Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi THPTQG

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong ôn thi

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT

BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN

Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn

xoay trong ôn thi THPTQG

Lĩnh vực sáng kiến: Phương pháp dạy toán

Tác giả:

Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn

Nơi công tác: Trường THPT

Điện thoại liên hệ: O937-351-107

Địa chỉ thư điện tử:

Đề nghị công nhận sáng kiến cấp : sở

Năm 2020 - 2021

§

I – MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn sáng kiến

Qua thực tế dạy học nội dung ứng dụng của tích phân tính diện tích của cáchình phẳng và thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12, họcsinh gặp rất nhiều khó khăn Năng lực tính toán và vận dụng các công thức tínhcòn hạn chế, khả năng vẽ hình và đọc đồ thị của hàm số còn yếu Các em thườngvận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, tư duy thực tế và trựcquan nên bị nhầm lẫn Trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo viết rất

ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục những sailầm khi giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích mặttròn xoay

Bài tập về tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay trong chươngtrình Giải tích 12 là một trong những dạng toán cơ bản Tuy nhiên các em học sinhthường chưa có sự phân tích và tư duy thực tế dẫn tới mắc sai lầm và đưa ra nhữnglời giải sai, chưa chính xác Việc hệ thống hoá các phương pháp giải, chỉ ra một sốsai lầm khi giải toán sẽ cho phép nhìn nhận các bài toán theo một hệ thống nhấtquán từ đó giúp các em học sinh có thể thấy được thuật toán chung cũng như tránhđược những sai lầm khi giải các bài toán về tính diện tích hình phẳng và thể tíchvật thể tròn xoay

Xuất phát từ thực tế giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân và ứngdụng ” và dạy học giải toán liên quan đến ứng dụng của tích phân trong tính diệntích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay cho học sinh lớp 12 Để giúp cho họcsinh 12 khắc phục những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán thực tế tính diện tíchhình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay, giúp cho quá trình giải toán được dễdàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao Đồng thời phát triển tư duy, năng lực sáng tạocủa học sinh khi học tập môn toán Đó là lí do tôi chọn đề tài “Một số giải pháp rèn

kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích vậtthể tròn xoay trong ôn thi THPTQG”

2 Mục tiêu của sáng kiến

Giải pháp mới được xây dựng dựa trên cơ sở thực tiễn của quá trình dạy học,các bài toán ứng dụng của tích phân liên quan đến thực tế như tính diện tích hìnhphẳng, tính thể tích vật thể tròn xoay Giải pháp đưa ra làm rõ cách tính diện tíchhình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số, tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo rakhi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung Qua đó khắc phục

những khó khăn, sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tínhthể tích của vật thể tròn xoay Với dạng toán này học sinh thường gặp những khókhăn, sai lầm sau:

+ Không hình dung được hình phẳng, vật thể tròn xoay (nếu không có hình vẽ) + Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít, chưa đủ đểgiúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan

Sáng kiến hệ thống kiến thức lý thuyết liên quan đến nguyên hàm, tích phânđặc biệt là các kiến thức ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng vàthể tích khối tròn xoay mà học sinh đã được học Đưa ra ví dụ minh họa (có hình

vẽ minh họa cho từng ví dụ cụ thể) có phân tích, kèm hướng dẫn giải chi tiết vàtrình bày theo cách khác nhau, rèn luyện cho học sinh sự vận dụng linh hoạt trongquy trình giải toán, phát huy tính sáng tạo của học sinh Bằng kinh nghiệm của bảnthân, tôi đưa ra các giải pháp sau:

Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giớihạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành

Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giớihạn bởi hai đồ thị hàm số

Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoayCác bước thực hiện giải pháp

Bước 1: Trình bày kiến thức cơ bản liên quan đến vấn đề nghiên cứu (Cáckiến thức liên quan đến nội dung nguyên hàm, tích phân và đặc biệt chú ý tới cáccông thức sử dụng tích phân để tính diện tích, thể tích)

Bước 2: Trình bày ví dụ minh hoạ, phân tích, hướng dẫn giải, đồ thị minh hoạcủa các ví dụ (Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không

có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó)

Bước 3: Phân tích, nhận xét, hướng dẫn giải (tìm cách giải mới nếu có)

(Hướng dẫn giải, rèn luyện kỹ năng khử dấu giá trị tuyệt đối, phương phápđổi biến số, tích phân từng phần một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng bài tập cụthể)

