Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC.. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC.. Gọi M, N lầnđvtt A07 Cho hìn
Trang 1LTĐH Hình Học Không Gian GV Nguyễn Vũ Minh
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC-HÌNH HỌC
B06 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB = a, AD =a 2, SA = a và SA (ABCD) Gọi M, N lầnABCD) Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM
và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lầnSAC) (ABCD) Gọi M, N lầnSMB) Tính
thể tích của khối tứ diện ANIB
Cách 1: Dễ thấy I là trọng tâm ABD
BI = 2
3BM = 2
3
a
a AC
ABI có BI2 + AI2 =
BI AI và BI SA BI(ABCD) Gọi M, N lầnSAC) (ABCD) Gọi M, N lầnSMB) (ABCD) Gọi M, N lầnSAC)
Khối tứ diện SABC có thể chia làm 3 tứ diện:
SABN ; CNBI ; ANIB Gọi V = VSABC; V1 = VSABN; V2 = VCNBI
Ta có :
V
VANIB = 1 1 1. . .
6VSABC 6 6BA BC SA
=
36a a a
VANIB =
3 2 36 a
Cách 2: Xét ABM và BCA vuông đồng dạng ?
ABM +BAC =BCA+BAC =90
AIB 900 MB AC (ABCD) Gọi M, N lần1)
SA (ABCD) Gọi M, N lầnABCD) SA MB (ABCD) Gọi M, N lần2)
Từ (ABCD) Gọi M, N lần1) và (ABCD) Gọi M, N lần2) MB (ABCD) Gọi M, N lầnSAC)
(ABCD) Gọi M, N lầnSMB) (ABCD) Gọi M, N lầnSAC)
Gọi H là trung điểm của AC
NH là đường trung bìnhSAC
NH = SA/2= a/2 và NH//SA
nên NH (ABCD) Gọi M, N lầnABI), do đó VANIB =
3
a
NH S
A06 Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O & O',
bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a Trên đường tròn
đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy
điểm B sao cho AB=2a Tính thể tích khối tứ diện OO'AB
Kẻ đường sinh AA' Gọi D là điểm
đối xứng với A ' qua O' và H là hình
chiếu của B trên đường thẳng A'D
Do BH A'D và BH AA'
nên BH (ABCD) Gọi M, N lầnAOO'A')
VOO’AB = 1
3BH.SAOO’
Ta có: A'B2 = AB2 - A'A2 = 3a2 và BD2
= A'D2 - A'B2 = a2 ,suy ra BO'D đều BH= ?
Vì AOO' vuông cân cạnh bên bằng a nên: SAOO'=a2/2
V
D06 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam
giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) Gọi M, N lầnABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối
chóp A.BCNM
3
a
V SA S (ABCD) Gọi M, N lầnđvtt)
+ SAB vuông tại A có AM là đường cao
SM.SB = SA2
2 2
4 5
+ SAC vuông tại A có
AN là đường cao
SN.SC = SA2
2 2
4 5
SAMN
SABC
VABCMN = VSABC – VSAMN =
3
a
V (ABCD) Gọi M, N lầnđvtt)
A07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP
và tính thể tích của khối tứ diện CMNP
Gọi H là trung điểm của AD
Do SAD đều nên SH AD
Do (ABCD) Gọi M, N lầnSAD) (ABCD) Gọi M, N lầnABCD) nên SH (ABCD) Gọi M, N lầnABCD) SH BP (ABCD) Gọi M, N lần1) Xét hình vuông ABCD ta có
CDH = BCP CH BP (ABCD) Gọi M, N lần2)
Từ (ABCD) Gọi M, N lần1) và (ABCD) Gọi M, N lần2) BP (ABCD) Gọi M, N lầnSHC)
Vì MN//SC và AN // CH
(ABCD) Gọi M, N lầnAMN) // (ABCD) Gọi M, N lầnSHC)
Do đó: BP(ABCD) Gọi M, N lầnAMN) BP AM
Kẻ MK (ABCD) Gọi M, N lầnABCD) , Ta có: VCMNP = (ABCD) Gọi M, N lần1/3)MK.SCNP
B07 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (ABCD) Gọi M, N lầntheo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC
Gọi H là tâm ABCD
SH (ABCD) Gọi M, N lầnABCD)
Từ BH AC và BH SH suy ra BH (ABCD) Gọi M, N lầnSAC) Gọi I,K là trung điểm SA,AB:
IH// BE và MK// BE nên IH//MK
MK//IH (ABCD) Gọi M, N lần1) và KN//AC (ABCD) Gọi M, N lần2) 1(ABCD) Gọi M, N lần1) và (ABCD) Gọi M, N lần2) (ABCD) Gọi M, N lầnMKN) // (ABCD) Gọi M, N lầnSAC) (ABCD) Gọi M, N lầnMKN) BD MN BD Khoảng cách giữa MN và AC bằng khoảng cách từ H đến (ABCD) Gọi M, N lầnKMN) = HQ/2
D07 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, góc
ABC= BAD= 900 , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Chứng minh SCD vuông và tính (ABCD) Gọi M, N lầntheo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lầnSCD)
Kẻ CE AD OBCE là hình vuông nên CE = AE = ED=a Theo định lý Pythago ta có:CD2 ==2a2,SC2=4a2,SD2=6a2;
SD2 =SC2 + SD2
∆ SCD vuông tại C
b) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: A(ABCD) Gọi M, N lần0; 0; 0); B(ABCD) Gọi M, N lầna; 0; 0); C(ABCD) Gọi M, N lầna; a; 0); D(ABCD) Gọi M, N lần0; 2a; 0); S(ABCD) Gọi M, N lần0; 0; a)
1
A
B
C
S
I
N
K
H
D A
S E
M
K M
P
N H
D
C S
O A
O'
C B H
I H M N
D A
B
C E
y z
x B S
C
D
M I
a
C
Trang 2LTĐH Hình Học Không Gian GV Nguyễn Vũ Minh
Hạ HI vuông góc với AB,
HK vuông góc SA Ta có
3
a
(ABCD) Gọi M, N lầnSCD): x y 2z 2a 0
d(ABCD) Gọi M, N lầnH;(ABCD) Gọi M, N lầnSCD))=
3
A08 Lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a,
đáy ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu
vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lầnABC) là trung
điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC
và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'
Gọi H là trung điểm của BC
Suy ra A'H (ABCD) Gọi M, N lầnABC) và (ABC) và
3
Do đó : A'H =A'A2 – AH2 = 3a2
A'H =(ABC) và a 3
3 '.
