Do tính đối xứng, ta có tam giác ABC cân tại A... Tìm hai điểm A, B trên C sao cho AB song song trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của C đến AB bằng 8 Giải Điểm cực đại của C: M0
Trang 1Hỗ trợ học toán
Ôn thi đại học: Câu I / b
Bài 1/ Cho hàm số
1
2 2 +
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho AB= 5
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 2x2 +mx+m+2=0(x≠−1) (*)
(*) phải có hai nghiệm phân biệt khác –1 khi: m2 − m8 −16>0
Gọi A(x1;2x1 +m) và B(x2;2x2 +m) với x1 và x2 là nghiệm của (*)
Ta có:
+
=
−
= +
2 2 2
2
1
2 1
m x
x
m x
x
, AB2 =5⇔(x1 −x2)2 +4(x1−x2)2 =5 ⇔ (x1+x2)2 −4x1x2 =1
⇔ m2 − m8 −20=0 ⇔ m=−2∨m=10
Bài 2/ Cho hàm số y = x3
+ 2mx2 + (m + 3)x + 4 có đồ thị là (Cm) Cho M(1 ; 3) và d: x – y + 4 = 0 Tìm m để d cắt (Cm) tại A(0 ; 4), B, C sao cho tam giác MBC có diện tích S = 4
Giải
d: y = x + 4 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm ) và d: x3 + 2mx2 + (m + 3)x + 4 = x +
4 ⇔ x3 + 2mx2 + (m + 3)x –x = 0⇔ x(x2 + 2mx + m + 2) = 0 ⇔
( )
= + + +
=
1 0 2 2
0
2
m mx x
x
Yêu cầu bài toán: (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0.Khi : m∈(−∞;−1) (∪ 2;+∞) { }\ −2
Gọi B(b ; b +4), C(c ; c + 4) với b, c là nghiệm phương trình (1)
b c b c
BC = − + − = ( )2
2 c − b = 2(c+b)2 −8bc = 8m2 −8(m+2)
2
2 16 8 8 2
1
; 2
+
−
= +
−
=
S
S = 4 ⇔ m2 – m – 6 = 0 ⇔ m = 3 ∨ m = –2
Bài 3/ Cho hàm số
2
2 3 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C) M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) lần lượt tại A và B Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất ( I là giao điểm hai tiệm cận)
Giải
2
2 3
+
+
a C a
a
a
M Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
2 3 2
4
+ +
− +
=
a
a a x
a
y
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng:
+
−
−
2
2 3
; 2
a
a A
Giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận ngang: B(2a + 2 ; 3 )
Giao điểm của hai tiệm cận I(–2 ; 3)
Tam giác IAB vuông tại I nên có AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
π
2
64 2
4 4
2 2
≥
+ + +
=
=
a a
AB
S
Bài 4/ Cho hàm số y = x3
–3x2 + 4 có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng d: y = mx + m cắt (C) tại
ba điểm phân biệt A(–1 ; 0), B và C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 1
Giải
Trang 2Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C): (x+1) ( [x−2)2 −m]=0⇔
=
−
−
−
=
0 2
1
2
m x
x
có ba
nghiệm phân biệt khi:
≠
>
9
0
m
m
Các giao điểm A(−1;0);B(2− m ;3m−m m) và C(2+ m ;3m+m m)
2
1
2
1
;
m
m BC
O d
+
= Diện tích tam giác OBC:
m m m
m m
m
+ +
=
2 2
1 1
2
2
1
S = 1 ⇒ m = 1
Bài 5/ Cho hàm số y=x4 +2(m−2)x2 +m2 −5m+5 Có đồ thị là (C) Xác định m để (C) có ba cực trị tạo thành tam giác vuông cân
Giải
x
y/ =4 3 +4 −2
−