Bước 4: Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân (Các bài tập vậndụng ứng dụng của tích phân giải các bài toán thực tế trong đời sống thường ngày)

3 Phạm vi của sáng kiến

Sáng kiến có thể áp dụng cho học sinh các lớp 12 THPT Hoàng Văn Thụ nóiriêng và học sinh các trường THPT nói chung

II – CƠ SỞ LÝ LUẬN, CƠ SỞ THỰC TIỄN

Qua thực tế giảng dạy tại trường THPT Hoàng Văn Thụ bản thân tôi nhậnthấy HS rất cần được tiếp cận các giải pháp để rèn luyện các năng lực vận dụngtoán học vào ứng dụng thực tiễn Chương III “Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

” lớp 12 là một chương vô cùng quan trọng và có nhiều bài toán có ứng dụng thực

tế hay mà học sinh còn lúng túng trong việc tìm hướng giải Vì vậy sáng kiến đượcthực hiện nhằm rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong hình học

Sáng kiến được thực hiện trên cơ sở dựa trên các văn bản chỉ đạo của Sởgiáo dục và đào tạo Lạng Sơn về việc dạy học theo hướng phát huy khả năng tưduy sáng tạo và năng lực của học sinh Thông qua các kiến thức liên quan về

“Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng ” Đề tài đưa ra những giải pháp cụ thể đểrèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tíchvật thể tròn xoay

Sáng kiến được viết vào thời gian từ 20/9/2017 đến 25/03/2018 và tiến hànhdạy thử nghiệm lần đầu vào ngày 20/2/2018 thời điểm giữa học kỳ II của năm học

2017 - 2018 tại lớp thử nghiệm 12A8 và lớp đối chứng 12A9 trường THPT HoàngVăn Thụ Thành phố Lạng Sơn Dạy thử nghiệm và dạy đối chứng được tiến hànhtrong cùng một nhà trường Sau giáo án thử nghiệm chúng tôi tiến hành cho HSlàm bài kiểm tra 45 phút có phân tích, đánh giá kết quả bài kiểm tra Lớp dạy thửnghiệm và lớp dạy đối chứng có sỹ số và kết quả học tương đương nhau thuộcTrường THPT Hoàng Văn Thụ

2 Cơ sở thực tiễn

Chủ đề ứng dụng của tích phân trong hình học là một trong những nội dungkiến thức có nhiều ứng dụng trong thực tế và thuộc nội dung chương “Nguyênhàm, tích phân và ứng dụng” - chương trình Toán giải tích lớp 12

Đã từng có rất nhiều sáng kiến làm về ứng dụng của tích phân trong hìnhhọc, nhưng các sáng kiến ấy chỉ đơn thuần là nêu ra kiến thức chung, sau đó lấy ví

dụ minh hoạ mà chưa đưa được các giải pháp cụ thể nào để khắc phục những khókhăn, hạn chế của học sinh Hoặc có sáng kiến cũng đã đề cập đến rèn luyện kỹnăng giải toán nguyên hàm và tích phân nhưng cũng chỉ đưa ra hai phương pháptính tích phân cơ bản đó là phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phântừng phần

Khi vận dụng ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán thực tế tronghình học, đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi) thường gặp những khó khăn và

có những sai lầm nhất định chẳng hạn: Nếu không có hình vẽ thì học sinh thườngkhông hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay) dẫn đến không tính đượcdiện tích hình phẳng hoặc thể tích vật thể Vì thế học sinh có cảm giác “xa lạ” sovới khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây (diện tích đa giác, thể tíchcác khối đa diện)

Ngoài ra hình vẽ minh họa ở sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít

“chưa đủ” để giúp học sinh trực quan Các em thường chỉ nhớ công thức tính diệntích hình phẳng ở các lớp dưới với các hình quen thuộc như: diện tích tam giác, tứgiác, ngũ giác, lục giác… Các công thức tính thể tích các khối như: khối chóp,khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ đã được học trong chương 1hình học 12.;

Vì vậy việc học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng,thể tích vật thể tròn xoay làm học sinh gặp khó khăn, không phát huy tính linh hoạtsáng tạo, đặc biệt là khả năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức, kỹ năng “ chianhỏ” hình phẳng để tính, kỹ năng cộng, trừ diện tích, cộng, trừ thể tích

