GA BOI DUONG HSGTOAN 8

CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ I.. Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ 3.[r]

CHỦ ĐỀ I: PHÉP NHÂN ĐA THỨC NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức

a) A = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x tại x = 14

b) B = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + + 10x2 - 10x + 10 tại x = 9

c) C = 3650651 3154.651 1054

105

1 651

1 315

1

Bài 2:

1 Rút gọn biểu thức :A (4x2 y2 )(2x y )(2x y )

2 Chứng minh: (7x + 1)2 – (x + 7)2 = 48(x2 – 1)

3 Tìm x,biết : 16x2 - (4x – 5)2 = 15

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x2 + 2x + 3

Bài 3:

1 Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào m:

A m  m 

2 Chứng minh rằng hiệu của hai số nguyên liên tiếp là một số lẻ

3 Rút gọn biểu thức : P = (3x +4)2 – 10x – (x – 4)(x +4)

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x2 – 4x +5

Bài 4:

1 Chứng minh rằng: (x – y)2 – (x + y)2 = - 4xy

2 Chứng minh: (7n – 2)2 – (2n – 7)2 luôn luôn chia hết cho 9,

với mọi n là giá trị nguyên

3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x2 + 6x +1

4 Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2

II HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ ỨNG DỤNG

A Áp dụng hằng đẳng thức

1 Bình phương của một tổng: AB2 A2  2ABB2=A B2 4AB





2 Bình phương của một hiệu: A B2 B A2 A2  2ABB2= A B2 4AB





3 Hiệu của hai bình phương: A2  B2 A BAB

4 Lập phương của tổng: AB3 A3  3A2B 3AB2 B3 A3 B3  3ABAB

5 Lập phương của hiệu: A B3 A3  3A2B 3AB2  B3 A3  B3  3ABA B

6 Tổng hai lập phương: A3 B3 ABA2  ABB2AB3  3AB.(A B)

7 Hiệu hai lập phương: A3  B3 A BA2 ABB2 (A B) 3  3AB.(A B)

* Một số hằng đẳng thức tổng quát

1 an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)

2 a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1)

3 a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k)

4 (a + b)n = an + nan-1b +

2 1

) 1 ( n n

an-2b2+…+

2 1

) 1 ( n n

a2bn-2 +nabn-1 + bn

5 (a -b)n = an - nan-1b +

2 1

) 1 ( n n

an-2b2-

…-2 1

) 1 ( n n

a2bn-2 +nabn-1 - bn

Bài tập1: Chứng minh các hằng đẳng thức sau :

1 ABC2 A2 B2 C2  2ABBCAC

2 ABC3 A3 B3 C3  3AB .BC . AC

3 2A2 B2AB2 A B2

4 A2 B2 .X2 Y2AX  BY2 AX BY2

Bài tập 2 Tính :

a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

Giải a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052

A = 1 + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)

A = 1 + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + 4 )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004)

A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 2004 + 2005

A = ( 1 + 2002 ) 2005 : 2 = 2011015

b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264

B = …

B =(232 - 1)(232 + 1) – 264

B = 264 – 1 – 264

B = - 1

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất hay giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a/ A = x2 – 4x + 7

b/ B = x2 + 8x

c/ C = - 2x2 + 8x – 15

Giải

a/ A = x2 – 4x + 7 = x2 – 4x + 4 + 3 = ( x - 2)2 + 3 > 3

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 khi x = 2

b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16

Dấu “ =” xảy ra  x – 4 = 0  x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là -16 khi x = 4

c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – 7 = – 2( x - 2)2 – 7 < - 7

Dấu “ =” xảy ra  x – 2 = 0  x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là - 7 khi x = 2

* Chú ý:

 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A > m với m là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A là m ( kí hiệu minA )

 Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần:

- Chứng minh A < t với t là một hằng số.

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra.

- Kết luận: Giá trị lớn nhất của A là t ( kí hiệu maxA )

Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu ( a + b + c ) 2 = 3(ab + bc + ac ) thì a = b = c

Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )

a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac

a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = 0

2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = 0

( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = 0

( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = 0

( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = 0 hay ( c – a)2 = 0

a = b hay b = c hay c = a

a = b = c

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài toán bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

Bài tập 5 Chứng minh rằng:

a/ 7.52n + 12.6n  19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1

 133 ( n N)

Giải a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n  19

Vì ( 25n – 6n )  ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n )  19 và 19.6n  19

Vậy 7.52n + 12.6n  19 ( n N)

b/ 11n+2 + 122n+1

 133 = 112 11n + 12.122n

= 12.( 144n – 11n) + 133.11n  133

Vì (144n – 11n)  (144 – 11) nên (144n – 11n)  133

* Chú ý:

Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

Bài tập 6 Tìm x, y, z biết rằng: 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

Giải 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0

 (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0

 ( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 = 0

 ( x + y + z)2 = 0 ; ( x + 5)2 = 0 ; (y + 3)2 = 0

 x = - 5 ; y = -3; z = 8

* Chú ý: Quan sát và biến đổi bài tốn bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức

Bài tập 7: Cho x =   

1 số chữ

n

15

11

; y =   

1 số chữ

n

19

11

Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.

