Boi Duong Dai So 8

Nhận xét: Ta nên nhớ mục đích là đánh giá Q m nên nhìn vào biểu thức trên ta có hai hướng để khai thác : Hướng thư nhất : Khai thác tử số dùng cauchy đánh giá về mẫu, hoặc hướng thứ hai[r]

KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 A= (a + b)2 + c c => MinA = c ⇔ a +b = 0

B = -(a + b)2 + c  c => MaxB = c ⇔ a +b = 0

-A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất

1

B lớn nhất ⇔

B nhỏ nhất với B > 0

A  B A+B

2 Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm: cho n số không âm x x1, , ,2 xn

Ta có: 1 2 n 1 .2

x x  x n x x x

Dấu bằng xảy ra  x1 x2   xn.

3 Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai bộ  x x1, , ,2 xn   y y1, , ,2 yn

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

x y x y  x y  x x  x y  y   y

Dấu bằng xảy ra

1 2

1 2

n

.

4 Bất đẳng thức Svac-sơ:

1 2

1 2

n n

   với y y y1, , , 2 3 yn  0,  n  2 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :

1 2

1 2

n

y  y   y

* Biểu thức là một phân thức :

a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai:

Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2

6 x −5 − 9 x2 Giải : A = 2

6 x −5 − 9 x2 = −2

9 x2−6 x +5 =

3 x −1¿2+4

¿

−2

¿

Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó 2

1 (3x 1) 4

1

4 theo tính chất a

b thì 1a 1b với a, b cùng dấu) Do đó

3 x −1¿2+4

¿

−2

¿

− 24 ⇒ A - 12

Phần A: Giá trị nhỏ nhất- Giá trị lớn nhất.

I TÌM GTNN , GTLN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT BIẾN

Bất đẳng thức Cô si: a + b 2 ab ; a2 + b2 2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2) ( a+ b)2

Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) (ac + bd)2

minA = - 12 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 13

Bài tập áp dụng:

1 Tìm GTLN của BT : 2

1 A



2 Tìm GTLN của BT : 2

1 A



3 (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2

3 A



b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức.

Ví dụ : Tìm GTNN của A = 3 x

2

− 8 x+6

x2−2 x+1 Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm

A =

2

2 1

x − 2¿2

¿

x − 1¿2

¿

¿

¿

2

minA = 2 khi và chi khi x = 2

Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có :

A =    

2 1 2 2 1

    

2

y +

1

y2 = (

1

y -1)2 + 2

minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2

Bài tập áp dụng:

1, Tìm GTNN và GTLN của bt:

2 2

1 P

1

x

x x





  2, Tìm GTNN của bt :

2 2

2 2006

x

 



3, Tìm GTNN và GTLN của bt:

2 2 C

5 7

x



  4, Tìm GTNN của bt : a,

2 2

2 2 D

2 3

 



 

c/ Các phân thức dạng khác:

Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 3 − 4 x

x2 +1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số :

A = x

2−4 x+4 − x2−1

x2+1 =

x − 2¿2

¿

¿

¿

- 1 -1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2

Tìm GTLN A = 4 x

2 +4 − 4 x2− 4 x −1

x2 +1 = 4 - 2 x +1

¿2

¿

¿

¿ 4

Bài tập áp dụng: 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: a, A 2 2

x x



 b,  

2 3 2

B

2

x x





2, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a,

2 4 4

x

 



Với x > 0; b,

5 3

2

D x

x





Với x > 0

Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1

sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A

A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2

Đến đây ta có nhiều cách giải

Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A

x + y = 1 ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1)

Mà (x – y)2 0 Hay: x2 - 2xy + y2 0 (2)

Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) 1 ⇒ x2 + y2 1

2 minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 12

Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x Thay y = x – 1 vào A

A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - 12 )2 + 12 12

minA = 12 khi và chỉ khi x = y = 12

Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới

Đặt x = 12 + a thì y = 12 - a Biểu thị x2 + y2 ta được :

x2 + y 2 = ( 12 + a)2 + ( 12 - a)2 = 12 +2 a2 12 => MinA = 12 ⇔ a = 0 ⇔ x=y

= 12

Bài tập 1: Tìm Min A = a2ab b 2 3a 3b2014

Cách 1 Ta có: A= a2 2a 1 b2 2b 1 ab a b   1 2011

= a  2a 1 b  2b 1 ab a b   1 2011 = a 1  2b11a b 1  b12011

 2  2    

= a 1  b1  a 1 b 1 2011

b

 Min A = 2011 khi

1

1 2

1 0

b

a b b









  



Cách 2:

 Min 2A = 4022 khi

a 1 0

2 0

a b

 







   

II TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN

BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ:

Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = a2 ab b 2 3a 3b3

Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: x24y2z2 2x8y 6z15 0

VTx  2x 1 4y 8y 4 z  6z 9 1= x-1  2y2  z 3  1 1

Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

1)x24y2z24x4y8z22 0

2) x24y29z2 2x12y12z1994

Hướng dẫn Ta có:

= x+2 2 1 4 1 1

2) VT = x 2 1 4 12 3 9 12 4 1986

= 1 2 3 3 2 1986 1986

Bài 4: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : a2b2c2d2 a b c d    (*)

Ta có :

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0

Dấu “=” sảy ra khi : a2b2c2d  0 a b c d   0

BÀI TẬP:

Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a2 b2c2d2 e2 a b c d e    

Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : a2b2 1 ab a b 

Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 4a24b24ab 4a4b 4 0

1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến

Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2

ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 2 ⇒ minA= 2 ⇒ y=0 ⇒ x=2

2, Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị

bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị

chẳng hạn : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất

1

B lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0

Ví dụ : Tìm GTLN của

4

2 2

1 ( 1)

x A x





 (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi

1

A nhỏ nhất và ngược lại)

III Các chú ý khi giải bài toán cực trị :

Ta có :

1

A =

1

1

A 1 min

1

A = 1 khi x = 0 Do đó maxA =1 khi x = 0

3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết

Bất đăng thức có tính chất sau

a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b d

b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c

c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn

Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN của A = 2x + 3y

Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 13.13.4

⇒

2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 ⇔

2 3

x y







 Thay y =

3

2

x

vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y 0

Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6

3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau

- Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

- Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y N thoả mãn x + y = 2005

Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2

xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất

giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y)

Do 1 y x 2004 nên 1 x-y 2003

Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002

max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1

Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002

Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1

================================================================

1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau

VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 Tìm GTNN của biểu thức :

1 4

A =

x y

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm

1 4 ,

x y ta có:

x y xy (1)

Lại có:

1

x y

xy



(2 )

Từ (1) và (2) suy ra :

1 x

2

y xy

Vậy Min A = 8

Phân tích sai lầm:

MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Đẳng thức sảy ra ở (1) khi

1 4

4

x y  xy

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1)

Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai

Giải đúng: Vì x + y = 1 nên  

x

x y

Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm

4 ,

x y

y x Ta có :

y x  y x 

Dấu “=” xẩy ra khi

1 4

1

3

x y

y

x y



 



Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời xảy ra dấu bằng không Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán:

VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1 Tìm GTNN của BT :

2 2

A = x+

  

Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm

1

x,

x Ta có:

x+ 2 x 2

x  x  (1)

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm

1

y,

y Ta có:

y+ 2 y 2

y  y  (2)

Từ (1) và (2) =>A  8 => Min A = 8

Phân tích sai lầm: Đẳng thức xảy ra ở (1) khi

2 1

1

x  x x 

Đẳng thức sảy ra ở (2) khi

2 1

1

y y y  Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1)

Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có :

2  xy xy  2 xy4

Ta có :

2 2

A = 4 + x +y +

 

 

   

    Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy  1 -

1

2=

1

2 (1)

x y  x y xy (2) Từ (1) và (2) =>A  8 +

1

2+4 =

25

2 =>Min A =

25

2 khi x=y =

1 2

Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

3,

Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1 :

VD1: Tìm GTLN của bt: 2

1

A =

6 17

x  x Lời giải sai: A đạt Max khi x2 6x17 đạt Min Ta có :  

2

2 6 17 3 8 8

x  x  x  

Do đó Min x2 6x17  8 x3

Vậy Max A =

1

8  x3

Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương

Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét  

2

2 6 17 3 8 8

x  x  x   nên tử và mẫu của A là dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4

Ta có : A = x2 + y2 2xy => A đạt GTNN

2 2 2

2 4

x y

x y

 

 Khi đó MinA = 8

Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) m với m là hắng số

Chẳng hạn: Từ x2  4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất  x2 = 4x – 4  (x – 2 )2 = 0  x =2

Đi đến min x2 = 4  x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0  x =0

Lời giải đúng: Ta có x + y =4  x + y =16 2 (1)

Ta lại có :  

x - y 0   x -2xy+y 0 

(2)

Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) 16 => A = x2 + y2  8

V y Min A = 8 khi v ch khi x = y = 2 ậ à ỉ

Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu

là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng.