=
=
⇔
=
m x
x
y
2
0 0
2
/
Hàm số có ba cực trị khi m < 2 Gọi A(0;m2 − m5 +5), B(− 2−m;1−m)
và C( 2−m;1−m)là ba điểm cực trị của đồ thị Do tính đối xứng, ta có tam giác ABC cân tại A Gọi H(0;1−m) là trung điểm BC Tam giác ABC vuông tại A khi AH = HC ⇔
(m2 −4m+4)2 =2−m
⇔ (2 – m)3 = 1 ⇔ m = 1
Bài 6/ Cho hàm số
11
2
−
−
= x
x
y có đồ thị là (C) M là điểm bất kỳ trên (C) Tìm tọa độ điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc IM ( I là giao điểm hai tiệm cận)
Giải
Giao điểm hai tiệm cận I(1 ; 2)
1
1
'
−
−
=
x
1
1 2
;
0
0
x
x x
−
−
Hệ số góc tiếp tuyến của thị tại M
0
0
1
1 )
(
'
−
−
=
=
x x
y
−
−
=
−
−
−
−
=
1
1
; 1 2
1
1 2
; 1
0 0
0
0 0
x
x x
x x
IM
−
−
−
1
1
0 0
x x
n IM hệ số góc của IM, k =
1
−
x
k.kM = –1 ⇔ (x0 –1)2 = 1 ⇔ x0 = 0 ∨ x0 = 2 có 2 điểm cần tìm: (0 ; 1) , ( 2 ; 3)
Bài 7/Cho hàm số
1
3 2 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C) M là điểm bất kỳ trên (C) Tìm tọa độ điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất
Giải
1
3 2
+
+
a C a
a a
M
Phương trình tiệm cận đứng: x + 1 = 0 (d1)
Phương trình tiệm cận ngang: y –2 = 0 (d2)
1
1 1
;
+ + +
= +
=
a a
d M d d
M
d
1
1 1 +
= +
a
a ⇔ (a + 1)2 = 1
Trang 3⇔
−
=
=
⇔
−
=
+
=
+
2
0 1
1
1
1
a
a a
a
Bài 8/ Cho hàm số y = 2x3
+ (m + 1)2 –2(m + 4)x + 1 có đồ thị là (C) Tìm các giá trị của m để hàm
số có cực trị tại x1 , x2 và x12 + x22 ≤2
Giải
Tập xác định D = R
2
6 2
y Hàm số có cực trị khi: (m + 1)2 + 12(m + 1) > 0 ⇔ (m + 7)2 > 0
⇔ m ≠ –7
2
2
2
2
1 + x ≤
3
4 2 3
1 2
≤
−
+ +
⇔ 0
18 24 6 1
2
m ⇔ m2 + m8 +7≤0 ⇔ −7≤m≤−1 Vậy: m∈(−7 −; 1]
Bài 9/ Cho hàm số y = x4
–2x2 –1 có đồ thị là (C) Tìm hai điểm A, B trên (C) sao cho AB song song trục hoành và khoảng cách từ điểm cực đại của (C) đến AB bằng 8
Giải
Điểm cực đại của (C): M(0 ; –1) Phương trình AB có dạng: y + c = 0 ( c ≠ 0)
−
=
=
⇔
=
−
=
7
9 8
1
;
c
c c
AB
M
d
Với c = –7 Hoành độ giao điểm của AB và (C) là nghiệm phương trình x4 –2x2 – 1 = –7 (vn)
Với c = 9 Hoành độ giao điểm của AB và (C) là nghiệm phương trình x4 –2x2 – 1 = 9 ⇔
−
=
=
2
4
2
2
x
x
⇔ x = ± 2 Vậy A( –2 ; 9), B(2 ; 9)
Bài 10/ Cho hàm số
2
2 3 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ I(–2 ; 3) đến tiếp tuyến này là lớn nhất
Giải
2
2 3
+
+
a C a
a
a
M Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
( )∆ :
2 3 2
4
+ +
− +
=
a
a a x a
y hay 4x−(a+2)2y+3a2 +4a+4=0
2 2
2 16
4 4 3 12 12 3
8
;
+ +
+ + +
−
−
−
−
=
∆
a
a a a
a I
2 16
16 8 + +
−
−
a
a
=
2 4 2
16
2 4
+
+
≤ + +
+
a
a a
a
2 4 2 2
16 2 2
−
=
=
⇔
= +
⇔
=
∆
4
0 16
2 2
a
a a
I
d
Bài 11/ Cho hàm số y = x4
–2m2x2 + 1 có đồ thị là (C).Xác định m để (C) có ba cực trị là A,B,C và diện tích tam giác ABC bằng 32
Giải
x m
x
=
=
⇔
=
2 2
0
m x
x
y có ba cực trị khi m ≠ 0
Ba cực trị: ( ) ( 4) ( 4)
