Vấn đề 5 min max phần 3

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số.. Tìm giá trị lớn nhất của M.. Tam giác ABC vuông đỉnh A nên  AB AC.. Độ dài của AP trong khoảng nào sau đây thì diện tích tam giác PQR đạt nhỏ nhấ

Email: doanphunhu@gmail.com

Câu 1. Cho hàm số y ax 2bx c có đồ thị đi qua điểm A1;1 và cắt trục hoành tại hai điểm ,B C

sao cho tam giác ABCvuông đỉnh A và có diện tích S  2 Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số Tìm giá trị lớn nhất của M

2

MaxM 

Lời giải

Họ và tên tác giả :Đoàn Phú Như Tên FB: Như Đoàn

Chọn B

Đồ thị hàm số đi qua A1;1nên ta có a b c  1 (1)

Gọi x x là nghiệm phương trình 1; 2 2

0

ax bx c  thì B x 1;0 , C x 2;0 Tam giác ABC vuông đỉnh A nên  AB AC  0 x11 x21 1 0   x x1 2 x1x2  2 0 2a b c  0

(2)

Từ (1) và (2) ta có a1,c 2 b

2

4

a



2BC  b  b   b  b .

Ta có a 1 nên hàm số có giá trị lớn nhất là

2 2

M

Vì b2 4b nên 0 M 2,

2 2

2

M





Email: chipbong07@gmail.com

Câu 2. Cho hình chữ nhật ABCD, AB10, AD8 Trên các cạnh AB BC CD lần lượt lấy các điểm, ,

, ,

P Q R sao cho AP BQ CR  Độ dài của AP trong khoảng nào sau đây thì diện tích tam

giác PQR đạt nhỏ nhất.

A 2;3  B 3;4  C 4;5  D 5;6 

Lời giải

Họ và tên tác giả : Đặng Ân Tên FB: Đặng Ân

Chọn C

Cách 1:

Ta có tứ giác CRPB là hình thang và có diện tích   40

2

CR BP BC

S   không đổi nên diện

tích hình PQR đạt nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng diện tích của 2 tam giác BPQ CQR đạt lớn , nhất

Đặt AP x , 0 x 8

2

BPQ CQR

2

     

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 9

2

x  Chọn C

Cách 2: Trên cạnh AD lấy điểm T sao cho DT AP Dễ chứng minh được tứ giác PQRT là

hình bình hành và 1

2

PRQ PQRT

Đặt AP x , 0 x 8 Diện tích hình PQRT đạt nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng diện tích của 4

tam giác APT BPQ CQR DTR đạt lớn nhất, , ,

    8  10  18 2 2 9

APT BPQ CQR DTR

     

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 9

2

x  Chọn C

Để xét   81

2 9

2

x  x  có thể áp dụng bđt Cô si cho hai số không âm x và 9 x hoặc xét hàm

2 18

y x  x trên 0;8 

Email: phamvanthuan@gmail.com

Câu 3. Cho hàm số f x  4x2 4mx m 2 2m2 ( m là tham số) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị

của m sao cho  

 0;2 

3

Min f x  Khẳng định nào sau đây đúng:

A.S   4;6 B. S   3;7 C. S   2;8 D S   1;9

( Sưu tầm: Phạm Văn Thuấn - tên FB: Pham Van Thuan )

Lời giải

Chọn D

Có hoành độ của đỉnh ; 4 0

2

I

m

x  a  Xét 3 trường hợp sau:

TH1: 0 0

2

m

m

   Suy ra hàm số đồng biến trên đoạn 0; 2

 

 

  2 0;2

2

m

m

 0;2 

1

m

2

m

m

   Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 0; 2

 

 

  2 0;2

Vậy S  1 2;5 10   1;9 Chọn D

Câu 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y x   x 

b) yx x( 1)(x 2)(x 3)

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Thanh Thương Tên FB: Nguyễn Thương

