Tuy nhiên, giấc mơ của Hilbert vẫn chưa phải đã thực hiện được … Những chân lý không thể chứng minh Từ năm 1931, nhà lôgic học người Áo Kurt Godel đã chứng minh rằng, do một mâu thuẫn cơ
Trang 1Gottfried Wilhelm Leibniz (1616 - 1716)
Thursday, 05 August 2004
Gôtphơrit Vinhem Lepnich (Gottfried Wilhelm Leibniz) -
nhà bác học, triết học lỗi lạc của nước Đức Lepnich là con một
giáo sư ở trường đại học Leipzig Từ nhỏ, Lepnich đã được cha
quan tâm bồi dưỡng những năng khiếu tự nhiên Mẹ là một phụ
nữ thông minh, biết nhiều ngoại ngữ, có ảnh hưởng sâu sắc tới
tài năng và đức tính của nhà bác học sau này Năm 14 tuổi,
Lepnich được nhận vào học tại trường đại học Laixich Lepnich tỏ ra thông minh đặc biệt
và có nhiều công trình nghiên cứu về toán Năm 20 tuổi, Lepnich đã cho xuất bản cuốn Lược khảo về sự phân tích tổ hợp Những phát minh của ông cùng thời với nhiều nhà bác học lớn trên thế giới như phép tính vi phân tương đương với Niutơn, lý thuyết bảo tồn năng lượng đồng thời với Đêcactơ Lepnich là một nhà bác học về nhiều ngành khoa học
tự nhiên như toán học, sử học, nhà nghiên cứu pháp lý mới, nhà cải cách ngôn ngữ và triết gia
Ông đã đi du lịch qua nhiều nước như Pháp, Anh, Italia và có quan hệ mật thiết với nhiều nhà bác học và triết gia nổi tiếng đương thời Ông là người sáng lập và là Giám đốc Viện khoa học ở Beclin (Đức), là người đóng góp nhiều công sức cho việc thành lập Viện khoa học ở Pêtecxbua (Nga)
Về mặt triết học, ông là một triết gia duy tâm khách quan, có nhiều yếu tố biện chứng Tư tưởng của Lepnich tiêu biểu cho tư tưởng của giai cấp tư sản Đức ở đầu thế
kỷ XVIII, phản ánh mâu thuẫn giữa yêu cầu phát triển của giai cấp tư sản và địa vị còn non yếu của nó, nên mang tính chất duy tâm và thỏa hiệp Lepnich là người mở đường cho phái triết học duy tâm cổ điển và phái triết học duy tâm biện chứng ở Đức
David Hilbert (23.01.1862-14.2.1943)
7 câu hỏi và 1 triệ̣u đôla
Friday, 10 December 2004
Một triệu đô la dành cho ai giải được bất kỳ bí ẩn nào trong số
bảy bí ẩn toán học đó chính là phần thưởng do một tổ chức tư nhân
nêu ra nhằm đưa toán học trở lại vị trí xứng đáng của nó Và dĩ
nhiên, cũng để trả lời những câu hỏi lớn vẫn làm đau đầu các nhà
toán học bấy lâu nay
Paris, trường Đại học Pháp, 8.9.1900 David Hilbert đến dự Hội nghị quốc tế Toán học với một danh sách gồm 23 vấn đề mà đến lúc đó toán học vẫn chưa giải quyết được
David Hilbert
G.W.Leibniz
Trang 2Trong lịch sử toán học, ông là người cuối cùng còn nắm được tổng thể nền toán học của thời đại mình, trước khi nó bung ra thành hàng trăm phân nhánh Ông mơ ước sẽ xây dựng được một “cây toán học” vững chắc, thống nhất và vĩnh cửu với 23 câu hỏi đó, ông mong muốn phác ra một đinh hướng cho nền toán học tương lai và đặt ra một bức tường thách thức cần vượt qua trước ngưỡng cửa thế kỷ XX 100 năm sau, trong 23 vấn đề đó chỉ còn 3 vấn đề chưa được giải quyết (1) Tuy nhiên, giấc mơ của Hilbert vẫn chưa phải
đã thực hiện được …
Những chân lý không thể chứng minh
