Hàm số là một phần quan trọng trong giải tích. Vì thế việc nắm vững kiến thức cũng như phân loại được các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán đó là một phần tất yếu của người học toán. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu Chuyên đề Hàm số dưới đây để có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập ôn thi môn Toán.
Trang 1Chuyên đề hàm số
Lời nói đầu
“Chuyên đề hàm số” là một trong năm chuyên đề trong: “Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học” Hàm số là một phần quan
trọng trong giải tích Vì thế việc nắm vững kiến thức cũng như phânloại được các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán đó là mộtphần tất yếu của người học toán Dựa theo cấu trúc đề thi của bộ giáodục và đào tạo năm 2010, tác giả đã sưu tầm và nghiên cứu viết ra
một phần nhỏ “chuyên đề hàm số” theo đúng cấu trúc của bộ Các
bài tập trong cuốn chuyên đề này các bạn có thể tìm thấy ở các cuốnsách tham khảo trên thị trường và đặc biệt là các đề thi tuyển sinh đạihọc từ các năm đến bây giờ
Chuyên đề không giải chi tiết từng bài toán mà chỉ là đáp số vàhướng dẫn Tuy nhiên, chuyên đề có sự phân dạng và phương phápgiải cụ thể cho từng dạng toán Lời giải của bài toán sẽ được tác giảgiải trong từng buổi học
Chuyên đề gồm 6 chuyên đề chính dựa theo cấu trúc của bộ giáodục và đào tạo: Chiều biến thiên của hàm số; Cực trị; GTLN vàGTNN của hàm số; Tiếp tuyến và các bài toán liên quan; Tìm trên đồthị những điểm thoả mãn tính chất cho trước; Tương giao giữa hai đồthị
Chuyên đề tác giả viết ra vừa là tài liệu để mang đi dạy vừa cóthể đưa cho các em để các em làm bài tập ở nhà
Do lần đầu viết tài liệu nên chắc chắn không tránh khỏi thiếuxót Mong nhận đựơc sự góp ý từ đồng nghiệp và các em
Mọi góp ý xin liên hệ trực tiếp tác giả hoặc theo địa chỉ:dinhnguyentoanpt@yahoo.com
hoặc dinhnguyen_dn_toanpt@yahoo.com
Đà nẵng, 20/04/2010
Đình Nguyên
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 1
Trang 2Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên
Chuyên Đề Hàm số_ Luyện thi đại học năm 2009 – 2010
Chuyên đề 1: Chiều biến thiên của đồ thị hàm số
A.Cơ sở lý thuyết:
I Lý thuyết chung:
1 y = f(x) đồng biến trên (a, b) ۳ f x' 0 với mọi x � (a, b)
2 y = f(x) nghịch biến trên (a, b) ۣ f x' 0 với mọi x � (a, b)
3 y = f(x) đồng biến trên a b; thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b)
4 y = f(x) nghịch biến trên a b; thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a)
Trang 3Chuyên đề hàm số Chuyên đề 1: Chiều biến thiên
2 Cho hàm số y mx 4
x m
Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch
biến trên khoảng � ;1 .
3 Cho hàm số y x 3 3x2 mx 4 Với giá trị nào của m thì hàm sốđồng biến trên khoảng � ;0.
4 Cho hàm số y x3 3x2 mx 2 Với giá trị nào của m thì hàm sốđồng biến trên khoảng 0;2
5 Cho hàm số 1 3 2
3
y x m x m x Với giá trị nào của m
thì hàm số đồng biến trên khoảng 0;3
Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên 2; � .
8 Tìm m để hàm số sin 1sin 2 1sin 3
y mx x x x luôn đồng biến.
9.Tìm m để y 4m 5 cos x2m 3 x m 2 3m 1 luôn nghịch biến.