Lời giải

a) Điều kiện 4  x 4 Đặt t 16 x2,0 t 4 

Khi đó: yf t( )t2 4t3 có a   nên bề lõm quay xuống dưới.1 0

Hoành độ đỉnh 2 [0;4]

2

b a

   Vậy nên minyf(4)29

b) y x x ( 1)(x 2)(x 3) (x 2 2 )(x x2 2x 3)

Đặt tx2 2x 1 (x1)20 thì yf t( ) ( 1)( t t 4) t2 5t4;t0

y f t f  

Email: giachuan85@gmail.com

Câu 5. Cho hàm số y x 2 5x có đồ thị là 8  P và hai điểm A4; 1 , B10;5 Biết điểm

 0; 0

M x y trên  P thỏa mãn diện tích tam giác MAB nhỏ nhất Tính tổng x0y0

Họ và tên tác giả: Trần Gia Chuân Tên FB: Trần gia Chuân

Lời giải Chọn.

+ Vẽ đồ thị  P , nhận thấy A , B không thuộc bề lõm của  P , suy ra yêu cầu bài toán thỏa

mãn khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với  P song song với đường thẳng AB

+ Gọi y ax b  là đường thẳng qua A , B suy ra 4 1 5

a b

y x

a b

 





 

+ Đường thẳng  song song với đt y x 5 có dạng y x b,  là tiếp tuyến của  P khi

phương trình hoành độ giao điểm : x2 6x 8 b0của  P và  có nghiệm kép

       (chú ý b 1 là điều kiện tiếp xúc)

Khi đó M3; 2, vậy x0y0 5

Congnhangiang2009@gmail.com

Câu 6. Tìm m để hàm số y x 2 2mx m 25m 2 có giá trị nhỏ nhất đạt giá trị lớn nhất Giả sử

a m

b

 , a

b là phân số tối giản, b 0 Tính a b .

(Họ và tên tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, Tên FB: Hoàng Nhàn)

Lời giải

Chọn C

Hàm số y x 2 2mx m 25m 2có giá nhỏ nhất là y m  2m25m 2

Biểu thức   2

y m  m  m đạt giá trị lớn nhất khi 5

4

m 

5

a

  , b 4  a b 9

Họ tên: Vũ Thị Chuyền FB: Vũ Thị Chuyền

Email: buivuongphung@gmail.com

Câu 7. Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x22m 2x 3m2 4m 8 0 có hai

nghiệmx x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x1x2  2x x1 2 24 0 Gọi M và N lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 12x224x x1 213x1x2 Tính M N :

A. 64 B. 44 C. 87

2

2



Lời giải

Chọn đáp án A.

Phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1x2 2x x1 2 24 0

2 2

1 2 1 2

1

1

m

m

m

 



  



(*)

1 2 2 1 , 1 2 3 4 8

x x  m x x  m  m )

1 2 4 1 2 13 1 2 1 2 2 1 2 13 1 2 2 2 20

P x x  x x  x x  x x  x x  x x  m  m + Bảng biến thiên của P với điều kiện (*)

Từ bảng biến thiên ta được: M 20 khi m 1, N 44 khi m 3 Suy ra MN 64

Email: hoanggiahung.bdh@gmail.com

Câu 8. Cho hàm số: f x ax2bx 2 a 0    Biết rằng hàm số đồng biến trên 1; Khi đó giá

trị lớn nhất của biểu thức

2

8a P

3a 2ab b



  là:

8

4

3.

Lời giải

Họ và tên tác giả : Hoàng Gia Hứng Tên FB: Hoàng Gia Hứng

Chọn B

Do a 0 nên hàm số đồng biến trên 1;thì: b 1 b 2



Khi đó :

2

2

P

 

 

với t b 2

a

 

Ta có t22t 3  t 12 2 11, t 2  Dấu ‘=” xảy ra khi t 2

Do đó : P 8

11

 Suy ra maxP= 8

11 khi

b 2

a  Chọn B

Email: huunguyen1979@gmail.com

Câu 9. Cho parabol   2

P y x  x và đường thẳng :d y mx 4 Biết d cắt  P tại hai

điểm phân biệt A B, có hoành độ lần lượt là x x Tìm giá trị nhỏ nhất của 1, 2 T x1 x2 ?

Lời giải

Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên

Phương trình hoành độ giao điểm của  P và d :

x  x mx  x2 (m 2018)x1 0

Nhận thấy phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu x x với mọi1, 2 m R

Ta có 1 2 2

1

1

x

2

1

1 ,

x

x cùng dấu)

Dấu “=” xảy ra khim 2018

Câu 10. Cho , ,x y z [0; 2] Tìm giá trị lớn nhất của T 2(x y z  ) ( xy yz zx  )?

Lời giải

Họ tên: Đào Hữu Nguyên Fb: Đào Hữu Nguyên

Ta có T f x( ) (2  y z x ) 2(y z ) yz

Nếu y z 2thì ( ) 4f x   yz4 do yz0

Nếuy z 2 thì ( )f x là hàm số bậc nhất

Ta có (0)f (2 y)(2 z) 4 4  và (2)f  yz 4 4

Vậy MaxT 4 khix0,y z 2hoặc x2,y z 0

Email: Lehoayenphong1@gmail.com

Câu 11. Cho hàm số yf x  x2 2ax1 với a là tham số.Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm số trên 0;1 Biết rằng có hai giá trị của a để M m 4 khi đó tổng hai giá trị của a bằng

Họ tên:Lê Hoa Tên Fb: Lê Hoa

Lời giải

Chọn B

Hàm số f x   x2 2ax1 có hệ số của x2 bằng 1 dương, tọa độ đỉnh  2

;1

I a  a ,f  0 1

 1 2 2

HT1: Xét a 0 khi đó hàm số f x đồng biến trên   0;1   M f  1 ,mf  0

2

M m   a (thỏa mãn)

TH2: Xét a 1 khi đó hàm số nghịch biến trên 0;1  M f  0 ,mf  1

2

M m   a ( thỏa mãn)

( Đến đây đủ hai giá trị a chọn luôn đáp án)

TH3: Xét 0 a 1 khi đó mf a ,M max f  0 ;f  1

-Nếu M f  0  M m  4 a2 không thỏa mãn

-Nếu M f  1 3

4

1

a

M m

a





 không thỏa mãn

Vậy có hai giá trị a thỏa mãn là 3

2

a , 5

2

a  suy ra chọn B

Email: lienquocnl@gmail.com

Họ và tên tác giả : Lê Thị Phương Liên Tên FB: Phuonglien Le

Câu 12. Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3?

Lời giải

Chọn C

Ta có: f(x) = (2x – m)2 – 2m + 2

f(0) = m2 – 2m + 2

f(2) = m2 – 18m + 18

bảng biến thiên của hàm số f(x) là:

+∞ f(x) +∞ +∞

– 2m + 2

+) Nếu thì f(x) đồng biến trên [0 ; 2] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

đó là

f(0) = m2 – 2m + 2 khi đó 3 = m2 – 2m + 2

mà +) Nếu thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là khi đó

+) Nếu thì f(x) nghịch biến trên [0 ; 2] nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó là

f(2) = m2 – 18m + 18 khi đó 3 = m2 – 18m + 18

Vậy với hoặc thì hàm số f(x) = 4x2 - 4mx + m2 – 2m + 2 trên đoạn [0; 2] bằng 3

Email: nguyenvandieupt@gmail.com

Câu 13. Gọi a, b các số thực để biểu thức 2

1

ax b F

x





 đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1 Tính giá trị của biểu thức P a 2 b

Lời giải

Chọn C

Các số thực a, b thõa mãn bài toán

2 2



Đặt f x 4x2ax b 4, g x  x2bx b 1

Dễ thấy f x g x là các hàm số bậc hai lần lượt có hệ số bằng -4 và 1 Nên max và min lần  ,   lượt đạt tại đỉnh của nó

Từ đó ta có  

 

2

3

b









Họ và tên tác giả : - Nguyễn Văn Diệu Tên FB: dieuptnguyen Email: nhnhom@gmail.com

Câu 14. Cho phương trình bậc hai x2 2mx m 2  2m  (4 0 x là ẩn và m là tham số) Khi đó m

thuộc đoạn nào để phương trình đã cho có hai nghiệm không âm x x1, 2 và giá trị của

P x  x là nhỏ nhất

A m 2;4. B m (2;) C m (2;) D m (2;5).

Lời giải

Họ và tên tác giả : Nguyễn Minh Thuận Tên FB: Minh Thuận

Chọn A

Phương trình x2 2mx m 2 2m  có hai nghiệm không âm4 0

2 2

2

     







Theo định lý Vi-ét ta có x1x2 2 ;m x x1 2 m2 2m4

Suy ra P x1 x2   x1  x22  x1x22 x x1 2  2m2 m123

Mà P x1  x2 nhỏ nhất khi 2m2 m12 nhỏ nhất.3

Vậy P x1  x2  2m2 m123  8 dấu bằng xảy ra khi m 2

Đáp án: m 2;4

Email: phamcongdung2010@gmail.com

Câu 15. Cho hàm số y2x2(6 m x)  3 2m (1) Giá trị mđể đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành

tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x sao cho biểu thức 1, 2 2018 2018

A

giá trị nhỏ nhất

A m   B m  ( 3;0). C. m 0;3. D. m

Lời giải

Họ và tên tác giả : Phạm Công Dũng Tên FB:Phạm Công Dũng

Chọn B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và trục hoành là nghiệm phương trình

2

2x (6 m x)  3 2m0 (*)

Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm

phân biệt    0 m24m12 0, m

Gọi x x là nghiệm của phương trình (*) Theo Viét ta có1, 2

1 2

1 2

6 2

3 2 2

m

x x

m

x x













Ta có  1   2   1 2 1 2 

2

x  x   x x  x  x  

Theo bất đẳng thức Côsi ta có 2018 2018 2018 1010

(x 2) (x 2)  (x 2) (x 2) 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2018 2018 1 2

(x 2) (x 2)  x  x 

Do x x phân biệt nên ta có 1, 2 1 2 1 2

6

2

m

x   x   x x      m

Email: phamhongquangltv@gmail.com

Câu 16. Cho phương trình: 2x22(m1)x m 24m  Gọi 3 0 x x là 2 nghiệm của phương trình.1, 2

Tìm GTLN của Ax x1 2 2x1x2

2

Họ và tên tác giả : Phạm Hồng Quang Tên FB: Quang Phạm

Lời giải

Chọn D

PT x  m x m  m 

Phương trình có nghiệm  ' (m26m5) 0   5m1

 

2

1 2

1 1

2





 





Ta có : 1 2 8 7

2

A m  m Xét hàm số f m( )m28m có BBT trên 7 5; 1  là:

m - 5 - 4 -1

f(m) -8 0

-9

=> Max f m5; 1  ( ) 9 =>Max A 9 4

  

Email: Phungthan.ddn@gmail.com

Câu 17. Cho hàm số f x( ) 2 x2 3x 7 và ba số thực a b c, , thỏa mãn a5,a b 8,a b c  10

Gọi M là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f a( ) f b( ) f c( ) Giá trị M là

Lời giải

Họ và tên tác giả : Phùng Văn Thân Tên FB: Thân Phùng

Chọn A

2 0

Suy ra f a( ) 58 23(  a 5)

( ) 20 15(   3)

( ) 7 11(   2)

Vây giá trị nhỏ nhất bằng 85

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui

Email: phuongthu081980@gmail.com

Câu 18. Cho hàm sốy x 2 2x2 x2 2x m 2 2018m Tổng S tất cả các giá trị nguyên dương của

m thỏa mãn điều kiện: S 2019 (với S là giá trị nhỏ nhất của hàm số khi x  ) bằng:2

