DHTM Thuật toán cơ sở

Đồ họa máy tính và các thuật toán cơ sở

BÀI GIẢNG

ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

GV: Vũ Đức Huy SĐT: 0912316373

Bộ môn: HTTT-ĐHCNHN EMail: huyhaui@gmail.com

Tài liệu tham khảo

 [1] James D.Foley, Andrie van Dam, Steven K.Feiner, Jonhn F Hughes, Computer Graphics Principles and Practice, Addison Wesley, 1994.

 [2] Hoàng Kiếm, Dương Anh Đức, Lê Đình Duy, Vũ Hải Quân Giáo trình cơ sở Đồ hoạ Máy tính, NXB Giáo dục, 2000.

 [3] Lê Tấn Hùng, Huỳnh Quyết Thắng Kỹ thuật đồ hoạ máy tính, NXB khoa học và kỹ thuật, 2002.

 [4] Học viện công nghệ bưu chính viễn thông Kỹ thuật đồ họa (lưu hành nội bộ)

 [5] Lương Chi Mai Nhập môn Đồ họa máy tính, NXB Khoa học và

CHƯƠNG 2 CÁC THUẬT TOÁN CƠ SỞ

2.1 CÁC THUẬT TOÁN VẼ ĐƯỜNG THẲNG

2.1.1 Một số khái niệm

hệ tọa độ Đối với hệ tọa độ hai chiều mỗi điểm được xác định bởi cặp tọa độ (x, y)

màu sắc

2.1.1 Một số khái niệm

Q(x2,y2):

(y-y1)/( x-x1) = ( y2-y1)/( x2-x1) (y-y 1 )(x 2 -x 1 )=(x-x 1 )(y 2 -y 1 )

Tổng quát: Ax + By + C = 0 Với:

A = (y2-y1)

B = -(x2-x1 )

C = x2y1 - x1y2

2.1.2 Giải thuật làm tròn

2.1.3 Giải thuật DDA

thẳng d: y = mx+b

m = (y2-y1)/(x2-x1)

2.1.3 Giải thuật DDA

 Giả sử vẽ được (xi,yi)

 Tiếp theo, chọn yi+1 là yi

hay yi+1 dựa vào phương

trình của đường thẳng d

2.1.3 Giải thuật DDA

 Thay xi+1 vào phương

trình đường thẳng d:

y i+1 = y i + m

2.1.3 Giải thuật DDA

2.1.3 Giải thuật DDA

chệch hướng với đường thẳng thực khi đường thẳng dài.

2.1.4 Giải thuật Bresenham

toán

2.1.4 Giải thuật Bresenham

2.1.4 Giải thuật Bresenham

2.1.4 Giải thuật Bresenham

2.1.4 Giải thuật Bresenham

R

R

2.1.4 Giải thuật Bresenham

2.1.4 Giải thuật Bresenham

 Đặt Pi = dx(d1-d2)

 Pi là tham số quyết định để chọn điểm tiếp theo

là P hay S dựa vào dấu của nó.

2.1.4 Giải thuật Bresenham

Pi = dx((m(xi+1)+b-yi)-(yi+1-m(xi+1)-b))

Pi = dx(2(m(xi+1)+b)-2yi+1) (*)

Thay m = dy/dx vào phương trình (*)

Pi =2dyxi – 2dxyi + 2dy + (2b-1)dx

2.1.4 Giải thuật Bresenham

được Pi+1.

 Tính Pi+1:

Pi+1 = 2dyxi+1 – 2dxyi+1 + c

P i+1 = 2dy(xi+1) – 2dxyi+1 + c

 Xét mối liên hệ giữa Pi+1 và Pi

P i+1 -P i = 2dy–2dx(y i+1 -y i )

2.1.4 Giải thuật Bresenham

 Tính P1: Thay điểm (x1,y1) vào Pi

với c = 2dy + (2b-1)dx

b = y1- mx1

m = dy/dx

P 1 =2dy - dx

2.1.4 Giải thuật Bresenham

2.1.4 Giải thuật Bresenham

2.1.4 Giải thuật Bresenham

2.1.5 Giải thuật MidPoint

 Cho hai điểm (x1,y1) và

 Đặt F(x,y) = Ax + By + C

2.1.5 Giải thuật MidPoint

Midpoint đưa ra cách chọn

điểm yp+1 là yp hay yp+1 dựa

vào so sánh điểm thực

Q(xp+1,y) với trung điểm

M(xp+1,yp+1/2) của ENE.