Học sinh thường gặp khó khăn và bị mắc sai lầm trong việc xây dựng côngthức tính từ giả thiết của bài toán và tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chẳng hạn, thường áp dụng sai công thức b ( ) b ( )

III – NỘI DUNG SÁNG KIẾN

1 Một số giải pháp rèn kỹ năng giải toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể tròn xoay

1.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số và trục hoành

1.1.1 Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành

a Năng lực tổng hợp các công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồthị hàm số y f x( ) trục hoành và hai đường thẳng x a x b , 

Bài toán : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ) liên tục trênđoạn a b; , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được xác định: ( )

b a

y f x

y 0 H

b a

S f x dx( )

 Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số yf x( ) nằm phía “dưới” trục hoành thì

 ( ) 0, x a ; b

công thức ngay dẫn đền sai lầm

b Rèn kĩ năng phân tích, tổng hợp giải một số ví dụ về tính diện tích của hìnhphẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành

Ví dụ 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x 4 trụchoành, các đường thẳng x 2,x 0

Phân tích: Ở ví dụ này các em chỉ cần nhớ công thức tính diện tích hìnhphẳng ( )

b

a

Sf x dx là có thể tính được diện tích Hoặc sử dụng công thức tính diện

tích tam giác vuông Cần chú ý: Nếu f x( ) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có :

Cách 3: Sử dụng máy tính điện tử tính tích phân

S f x dx, tuy nhiên để khử trị tuyệt đối có hai cách (Dùng đồ thị

hoặc xét xem trên đoạn 0;3 hàm số y x2  2x 2 có đổi dấu hay không)

Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính

3 2 0

Ví dụ 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C): 4 2

yx  x  vớitrục hoành (Ox)

Phân tích: Xác định giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành là nghiệm của PT:

Giả sử S D là diện tích hình phẳng D Chọn công thức đúng trong các phương án

Trên đoạn a;0, đồ thị ( )C ở dưới trục hoành nên f x   f x 

Trên đoạn 0;b, đồ thị  C ở trên trục hoành nên f x  f x 

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị  C và trục hoành.

Do  C tiếp xúc với đường thẳng y 4 tại điểm có hoành độ x0 âm nên

1.2 Giải pháp 2: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

1.2.1 Rèn năng lực tổng hợp kiến thức tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số

Cho hai hàm số yf x( )có đồ thị là (C1), y g x ( ) có đồ thị là (C2) Nếu hai

đồ thị (C1) và (C2) có điểm chung là điểm M( ; )x y0 0 thì cặp số ( ; )x y0 0 là nghiệm

1.2.2 Rèn năng lực tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số.

Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì hàm số cần rèn luyệncho các em biến đổi theo các bước

+) Bước 1: Tìm hoành độ giao điển của hai đồ thị (bước này thực hiện để tìm cậncủa tích phân)

+) Bước 2: Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( )

yf x và y g x ( )và đường x a x b ;  , (a b ): ( ) ( )

b a

-3 -2 -1

3 2 1

Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:

Kết luận: Giải theo phương pháp tự luận ta có thể vẽ hình và nhìn thấy rõ trên đoạn

đồ thị hàm số nào nằm trên đồ thị hàm số nào nên có thể phá dấu giá trị tuyệt đốingay; nếu không vẽ hình, ta đẩy dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài nếu trên đoạn đangxét biểu thức trong dấu trị tuyệt đối không đổi dấu; còn trong trường hợp giải theotrắc nghiệm, ta chỉ cần bấm máy có cả dấu giá trị tuyệt đối

1.3 Giải pháp 3: Tăng cường rèn kỹ năng giải toán tính thể tích vật thể tròn xoay

1.3.1 Rèn năng lực tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh trục hoành

Thể tích của một vật thể tròn xoay được tạo bởi một

hình phẳng giới hạn bởi các đường: yf x( ), trục

hoành, hai đường thẳng x a x b ;  (a b )và quay

quanh trục Ox, được tính theo công thức:

 ( )2

b a

y x  y x x quay quanh trụcOx

d

x y

2

-2 4

-3

-4 -1

3 2 1

cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là  3;  1; 1 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Lời giảiChọn C

ax  b d x  c e x    * là phương trình hoành độgiao điểm của hai đồ thị hàm số yf x  và y g x  

Phương trình  * có nghiệm  3;  1; 1 nên

1.3.2 Một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân

Bài toán 1 Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đếnđỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét Giá thuê mỗi métvuông là 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là:

A 33750000 đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D.3750000Hướng dẫn giải