10.Tìm m để hàm số y x 3 3x2 3mx 3m 4 đồng biến với mọi x
Trang 4Chuyên đề hàm số Chuyên đề 2: Cực trị
Chuyên đề 2: Cực trị của hàm số
A.Cở sở lý thuyết:
I Cực trị hàm bậc ba:
Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số y f x( ) có cực đại và cực tiểu � f x'( ) 0 có hai nghiệmphân biệt � ' b2 3ac 0
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = x0 � 0
0
'( ) 0 ''( ) 0
Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
Thực hiện phép chia y cho y’ khi đó phần dư chính là phương trìnhđường thẳng qua cực đại, cực tiểu
Chú ý: sử dụng định lý viét cho hoành độ các điểm cực trị
14 Tìm m để y x 3 mx2 7x 3 có đường thẳng đi qua CĐ, CT
Trang 519 Tìm m để hàm số y mx 4 m2 9 x2 10 có 3 điểm cực trị.
20 Tìm m để hàm số y x 4 2mx2 2m m 4 có CĐ, CT lập thànhtam giác đều
21 Tìm m để hàm số y x 4 2m x2 2 1 có 3 điểm cực trị là 3 đỉnhcủa một tam giác vuông cân
3
y x m x m x m đạt cựctrị tại x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 < -1 < x2
Tìm m để hàm số có CĐ và CT CMR: khi đó đường thẳng đi qua
CĐ, CT luôn đi qua 1 điểm cố định
Trang 6a Lập thành 1 tam giác đều.
b Lập thành 1 tam giác vuông
c Lập thành 1 tam giác có diện tích bằng 16
Trang 8Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
Chuyên đề 3: GTLN và GTNN của hàm số
A Cơ sở lý thuyết:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
+Nếu tồn tại 1 điểm x0 thuộc D sao cho: f x( ) �f x( ) 0 x D�
thì M = f(x0) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D
+Nếu tồn tại 1 điểm x0 thuộc D sao cho: f x( ) �f x( ) 0 x D�
thì M = f(x0) được gọi là GTLN của hàm số trên tập D
+ So sánh các giá trị trên và kết luận
Biến đổi và đặt ẩn phụ, đặt điều kiện cho biến mới và tìmGTLN, GTNN của hàm số theo biến mới
+ Bất phương trình f x( ) �m có nghiệm x I� �max f(x) �m �x I
+Bất phương trình f x( ) �m có nghiệm x I� �Max f(x) �m �x I
Trang 9Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
42 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y cos 2 2 x sin cosx x 4
43 Tìm GTLN, GTNN của hàm số 1 sin64 cos64
51.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x3 3x2 trên đoạn 1;1 .
52.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y sin 4 x cos 4 x
53.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y x x2 trên đoạn 1;1.
54.Tìm GTLN, GTNN của hàm số y sinx cos 2x
55.Tìm GTLN, GTNN của hàm số sin 3 sin 1
Trang 10Chuyên đề hàm số Chuyên đề 3: GTLN, GTNN của hàm số
57.Tìm GTLN, GTNN của y x2 3x 2 trên đoạn 10;10.
58 Tìm GTLN, GTNN của hàm số 2 2 3
2
x y
4 sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x m
66.Tìm m để phương trình: mcos 2x 4sin cosx x m 2 0 cónghiệmx 0;
Trang 11Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
Chuyên Đề 4: Tiếp tuyến và các bài toán liên quan
Biết điểm có tung độ và hoành độ cho trước
Biết điểm có hoành độ cho trứơc
Biết điểm có tung độ cho trước
2.Dạng toán 2: Viết PTTT có hệ số góc cho trước
Tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng cho trước
Tiếp tuyến vuông góc với 1 đường thẳng cho trước
Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox một góc bằng .
Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc .
Tiếp tuyến hợp với đường thẳng d cho trước 1 góc bằng cho
Trang 12Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
B.Bài Tập:
72 Viết PTTT của đồ thị (C): y x 3 3x 5 khi biết:
a Tại điểm M(2; 7)
b Hoành độ tiếp điểm là x0 = - 1
c Tung độ tiếp điểm là y0 = 5
d Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng
d: 7x + y = 0
73 Cho hàm số (C): 1
2
x y x
Viết PTTT d của đồ thị hàm số tại điểm uốn và chứng minh rằng d
là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
77.Chohàmsố(C): 1 3 1 2 4
2
Trang 13Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
Viết PTTT của đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến đó song song vớiđường thẳng d: y = 4x + 2
Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm
có hoành độ x = - 1 đi qua điểm A(1; 2)
85 Cho hàm số (C): 2
1
x y
x
Đình Nguyên_ Chuyên đề hàm số 13
Trang 14Chuyên đề hàm số Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt haitrục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1
88 Cho hàm số (C): 1
1
x y x
90 Cho hàm số (Cm): y x 3 3x2 mx 1
Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1),
D, E Tìm m để các tiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc
91 Tìm giao điểm của tiếp tuyến với (C): 1
3
x y x
Trang 15Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị
Chuyên đề 5:
Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước
A.Phương pháp:
1 Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ (C m ): y = f(x, m)
Giả sử M(x0, y0) là điểm cố định của họ (Cm)
Khi đó: y0 = f(x0, m) với mọi m
Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhậnđược cặp giá trị (x0; y0)
Kết luận
Chú ý: am + b = 0,m � 0
0
a b
a b c
, ta biến đổi về dạng phân thức.
Nếu a chia hết cho c � ta chia tử cho mẫu và sử dungtính chia hết
Nếu a không chia hết cho c�ta chia tử cho mẫu
Vì cy – a là nguyên nên ta phải có (bc – ad) chia hết cho cx + d
Từ đó suy ra giá trị nguyên cần tìm
3.Dạng 3: Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) thỏa mãn
Trang 16Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị
Trang 17Chuyên đề hàm số Chuyên đề 5: Tìm điểm trên đồ thị
101 Cho (C): y x 3 1 k x 1
Viết phương trình tiếp tuyến d tại giao điểm của (C) với Oy
Tìm k để d tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8
102 Cho hàm số (C): 4
2
x y x
y x x mà tiếp tuyến tại
đó vuông góc với đường thẳng d: 1 2
Trang 18Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
Chuyên Đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị hàm số
A.Cơ sở lý thuyết:
1 Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m) Hoành độ giaođiểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
2.Bài toán cơ bản:
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) vàđường thẳng y = m
Chú ý: Phương pháp hàm số chỉ sử dụng được khi tham số là có
bậc là 1
B.Tương giao hàm bậc 3 với trục Ox.
1.Các phương pháp xét tương giao:
Trang 19Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
Phương pháp nhẩm nghiệm cố định: Dùng phương phápnhẩm nghiệm hữu tỷ
Nếu f(x, m) = 0 có nghiệm x = thì
f x m( , ) x a m x( ) 2 b m x c m( ) ( ) .
Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số:
Suy ra các hệ số đi với tham số phải bằng triệt tiêu tham số
a
Thế vào phương trình ta tìm đựơc điều
kiện cần tìm
Điều kiện đủ: Thử lần lượt từng giá trị tham số và kiểm tra có thoả
mãn đề bài không Từ đó kết luận
b Cấp số nhân.
Tương tự ta cũng có: 3
2
d x
a
Thế vào và kiểm tra
C.Tương giao hàm bậc 4 với trục Ox.
1.Tương giao hàm bậc 4 với Ox có hoành độ lập thành cấp số cộng.