Từ năm 1931, nhà lôgic học người Áo Kurt Godel đã chứng minh rằng, do một mâu thuẫn cơ bản, cây mơ ước của Hilbert là không thể xây dựng được: không thể chứng minh một chân lý toán học là vĩnh cửu ông cho rằng luôn luôn tồn tại những chân lý không thể chứng minh Lý thuyết này làm sụp đổ cây toán học với những ảo tưởng của vĩnh cửu và tuyệt đối
Giấc mơ thống nhất còn vấp phải một khó khăn lớn do sự phân nhánh của toán học Vào năm 1900 (tức là năm Hilbert đưa ra 23 bài toán – ngocson52), trên thế giới chỉ
có khoảng 300 nhà toán học chuyên nghiệp – trong số đó ¾ đã có mặt trong hội nghị để nghe bài phát biểu của Hilbert Nhưng hiện nay, con số các nhà toán học chuyên nghiệp trên thế giới là 50.000 Mỗi năm, họ chứng minh chừng 200.000 định lý thuộc hơn 3.000 phân ngành nhỏ Không còn ai có thể hiểu biết về toán học một cách tổng thể Không còn
ai có thể nhìn cây toán học trên phương diện toàn cầu của nó để mơ đến chuyện hợp nhất …
Vào năm 1999, Claude Allègre, khi đó là Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Nghiên cứu Pháp đã thốt lên rằng: “Toán học đang suy thoái, không lối thoát Không còn toán học nữa, chỉ còn những cái máy thực hiện các phép tính” Và vào năm cuối cùng của thế kỷ
XX, nền toán học đang tỏ ra hết sức “suy nhược” Cho dù UNESCO đã công bố năm 2000
là Năm Thế giới về Toán học
Nhà toán học Mỹ Arthur Jaffe, giáo sư của trường Đại học Harvard, lo lắng nói:
“Toán học hiện nay đã mất cả sự hấp dẫn lẫn tính mới lạ” Và ông chia sẻ nỗi lo của mình với Landon Clay, một nhà công nghiệp giàu có người Mỹ, người vốn có niềm đam mê lớn đối với nhành khoa học mà ông coi là “biểu hiện thuần túy của trí tuệ loài người”
100 năm bài phát biểu của Hilbert
Vì vậy, vào năm 1999, với sự ủng hộ của Viện Toán học Clay, ông Arthur Jaffe đã công bố thành lập một quỹ tư nhân có mục đích thúc đẩy sự phát triển của toán học trước thềm thiên niên kỷ mới
Trang 3Họ quyết định tổ chức lễ kỷ niệm 100 năm bài phát biểu của Hilbert để khôi phục lại vòng hào quang xưa của của toán học: - “nữ hoàng của khoa học” Tại trường Đại học Pháp, ngoài ba vấn đề của Hilbert giải quyết chưa nổi, họ lại công bố một danh sách mới những vấn đề khác chưa được giải quyết Đó là bảy bí ẩn chúng ta sẽ phải khám phá trong thiên niên kỷ mới bất cứ ai giải được một trong bảy vấn đề ấy đều sẽ nhận giải thưởng một triệu đôla!
“Dù vậy, mục đích của phần thưởng đã rất khác so với ý
tưởng của Hilbert cách đây 100 năm” – Alain Connes (ảnh), thành
viên hội đồng khoa học của Quỹ Clay, cho biết “Hilbert đã chọn
những vấn đề rất mới và ít người nghiên cứu vào thời đó, vì ông
muốn phác ra một định hướng cho nền toán học tương lai Còn
chúng tôi lại chọn những vấn đề mà tất cả các nhà toán học đều coi
là cơ bản” Những vấn đề này thâu tóm mọi nhánh chính của ngành
khoa học này: đó là lôgic với P chống lại NP, là hình học topo với giả
thuyết Poincaré; số học với giả thuyết Riemann; hình học với giả thuyết Hodge; đại số với giả thuyết của Birch cùng Swinnnerton-Dyer; và tích phân với các phương trình của Navier-Stokes và của Yang-Mills
Ngày nay, không thể không biết đến những điều đó bởi các vấn đề toán học sẽ có những ứng dụng cụ thể trong tương lai “Chúng tôi mong sự án này sẽ trở thành một sự kiện của truyền thông đại chúng” – Arthur Jaffe nói – “để công chúng nhận thức được tầm quan trọng của toán học Nó là nền tảng của mọi khoa học và động lực trong cuộc sống loài người Tôi không thể hình dung nổi một đất nước phát triển mà thiếu toán học”