Gắn parabol  P và hệ trục tọa độ sao cho  P đi qua O(0;0) Gọi phương trình củaparbol là (P): P : y ax 2 bx c

Theo đề ra,  P đi qua ba điểm O(0;0),

2

S   x  x dx

x y

Bài toán 3 Một khối cầu có bán kính là

 

5 dm , người ta cắt bỏ hai phần của khối

cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng

vuông góc đường kính và cách tâm một

Hướng dẫn giải: Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, đường tròn ( ) : (C x 5) 2 y2  25

Ta thấy nếu cho nửa trên trục Ox của  C quay quanh trục Ox ta được mặt cầu bánkính bằng 5 Diện tích  H giới hạn bởi nửa trên trục Ox của  C , trục Ox, haiđường thẳng x 0, x 2 quay xung quanh trục Ox ta sẽ được khối tròn xoay chính

là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài Ta có (x 5) 2 y2  25  y 25 (  x 5) 2

 Nửa trên trục Ox của  C có phương trình y 25 (  x 5) 2  10x x 2

 Thể tích vật thể tròn xoay khi cho  H quay quanh Ox là:

Bài toán 4 Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng

giống như một cái ly như hình vẽ dưới đây Người ta đo

được đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là

6cm Biết rằng thiết diện của chiếc ly cắt bởi mặt phẳng

đối xứng là một parabol Tính thể tích V cm 3 của vật thể

Hướng dẫn giải: Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I của parabol  P . Vì parabol

 P đi qua các điểm A 2;6 , B2;6 và I0;0 nên parabol  P có phương trình

- Rèn kỹ năng tính diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành

- Rèn kỹ năng tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Rèn năng lựctính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

- Rèn kỹ năng tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay một hìnhphẳng quanh trục hoành

- Giải một số bài toán ứng dụng thực tế của tích phân Học sinh có được hình

vẽ trực quan trong các bài toán tính diện tích, thể tích

A

O

4 cm

I

- Có được giải pháp cụ thể khi tính giải toán ứng dụng của tích phân tính diệntích, thể tích trong hình học Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồthị hàm số và trục hoành Dạng bài tập tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đồ thị hàm số Dạng bài tập tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quaymột hình phẳng quanh trục hoành

- Xây dựng đề kiểm tra dạng trắc nghiệm, có đáp án biểu điểm, giúp học sinhtiếp cận với cách thức thi THPT quốc gia mới của Bộ giáo dục và đào tạo

- Đưa được một số bài toán ứng dụng thực tế dạng trắc nghiệm có hướng dẫngiải để học sinh tiếp cận với những bài toán ứng dụng thực tế để ôn luyện chuẩn bị

kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019

2.1.2 Nhược điểm

- Do thời gian thực hiện sáng kiến còn ngắn và phạm vi, đối tượng áp dụngcòn nhỏ nên sáng kiến mới chỉ được áp dụng cho 01 lớp dạy thử nghiệm và 01 lớpdạy đối chứng Tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu, phát triển đề tài để hoàn thiện đề tài, cóthể áp dụng rộng rãi không chỉ ở trường THPT Hoàng Văn Thụ và nhân rộng racác trường thông qua các buổi sinh hoạt cụm chuyên môn…

- Tích phân có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn ở các lĩnh vực, vật lý, toánhọc, xây dựng, …nhưng sáng kiến mới chỉ nghiên cứu và đưa ra một số ứng dụngtrong thực tế hoặc một vài bài toán ứng dụng của tích phân trong xây dựng

2.2 Khả năng áp dụng và mang lại lợi ích thiết thực của sáng kiến:

2.2.1 Khả năng áp dụng hoặc áp dụng thử, nhân rộng:

- Sáng kiến có giá trị thực tiễn, giúp học sinh lớp 12 có được một phương pháptiếp cận khác trong giải toán ứng dụng của tích phân với những bài toán thực tế tronghình học Làm tài liệu cho giáo viên, học sinh trường THPT Hoàng Văn Thụ

- Rèn được kỹ năng cụ thể cho học sinh khi giải toán ứng dụng của tích phântrong hình học cụ thể như: Năng lực phân tích và tổng hợp, năng lực khái quát hoá,đặc biệt hoá và tương tự

+ Năng lực vận dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và phương pháptích phân từng phần

+ Năng lực vận dụng phương pháp đổi biến số Năng lực vận dụng côngthức tính diện tích và thể tích