4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2

VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + x

Lời giải sai : x + x =  x +2 x2 1 1 1 x 1 2 1 1

      

1 4



P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) 

1 4

 chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=

1 4





1 2

x 

(vô lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x là x 0 do đó : A = x + x 0 => Min A = 0  x0

VD2: Tìm GTLN của A = xyx z+y y+z z+x      với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1

Lời giải sai: Áp dụng BĐT  

2

4xy x y

ta có :

2

2

2

4x z+y x+y+z 1 4y z+x x+y+z 1 4z x+y x+y+z 1

1 64xyx z+y y+z z+x 1 =>xyx z+y y+z z+x

64

Vậy Max A =

1 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”

ĐK để Max A =

1

64 là :

z+y = x

x+z = y x + z + y = 1

x + z + y = 1 x, y, z 0

x, y, z 0

x y z





  











Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z 3 x.y.z 3 (1)

(2)

Từ (1) và (2) => 2 3 3 x y z x +y z+x y+ z      hay:

3

2 3 A A

9

 

 

Max A =

3 2

9

 

 

  khi

x +y = z+x = y+ z    

1 1

3 , , 0

x y z









VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

(x a)(x b) A

x



với x > 0, a, b là các hằng số dương Lời giải sai: Ta có:

   

2 ax

2 ax.2 bx 4 ab

2 bx

x a

x b

  





 



Do đó:

vậy Min A = 4 ab  x a b 

Phân tích sai lầm: Nếu a b thì không có: A = 4 ab

Lời giải đúng : Ta có

2

Theo bất đẳng thức Cauchy :

ab

x

nên A ≥ 2 ab + a + b =  a b2

min A =  a b2

khi và chi khi

ab

x

x 0









 

VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk

1 1 1

2

x y  Tìm GTNN của bt: A = x y

Do x > 0, y > 0 nên

0, 0 y

x  áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số

1 1 ,

x y

ta có:

4 xy => xy 4 Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x0, y 0 áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

Vậy: Min A = 4 khi :

4

1 1 1

2

x y

x y

x y









 





VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : A x2 x 1  x2 x 1

Ta có:

2

2

Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số x2 x 1, x 2 x 1 ta có :

x  x 1  x   x 1 2 x  x 1 x   x 1 2 x x  1 2

 Max A = 2 khi

4 2

x x 1 1

x 0







VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của :

A

với x, y, z > 0

Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:

3

Do đó

Cách 2 : Ta có :

2

y x  (do x, y > 0) nên để

chứng minh

3

y z x  ta chỉ cần chứng minh :

1

z x  x  (1)

(1)  xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz)

 xy + z2 – yz – xz ≥ 0  y(x – z) – z(x – z) ≥ 0  (x – z)(y – z) ≥ 0 (2)

(2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của

y z x.

Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng BĐT

Cô-si rồi tìm cực trị của nó:

Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó

VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A 3x 5 7 3 x, ĐKXĐ :

x

x x

 





 Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 2 3 x 5 7 3   x

Với

3 x 3 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3x  5 và 7 3x  ta có:

3x 5  7 3  x  2 3 x 5 7 3   x

hay 2 2 3  x 5 7 3   x

 A2  4 =>A  2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2

VD2: Tìm GTNN của biểu thức: A = -x22x 8 -x2 x 2 (*)

ĐKXĐ :

   

   

2

2

x x

x

  

  

Khi đó -x22x 8 -x2 x 2   x 6 0

=> A > 0

Từ (*) => A = -x2 22x 8 -x2 x 2 2 -x22x8 -x2 x 2

= -2x23x10 2 x2 4   x x  1 2   x

= 2  x x  2  x1 4   x 2 2 2  x x  2  x1 4   x

=  4 x22 2 2  x x  2  x1 4   x  x1 4   x22  4 x2  x1 4   x 2 2 2

A = 2  4 x2 x1 4   x  x0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên )

Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : y 1 x 1x

Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : y x 2 4 x

Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A x 5 23 x

Bài 4: Tìm GTNN của : A = -x24x21 -x23x10

Bài 5: Tìm GTNN của :

A =

y  z  x với x, y, z dương và x + y + z  12

Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không.

VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

x - 9

A = 5x

Giải: ĐKXĐ: x 9 Ta có:

x - 9

A = 5x =

1 x - 9

.3

1

2 3

x



Dấu “=” xảy ra khi

x - 9

3

18 3

9

x x









 



VẬN DỤNG BDT A  B A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ

Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : y x22x 1 x2 2x1

Cách 1: y x22x 1 x2 2x   1 x 1 x1

Nếu: x < -1 thì y  x 1 x1 x 1 x 1 2x2

Nếu: -1 x 1  thì y  x 1 x1  x 1 x 1 2

Nếu: x > 1 thì y  x 1 x1    x 1 x 1 2 x2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 

Cách 2 : áp dụng BĐT a b  a b ( Dấu “=” sảy ra khi a.b 0)

Ta có : y   x 1 1 x    x 1 1 x 2

Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 x 1 

Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 Tìm GTLN của A = x2y

Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :