Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phân tích so sánh chủ đề hàm số trong sách giáo khoa lớp 10 ở Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ

Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Phân tích so sánh chủ đề hàm số trong sách giáo khoa lớp 10 ở Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ nhằm nghiên cứu so sánh theo chiều ngang các đặc trưng của mỗi SGK liên quan đến chủ đề hàm số: đặc trưng hình thức, cấu trúc bài học, số lượng bài tập; nghiên cứu so sánh theo chiều dọc các đặc trưng của mỗi SGK liên quan đến chủ đề hàm số: cách dẫn nhập chủ đề, mức độ yêu cầu về nhận thức của bài tập, các kiểu biểu diễn trong SGK, kiểu đáp ứng mong đợi từ học sinh.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ LÀNH

PHÂN TÍCH SO SÁNH CHỦ ĐỀ HÀM SỐ TRONG SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10 Ở VIỆT NAM, PHÁP VÀ HOA KỲ

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, đƣợc các đồng tác giả cho phép

sử dụng và chƣa từng đƣợc công bố trong bất kỳ một công trình nào khác

Tác giả

Nguyễn Thị Lành

iii

LỜI CÁM ƠN

Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến thầy Trần Kiêm Minh, người đã nhiệt tình hướng dẫn tận tình chu đáo và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình giảng dạy và truyền thụ cho tôi rất nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm học vừa qua

Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ chuyên môn trường THPT Nguyễn Trường Tộ thành phố Huế đã tạo điều kiện cho tôi đi học

Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè của tôi luôn ủng hộ, quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng dẫn

và góp ý

Chân thành cám ơn!

Huế, tháng 04 năm 2015

1

MỤC LỤC

PHỤ BÌA i

LỜI CAM ĐOAN ii

LỜI CÁM ƠN iii

MỤC LỤC 1

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 3

DANH MỤC BẢNG 4

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ 9

1.1 Vị trí và vai trò của Sách giáo khoa 9

1.2 SGK môn Toán trong hệ thống giáo dục phổ thông Việt Nam, Pháp và Hoa kỳ 10

1.3 Nghiên cứu so sánh SGK môn Toán giữa các hệ thống giáo dục 12

Chương 2 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN LỚP 10 Ở VIỆT NAM, PHÁP VÀ HOA KỲ 15

2.1 Sơ lược lịch sử khái niệm hàm số 15

2.1.1 Thời kỳ cổ đại 15

2.1.3 Thời kỳ hiện đại: Giới thiệu các biểu thức đại số hình thức hóa 16

2.2 Đặc trưng tri thức luận của khái niệm hàm số: quan niệm tương ứng và quan niệm biến thiên phụ thuộc 18

2.2.1 Quan niệm tương ứng 18

2.2.2 Quan niệm biến thiên phụ thuộc 19

2.3 Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Việt Nam 20

2.4 Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Pháp 21

2.5 Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Hoa Kỳ 25

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 29

3.1 Mục đích 29

3.2 Phương pháp so sánh sách giáo khoa 30

3.2.1 Phân tích theo chiều ngang 30

3.2.2 Phân tích theo chiều dọc 30

3.3 Dữ liệu 35

Chương 4 KẾT QUẢ 36

4.1 Kết quả phân tích theo chiều ngang 36

4.1.1 Sơ lược về hệ thống giáo dục ba nước Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ 36

4.1.2 Đặc trưng hình thức 37

4.1.3 Số lượng bài học trong SGK 38

4.1.4 Cấu trúc bài học 41

4.1.5 Số lượng bài tập 45

4.2 Kết quả phân tích theo chiều dọc 46

4.2.1 Cách tiếp cận khái niệm hàm số 46

4.2.2 Biểu diễn hàm số bằng đồ thị, tính đơn điệu của hàm số 52

4.2.3 Ứng dụng hàm số đề giải quyết các bài toán thực tế 56

4.2.4 Ví dụ minh họa trong phần bài học 57

4.2.5 Mức độ yêu cầu về nhận thức của các nhiệm vụ trong mỗi SGK 60

4.2.6 Các dạng đáp ứng khác 64

2

4.2.7 Các phát hiện khác 64

Chương 5 KẾT LUẬN 66

5.1 Kết luận cho vấn đề nghiên cứu 66

5.1.1 Kết quả về phân tích theo chiều ngang 67

5.1.2 Kết quả phân tích theo chiều dọc 68

5.2 Hướng phát triển của đề tài 69

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

PHỤ LỤC 75

P Procedures without connections

PC Procedure with connections

DM Doing mathematics

khác nhau theo Stein & Smith (1998)