2.1.5 Giải thuật MidPoint

<0 nếu (x,y) nằm phía trên đường thẳng

>0 nếu (x,y) nằm phía dưới đường thẳng

2.1.5 Giải thuật MidPoint

 Cách thực hiện: Đặt Pp = F(M) = F(xp+1,yp+1/2)

chọn NE

 Pp gọi là tham số quyết

định Dấu của nó sẽ quyết

định lựa chọn điểm tiếp

theo.

2.1.5 Giải thuật MidPoint

 Tính Pp:

P old = A(x p +1)+B(y p +1/2)+C

 Nếu chọn E thì trung điểm mới:Mnew(xp+2,yp+1/2)

P = P + dy (vì A= dy)

2.1.5 Giải thuật MidPoint

 Nếu chọn NE thì trung điểm mới:Mnew(xp+2,yp+3/2)

 PnewNE = A(xp+2)+B(yp+3/2)+C

 PnewNE = A(xp+1)+B(yp+1/2)+C + A + B

 P newNE = P old + dy – dx (vì A= dy, B = -dx)

2.1.5 Giải thuật MidPoint

2.1.5 Giải thuật MidPoint

2.1.5 Giải thuật MidPoint

2.1.5 Giải thuật MidPoint

2.2 THUẬT TOÁN VẼ ĐƯỜNG TRÒN

2.2.1 Một số vấn đề

2

2 x r

y  

2.2.2 Thuật toán làm tròn

2.2.2 Thuật toán làm tròn

2.2.3 Thuật toán lượng giác

2.2.3 Thuật toán lượng giác

2.2.3 Thuật toán lượng giác

2.2.3 Thuật toán lượng giác

2.2.4 Thuật toán MidPoint

 Giả sử đã vẽ được điểm (xp,yp)

là E hay SE

<0 nếu (x,y) nằm trong đường tròn

>0 nếu (x,y) nằm ngoài đường tròn

2.2.4 Thuật toán MidPoint

2.2.4 Thuật toán MidPoint

 Điểm khởi tạo (0,r), M(1,r-1/2)

p1 = 12 +(r-1/2)2-r2

p1 =5/4 - r

Vì chỉ xét dấu, đặt h = d1 – ¼

h=1-r

2.2.4 Thuật toán MidPoint

2.2.4 Thuật toán MidPoint

2.2.4 Thuật toán MidPoint

 Tốc độ cao, tiết kiệm bộ nhớ

2.2.5 Thuật toán Bresenham

2.2.5 Thuật toán Bresenham

 Đặt Pi = d1 - d2

 Pi là tham số quyết định chọn S1 hoặc S2 dựa

vào dấu của nó

Pi = (yi)2 -(R2- (xi + 1)2 )-((R2- (xi + 1)2)-(yi - 1))2

Pi = (yi)2 -R2+ (xi + 1)2-R2+ (xi + 1)2+(yi - 1)2

Pi = (yi)2 -2R2+ 2(xi + 1)2+(yi - 1)2

2.2.5 Thuật toán Bresenham

 Tính Pi+1 - Pi

P i+1 = (yi+1)2 -2R2+ 2(xi+1 + 1)2+(yi+1 - 1)2

P i+1 = 2(yi+1)2 -2R2+ 2(xi)2+8xi+8 -2yi+1 + 1

2.2.5 Thuật toán Bresenham

 Nếu chọn S1 yi+1 = yi

Pi+1 = Pi + 4xi+6

 Nếu chọn S2 yi+1 = yi-1

Pi+1 = Pi + 4(xi-yi)+10

2.2.5 Thuật toán Bresenham

 Điểm đầu tiên (0,R)

P1 = (R)2 -2R2+ 2(0 + 1)2 +(R - 1)2

P1 = R2 -2R2+ 2 + R2 -2R +1

2.2.5 Thuật toán Bresenham

2.2.5 Thuật toán Bresenham

2.2.5 Thuật toán Bresenham

2.2.6 Thuật toán xấp xỉ

 Sinh viên tự tìm hiểu

2.3 THUẬT TOÁN VẼ ELIPSE

2

21

a

x b

y  

2.3.1 Thuật toán làm tròn

2.3.1 Thuật toán làm tròn

2.3.2 Thuật toán lượng giác

2.3.2 Thuật toán lượng giác

2.3.3 Thuật toán Vanaken

 Phương trình elip có tâm tại gốc tọa độ

F(x,y)=b2x2 + a2y2 - a2b2=0

2.3.3 Thuật toán Vanaken

 Tìm ranh giới giữa hai miền trong ¼ elip

 Vecto vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm -> gradient

 Tại P các thành phần i và j của vecto gradient có cùng độ lớn

j y a i

x b j

i y

(     2  2





2.3.3 Thuật toán Vanaken

2.3.3 Thuật toán Vanaken

p i = b 2 (x i +1) 2 + a 2 (y i -1/2) 2 -a 2 b 2

pi+1 = b 2 (x i+1 +1) 2 + a 2 (y i+1 -1/2) 2 -a 2 b 2

 Tính pi+1 - pi

pi+1 - pi = b2((xi+1+1)2 - (xi+1)2 )+ a2((yi+1-1/2)2 - (yi-1/2)2 )

p i+1 = p i + 2b 2 x i+1 + b 2 + a 2 ((y i+1 -1/2) 2 - (y i -1/2) 2 )

2.3.3 Thuật toán Vanaken

2.3.3 Thuật toán Vanaken

trị ban đầu cho phần 2

S(xj,yj-1) hoặcSE(xj+1, yj-1)

2.3.3 Thuật toán Vanaken

2.3.3 Thuật toán Vanaken

q 1 = b 2 (x k +1/2) 2 + a 2 (y k -1) 2 -a 2 b 2

2.3.3 Thuật toán Vanaken

2.3.3 Thuật toán Vanaken

2.3.3 Thuật toán Vanaken

2.3.3 Thuật toán Bresenham

 Sinh viên tự tìm hiểu

2.4 Giải thuật sinh đa giác

2.4 Thuật toán sinh đa giác

2.4 Thuật toán sinh đa giác

 Các loại đa giác

 Là đa giác có đường thẳng nối bất ký 2 điểm bên trong nào của đa giác đều nằm trọn trong đa giác

 Là đa giác không lồi

2.4 Thuật toán sinh đa giác

 Xác định đa giác cần biết

2.5 Thuật toán xén hình

(clipping)

2.5.1 Một số khái niệm

2.5.1 Một số khái niệm

x1,x2>xmax; y1,y2>ymax

x1,x2<xmin; y1,y2<ymin

trường hợp trên

2.5.1 Một số khái niệm

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

cắt

mỗi phần ứng với mã số 4 bit

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

 Giả sử có điểm P(x,y) P ứng với mã số 4 bit gọi

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

b1 là dấu của x-xmin

b2 là dấu của xmax-x

b3 là dấu của y-ymin

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

Kod(P) =0000

 Cho P1P2, các trường hợp xảy ra

(Kod(P2<>0000))

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

cửa sổ sau đó bỏ phần không thuộc cửa sổ

 Cho cửa sổ V(xmin,ymin,xmax,ymax), P1(x1,y1), P2(x2,y2)

Nhảy tới B5

ngoài V  Nhảy tới B6

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

 B4.1: Nếu Kod(P1) = 0000 thì hoán vị P1 với P2 để Kod(P1)<>0000 Đặt b1b2b3b4 = Kod(P1)

 Nếu b 1 =1 thì y 1new = y 1 +(x min -x 1 )*(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 )

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

2.5.2 Thuật toán CohenSutherland

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

 Cho P1(x1,y1), P2(x2,y2)

x = x1 + tdx y= y1+tdy

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

 Từ (*) suy ra

song với cạnh cửa sổ cắt

t2 = Min{1,Min(qk/pk)} với các pk>0

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

2.5.3 Thuật toán Liang-Basky

2.5.4 Thuật toán chia nhỏ trung điểm

1(vẽ) hoặc loại 2 (hủy bỏ)

2.5.4 Thuật toán chia nhỏ trung điểm

 Số lần chia

2.5.5 Thuật toán xén vùng

 Duyệt lần lượt (theo chiều kim đồng hồ) các cạnh đa giác

 Nếu đỉnh duyệt xuất phát từ trong cửa sổ theo cạnh đa giác đi ra ngoài cửa sổ: lưu trữ giao của cạnh đa giác với biên cửa sổ

 Nếu đường đi từ ngoài vào trong cửa sổ: lưu trữ đỉnh đa giác và giao điểm

 Ví dụ xét hai đỉnh đa giác S và P:

2.6 Thuật toán tô màu

2.6.1 Một số khái niệm

nếu chúng kề nhau theo đường thẳng

đứng hoặc nằm ngang

nếu chúng kề nhau theo đường thẳng

đứng, ngang và đường chéo

2.6.2 Thuật toán tô màu loang

Cb.Tô kín V bằng mầu tô Ct

 Cho điểm P(x,y) Є V

P nếu không phải là biên và

chưa được tô

hết V

2.6.2 Thuật toán tô màu loang

2.6.2 Thuật toán tô màu loang

 Cải tiến

để quyết định số lần gọi đệ quy

2.6.3 Thuật toán tô màu biên

 Cho miền kín V có mầu biên Cb.Tô kín V bằng mầu tô Ct

 Cho điểm P(x,y) Є V

2.6.3 Thuật toán tô màu biên

và lặp lại quá trình trên cho

nửa thứ nhất

và lặp lại quá trình trên cho

nửa thứ hai

2.6.3 Thuật toán tô màu biên

2.6.4 Tô màu đường tròn

 Xác định điểm trên bên trái (xc-r, yc-r)