A. S 2019.1010 B S 2019.1009 C S 2019.2018 D S 2021.1009

Lời giải

Chọn A

Ta cóy x 2 2x2 x2 2x m 2 2018m

trong đó

2

2

2018 2019

Mặt khác : m nguyên dương

1 2 3 2019 2019.1010

m

S

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui

Email: phuongthu081980@gmail.com

Câu 19. Cho hàm số: y f x  mx2  2x m 1  C

Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số (C) đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

+)BBT

+

m

y

m



) m 0

  không có GTLN

) m 0

  từ BBT ta có GTLN là

m m m

 Vì

1

0





m

Dấu đẳng thức xr 1  m m 1 do m 0

m

Vậy GTNN bằng 1 khi và chỉ khi m 1

Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Buisonca Bui

Email: quangnam68@gmail.com

Câu 20. Cho hàm số f x( )x2 2x m với tham số m thuộc đoạn 2018; 2018 Gọi M là giá trị nhỏ

nhất của hàm số f x( 1)

x

 trên tập R\ 0  Số giá trị m nguyên để M 2 là :

Lời giải

Họ và tên tác giả : Nguyễn Quang Nam Tên FB:Quang Nam

Chọn A

Đặt t x 1 t 2

x

    , xét hàm số f t( )t2 2t m với t     ; 2  2; Đặt a t 2 2t với t     ; 2  2; suy ra a 0

Xét hàm số ( )g a  a m Khi đó M min ( )g a với a 0

+) Nếu m 0 m0

Dựa vào đồ thị

M g m m  m

+) Nếu m0 m0

Dựa vào đồ thị

( ) 0 2

M g m   không thỏa mãn bài toán

Vậy có 2017 giá trị m thỏa mãn bài toán

Email: Samnk.thptnhuthanh@gmail.com

Câu 21. Cho hàm số yf x( )x26x5 Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

hàm số y  f(f(x)), với   3 x 0 Tổng Sm M

Lời giải

Họ và tên tác giả : Nguyễn Khắc Sâm Tên FB: Nguyễn Khắc Sâm

Chọn B

Ta có f f x( ( ))f x2( ) 6 ( ) 5. f x 

Đặt t  f (x), Xét hàm tf x( )x26x 5 trên 3;0

Ta có bảng biến thiên:

x - ¥ - 3 0

t =x + x+

+¥ 5

- 4

Từ bảng biến thiên ta được: 4 t 5

Lập bảng biến thiên của hàm f t( ) t2 6t5, trên 4;5

t - 4 - 3 5

2

f t =t + t+

60 3

- 4

Ta được m  , 4 M 60 Vậy S =56

( ( )) ( ) 6 ( ) 5

yf f x f x  f x  trên x K   3;0 không cần BBT

Ta có: ' 2 ( ) '( ) 6 '( )y  f x f x  f x

2

3

'( ) 0

4

x

f x

 



 



 3   3   4 3

y  f f  f  

 2   2   3 4

y  f f  f  

 0   0   5 60

max 60

S M m

 







Email: anhtu82t@gmail.com

Câu 22. Cho hàm số f x( )ax2bx c , thỏa mãn ( ) 1,f x    x [ 1;1]và biểu thức 8 2 2 2

3a  b đạt giá trị lớn nhất Tính P5a11b c , biết a 0

Lời giải

Họ và tên tác giả : Đồng Anh Tú Tên FB: Anhtu

Chọn B

Thay x1,x0,x1 vào hàm số ( )f x , ta được

1 1 (1)

c

a b c

a b c

  





    



    



Từ (2),(3) ta có 1 1

     





     

 , kết hợp với (1) , ta được 2 2

a b

a b

   





   



Suy ra

2 2

4





3a  b 3 a b  3b 3 a b  3 Nên 8 2 2

2

3a  b lớn nhât khi b0,a2 thay vào (2) , ta được   3 c 1 kết hợp với (1) thì

1

c  Thử lại với b0,a2c 1 thỏa mãn ( ) 1,f x    x [ 1;1] Vậy b0,a2c 1

Nên P 9