“Không một khám phá nào của tôi, dù ít hay nhiều, có thể giúp ích được gì cho cái thế giới thực dụng này” – nhà toán học người Anh Godfrey Hardy, một lý thuyết gia số học
vĩ đại, rất căm ghét toán học ứng dụng, đã tuyên bố như vậy vào những năm 20 Tuy nhiên, trước khi qua đời vào năm 1947, ông vẫn còn kịp thấy lý thuyết số của mình đã được sử dụng rộng rãi để mã hóa và giải mã các bức điện mật trong Chiến tranh Thế giới thứ hai Trong tin học, vật lý, sinh học, kinh tế học, khí tượng học hay mật mã học, toán học đã chứng tỏ sức mạnh và tầm quan trọng của mình Cây toán học không phải đã suy yếu như người ta tưởng…
Mọi người đều có cơ hội
Hơn nữa, dù toán học phân thành rất nhiều nhánh nên các các vấn đề đặt ra cũng hết sức đa dạng, song các nhà toán học luôn nghĩ tới một nền tảng thống nhất của ngành khoa học này “Các nhánh của cây toán học luôn đan xen nhau” – Jean-Pierre
Alain Connes
Trang 4Bourguigon, giám đốc Viện Nghiên cứu khoa học cao cấp tại tại Bures-sur-Yvette (Pháp), nhấn mạnh “Các kết quả của những vấn đề rất khác nhau lại tương đồng nhau một cách
kỳ lạ, và tất cả nền toán học, trong sự thống nhất động, đã tạo thành một khối vĩnh cửu”
Nhiều người có thể nghĩ rằng tiêu hàng triệu đôla cho việc chứng minh mấy định lý toán học thật là một sự lãng phí Nhưng điều này đã có tiền lệ: vào năm 1908, nhà công nghiệp người Đức Paul Wolfskehl đã hứa tặng 100.000 mark Đức cho người chứng minh được định lý cuối cùng của Fermat Andrew Wiles đã nhận được số tiền này vào năm
1997 Trong thiên niên kỷ mới, giải quyết bảy bí ẩn toán học ấy là để đánh tan những suy nghĩ sai lầm của một số người Không, toán học không chết, cây toán học không hề mất giá trị, sức mạnh và sự thống nhất của nó!
Tất cả mọi người, không hạn chế thời gian, đều có thể nhận được phần thưởng trên sau hai năm kể từ khi công bố chứng minh của mình trên một tờ báo khoa học tên tuổi Hai năm là thời gian để kiểm chứng bản chứng minh đó không có gì sai sót Mọi người đều có cơ hội nhận giải, mặc dù dĩ nhiên sẽ hết sức khó khăn cho một người nghiệp dư chen chân vào mảnh đất toán học này “Việc chứng minh những vấn đề nà khá giống việc chinh phục đỉnh Everes Rất khó đấy, nhưng khi đã lên đến đỉnh, người ta sẽ thấy một cảnh tượng tuyệt diệu” – Alain Connes kết luận
7 BÀI TOÁN THIÊN NIÊN KỶ
1 Giả thuyết Poincaré
Lấy một quả bóng (hoặc một vật hình cầu), vẽ trên đó
một đường cong khép kín không có điểm cắt nhau, sau đó
cắt quả bóng theo đường vừa vẽ: bạn sẽ nhận được hai
mảnh bóng vỡ Làm lại như vậy với một cái phao (hay một
vật hình xuyến): lần này bạn không được hai mảnh phao vỡ
mà chỉ được có một
Trong hình học topo, người ta gọi quả bóng đối lập với cái phao, là một về mặt liên thông đơn giản Một điều rất dễ chứng minh là trong không gian 3 chiều, mọi bề mặt liên thông đơn giản hữu hạn và không có biên đều là bề mặt của một vật hình cầu