33

3.4 Ví dụ về phân loại nhiệm vụ toán theo các mức độ nhận thức 35 4.1 Bìa SGK Math'x của Pháp và Larson Algebra I của Hoa Kỳ 37 4.2 Đặc trƣng hình thức trong SGK của Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ 38 4.3 Số lƣợng bài học trong SGK của Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ 40 4.4 Các vấn đề trong SGK của Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ 45 4.5 Số lƣợng bài tập trong SGK của Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ 46 4.6 Số lƣợng các vấn đề liên quan đến cách thức biểu diễn hàm số 56 4.7 Mức độ yêu cầu nhận thức trong SGK của Việt Nam, Pháp và Hoa

Kỳ

60

4.8 Phân bố tỷ lệ phần trăm các loại đáp ứng khác nhau 64

5

LỜI GIỚI THIỆU

Đổi mới chương trình sách giáo khoa (SGK) là nhiệm vụ quan trọng và được thực hiện gần như là định kỳ của bất kỳ hệ thống giáo dục phổ thông nào trên thế giới Việc đổi mới này là tất yếu vì sau một khoảng thời gian nhất định, khối lượng tri thức khoa học không ngừng được tăng lên và biến đổi Điều này dẫn đến sự cần thiết phải cập nhật, bổ sung hoặc thay đổi nội dung kiến thức, cách tiếp cận hay phương pháp dạy học trong chương trình phổ thông

Ở Việt Nam, đổi mới chương trình và SGK môn Toán đang là nhu cầu cấp thiết của ngành giáo dục, của các cấp quản lý và của chính xã hội Một chương trình môn Toán đảm bảo yêu cầu cập nhật về tri thức, về phương pháp dạy và học, có tính hiện đại phù hợp với xu hướng đổi mới chương trình của các nước tiên tiến trên thế giới và

có tính ổn định tương đối là một trong những yêu cầu cốt yếu của việc đổi mới chương trình và SGK hiện nay Dựa trên chương trình đó, các bộ SGK Toán khác nhau sẽ được biên soạn để giáo viên, học sinh và các nhà quản lý có sự lựa chọn phù hợp nhất cho việc dạy học Đây là xu hướng chung và phổ biến của nhiều nền giáo dục tiên tiến trên thế giới

Hàm số là một khái niệm rất quan trọng trong Toán học và có nhiều ứng dụng trong các khoa học thực nghiệm Chủ đề hàm số chiếm một vị trí quan trọng và có tính xuyên suốt trong chương trình toán từ cấp Trung học cơ sở đến cấp Trung học Phổ thông ở các nước Do tầm quan trọng của chủ đề hàm số trong nội dung chương trình Toán phổ thông, các vấn đề liên quan đến nội dung và hàm lượng kiến thức, cách tiếp cận về hàm số cũng như phương pháp dạy và học nội dung chủ đề hàm số được đề cập cẩn thận trong chương trình, tài liệu dưới chương trình, cũng như cụ thể và đa dạng trong các SGK của nhiều nước, chẳng hạn như ở Pháp, Hoa Kỳ

Vì vậy, việc so sánh chủ đề hàm số trong chương trình và SGK ở mỗi nước là cần thiết về mặt khoa học cũng như thực hành dạy học Trên khía cạnh khoa học, nghiên cứu so sánh chủ đề hàm số trong chương trình và SGK của các hệ thống dạy học khác nhau sẽ cung cấp những thông tin hữu ích về đặc điểm tiếp cận chủ đề này ở mỗi nước, những ưu điểm và hạn chế ở mỗi cách tiếp cận này, cơ sở khoa học và ý