Ta cĩ : y =   

1 số chữ

n

19

11

=   

1 số chữ

n

15

11

+ 4 = x + 4

Do đĩ: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2

hay xy + 4 =    

1 số chữ

n

2 17

11

là số chính phương

= 0

CH Ủ Đ Ề II:

CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

1/ Đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức , nhóm các hạng tử

2/Tách các hạng tử

3/ Thêm bớt một hạng tử

4/ Phương pháp hệ số bất định

5/ Phương pháp đổi biến

6/ Phương pháp xét giá trị riêng

I/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử

Bài 1 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a/ x4 + x3 + 2x 2 + x +1

Giải / x4 + x3+ 2x 2 + x +1 = ( x4 + 2 x2 + 1 ) + (x3 + x )

= ( x 2 +1) 2 + x ( x 2+1)

= ( x 2 +1) ( x 2+x +1)

b/ x3 + 2x 2y + xy2 - 9x = x( x 2 + 2x y + y2 - 9 )

= x( x+ y -3)( x+ y +3)

c/ a3+ b3+c3- 3abc = (a+b )3- 3a2 b – 3ab2 + c3- 3abc

= [ (a+b )3+ c3 ] -3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[( a+b)2 - c(a+b) + c 2 - 3ab]

d/ (a+b+c)3 - a3- b3-c3 = [ (a+b)+c]3 - a3- b3-c3

= (a+b)3+ c3 +3c(a+b)(a+b+c) - a3- b3-c3

=a3+ b3+ 3ab(a+b)+ c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3- b3-c3

= 3(a+b)(ab+ac+bc+c2 ) = 3(a+b)(b+c)(c+a)

e/ x2(y-z)+y2 (z-x)+z2(x-y) = x2 (y-z)+y2 z-xy2 +xz2- yz2

=x2(y-z)+yz(y-z)-x(y2 - z2 ) =(y-z)(x2 +yz-xy-xz)

=(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z)

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc

= [(a+b)3+c3 ] – 3ab(a+b+c)

= (a+b+c) [(a+b)2–c(a+b)+c2 ]– 3ab (a+b+c)

= (a+b+c) (a2 + 2ab + b2 – ac- ab + c2- 3ab)

= (a +b + c) (a2 + b2 + c2 – ab – bc – ac)

=

2

1

(a + b + c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2]

Nhận xét: Nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a3 + b3 + c3 – 3abc = 0

=>

2

1

(a+b+c) [(a-b)2 + (b-c)2 + (a-c)2] = 0

=> 























0 ) ( ) ( ) (

0

2 2

b a

c b a

=> 















c b a

c b

Áp dụng nhận xét trên vào giải một số dạng toán:

Dạng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức.

Dạng 3: Giải phương trình, hệ phương trình

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức.

II/Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên)

Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,không có dạng hằng đẳng thức,cũng không nhóm được hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhóm các hạng tử

Ví dụ : 3x2 -8x+4 = 3x2 -6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)

Hay tách 4x2 -8x+4 - x2 = (2x-2)2 - x2 =

Chú ý: Trong cách 1 ta tách hạng tử -8x thành 2 hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất hiện nhân tử chung x-2

Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành

b1x +b2x sao cho b1.b2 =a.c

Trong thực hành ta thực hiện như sau:

1/ Tìm tích a.c

2/phân tích a.c ra thừa số nguyên bằng mọi cách

3/ Chọn hai thừa số có tổng bằng b

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x2 -4x-3

Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x

thành -6x + 2x

Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do

Ví dụ : Phân tích đa thức : x3 - x2 -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó

đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành :

x3 - x2 -4 = x3 -2 x2+ x2 -4 = x2(x-2) +(x-2)(x+2) =

Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta chú ý 2 định lí sau :

1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức cố chứa nhân tử x -1

Ví dụ : Phân tích đa thức x3- 5x2 +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x3 - x2- 4 x2+8x -4 = x2(x-1) – 4(x-1)2 `

2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x +1

Ví dụ: Phân tích đa thức x3- 5x2 + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :

x3- 5x2 +3x +9 = x3+ x2- 6x2 +3x +9 = x3+ x2 - 6x2-6+3x +3

=x2 (x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) =

Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải

có dạng q p trong đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất Ví

dụ : Phân tích đa thức 3x3- 7x2 +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ±31 , ±35 ta có13 là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử như sau :