Vào năm 1904, nhà toán học Pháp Henri Poincaré đặt ra câu hỏi: Liệu tính chất này của các vật hình cầu có còn đúng trong không gian bốn chiều Điều kỳ lạ là các nhà hình học topo đã chứng minh được rằng điều này đúng trong những không gian lớn hơn hoặc bằng 5 chiều, nhưng chưa ai chứng minh được tính chất này vẫn đúng trong không gian bốn chiều
Giả thuyết Poincaré
Trang 52 Vấn đề P chống lại NP
Với quyển từ điển trong tay, liệu bạn thấy tra
nghĩa của từ “thằn lắn” dễ hơn, hay tìm một từ phổ
thông để diễn tả “loài bò sát có bốn chân, da có vảy
ánh kim, thường ở bờ bụi” dễ hơn? Câu trả lời hầu
như chắc chắn là tra nghĩa thì dễ hơn tìm từ
Những các nhà toán học lại không chắc chắn như thế Nhà toán học Canada Stephen Cook là người đầu tiên, vào năm 1971, đặt ra câu hỏi này một cách “toán học”
Sử dụng ngôn ngữ lôgic của tin học, ông đã định nghĩa một cách chính xác tập hợp những vấn đề mà người ta thẩm tra kết quả dễ hơn (gọi là tập hợp P), và tập hợp những vấn đề mà người ta dễ tìm ra hơn (gọi là tập hợp NP) Liệu hai tập hợp này có trùng nhau không? Các nhà lôgic học khẳng định P # NP Như mọi người, họ tin rằng có những vấn
đề rất khó tìm ra lời giải, nhưng lại dễ thẩm tra kết quả Nó giống như việc tìm ra số chia của 13717421 là việc rất phức tạp, nhưng rất dễ kiểm tra rằng 3607 x 3808 = 13717421
Đó chính là nền tảng của phần lớn các loại mật mã: rất khó giải mã, nhưng lại dễ kiểm tra
mã có đúng không Tuy nhiên, cũng lại chưa có ai chứng minh được điều đó
“Nếu P=NP, mọi giả thuyết của chúng ta đến nay là sai” – Stephen Cook báo trước
“Một mặt, điều này sẽ giải quyết được rất nhiều vấn đề tin học ứng dụng trong công nghiệp; nhưng mặt khác lại sẽ phá hủy sự bảo mật của toàn bộ các giao dịch tài chính thực hiện qua Internet” Mọi ngân hàng đều hoảng sợ trước vấn đề lôgic nhỏ bé và cơ bản này!
3 Giả thuyết Hodge
Euclide sẽ không thể hiểu được gì về hình học hiện đại Trong thế kỷ XX, các đường thẳng và đường tròn đã bị thay thế bởi các khái niệm đại số, khái quát và hiệu quả hơn Khoa học của các hình khối và không gian đang dần dần đi tới hình học của “tính đồng đẳng” Chúng ta đã có những tiến bộ đáng kinh ngạc trong việc phân loại các thực thể toán học, nhưng việc mở rộng các khái niệm đã dẫn đến hậu quả là bản chất hình học dần dần biến mất trong toán học Vào năm 1950, nhà toán học người Anh William Hodge cho rằng trong một số dạng không gian, các thành phần của tính đồng đẳng sẽ tìm lại bản chất hình học của chúng…
4 Các phương trình của Yang-Mills
Các nhà toán học luôn chậm chân hơn các nhà vật lý Nếu như từ lâu, các nhà vật
lý đã sử dụng các phương trình của Yang-Mills trong các máy gia tốc hạt trên toàn thế giới, thì các ông bạn toán học của họ vẫn không thể xác định chính xác số nghiệm của các phương trình này
Trang 6Được xác lập vào những năm 50 bởi các nhà vật lý Mỹ Chen Nin Yang và Robert Mills, các phương trình này đã biểu diễn mối quan hệ mật thiết giữa vật lý về hạt cơ bản với hình học của các không gian sợi Nó cũng cho thấy sự thống nhất của hình học với phần trung tâm của thể giới lượng tử, gồm tương tác tác yếu, mạnh và tương tác điện từ Nhưng hiện nay, mới chỉ có các nhà vật lý sử dụng chúng …
5 Giả thuyết Riemann