6

nghĩa của mỗi cách tiếp cận Về khía cạnh thực hành dạy học, một nghiên cứu so sánh như vậy cho phép thấy rõ ưu điểm và hạn chế trong cách tiếp cận nội dung hàm số ở cấp độ chương trình và SGK Từ đó có thể có những điều chỉnh tích cực trong việc xây dựng chương trình, biên soạn SGK và thực hành dạy học về chủ đề hàm số ở phổ thông

Từ những phân tích trên, với sự định hướng của TS Trần Kiêm Minh, tôi chọn

đề tài “Phân tích so sánh chủ đề hàm số trong sách giáo khoa lớp 10 ở Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ” cho luận văn thạc sĩ

Mục đích của đề tài là so sánh chủ đề hàm số trong SGK của ba nước trên Cụ thể trong phạm vi nghiên cứu này là:

 Nghiên cứu so sánh theo chiều ngang các đặc trưng của mỗi SGK liên quan đến chủ đề hàm số: đặc trưng hình thức, cấu trúc bài học, số lượng bài tập

 Nghiên cứu so sánh theo chiều dọc các đặc trưng của mỗi SGK liên quan đến chủ đề hàm số: cách dẫn nhập chủ đề, mức độ yêu cầu về nhận thức của bài tập, các kiểu biểu diễn trong SGK, kiểu đáp ứng mong đợi từ học sinh Thực hiện nghiên cứu đề tài này cho phép trả lời những câu hỏi nêu trên, theo tôi là rất cần thiết và cấp bách bởi vì nó không chỉ cho phép hiểu rõ hơn những đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số, nắm vững hơn chương trình SGK phổ thông mà nó còn cho phép hiểu rõ hơn những ảnh hưởng tích cực cũng như hạn chế của việc lựa chọn quan điểm trình bày khái niệm hàm số và đưa vào chương trình SGK phổ thông hiện hành đối với việc học tập của học sinh Điều này thuận lợi cho việc thiết lập, tổ chức những tình huống dạy học khái niệm hàm số một cách phù hợp, hiệu quả góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng dạy và học

Với mục đích trên, đề tài đã thực hiện những nhiệm vụ sau:

 Làm sáng tỏ các đặc điểm hình thức và cấu trúc bài học của mỗi SGK

 Cho thấy những nét tương đồng và khác biệt về nội dung chủ đề hàm số trong mỗi SGK: cách tiếp cận và phát triển khái niệm hàm số, mức độ yêu cầu về

và tiếp cận được với các nước có nền giáo dục phát triển

Luận văn được phân thành các chương sau:

Chương 1 Đặt vấn đề

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu vị trí và vai trò của SGK SGK môn Toán trong hệ thống giáo dục của Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ, nghiên cứu so sánh SGK môn Toán giữa ba hệ thống giáo dục trên Từ đó chúng tôi đặt ra mục tiêu cụ thể trong phạm vi nghiên cứu

Chương 2 Chủ đề hàm số trong chương trình Toán lớp 10 ở Việt Nam, Pháp và Hoa kỳ

Trong chương này, chúng tôi trình bày sơ lược lịch sử khái niệm hàm số, đặc trưng tri thức luận của khái niệm hàm số theo quan niệm tương ứng và quan niệm biến phụ thuộc Từ đó, chúng tôi nêu chủ đề hàm số được đề cập trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ

Chương 3 Phương pháp nghiên cứu

Trong chương này, chúng tôi trình bày các câu hỏi nghiên cứu, phương pháp so sánh SGK: phân tích theo chiều ngang và phân tích theo chiều dọc Bên cạnh đó chúng tôi cũng nêu lý do chọn ba cuốn sách trên để nghiên cứu

8

Chương 5 Kết luận

Trong chương này, trước hết chúng tôi nêu kết quả nghiên cứu của từng chương

Sau đó, chúng tôi nêu lên sự tương đồng và khác biệt giữa ba bộ SGK môn Toán lớp

10 ở ba nước Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ Cuối cùng là hướng phát triển của nghiên

cứu trong tương lai

9

Chương 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

1.1 Vị trí và vai trò của Sách giáo khoa

SGK đóng vai trò rất quan trọng trong hệ thống giáo dục phổ thông ở bất kỳ quốc gia nào Hầu hết các nước đều đề ra một chương trình dạy học môn Toán chung

có tính pháp lý sử dụng trên cả nước đó hoặc trên một vùng lãnh thổ của nước đó Từ chương trình chung đó, các tác giả sẽ biên soạn ra nhiều bộ SGK khác nhau, tùy vào đối tượng học sinh hướng đến, đặc điểm vùng miền, và cách tiếp cận dạy học khác nhau Giáo viên sử dụng SGK như là một tài liệu tham khảo chính để thiết kế bài học

và tổ chức thực hiện dạy học trên lớp Như vậy, có thể xem SGK là phương tiện trung gian kết nối chương trình và thực hành dạy học trên lớp