3x3- 7x2 +17x -5 = 3x3- x2 -6 x2 +2x + 15x-5 =x2 (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=

Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

a, x2 - 2x - 3 = (x – 3)( x + 1)

b, 4x2 - 4x – 3 = (2x – 3)(2x + 1)

c, 6x2 - 11x + 3 = (3x – 1)(2x – 3)

d, 2x2 + 3x - 27 = (x – 3)(2x + 9)

e, 3x2 - 8x + 4 = (x – 2)(3x – 2)

g, 2x2 -5xy + 3y2 = (x – 3y)(2x – y)

h, 2x2 - 5xy - 3y2 = (x – 3y)(2x + y)

i, 2x2 + 5xy - 7y2 = (2x + 7)(x – y)

3/ Phương pháp thêm bớt một hạng tử:

a/Thêm bớt một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương

Ví dụ : Phân tích da thức 4x4 +81 ta thêm bớt 36x2 ta có

4x4 +81 = 4x4 +36x2 +81 -36x2 = (2x2+9)2 – (6x)2 =

Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử

b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ : Phân tích đa thức x5 ` +x -1 ta thêm bớt x4 ,x3,x2 như sau:

x5 ` +x -1 = x5 `+x4 +x3+x2 -x4 -x3-x2 +x -1

= (x5 `-x4 +x3)+(x4 -x3+x2 ) –(x2 -x +1 ) =

Chú ý : Các đa thức có dạng x3m 1+ x3 n 2+1 đều chứa nhân tử x2 +x +1

Ví dụ : x7 + x5`+1; : x7 +x2 +1 ; x+ x5`+1; x+ x8+1

4/Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch nhÈm nghiÖm KiÕn thøc liªn quan: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

(cã thÓ ¸p dông ®/v bËc cao h¬n)

*1, f(x) có nghiệm x = α ⇔ f(α) = 0  f(x) = (x - α).g(x)

*2, Sơ đồ Hoóc ne: ( Thực hiện đợc với ∀ x  R )

α

a1

= a = a α +bb1 = b1 α +cc1 = c1 α +dd1 Ư(d)

*3, Nghiệm hữu tỉ của đa thức (nếu có) có dạng -

Ư+(a)

*4, Đặc biệt:

f(x) có tổng các hệ số bằng không ⇔ f(1) = 0

f(x) có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ ⇔ f(- 1) = 0

VD1: f(x) = x3 + 3x2 - 4

F(x) có tổng các hệ số bằng 0 f(x) có nghiệm x = 1

Vậy f(x) = (x - 1)(x2 + 4x + 4)

= (x - 1)(x + 2)2

Trình bày:

C1, x3 + 3x2 - 4 C2, x3 + 3x2 - 4

= x3 - x2 + 4x2- 4 = x3 - 1 + 3x2 -3

= x2(x - 1) + 4(x2 - 1) = (x - 1)(x2 + x + 1) + 3(x2-1)

= (x - 1)(x2 + 4x + 4) = (x - 1)(x2 + x + 1 + 3x + 3)

= (x - 1)(x + 2)2 = (x - 1)(x + 2)2

VD2: f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3

Ư(-3) = { -1 ; 1 ; - 3 ; 3 }

Ư(2) = { 1 ; 2 } 1 3

Nghiệm hữu tỉ nếu có là: ± 1 ; - ; 3 ; ± ± ±

Thử nghiệm: f(1/2) = 0  f(x) có nhân tử (x - 1/2) hay (2x - 1)

Trình bày:

f(x) = 2x3 - 5x2 + 8x - 3

= 2x3 - x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3

= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x - 1)

= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)

Bài tập

Bài 1: Phân tích đt thành nhân tử

a, x3 - x2 - 4 = ( x – 2 )( x2 + x + 2 )

b, 2x3 – 5x2 – x + 6 = ( x + 1 )( x – 2 )( 2x – 3 )

c, 3x3 + 5x2 - 5x + 1 = ( 3x – 1 )( x2 + 2x – 1 )

d, 2x4 - 3x3 + 2x2 – 1 = ( x – 1 )( 2x + 1 )( x2 – x + 1 )

e, 2x4 + x3 - 4x2 + x – 6 = ( x + 2 )( 2x – 3 )( x2 + 1 )

f, x5 - 6x3 + x2 + 8x – 4 = ( x – 1 )( x – 2 )( x + 2 )( x2 + x + 1)

g, x4 + 2x3 + x2 + x + 1 = ( x + 1 )( x2 + x - 1 )

h, 2x3 – 3x2 + 3x - 1 = ( 2x – 1 )( x2 - x + 1 )

i, 3x3 – 14x2 + 4x + 3 = ( 3x + 1 )( x2 - 5x + 3 )