2, 3, 5, 7, …, 1999, …, những số nguyên tố, tức những số chỉ có thể chia hết cho 1
và chính nó, giữ vai trò trung tâm trong số học Dù sự phân chia các số này dường như không theo một quy tắc nào, nhưng nó liên kết chặt chẽ với một hàm số do thiên tài Thụy
Sĩ Leonard Euler đưa ra vào thế kỷ XVIII Đến năm 1850, Bernard Riemann đưa ra ý tưởng các giá trị không phù hợp với hàm số Euler được sắp xếp theo thứ tự Giả thuyết của nhà toán học người Đức này chính là một trong 23 vấn đề mà Hilbert đã đưa ra cách đây 100 năm Giả thuyết trên đã được rất nhiều nhà toán học lao vào giải quyết từ 150 năm nay Họ đã kiểm tra tính đúng đắn của nó trong 1.500.000.000 giá trị đầu tiên, nhưng
… vẫn không sao chứng minh được “Đối với nhiều nhà toán học, đây là vấn đề quan trọng nhất của toán học cơ bản” – Enrico Bombieri, giáo sư trường Đại học Princeton, cho biết và theo David Hilbert, đây cũng là một vấn đề quan trọng đặt ra cho nhân loại
6 Giả thuyết của Birch và Swinnerton-Dyer
Những số nguyên nào là nghiệm của phương trình x^2 + y^2 = z^2 ? có những nghiệm hiển nhiên, như 3^2 + 4^2 = 5^2 Và cách đây hơn 2300 năm, Euclide đã chứng minh rằng phương trình này có vô số nghiệm hiển nhiên vấn đề sẽ không đơn giản như thế nếu các hệ số và số mũ của phương trình này phức tạp hơn… Người ta cũng biết từ
30 năm nay rằng không có phương pháp chung nào cho phép tìm ra số các nghiệm nguyên của các phương trình dạng này Tuy nhiên, đối với nhóm phương trình quan trọng nhất có đồ thị là các đường cong êlip loại 1, các nhà toán học người Anh Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer từ đầu những năm 60 đã đưa ra giả thuyết là số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào một hàm số f: nếu hàm số f triệt tiêu tại giá trị bằng 1 (nghĩa
là nếu f(1)= 0), phương trình có vô số nghiệm nếu không, số nghiệm là hữu hạn
Giả thuyết nói như thế, các nhà toán học cũng nghĩ vậy,
nhưng đến giờ chưa ai chứng minh được…
7 Các phương trình của Navier-Stokes
Chúng mô tả hình dạng của sóng, xoáy lốc không khí,
chuyển động của khí quyển và cả hình thái của các thiên hà trong
thời điểm nguyên thủy của vũ trụ Chúng được Henri Navier và
Sóng, xoáy lốc không khí
Trang 7George Stokes đưa ra cách đây 150 năm Chúng chỉ là sự áp dụng các định luật về chuyển động của Newton vào chất lỏng và chất khí Tuy nhiên, những phương trình của Navier-Stokes đến nay vẫn là một điều bí ẩn của toán học: người ta vẫn chưa thể giải hay xác định chính xác số nghiệm của phương trình này “Thậm chí người ta không thể biết là phương trình này có nghiệm hay không” – nhà toán học người Mỹ Charles Fefferman nhấn mạnh – “Điều đó cho thấy hiểu biết của chúng ta về các phương trình này còn hết sức ít ỏi”
TRƯƠNG THU HÀ dịch từ Science & Vie (Tạp chí Tia Sáng số 10.2000)
ngocson52 Diễn đàn Toán học
-(1) Chi tiết về 23 bài toán của Hilbert có thể xem tại đây:
http://mathworld.wolfram.com/HilbertsProblems.html Trong đó, 3 bài toán vẫn còn chưa có lời giải là bài toán số 8 (chính là giả thuyết Riemann va giả thuyết Goldbach) và số 16.
Ghi chú: Bài báo nguyên gốc trên tạp chí Tia Sáng không có các hình ảnh minh họa và 2 đoạn cuối đổi chỗ cho nhau.