Từ tri thức được quy định trong chương trình, các tác giả biên soạn ra các bộ SGK khác nhau để thể hiện một cách cụ thể và rõ ràng hơn các yêu cầu nội dung kiến thức của chương trình, thông qua các chương, mạch kiến thức, bài học Từ tri thức bác học (là tri thức do các nhà khoa học khám phá ra) đến tri thức quy định trong chương trình và thể hiện cụ thể trong SGK là một bước chuyển hóa sư phạm Qua bước chuyển hóa sư phạm này, tri thức đã được biến đổi để phù hợp hơn cho việc dạy học ở phổ thông Tri thức này gọi là tri thức cần giảng dạy Từ tri thức cần phải giảng dạy này, giáo viên biến đổi thành các bài học để dạy trong từng lớp học, phù hợp với đặc điểm của thể chế và đối tượng học sinh Đây là bước chuyển hóa sư phạm thứ hai, biến tri thức cần giảng dạy đến tri thức được dạy trong thực tế lớp học (Hồ Ngọc Hưng, 2013, [2])

SGK có thể được sử dụng cho các loại hoạt động khác nhau Giáo viên sử dụng SGK trong việc giảng dạy để đưa ra nội dung kiến thức hay dựa vào đó để đưa ra các

ví dụ củng cố kiến thức Quan trọng nhất, SGK được hầu hết giáo viên sử dụng để cung cấp bài tập cho học sinh Học sinh sử dụng chúng trên lớp để tìm lời giải thích cho các hoạt động giáo viên đưa ra, hay xem trước bài ở nhà, cũng có nhiều học sinh tìm đến SGK để theo kịp các bài học bị bỏ lỡ trên lớp

10

Hơn nữa, giáo viên có thể sử dụng SGK theo những cách khác nhau Một số giáo viên tuân thủ nghiêm ngặt các ví dụ trong SGK, một số khác thiết kế ví dụ theo hướng mới, nhằm đưa ra các nhận xét một cách tự nhiên hơn Tuy nhiên, hầu hết giáo viên đều tuân thủ nghiêm ngặt nội dung định nghĩa, định lý trong SGK Ngoài ra, các văn bản hướng dẫn cũng ảnh hưởng lớn tới nội dung giảng dạy của giáo viên

Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra rằng SGK ảnh hưởng đến nội dung kiến thức giáo viên dạy trên lớp, phương pháp giáo viên sử dụng và cả nội dung bài tập và các hoạt động được giao cho học sinh ngoài giờ lên lớp (Alajmi, 2009, [3]; Hirsch, Lappan, Reyes, & Reys, 2005, [26]) Theo Stein, Remillard, & Smith (2007, [35]), SGK ảnh hưởng đến những chủ đề sẽ được trình bày trong lớp học cũng như các chiến lược dạy học chủ đề đó Từ tập hợp các tài liệu về chương trình, những nội dung toán học nào được trình bày trong SGK là những nội dung có tầm quan trọng cơ bản, bởi vì nó định

vị các tiếp cận sư phạm và những cơ hội khác nhau đối với việc học của học sinh Các kết quả nghiên cứu từ chương trình đánh giá học sinh quốc tế TIMSS cũng đã chỉ ra rằng các giáo viên sử dụng SGK Toán như là một trong những tài nguyên chủ yếu khi lựa chọn chiến lược dạy học (Schmidt et al 1997, [43])