1
; , 1
; ,
1
;
A − − − Do tính đối xứng nên tam giác ABC cân tại A Gọi H
là trung điểm BC, suy ra ( 4)
1
;
H − Diện tích tam giác ABC: S = AH.HC = m5
2 2
32
S
Trang 4Bài 12/ Cho hàm số y = x3
–3x + 1 có đồ thị là (C) M là điểm trên (C), Tiếp tuyến của (C) tại M là cắt (C) tại N.Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài MN = 3
y/ = 3x2 –3 Gọi M(m;m3 − m3 +1) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:
(3 2 −3) ( − )+ 3 −3 +1
y hay y=(3m2 −3)x−2m3 +1
Hoành độ của (C) và tiếp tuyến là ngiệm của phương trình: x3 −3x+1=(3m2 −3)x−2m3 +1
Hay x3 −3m2x+2m3 =0⇔(x−m) (2 x+2m)=0 ⇔
−
=
=
m x
m x
2
(m;m3− m3 +1)
M , N(−2m;−8m3 +6m+1)
2
90 162
81 9
9
Bài 13/ Cho a , b ∈ R Chứng minh:
b
b a
a b a
b a
+
+ +
≤ + +
+
1 1
1
Giải
Xét hàm số
1 +
=
x
x
+
1
1
2 /
x x
y
Vì : a+b ≤ a + b nên: y(a+b)≤ y(a +b) hay
b
b a
a b a
b b
a
a b
a
b a b
a
b
a
+
+ +
≤ + +
+ + +
= + +
+
≤
+
+
+
1 1
1 1
1
1
Bài 14/ Cho ham số
1
1 2 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến này cách đều hai điểm A(2 ; 4) và B(– 4 ; –2)
Giải
/
1
1
+
=
x
a
a a
+
+ 1
1 2
; Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
1 2 1
1
:
+ +
− +
=
∆
a
a a x a
y hay: x –(a + 1)2y + 2a2 + 2a + 1 = 0
Theo giả thiết d( A ; ∆ ) = d( B ; ∆ )⇔
2 2
4
2 2
1 1
1 2 2 1 2 2 4 1
1
1 2 2 1 2
4
2
+ +
+ + + + + +
−
= +
+
+ + + + +
−
a
a a a
a a
a a a
a
⇔ −2a2 −6a−1 = 4a2 +6a−1⇔
+
−
−
=
−
−
−
− +
=
−
−
−
1 6 4 1 6 2
1 6 4 1 6 2
2 2
2 2
a a a
a
a a a
a
⇔
=
−
= + 0 2 2
0 12 6
2 2
a
a a
Bài 15/ Cho hàm số y = –2x3
+ 6x2 + 1 có đồ thị là (C).Xác định m để d: y = mx + 1 cắt (C) tại hai điểm A, B, C với A(0 ; 1) và B là trung điểm AC
Giải
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm phương trình: –2x3 + 6x2 + 1 = mx + 1 ⇔
( )
= +
−
=
=
⇔
= +
−
0 6
2
0 0
6
2 2
m x x x g
x m
x
x
khác 0 hay
>
−
≠ 0 2 9
0
m
m
⇔
<
≠
2 9
0
m m
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của g(x) = 0 và B(x1;mx1+1),
Trang 5(x2;mx2 +1)
C B là trung điểm AC nên: x =2 2x1 Ta có
=
= +
=
2
3 2
2 1
2 1
1 2
m x x
x x
x x
Tìm được m = 4
Bài 16/ Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C).Tìm hai điểm A, B lần lượt thuộc hai nhánh của (C)
có khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất
−
−
a a
+ +
b b
B 1 ;2 1 ( a, b > 0) là hai điểm lần lượt thuộc hai nhánh của (C)
1 4
1 1 4
1 1
2 2
2 2
2
+
=
+
≥
+ +
=
+ + +
=
ab
ab ab
ab ab
b a ab
a b a
b
AB
AB nhỏ nhất khi AB=2 2 Khí đó: 1 ⇒ = =1
=
=
b a ab ab
b a
Vậy A(0 ; 1) và B(2 ; 3)
Bài 17/ Cho hàm số y = x3
–3x2 + 4 có đồ thị là (C) Gọi (d) là đường thẳng qua A(3 ; 4) và hệ số góc
k Tìm k để (d) cắt (C) tại ba điểm A, B, C sao cho sao cho tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc nhau
Giải
x
x
y/ =3 2 −6