Phương pháp: Sau khi đặt t = x2 ta đựơc phương trình bậc hai Căn
cứ vào điều kiện đề bài thì f(t) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt t1,
t2 dương và thỏa mãn t2 = 9t1
Trang 20Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
Vậy điều kiện là:
2 1
0 0 0 9
S P
cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng
112 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
x
Trang 21Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
a CMR: đường thẳng y = - x + m luôn cắt (C) tại hai điểm A,
B phân biệt Tìm m để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất
120 Cho hàm số (C): y x 3 3x 2
Gọi d là đường thẳng đi qua A(3; 20) và có hệ số góc là m Tìm m
để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt
Trang 22Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
121 Cho hàm số (C): 2 1
1
x y
a Tại hai điểm phân biệt
b Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị
122 Cho hàm số (C): 2
x y
x
a CMR: đường thẳng d: y = mx + m – 1 luôn đi qua một điểm
cố định của (C) khi m thay đổi
b Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt (C)tại hai điểm thuộc cùng 1 nhánh của (C)
123 Cho hàm số (C): 1
2
x y x
Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt
mà hai tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đó song song với nhau
Trang 23Chuyên đề hàm số Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
Tìm m để đường thẳng d: y = mx – 2m – 4 cắt đồ thị (C) tại 3 điểmphân biệt
Trang 24Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn
Trang 25Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn
60/ 0 < m < 4 61/ 2
3
2
m � ; b 1
2
63/ 9 10
1
66/ 1 < m < 2
Chuyên đề 4: Tiếp tuyến
72/ a y 9x 11; b y = 7;
c y 3x 5;y 6x 6 3 5; y 6x 6 3 5 ; d y = 7
73/ a 3 1
y x
; b y 3x 13; c 3 11
y x
3
2
(0;1) (2;3)
M M
�
�
�
77/ 4 26; 4 73
y x y x 78/ y = 2x + 2
79/ y = - x – 3; y = - x + 1 80/ y = - x ; y = - x + 4
y ��x ��
� � 82/ y = 6x – 7; y = - 48x – 61
83/ 81
4
8
2
1
2 (1;1)
M M
�
�
�
y x y 87/ y = -x + 2
88/ m = - 1
Trang 26Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn
Chuyên đề 5: Tìm điểm thuộc đồ thị thoả mãn tính chất. 92/ �m m �02 � � 93/ M(1 ; -1) 94/ A( 5;2); B 3;4 ; C 1; 2 ; D 1;0 95/ A(1; 0) 96/ 2 1 3 a � 97/ M(0; -1) 98/ �0m m1 1 � � 99/ A(1; 2); B(3; 34) 100/ 4 4 2 3 m m � � � � � 101/ 9 4 5 7 4 3 k k � � � � �
Chuyên đề 6: Tương giao giữa hai đồ thị
107/ 1 1
3
m
110/ m 2 111/ 4 4
9
113/ a m = 0; b 1 1
2 �m
114/ 1
2
M
M
�
� 115/ b m 1 116/ 1
2
(1;2) (3;4)
M M
�
�
�
117/ 0 < m < 1 118/
1
1 3
0
m m
�
�
�
� �
�
120/
15 4 24
m m
�
�
�
� �
�
Trang 27Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn
121/ a �m m 120
�
� ; b m < 0 122/ a M(- 1; - 1); b 3 �m 0
123/ m = - 1 124/ �k 1 0;k k 32
� 125/ 4 < m < 5 126/ 6 < m < 10
129/ m > - 3 130/ 1 3 m 1 3 131/ 1 2 m m � � � � 132/ 1 1 m m � � � : có1nghiệm; 1 1 2 m m � � � � � � : có 2nghiệm 1 1 1 2 m m � � � �� � � :có 3 nghiệm 133/ k < 0: vô nghiệm; �k k 10 � � : có 2 nghiệm; k = 1: 3 nghiệm 0 < k < 1: có 4 nghiệm 134/ �� �m m�40: có 1nghiệm; m < 0: có 2nghiệm; 0 < m < 4: vô nghiệm
Trang 28
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn
Trang 29
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn
Trang 30
Chuyên đề hàm số Chuyên đề 7: Đáp số và hướng dẫn