Gián án Tiết 14-Mặt cầu

Dây cung AB đi qua tâm của mặt cầu gọi là một đường kính của mặt cầu đó.. Một mặt cầu hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó 2.. Điể

Nêu định nghĩa đường tròn trong mặt phẳng?

Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng cách điểm O cố định một khoảng R không đổi là đường tròn tâm O bán kính R

Kí hiệu C O r( ; ) ={M OM| = R}

M

1 MẶT CẦU

r

( ; ) |

S I r = M IM = r

Tập hợp những điểm M trong không

gian cách điểm I cố định một

khoảng không đổi r ( r >0) được

gọi là mặt cầu tâm I bán kính r

C

D

Nếu hai điểm C, D nằm trên mặt cầu thì đoạn

thẳng CD gọi là dây cung của mặt cầu đó.

Dây cung AB đi qua tâm của mặt cầu gọi là một đường kính

của mặt cầu đó.

Một mặt cầu hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính

của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu

M

C

D

Em hãy quan sát hình vẽ và cho biết nhận

xét của mình về vị trí của các điểm A, B,

C, D, E, M đối với mặt cầu S(I; r) ?

1 Mặt cầu

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu

E

Muốn biết chính xác điểm M

có vị trí như thế nào so với mặt cầu

ta phải xét yếu tố nào?

1 Mặt cầu S I r( ; ) ={M IM| = r}

Một mặt cầu hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính của nó

hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu

( ; ) |

S I r = M IM ≤ r

I N

M

- Nếu IA = r thì ta nói A nằm trên mặt cầu S (I; r)

- Nếu IA > r thì ta nói A nằm ngoài mặt cầu S (I; r)

- Nếu IA < r thì ta nói A nằm trong mặt cầu S (I; r)

- Khối cầu: Tập hợp các điểm thuộc mặt

cầu S(I; r) cùng với các điểm nằm trong

mặt cầu đó được gọi là khối cầu hoặc

hình cầu tâm I bán kính r

3 Biểu diễn mặt cầu

E

1 Mặt cầu S I r( ; ) ={M IM| = r}

Một mặt cầu hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó

3 Biểu diễn mặt cầu

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu

4 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Luyện tập:

Cho hai điểm phân biệt A và B

Hãy Tìm tập hợp tâm các mặt

cầu đi qua A và B

A

∆

{ }

3 Biểu diễn mặt cầu

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu

4 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Luyện tập:

Cho hai điểm phân biệt A và B Hãy

Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua

A và B

Lời giải

I

H

Giả sử I là tâm mặt cầu đi qua A, B và H là trung

điểm AB khi đó ta có IA = IB = r

⇒

P tâm I của mặt cầu thuộc mặt phẳng trung trực của AB

Đảo lại trên mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của AB lấy 1 điểm I bất kì Nối IH ta có 2 tam giác vuông IHA = IHB nên IA = IB I là tâm mặt cầu bk IA

đi qua A và B

Vậy tâm những mặt cầu qua A, B là mặt phẳng trung trực của AB

1 Mặt cầu S I r( ; ) ={M IM| = r}

3 Biểu diễn mặt cầu

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu

4 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Luyện tập:

Cho ba điểm phân biệt A, B ,C không thẳng hàng Hãy Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua ba điểm A, B,C

Hướng dẫn

A

B

C

H P)

(Q

d giả sử I là tâm mặt cầu đi qua A,B,C IA IB IB IC=

⇒  =



( )

( )

∈



⇒  ∈



là mặt phẳng trung trực của AB

là mặt phẳng trung trực của BC

( ) ( )

⇒ ∈ = I giả sử d I (ABC) = ⇒H

H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vậy Tập hợp tâm các mặt cầu cần tìm là đường thẳng d đi qua tâm đường tròn

Ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với (ABC)

1 Mặt cầu S I r( ; ) ={M IM| = r}

Luyện tập:

Hãy xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD

Hướng dẫn

giả sử I là tâm mặt cầu đi qua A,B,C,D

( )

I d

∈



⇒  ∈



( )

⇒ = I

IA IB IC

IA ID

= =



⇒  =



là trục của đường tròn ngoại tiếp đáy

là mặt phẳng trung trực của AD

A

B

C

D

I M

N H

1 Mặt cầu

( ; ) |

S I r = M IM ≤ r

Một mặt cầu hoàn toàn xác định nếu biết tâm và bán kính của nó hoặc biết một đường kính của mặt cầu đó

3 Biểu diễn mặt cầu

2 Điểm nằm trong và nằm ngoài mặt cầu, khối cầu

4 Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu

Cho hai điểm phân biệt A và B tập hợp tâm các mặt cầu đi qua A và B là mặt phẳng trung trực của AB

Cho ba điểm phân biệt A, B ,C không thẳng hàng Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua ba điểm A, B,C là đường thẳng d đi qua tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC và vuông góc với (ABC) Đường thẳng d gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

( ; ) |

S I r = M IM = r

Khối cầu:

HƯỚNG DẪN HỌC VÀ LÀM BÀI TẬP Ở NHÀ

Làm các bài tập số: 1, 2, 3 tr 49

Em hãy nêu định nghĩa mặt cầu, vẽ hình biểu diễn mặt cầu S(I; r)

Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm I

cố định một khoảng không đổi r ( r >0) được gọi là

mặt cầu tâm I bán kính r

I

M

{ } ( ; ) ( )

S I r ∩ P = φ

Cho mặt cầu S(I; r) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của I lên (P)

II GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

I

H M

P)

1 Trường hợp IH > r

Khi đó với mọi điểm

M của (P) M nằm

ngoài mặt cầu

IM ≥ IH > ⇒r IM > ⇒r

I

H

M

P)

2 Trường hợp IH = r

Khi đó với mọi điểm M của (P) M khác điểm H thì M nằm ngoài mặt cầu

{ } ( ; ) ( )

S I r ∩ P = H

(P) Gọi là tiếp diện của (S) tại H Điểm H gọi

là tiếp điểm

Định Lý

Điều kiện cần và đủ

để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I;r) tại điểm H là (P) vuông góc với bán kính IH tại điểm H đó

I

{ } ( ; ) ( )

S I r ∩ P = φ

Cho mặt cầu S(I; r) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu của I lên (P)

I

H M

P)

1 Trường hợp IH > r

I

H

M

2 Trường hợp IH = r

{ } ( ; ) ( )

S I r ∩ P = H

H I

(P) Gọi là tiếp diện của (S) tại H Điểm H gọi là tiếp điểm

3 Trường hợp IH < r Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính:

'

r = r −IH

ĐL S I r( ; ) ( ) ∩ P =C H( ; r2 −IH2 )

Nếu IH = 0

( ; ) ( ) ( ; )

S I r ∩ P =C I r

(P) là tiếp diện của S(I;r) tại H ⇔ ( )P ⊥ IH

tại H

M

I r

II GIAO CỦA MẶT CẦU VÀ MẶT PHẲNG

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo

đường tròn tâm I, bán kính r gọi là

đường tròn lớn, mặt phẳng (P) gọi

là mặt phẳng kính

LUYỆN TẬP

α)

H r’

I

M

r

2

r

IH =

Xác định đường tròn giao tuyến của

(P) và mặt cầu S(I;r) biết khoảng

cách từ tâm I đến mặt phẳng là

( ; ) ( ) ( ; )

S I r ∩ P =C I r

Nếu IH = 0

A