Phương trình (d): y = k(x –3)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):x3 −3x2 −kx+3k =0⇔ (x−3) (x2 −k)=0⇔
( )
=
−
=
=
0
3
2
k
x
x
g
x
Có ba nghiệm phân biệt khi g(x) = 0 có hai nghiệm khác 3 hay k > 0và k ≠ 9
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của g(x) = 0 Theo giả thiết ta có: y/( ) ( )x1 y/ x2 =−1 hay
(3x12 −6x1)(3x22 −6x2)=−1 ⇔ 9(x1x2)2 −18x1x2(x1+x2)+36x1x2 +1=0⇔ 9k2 –36k + 1 = 0
Bài 18/ Cho hàm số y = x4
–2(m + 1)x2 + 2m +1 có đồ thị là (C) Xác định m để (C) cắt trục hoành tại bốn điểm lần lượt có hoành độ là a, b, c, d ( a < b < c < d) sao cho a, b, c, d lập thành một cấp số cộng
Giải
Điều kiện để (C) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt là phương trình: x4 –2(m + 1)x2 + 2m +1 = 0 (1)
Có bốn nghiệm phân biệt Đặt t = x2 ta có phương trình t2 –2(m + 1)t + 2m +1 = 0 (2) có hai nghiệm
2 1 0
1 2
0 2 2
0
2
≠
−
>
⇔
>
+
>
+
>
m và m
m m m
Gọi t1và t2 (0<t1 <t2) là hai nghiệm của (2), bốn nghiệm của (1) là − t2 ,− t1, t1 , t2 lập thành cấp số cộng khi: t2 − t1=2 t1 =− t1 + t2 hay t =2 9t1
+
=
+
=
+
=
1
2
1 2
9
2
1
2
1
1
2
m
t
t
m
t
t
t
t
hay
+
= +
+
=
+
=
1 2 25
1 9
5
1 9 5 1
2 2
1
m m
m t
m t
tìm được
9
4
−
=
m và m = 4
Trang 6Bài 19/ Cho hàm số
2
2 3
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) M là điểm bất kỳ trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) lần lượt tại A và B Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài đoạn AB là ngắn nhất ĐS : M1( 1 ; 1), M2(3 ; 3) ( tương tự bài 3)
Bài 20/ Cho hàm số
2
2 3 +
+
=
x
x
y có đồ thị là (C) M là điểm bất kỳ trên (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M biết tiếp tuyến này cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho OA = 4OB Giải
/
2
4 +
=
x y
2
2 3
+
+
a C a
a
a
M Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:
2 3 2
4
+ +
− +
=
a
a a x
a
y
Giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành:
4
3 4
3a2 a A
Giao điểm của tiếp tuyến vớitrục tung:
+
+ +
2 2
2
3 4 3
; 0
a
a a B
4
3 4
3 2 + +
2
2
3 4 3 +
+ +
=
a
a a
OB vì 3a2 + 4a + 3 > 0 , ∀a ∈ R
−
=
= 6
2
a a
Với a = 2 ta có phương trình: ( 2) 2
4
1
+
−
2
3 4
1 +
= x y
Với a = – 6 ta có phương trình: ( 6) 4
4
1
+ +
2
11 4
1 +
= x y
Bài 21/ Cho hàm số y = x3
–(m +1)x2 + (m –1)x + 1, có đồ thị là (C).Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A(1 ; 0), B, C phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại B và C song song nhau Giải
y / = 3x2 –2(m + 1)x + m –1
Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm phương trình: x3 –(m +1)x2 + (m –1)x + 1 = 0
=
−
−
=
=
⇔
=
−
−
−
1 0 1
1 0
1 1
2 2
mx x x g
x mx
x
x
Theo giả thiết g(x) = 0 có hai nghiệm khác 1 hay m ≠ 0
Gọi x1và x2 là hai nghiệm của (1) Theo giả thiết ta có: ( ) /( )2
