE

Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mpA1B1FE

13 12 6

3 ,

2

2 2

2 KG a a a KQ

QG a

GK a

6

3 2

3 3

1

2

1 3

2 3

a QK CK S

Mặt khác

54

3 5 12

13 ).

2

3 (

2

1 13

13 2 3

1 ).

, ( 3 1

13

13 2 12

13 6

3 2

2 ) , ( ) , (

2

1

3

2

1 1 1

1

a a

a a a

S QG C d V

a a

a QG

S QG

C d QG C d QG

S

B FEA B

FEA

C

CQG CQG

2

3 2

1 3

1 3

2 3

2 2

2 2

3 2

1 1

1 1

a a a V

CB

CF CK

CG V

Bài 2 cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn,AB=a,AD=a 3,SA=2a và SA 

ABCD, Một mp đi qua A và vuông góc với SC,cắt SB,SC,SD lần lượt tại H,I,K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a

SAB

BC

ABCD SA

SA BC AB

1 1

1

2 2 2

2 2

a AB SA

BA SA AH

AS AB

Trong tam giác vuông HAI có

5

6 5

4 2

2 2 2

a AH

14 7

3 2 5

6 5

2 ( 2 6

1

)

.(

6

1

2

1 3

1

2

1 3 1

3

a a

a a

a a

V

KI AK HI AH SI KI

AK SI HI

AH SI

V V

V

SAHIK

SIKA SIHA

5

4.2

1

.2

1

2

2 2

a a a

a V

SB

SA V

SC SB

SI SH

Tương tự

35

3

Tứ diện BCDE có VBCDE=

H

B

E C

D

D F

Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị

Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA=a,AB=b, AD=c Trong mpSDB lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh BS tại M, cắtcạnh SD tại N,mpAMN cắt SC tại K Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó

Bài giải

SM V

SB

SM V

SB

SM V

SC

SK SA

SA SB

SM

V

V

SABCD SBAC

SMAK SBAC

12

1

.4

1

.2

1

G H

) (

3

1

.

2

.

2

2

2 2

.

SC

SN SB

SM SC

SB

SN

SM

SC SO

SN SG SB SO

SM SG S

S S

S S

S S

SC

SN SB

SGM SBO

SGN SMG SBD

SM SB

( 3

1

SN SC

SN t SC

SN t

Nhận thấy VSAMKN đạt GTLN,GTNN nếu f(t)=

SN SB

SM

với 1 2

1 1

Bài 2 cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C,AC=a,AB=2a,SA vuông gócvới đáy.Góc giữa mpSAB và mpSBC bằng 600 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SB,SC Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC

Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết a) Mp(SBA) vuông góc với mp(SCA)

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC

Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1=a Góc giữa đường thẳng BB1và mpABCbằng 600 Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mpABC trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABCtheo a

Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a,khoảng cách từ tâm O của

tam giác ABC đến mpA1BC bằng

6

a

.hãy tính thể tích khối trụ đó Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A,góc giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a Góc giữa hai mặt bên qua

A1A bằng 600 hãy tính thể tích khối trụ

Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại

A,AB=a,BC=2a Mặt bênABB1A1 là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc  hãy tính thể tích khối lăng trụ

Bài 8 cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bầng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D N là trung điểm SC.mpBMN chia khối S.ABCD thành hai phần Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 9 cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,A1A=a,M thuộc đoạn

AD sao cho AM=3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1,

Bài 10 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho CK=2/3.a.Mặt

Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại Avà D Tam giác SAD

là tam giác đều cạnh 2a, cạnh BC =3a Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau Hãy tính thể tích khối chóp

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang với các cạnh AB=BC=CD=1/2.ADTam giác SBD vuông nằm trong mp vuông góc với đáy và có các cạnh góc vuông là SB=8a,SD=15a hãy tính thể tích khối chóp

Bài 13 Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC,ABD là hai tam giác đều cạnh a,mpADC vuông góc mpBCD Tính VABCD

Bài 14

Cho tứ diện ABCD, các điểm M,N,P lần lượt BC,BD,AC sao cho BC=4BM,

BD=2BN,AC=3AP MpMNP chia tứ diện làm hai phần tính tỉ số thể tích hai phần đó Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có các mặt bên (A1AB),(A1BC),(A1CA) hợp với đáy (ABC) góc 600,gócACB=600,AB=a 7,AC=2a tính VLT

Bài 16 Cho hlp ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a.Gọi M,N,P lần lượt thuộc các đoạn

A1A,BC,CD sao cho A1A=3A1M,BC=3BN,CD=3DP.MpMNP chia khối lập phương làm hai phần tính thể tích từng phần