5 Phương phỏp hệ số bất định.

Nếu đa thức f(x) khụng cú nghiệm nguyờn ,cũng khụng co nghiệm hửu tỉ ta dựng phương phỏp hệ số bất định

Tổng quát : dạng bậc ba

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (1) = (x + m)(ax2 + b' x + c' ) (*) = ax3 + (am + b' )x2 + (b' + c' )x + c'm (2) Đồng nhất hai đa thức (1) và (2) ta có :

am + b' = b b' + c' = c  b'= ? , c'= ? , m = ?

c'm = d Thay b' , c' , m vào (*) ta có dạng phân tích

Chú ý : Ta chỉ cần chọn một nghiệm nguyên nên ta có thể chọn trớc giá

trị của c và m sao cho c m = d’ ’

VD1: f(x) = x3 + 4x2 + 5x + 2 (1) = (x + m)(x2 + b'x + c' ) = x3 + (m + b')x2 + (b'm + c' )x + c'm (2)

m + b' = 4 m = 1 m = 2

Từ (1) và (2)  b'm + c' = 5  b' = 3 Hoặc c’ = 1 c'm = 2 c' = 2 b’ = 2 f(x) = (x + 1)(x2 + 3x + 2) Hoặc f(x) = (x + 2)(x2 + 2x + 1) = (x + 1)2(x + 2) = (x + 1)2(x + 2)

= x2(x + 1) + 3x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 1)(x2 + 3x + 2)

= (x + 1)2(x + 2)

( Bài này có thể dùng pp nhẩm nghiệm.)

VD2 : f(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 Đa thức không có nghiệm hữu tỉ, nên f(x) có thể pt thành dạng : (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) ( Nên chọn b = 1 , d = 1 )

= x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng nhất đa thức ta có :

a+c = 6

ac + b + d = 7  a = b = d = 1 ; c = 5

ad + bc = 6

bd = 1

= x2(x2 + x + 1) + 5x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 + 5x +1)

Chú ý : Chỉ nên sử dụng cách này trong trờng hợp bất đắc dĩ

Dựa vào kết quả pt trên để trình bày theo pp thêm, bớt

Bài tập

Bài 1: Pt đt thành nhân tử

a, x4 + 324 = ( x2+ 6x + 18 )( x2- 6x + 18 )

b, 4x4 + 4x3 +5x2 + 2x + 1 = ( 2x2+ x + 1)2

c, x4 - 8x + 63 = ( 1x2+ 4x + 9 )( 1x2- 4x + 7 )

d, 3x2 + 22xy +11x +37x +7y2 + 10

= ( x+ 7y + 2 )( 3x+ y + 5 )

H

Bµi2: Pt ®t thµnh nh©n tö

a, 4x4 + 6x3 +11x2 + 6x + 1 = (x2 + 3x + 1)2

b, 3x2 – 22xy – 4 x + 8y + 7y2 + 1

= (3x – y – 1)(x – 7y – 1)

c, 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3

= (4x – 6y + 3)(3x + 2y – 1) Bài 3: Phân tích đa thức x4 -6x3+12x2 -14x +3 Nếu đa thức này phân tích thành nhân tử thì có dạng (x2 +ax +b )(x2 + cx +d ) phép nhân này cho ta kết quả

x4 +(a+c)x3+(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

đồng nhất đa thức này vứi đa thức đã cho ta điều kiện

a+c = -6

ac+b+d = 12

ad+bc = -14

bd = 3

Xét bd =3 với bd Z  b { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành

a +c = -6

ac = 8

a+ 3c = -14

 2c = -14 – (-6)  c = -4  a= -2 vậy đa thức trên được phân tích thành

(x2 -2x +3 )(x2 -4x + 1 )

I V/ Phương pháp đổi biến

Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn

Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x2 +10x)(x2 +10x + 24 ) đặt x2 +10x + 12 =y  (y-12)(y+12) +128 = y2 -16 = (y-4)(y+4) =

VD1: f(x) = x4 - 8x2 + 12 §Æt : x2 = t

f(t) = t2 - 8t + 12 = (t - 2)(t - 6) Thay t = x2

f(x) = (x2 - 2)(x2 - 6)

VD2: f(x) = (x2 +x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x)2 + 4(x2 +x) - 12 §Æt x2 + x = t f(t) = t2 + 4t - 12

= ( t - 2)( t + 6) Thay t = x2 + x f(x) = (x2 + x - 2)(x2 + x + 6)

= (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 6)

VD3: f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12

C 1, §Æt x2 + x = t f(t) = (t + 1)(t + 2) -12 = t2 + 3t + 2 - 12 = t2 + 5t - 2t - 10 = t(t + 5) - 2(t + 5) = (t + 5)(t - 2) f(x) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x + 2)(x - 1)(x2 + x + 5)

f(t) = t(t +1) - 12 = t2 + t -12