 Xác định điểm dưới bên phải (xc+r, yc+r)

2.6.4 Tô màu đường tròn

Cho j đi từ yc-r đến yc+r

 Tính khoảng cách d giữa hai điểm (i,j) và tâm (xc,yc)

 Nếu d<r thì tô điểm (i,j) với màu muốn tô

2.6.4 Tô màu đường tròn

2.6.4 Tô màu hình thang cơ bản

2.6.4 Tô màu hình thang cơ bản

2.6.5 Tô màu đa giác

song với hai trục tọa độ chứa đa giác cần tô dựa

các đỉnh của đa giác

các đỉnh của đa giác

2.6.5 Tô màu đa giác

Xét điểm P(x,y) có thuộc đa giác không ?Nếu đúng thì tô với màu cần tô

2.6.5 Tô màu đa giác

phát từ điểm đó cắt biên của đa giác phải là một

số lẻ lần

một giao điểm phải được tính 2 lần

chọn tia qua phải

2.6.5 Tô màu đa giác

Cho đa giác W và P là điểm bất kỳ

Thuật toán1

hướng sang phải

các cạnh của đa giác

nằm ngoài đa giác

2.6.5 Tô màu đa giác

max(xi,xi+1)<x0

min(xi,xi+1)>x0(y-y0)(yi+1-y0)<0

2.6.5 Tô màu đa giác

của đa giác

giác

Thuật toán này không phải là thuật toán tổng quát để xác định điểm P nằm trong hay ngoài đa giác

2.6.5 Tô màu đa giác

Thuật toán 2

góc theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ

đo

 Nếu tổng các góc bằng 0 thì P nằm ngoài đa giác

 Nếu tổng các góc bằng 360 o thì P nằm trong đa giác

2.6.5 Tô màu đa giác

Thuật toán 2

2.6.5 Tô màu đa giác

2.6.5 Tô màu đa giác

 P i y < Min ( P i+1 y, P i-1 y) P i là đỉnh cực trị (cực tiểu)

 Pi.y > Max ( Pi+1.y, Pi-1.y) P i là đỉnh cực trị (cực đại )

 Pi-1.y < Pi.y < Pi+1.y hay Pi-1 > Pi.y > Pi+1.y

2.6.5 Tô màu đa giác

Tư tưởng

qui ước như sau: nếu là đỉnh cực trị hay đoạn cực trị thì đánh số 0 Nếu là đỉnh đơn điệu hay đoạn đơn điệu thì đánh dấu 1

cần xét với biên của đa giác Nếu số giao điểm là chẵn thì kết luận điểm không thụôc đa giác Ngược lại, số giao điểm là lẻ thì điểm thuộc đa giác

2.6.6 Tô màu dòng quét

quét để nhận ra pixel có trong đa giác?

2.6.6 Tô màu dòng quét

điểm vào hay điểm ra đa giác

màu C

2.6.6 Tô màu dòng quét

2.6.6 Tô màu dòng quét

có giao nhau

i i+1

xi+1

2.6.6 Tô màu dòng quét

và chỉ khi tọa độ y thấp hơn của đoạn thẳng

2.6.6 Tô màu dòng quét

 Tọa độ y lớn hơn của cạnh (đường quét lớn nhất còn cắt cạnh)

 Tọa độ x của điểm thấp hơn (tọa độ x của điểm ymin)

 Số gia của x (tăng theo đường quét liền nhau)

 Con trỏ trỏ tới phần tử tiếp theo (nếu cần)

2.6.6 Tô màu dòng quét

sẽ được đưa vào trong danh sách cạnh kích hoạt, cạnh không còn cắt sẽ bị loại bỏ (có thể cần sắp xếp)

được sắp theo chiều tăng x

2.6.6 Tô màu dòng quét

 Begin

 Xây dựng danh sách các cạnh (EL)

 Danh sách cạnh kích hoạt AEL = null

 For y:=y min to y max do

 Hòa nhập EL[y] vào AEL và sắp xếp theo giá trị x

 Tô màu đoạn nằm giữa cặp x trong AEL

 For each edge trong AEL

 If edge.ymax = y then

 Loại edge khỏi AET

 Else

 Edge.x=edge.x + dx/dy

 Sắp xếp AET theo giá trị x

 End;

2.6.6 Tô màu dòng quét

Xin chân thành cảm ơn!