Augustin Cauchy (1789-1857)
Thursday, 05 August 2004
Ông xuất thân từ gia đình khá giả ở vùng
Normandie (Pháp) Ông vốn rất giỏi về văn chương
nhưng năm 16 tuổi ông thi đỗ vào ĐH bách khoa
PARIS.Ông đỗ đầu lúc ra trường nhưng vì say mê
toán và có tài đặc biệt nên ông được bổ nhiệm làm
Giáo sư môn toán cơ trường đại học bách khoa
Paris
Ông là nhà toán học Pháp có nhiều đóng
góp cho toán học thế giới , ở ngành nào ông cũng
có công lớn , đặc biệt là về giải tích toán học Công
trình của ông nhiều đến nỗi muốn xuất bản thành
sách toàn bộ cũng cần dùng đến 27 tập lớn!!.Ông còn đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi các vật rắn dùng để nghiên cứu sức bền vật liệu.Ông còn được giải thưởng về truyền sóng trên mặt chất lỏng Ông còn phát minh cách tính mới về chuyển động của các hành tinh Ông là người đã chứng minh 1 cách cụ thể sức mạnh không có giới hạn của Toán học để nghiên cứu thiên nhiên , ví dụ Sự truyền ánh sáng, sự khúc xạ , sự phản xạ
Augustin Cauchy (1789-1857)
Trang 8Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
Thursday, 05 August 2004
Ông là người Đức , con 1 người thợ nghèo, nhưng từ
năm lên 3 tuổi đã bộc lộ thiên tài toán học đặc biệt nên được
Quận công vùng BRUNSWICK nuôi ăn học Càng lớn lên
ông càng thể hiện năng khiếu toán học dị thường Ông đỗ
tiến sĩ năm 22 tuổi do đưa ra một chứng minh lỗi lạc về Lí
thuyết phương trình Ông không thích làm Giáo sư Đại học
àm nhận chức Giám đốc Đài thiên văn của GOTTINGGEN
năm 1807
Ông có cách giải độc đáo phương trình x^2^n + 1 = 1 khi 2^n +1 là số nguyên tố
Từ đó ông đưa ra ý kiến khẳng định dựng một đa giác đều 2^n+1 cạnh nội tiếp trong hình tròn nếu 2^n+1 là số nguyên tố;, với n=4 thì đa giác đều 17 cạnh và ngày nay mọi người hết lời ca ngợi!! Về giải tich toán hcọ ông đóng góp nhiều vào phép tính biến thiên Ông nhận được nhiều giải thưởng của viện hàn lâm.Ông là nhà táon học rất say mê tính toán cụ thể GAUSS đã công bố nhiều công trình về tính toán như "Luật sác xuất của sai số""Sai số ngẫu nhiên";"Sai số trung bình tuyệt đối" là những công trình mà ngày nay ta dùng trong đo lường chính xác Ngoài ra ông còn đóng góp nhiều công trình nghiên cưú về hiện tượng mao dẫn , qui luật đường đi cảu ánh sáng qua một hệ thấu kính dày
Toàn bộ tác phẩm của ông được xuất bản thành7 tập kéo dài từ năm 1863 đến năm 1871; về sau có bổ sung thêm những công trình mà sinh thời ông chưa kịp công bố
Giả thuyết Euler về tổng các luy thừa
Saturday, 30 October 2004
Có rất nhiều người bị cuốn hút bởi toán lũy thừa và
số nguyên, và có một số lượng không nhỏ các bài toán
được giải quyết, phải chăng bằng suy luận lôgíc hay bằng
những khối lượng tính toán đồ sộ trên máy tính?
Năm 1769, trong khi nghĩ về cách giải bài toán, nay
mang tên bài toán Ferma lớn, Leonhard Euler (1707 -1783)
đã đưa ra một giả thuyết tương tự "Phải chăng không có
một cặp nghiệm a,b,c,d nguyên dương nào thỏa mãn
phương trình ?"
Thực tế, Euler đã đi xa hơn Ông đã cho rằng với mọi số nguyên lớn hơn 2, tổng của (n-1) số lũy thừa n không thể là một số lũy thừa n
Carl Friedrich Gauss
Trang 9Năm 1966, L.J.Landervaf T.R Parkin đã phản chứng lại giả thuyết tổng quát của Euler bằng việc đưa ra phản ví dụ, với n =5 Phương trình đúng khi
a = 27, b = 84, c = 110, d = 133 và e = 144
Năm 1986, Noam D Elkies thuộc đại học Harvard đã đưa ra một phản ví dụ, chứng minh giả thuyết của Euler là sai với trường hợp n = 4 Phương trình đúng với a = 2.682.440, b = 15.365.639, c = 18.796.760 và d= 20.615.673
Bằng việc lập thuật toán cho máy tính, Elkies đã tìm ra được nghiệm, thỏa mãn cho phương trình-giả thuyết của Euler Một vài nhà toán học khác đã nhanh chóng đưa ra các thuật toán tương tự để tìm ra phản ví dụ như Elkies đã làm, nhưng không một ai đưa ra được cách chứng minh giả thuyết Euler một cách tổng quát
Một khi Elkies tìm ra được phản ví dụ đầu tiên, thì ông cũng có khả năng đưa ra được các phản ví dụ khác, với những số lớn hơn Nhưng cái Elkies đã không biết thời đó chính là phải chăng kết quả nghiệm đúng của ông đã là nhỏ nhất?