1 /
x y x
2
3x12 − m+ x1 +m− = x22 − m+ x2 +m− ⇔ 3(x12 −x22)−2(m+1)(x1−x2)=0
⇔ 3(x1+x2)−2(m+1)=0 vì x1−x2 ≠0 ⇔ m = 2
Bài 22/ Cho hàm số
1
1 2 +
−
=
x
x
y có đồ thị là (C).Cho A(0 ; 1), B(3 ; 2) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Giải
1
3 2
+
m m M
Trang 7=
1
9 10
1
+ +
=
m m AB
M d
1
9 2
1
; 2
1
− + +
=
=
m m AB
M d AB S
Gọi ( )
1
9 3 + +
−
=
m m
m
( )
2 /
1
8 2 +
− +
=
m
m m m
g
=
−
=
⇔
=
2
4 0
/
m
m m
g
g( –4) = –10 và g(2) = 2
Lập bảng biến thiên hàm g(m) suy ra bảng biến thiên hàm g( )m
S nhỏ nhất khi m = 2 , vậy M(2 ; 1)
Bài 23/ Cho hàm số
1
−
=
x
x
y có đồ thị là (C).Tìm tất cà các giá trị của m để đường thẳng d:
y = –x + m –1 cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có bán kính bằng 2 2
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: f( )x =x2 −(m−1)x+m−1=0 (*)
(*) phải có hai nghiệm x1 và x2 phân biệt khi: m < 1 ∨ m > 5
Ta có:
=
=
−
=
−
= +
0 1 1
2 1
2
1
2 1
x f x
f
m x
x
m x
x
Bán kính
S
abc R
4
= Gọi A(x1 ;−x1+m−1) và B(x2 ;−x2 +m−1)
AB
2
2
2
1
; = m−
d
O
S
AB OA OA
R
4
3 1
2
3 4
2
1 2
,
2
=
−
=
−
+
−
=
−
m
m m m
OB OA AB
O d AB
AB OB OA
⇔ m−3 =4 ⇔ m=7∨m=−1
Bài 24/ Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) Tìm Hai điểm lần lượt thuộc hai nhánh của (C) sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất
Giải
1
1 2 1
1 2
− +
=
−
−
=
x x
x
y
Tập xác định: D = R\{ }1
−
−
a a
+ +
b b
B 1 ;2 1 ( a, b > 0) là hai điểm lần lượt thuộc hai nhánh của (C)
Trang 8( )
2 2
+ + +
=
a b a
b
2
+ + +
ab
a b a
2
+ +
ab b
a
1 2
4 1
2 1
+
≥
+ +
=
+ +
≥
ab
ab ab
ab ab
ab ab
2
2
=
=
b a ab ab
b a
Vậy A(0 ; 1) và B(2 ; 3)
Bài 25/ Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) M là điểm trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) lần lượt tại A và B Chứng minh M là trung điểm đoạn AB
Giải
Tập xác định: D = R\{ }1
1
1 2 1
1 2
− +
=
−
−
=
x x
x
y
/
1
1
−
−
=
x y
1
1 2
−
m m
M
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
1 2 1
1
−
−
=
m m
x m
y
Tọa độ giao điểm của (C) với tiệm cận đứng là nghiệm của hệ
− + +
−
−
−
=
=
1
1 2 1
1 1
2
m m
x m
y
x
−
+ 1
2 2
; 1
m A
Tọa độ giao điểm của (C) với tiệm cận ngang là nghiệm của hệ
− + +
−
−
−
=
=
1
1 2 1
1 2
m y
y
suy ra B(2m−1;2)
Vì:
=
− +
= +
=
= +
M B
A
M B
A
y m
y y
x m x
x
2 1
2 4
2 2
nên M là trung điểm đoạn AB
Bài 26/ Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C).Chứng minh rằng tích khoảng cách từ một điểm bất
kỳ
trên (C) đến hai tiệm cận là hằng số
Giải
Tập xác định: D = R\{ }1
1
1 2 1
1 2
− +
=
−
−
=
x x
x
1
1 2
−
m m
M
Phương trình tiệm cận đứng của (C): x –1 = 0
Phương trình tiệm cận ngang của (C): y –2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: d(M;tcđ)= m−1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: ( )