Bài 17 Cho tứ diện ABCD.Gọi M là trung điểm DA.Các điểm N,P thuộc BD sao cho BN=NP=PD.Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần tứ diện cắt bởi

a) mp qua MN và song song với trung tuyến AI của tam giác ABC

b) mp qua MP và song song với AI

c) mp  qua MN song song với trung tuyến CE của tam giác ABC

bài 18 Cho tứ diện ABCD có AB=BD=AC=CD= 3, Cạnh BC=x, khoảng cách giữa

BC và AD bằng y.Tính VABCD theo x và y,tìm x,y để VABCD đạt giá trị Max,min

baì 19 Trong mp(P) cho hình vuông ABCD có cạnh AB=a, tia Ax và tia Cy cùng vuông góc với mp(P) và cùng thuộc nửa mp bờ AC Lấy điểm M bất kỳ thuộc tia Ax và chọn điểm N thuộc tia Cy sao cho mpBDM vuông góc với mpBDN

a) Tính AM.CN theo a

b) Xác định vị trí của điểm M để thể tích khối tứ diện BDMN đạt min

Bài 20 Hai nửa đường thẳng Am,Bn vuông góc với nhau và nhận AB=a làm đoạn vuông góc chung Các điểm M,N lần lượt chuyển động trên Am,Bn sao cho MN=AM+BN.a) CMR VABMN không đổi, tính giá trị đó

b) Goi O là trung điểm AB,H là hình chiếu của O trên MN CMRV V MH NH

HOBN HOAM



nhận xét: Từ

bài 1(sgk cơ bản\25) tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

1 bài 2(sgk cơ bản\25) tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

2 bài 3(sgk cơ bản\25) Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1.Tính tỉ số thể tích của khối hộp

đó và thể tích của khối tư diện ACB1D1.

3 bài 4(sgk cơ bản\25) Cho hình chóp SABC Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần

lượt ba điểm A1,B1,C1 khác với S Chứng minh rằng

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC

C B

A1 1 1 1 1 1



4 bài 5(sgk cơ bản\26) Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB=a Trên đường thẳ ngqua C và vuông góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD=a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,cắt BD tại F và cắt AD tại E tính thể tích khối tứ diện CDEF

5 bài 6(sgk cơ bản\26)Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b lấy đoạn thẳng AB có độ dài x trượt trên a, đoạn thẳng CD co độ dài y trượt trên b CMR VABCD không đổi

6 bài 5(sgk cơ bản\26) Cho hình chóp O,ABC có ba cạnh OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau và OA= a,OB=b ,OC=c, Hãy tính đường cao OH của hình chóp,

7 bài 6(sgk cơ bản\26)Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh AB =a, Các cạnh bênhợp với đáy một góc 600 Gọi D là giao điểm của SA với mp qua BC và vuông góc với SA

a) Tính tỉ số tỉ hai khối chóp SDBC và SABC

b) Tính thể tích của khối chóp SDBC

8 bài 7(sgk cơ bản\26)Cho hình chóp tam giác SABC có SA=5a,BC=6a,CA=7a Các mặt bên SAB,SBC,SCA cùng tạo với đáy một góc 600 tính thể tích của khối chóp dó

9 bài 8(sgk cơ bản\26 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hcn,SA vuông góc với đáy và AB=a,AD=b.SA=c Lấy các điểm B1,C1 theo thứ tự thuộc SB,SD sao cho AB1

vuông góc với SB,AD1 vuông góc SD Mp(AB1C1) cắt SC tại C1 Hãy tính thể tích khối chóp SAB1C1D1

10 bài 9(sgk cơ bản\26) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 600 Gọi M là trung điểm SC Mp đi qua AM và song song với DB, cắt SB tại E,SD tại K tính thể tích khối chóp SAEMK

11 bài 10(sgk cơ bản\27)Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA1B1C1 CÓ tất cả các cạnh đềubằng a

13 bài 12(sgk cơ bản\28) Cho hlp ABCD A1B1C1D1 có cạnh a Gọi M là trung điểm của

A1B1và N là trung điểm của BC

a) Tính thể tích khối tứ diện ADMN

b) Mp DMN chia khối hlp đã cho thành hai khối đa diện tính tỉ số thể tích hai khối đa diện

15) Ví dụ (sbt cơ bản \14) cho hình hộp chữ nhật ABCDA1B1C1D1 có AB=a, BC=b,

16)Ví dụ (sbt cơ bản\17) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, Mp (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB,SC,SD lần lượt tại E,F,G.Biết AB=a, 3SE=2SB.

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAEFG,SABCD

b)Tính thể tích của khối chóp SAEFG

17) (bài 1.14\sbt cơ bản\18) Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng

a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600.Hãy tính thể tích của khối chóp đó

18)(bài 1.15\sbt cơ bản\18) Cho khối chóp SABC có dáy là tam giác cân với AB =AC

=5a,BC=6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600 Tính thể tích khối chóp đó

19)(bài 1.16\sbt cơ bản\18) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy là tam giác vuông tại

B Cạnh SA vuông với đáy Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB,AE vuông góc với SC Biết AB=a, BC =b,SA=c

a) Hãy tính thể tích khối chóp SADE

b) Tính khoảng cách từ E đến mpSAB

20) (bài 1.17\sbt cơ bản\18) CMR tổng khoảng cách từ một điểm trong bất kì của một

tứ diện đều đến các mặt của nó không đổi

21) (bài 1.18\sbt cơ bản\18) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB=a,BC=2a,

AA1=a, Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM=3MD

a) Tính thể tích khối chóp MAB1C

b) tính khoảng cách từ M đến mpAB1C