Roger Frye, làm việc ở trường đại học Cambridge, sau khi nghe kết quả mà Elkies đạt đươc, ông đã bắt đầu viết chương trình máy tính để tìm kiếm kết quả nhỏ nhất, phản
ví dụ cho giả thuyết của Euler
Làm việc thâu đêm, Frey sử dụng hệ thống máy tính Connection Machine, ông đã tìm ra được kết quả nhỏ nhất, nghiệm đúng phương trình Máy tính của ông chỉ ra kết quả
a = 95.800, b = 217.519, c = 414.560 và d = 422.481
Tuy nhiên, giả thuyết tổng quát của Euler vẫn còn để lại nhiều câu hỏi chưa được giải quyết Ví dụ như, không ai tìm ra được phương trình nghiệm đúng trong trường hợp
n > 5 Phải chăng lũy thừa 6 của một số có thể được biểu diễn dưới dạng tổng lũy thừa 6 của 5 số khác?
-Hiện tại, có một kết quả khác, ứng với trường hợp n = 5 mới được tìm ra:
Còn bạn sao không thử tìm một phản ví dụ cho giả thuyết của Euler, hay chứng minh giả thuyết tổng quát nhỉ?
Một số chi tiết thêm về bài toán tổng các lũy thừa của Euler các bạn có thể xem tại thư viện của Wolfram Research http://mathworld.wolfram.com/EulersSumofPowersConjecture.html
Hoặc bạn cũng có thể cùng mọi người trao đổi thêm về giả thuyết này trong diễn đàn tại đây http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=2756 nếu bạn là thành viên của diễn đàn.
Trang 10Vì sao 1 không phải là số nguyên tố?
Thursday, 05 August 2004
Toàn bộ số tự nhiên được chia làm ba loại: Loại 1 là các số
nguyên tố (như 2,3,5,7,11,13, ), Loại 2 là các hợp số ( 4,6,8,9,10, )
Số "1" không phải là số nguyên tố, cũng không phải là hợp số
nên nó là một loại riêng thứ 3 Số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho 1 và chính nó, còn hợp số có thể chia hết cho những số khác Ví dụ, hợp số 6, ngoài chia hết cho 1 và 6
ra, nó còn chia hết cho 2 và 3 Đây là lý do chính để chia ra thành loại hợp số và số nguyên tố Nhưng số 1 cũng chia hết cho 1 và chính nó, vì sao không gọi là số nguyên tố? Nếu 1 là số nguyên tố thì chỉ cần chia số tự nhiên thành 2 loại có tốt hơn không?Để trả lời vấn đề này, trước tiên ta phải đặt vấn đề vì sao phải bàn đến số nguyên tố Ví dụ số 3003
có thể chia hết cho số nguyên tố nào? Cũng có nghĩa là số nào là thừa số của 3003? Đương nhiên ta có thể xét tất cả các số từ 1 đến 3003, nhưng như vậy thì rất tốn công
Chúng ta biết rằng, hợp số có thể là tích của nhiều số nguyên tố, tức là nhân nhiều
số nguyên tố với nhau, nói cách khác, chính là phân tích thành thừa số nguyên tố.Đương nhiên, mỗi hợp số đều có thể phân tích thành thừa số nguyên tố và chỉ có một kết quả mà thôi ( tất nhiên không kể đến thứ tự các thừa số)
Ví dụ: số 3003 có thể phân tích thành 3.7.11.13
Bây giờ ta quay trở lại vấn đề vì sao 1 không phải là số nguyên tố Nếu 1 được coi
là số nguyên tố thì khi phân tích một hợp số thành thừa số nguyên tố, đáp án sẽ không phải là duy nhất nữa!
Ví dụ: Phân tích số 3003 thành thừa số nguyên tố sẽ xảy ra các trường hợp sau:
3003 = 3.7.11.13
3003 = 1.3.7.11.13
3003 = 1.1.3.7.11.13
Như vậy, khi phân tích có thể tuỳ ý thêm các thừa số 1 vào như vậy quả thực là không cần thiết chút nào, và kết quả phân tích lại không duy nhất, chỉ tăng thêm những phiền phức không cần thiết
Vì vậy 1 không được coi là số nguyên tố