1 '
a
Trong tam giác vuông A'B'H có: HB'2= A'B' 2 + A'H2 =4a2
nên B'BH cân tại B' Đặt là góc giữa hai đường thẳng
' ;cos =
a
B BH
a
B08 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lầnSAB) vuông
góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMDN và tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM, DN
Gọi H là hình chiếu của S trên AB,
suy ra SH (ABCD) Gọi M, N lầnABCD)
Do đó SH là đường cao của
hình chóp S.BMDN
Ta có: SA2 + SB2 = AB2
nên SAB vuông tại S,
suy ra SM = AB/2
Do đó SAM đều,
suy ra SH =a 3/2
Diện tích tứ giác BMDN là
SBMDN=SABCD/2 = 2a2
Thể tích khối chóp S.BMDN là VSBMDN= 3 3
3
a (ABCD) Gọi M, N lầnđvtt).
Kẻ ME//DN Đặt = góc [SM, DN] Ta có (ABCD) Gọi M, N lầnSM,ME) =
Theo định lý ba đường vuông góc ta có SA AE
SE2 = SA2 + AE2 = 5a2/4 ; ME2= AM2 + AE2 = 5a2 /4
Suy ra tam giác SME cân tại E nên
;cos = ME/2 / 2 1
a SME
a
D08 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông,
AB = BC = a, cạnh bên AA' =a 2 Gọi M là trung điểm
của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C
Từ giả thiết suy ra ABC vuông cân tại B Thể tích khối
lăng trụ là VABC.A'B'C' = AA’.SABC =
3 2
2.
a
a a (ABCD) Gọi M, N lầnđvtt)
Gọi E là trung điểm của BB’
Khi đó (ABCD) Gọi M, N lầnAME) // B’C nên d[AM,B’C] = d[B’C, (ABCD) Gọi M, N lầnAME)]
Nhận thấy d[B, (ABCD) Gọi M, N lầnAME)] = d[C, (ABCD) Gọi M, N lầnAME)]
Gọi h =d[B, (ABCD) Gọi M, N lầnAME)]
Do tứ diện BAME có
BA, BM, BE đôi một vuông góc nên suy ra đường cao :
12 12 12 12 7
7
a h
Vậy d[B’C, AM] = 7
7
CĐA08 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,
SA= 2a gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SD Chứng minh BCNM là hình chữ nhật Tính thể tích khối
chóp S.BCNM theo a ĐS: V =
3
3 a
CĐA09 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA
= a 2gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, CD Cmr
MN SP Tính thể tích khối tứ diện AMNP
MN//CD, SP CD MN SP Gọi O là tâm ABCD có
2
a
VAMSP= 1
4VABSP=1
8VS.ABCD =1 1. . 2 3 6
a
A09 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông
tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng [(ABCD) Gọi M, N lầnSBC), (ABCD) Gọi M, N lầnABCD)] = 600 Gọi I là trung điểm AD Biết hai mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lầnSBI) và (ABCD) Gọi M, N lầnSCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lầnABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Vì (ABCD) Gọi M, N lầnSBI)và (ABCD) Gọi M, N lầnSCI)vuông góc với (ABCD) Gọi M, N lầnABCD) nên SI (ABCD) Gọi M, N lầnABCD)
Ta có IB a 5;BC a 5;
tính được 3 5
5
a
vuông SIH có
SI=IH tan 60
5
SABCD = SAECD+SEBC
= 2a2 + a2 = 3a2 (ABCD) Gọi M, N lầnE là trung điểm của AB)
3 2
3
B09 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a,
góc [BB’, (ABCD) Gọi M, N lầnABC)] = 600; ABC vuông tại C và BAC = 600 Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABCD) Gọi M, N lầnABC) trùng với trọng tâm của ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a ĐS: V =
3
9 208
a
D09 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là
tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M
là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM
và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lầnIBC)
3
2
d(A,IBC)
3 2
3
IABC IBC
2
H
B
C' B'
A'
N M
D A
S
H
E
E
M
A B
C
A' B'
C' A
C E
S K
D I
B H
