Së GD & §T b¾C NINH
Tr êng THPT QuÕ Vâ I
(Đề thi gồm có 01 trang)
§Ò thi chän häc sinh giái cÊp trêng
n¨m häc 2010-2011
Môn: Toán Khối 12
Thời gian lầm bài: 150 phút( Không kể thời gian giao đề)
CÂU I: (2 điểm)
Cho hàm số y x3 3x2 2
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 9x 7
CÂU II: (3 điểm)
1) Giải phương trình: 9sinx6cosx 3sin 2xcos 2x 8
3) Giải phương trình: 2log 232 x 1 10log 2 9 x 1 7 0
CÂU III: (1 điểm)
Cho biết ba hạng tử đầu tiên của khai triển:
4
1 2
n
x
x
có các hệ số là ba số hạng
liên tiếp của một cấp số cộng Tìm số hạng chứa biến x bậc nhất của khai triển ( Trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 và x là số thực dương).
CÂU IV: (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ 0 xy, cho đường tròn (C):
x y x y và đường thẳng :x my 2m 3 0 ( với m là tham số) Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a, các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho AK =
3
a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a.
CÂU V: (1 điểm)
Chứng minh rằng: Nếu a b c , , 2 thì: logb c a2 logc a b2loga b c2 3
……… Hết……….
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài)
Người soạn đề: Phạm Thu Thủy
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2010-2011
Trang 2Môn: Toán – Khối 12 (Người soạn: Phạm Thu Thủy)
I(2 điểm) 1) Khảo sát hàm số (1 điểm)
TXĐ: D =
SBT: y'3x26x
0
' 0
2
x y
x
; y(0) 2;y 2 2 lim ; lim
2) Viết phương trình tiếp tuyến (1 điểm)
Từ gt suy ra tiếp tuyến có hệ số góc là: k = - 9 0,25
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của pt:
3
x
x
Với x 1 y 2, pttt là:y 9x 7(loại vì không song song) 0,25
Với x 3 y 2, pttt là: y9x25
II (3 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác (1 điểm)
Pt 9sinx6cosx 6sin cosx x 1 2sin2x 8
1 sinx 6cosx 2sinx 7 0
6cos 2sin 7 0 (2)
x
2
(2) vô nghiệm vì: a2 b2 c2
Vậy pt đã cho có nghiệm là: 2 ;
2
2) Giải bất phương trình chứa căn (1 điểm)
ĐK:
5 2
2 1 2
x x
2
2
x
thì: x 2 3 x 0; 5 2 x 0
Bpt đã cho luôn đúng Vậy 1
2;
2
đều là nghiệm
0,25
Trang 3*Nếu: 1 5
2 x 2 thì: x 2 3 x 0; 5 2 x 0
Bpt 5 2 x x 2 3 x
Gbpt được nghiệm:
3 2 2
x x
Kết hợp điều kiện ta có: 5
2
2
x
0,25
Vậy bpt đã cho có nghiệm là:
1 2
2 5 2
2
x x
3) Giải phương trình log(1 điểm)
2
x
Pt 2log 232 x 1 5log 23 x 1 7 0 0,25
Đặt t log (23 x 1)
1
2
t
t
0,25
Với t 1 log (23 x 1) 1 x 2 (Thỏa mãn)
log 2 1
0,25
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 1 3
2;
2 162
0,25
III(1 điểm) Khai triển Niu Tơn (1 điểm)
4
1
2 2
n k
k k n
k o
x
Hệ số của ba hạng tử đầu tiên của khai triển là: C C n0; n1.2 ;1 C n2.22
Từ gt C n0 C n2.22 2 2C n1 1
Giải pt tìm được 1
8
n n
Với n = 8, ta có khai triển:
4 4 8
4
1
.2 2
k
k k
k o
x
0,25
Trang 4Để có số hạng chứa biến x bậc nhất thì: 3
Vậy số hạng cần tìm là: 84 4 35
, 2
8
IV(3 điểm) 1) Hình học phẳng (1 điểm)
Đường tròn có tâm I(- 2; - 2), bán kính R = 2
Gọi H là trung điểm của dây cung AB IH AB 0,25
Ta có diện tích tam giác IAB là: S = 1
IA.IB
2 sin AIB= sin AIB
Diện tích tam giác IAB lớn nhất sin AIB= 1 AIB=900 0,25
IAB vuông cân tại I IA 2
2
2
1 4
1 1
m m
0 8 15
m m
2) Hình học không gian (2 điểm)
a)Gọi H là hình chiếu của S trên đáy
Do SA=SB=SC=SD HA=HB=HC=HD H là giao điểm của hai đường chéo của đáy
N
M
E H
C
D
S
K
0,25
Thể tích của khối chóp là: 1 ABCD
3
Xét ABD vuông tại A BD = a 5 BH = 1
2 a 5
0,25
Trang 5Xét SBH vuông tại H SH = 3
2
a
Vậy V =
3
a ( Đvtt)
0,25
b)Từ gt MN//AD
Gọi E là trung điểm của AD Kẻ HK SE, chỉ ra HK (SAD)
Xét SHE vuông tại H, tính được HK = 21
7
a
Vậy khoảng cách cần tìm là: d(MN, SK) = 21
7
V(1 điểm) Chứng minh bất đẳng thức(1 điểm)
a b ab
Tương tự có: b c bc c a ca ;
0,25
VT=
ln ln ln ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
0,5
3
3
3 ln ln ln ln ln ln
ln ln ln ln ln ln
=9 – 6 = 3 (đpcm)