1
1
;
−
=
m tcn M d
Trang 9( ) ( ) 1
1
1 1
;
−
−
=
m m tcn M d tcđ
M
d
Bài 27/ Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) Tìm điểm trên (C) có tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) là nhỏ nhất
Giải
Tập xác định: D = R\{ }1
1
1 2 1
1 2
− +
=
−
−
=
x x
x
1
1 2
−
m m
M
Phương trình tiệm cận đứng của (C): x –1 = 0
Phương trình tiệm cận ngang của (C): y –2 = 0
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng: d(M;tcđ)= m−1
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: ( )
1
1
;
−
=
m tcn M d
1
1 1
;
− +
−
= +
=
m m
tcn M d tcđ M d
1
1 1
−
=
−
m
=
=
⇔
=
−
2
0 1
1 2
m
m
m có hai điểm cần tìm M1(0 ; 1) và M2(2 ; 3)
Bài 28/ Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ I(1;2) đến tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất
Giải
Tập xác định: D = R\{ }1
1
1 2 1
1 2
− +
=
−
−
=
x x
x
y
/
1
1
−
−
=
x y
1
1 2
−
m m
M
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
1 2 1
1
−
−
=
m m
x m
y
Hay :x+(m−1)2y−2m2 +2m−1=0
+
− +
− +
− +
=
4
2 2
1 1
1 2 2 2 4 2 1
;
m
m m m
m tt
I
d
1 1
1 2
− +
−
m m
Vì : 1+(m−1)4 ≥2m−1 nên d(I;tt)=
1 1
1 2
− +
−
m
m
2
≤ (I tt)
d ; nhỏ nhất là 2 khi 1=(m−1)4 ⇔m−1=±1
Cách khác d(I;tt)=
1 1
1 2
− +
−
m
m
2
1 1
1 2
− +
−
m m
1 2 >
+
t
t t
1
−
= m
t
Lập bảng biến thiên hàm g(t) trong khoảng (0;+∞)
Trang 10Bài 29/ Cho hàm số
1
1 2
−
−
=
x
x
y có đồ thị là (C) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất vuông góc đường thẳng qua IM với I(1 ; 2)
Giải
Tập xác định: D = R\{ }1
1
1 2 1
1 2
− +
=
−
−
=
x x
x
y
/
1
1
−
−
=
x y
1
1 2
−
m m
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
1 2 1
1
−
−
=
m m
x m
y
1 1
2 1
1 :
−
−
=
−
−
m
y m
x
1
−
m y
Theo giả thiết :
1 1
1
2
−
−
−
m
Bài 30/ Cho hàm số y = x3
– 6x2 + 9x –2 có đồ thị là (C).Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, biết M cùng với hai cực trị của (C) tạo thành một tam giác có diện tích S = 6
Giải
Hai điểm cực trị A(1 ; 2), B(3 ; –2), AB=2 5
Phương trình AB: 2x + y –4 = 0 Goi M(m ; m3 −6m2 +9m−2) ∈ ( )C
5
6 11 6
5
4 2 9 6 2
;
2 3 2
=
−
− +
− +
AB
M
d
2
− +
−
=
S
−
=
− +
−
=
− +
−
⇔
=
6 6 11 6
6 6 11 6
6
2 3
2 3
m m
m
m m
m S
Bài 31/ Cho hàm số
2
1 3 +
−
=
x
x
y có đồ thị là (C).Tìm m để đường thẳng d: y = mx –11 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho dt(OAB)=2dt(OMB) với M(0 ; –11)
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: mx2 + 2(m –7)x –21 = 0 (1)
(1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2 ⇔ m ≠ 0
Gọi A(x1 ;mx1 −11) và B(x2 ;mx2 −11) với x1 và x2 là nghiệm phương trình (1)
Ta có:
m
m x
x1+ 2 =14−2 và
m x
x1 2 = −21 Vì M∈ d nên M, A, B thẳng hàng
dt =2 ⇔ d(O;AB).AB d(O,BM).BM
2
1
2 2 2 1
2 2 1
= +
=
loai x
x
x x
0
3
2 1 2 1