1.2 SGK môn Toán trong hệ thống giáo dục phổ thông Việt Nam, Pháp và Hoa kỳ

Hệ thống giáo dục phổ thông Việt Nam từ thấp đến cao bao gồm các bậc học sau đây: Mầm non, Tiểu học, Trung học cơ sở (THCS), THPT Ở mỗi cấp học, chương trình nội dung môn Toán được quy định và sử dụng chung cho toàn quốc Chương trình này có tính pháp lý cao nhất và có tính ổn định tương đối Sau mỗi khoảng thời gian từ 10 đến 15 năm, các nhà quản lý, nhà giáo dục xem xét lại và điều chỉnh, bổ sung hoặc thay đổi chương trình đó Từ bậc THPT, môn toán có hai chương trình là chương trình cơ bản và chương trình nâng cao Từ các chương trình đó, Bộ giáo dục và Đào tạo chủ trì biên soạn ra chỉ một bộ SGK cho mỗi lớp và được sử dụng chung trên phạm vi toàn quốc Thực tế dạy học ở Việt Nam mà chúng tôi hiện đang có cơ hội trải nghiệm cho thấy SGK tuy không phải là tài liệu có tính pháp lý nhưng vì chỉ có một bộ SGK duy nhất nên hầu hết giáo viên đều xem SGK là tài liệu dạy học chủ đạo và duy

Hệ thống giáo dục phổ thông ở Pháp cũng có tổng thời gian là 12 năm, phân chia thành các cấp học là Mầm non, Tiểu học, THCS và THPT Bậc THPT ở Pháp được chia làm 2 kiểu trường THPT: trường THPT cơ bản và kỹ thuật và trường THPT hướng nghiệp Bắt đầu từ năm lớp 11, chương trình học được cấu trúc gồm ba phần: các môn chung, các môn theo định hướng nghề nghiệp (Ban hoa học, Ban kinh tế-xã hội, Ban văn chương), và các môn tự chọn SGK cũng có nhiều bộ khác nhau cho mỗi ban để cán bộ quản lý giáo dục, giáo viên và học sinh lựa chọn Chương trình là tài liệu

có tính pháp lý cao nhất và cũng được giáo viên quan tâm để soạn bài giảng phù hợp với yêu cầu1 Trong khi đó, sự lựa chọn SGK toán có thể khác nhau tùy theo các vùng giáo dục hoặc Sở giáo dục giáo viên thường có nhiều lựa chọn khi thiết kế bài dạy học

vì có thể tham khảo nhiều nguồn SGK khác nhau Ở cấp THPT, các bộ SGK môn Toán tiêu biểu hiện hành ở Pháp và Déclic, Mathx, Sésamath

Hệ thống giáo dục phổ thông ở Hoa Kỳ cơ bản cũng kéo dài 12 năm và có các bậc học tương tự Tuy nhiên, cấp THPT ở Hoa Kỳ thường được tính từ lớp 9 đến lớp

12 Tài liệu về các Nguyên tắc và Chuẩn cho Toán học nhà trường (Principles and

Standards for School Mathematics, NCTM 2000) có thể được xem như chương trình môn Toán cho mỗi cấp lớp ở cấp độ chung quốc gia Từ đó, mỗi bang ở Hoa Kỳ cũng

có các tài liệu kiểu tài liệu chương trình để định hướng nội dung cụ thể về môn toán trong từng lớp học (các tài liệu này có tên gọi là Common Core State Standards-

1 Thông tin về chương trình các môn học phổ thông của Pháp có thể tìm thấy tại http://eduscol.education.fr/

12

Mathematics) Dưới các tài liệu này là SGK, được thiết kế để cụ thể hóa nội dung chương trình và các chiến lược dạy học để đạt được mục tiêu của chương trình Sách giáo toán ở bậc THPT ở Hoa Kỳ không được viết với tên gọi theo từng lớp, mà được viết theo từng phân môn như: Tiền đại số, Đại số I, Hình học, Đại số II, Lượng giác… Lên các lớp cao hơn như 11 và 12, học sinh còn có các môn lựa chọn sâu hơn như Tiền giải tích, Giải tích, Thống kê, Toán rời rạc… Tương tự như ở Pháp và các nước phát triển khác, ở Hoa Kỳ cũng có nhiều bộ SGK cho các nhà giáo dục, giáo viên và học sinh lựa chọn Các bộ SGK môn Toán trung học tiêu biểu hiện hành ở Hoa Kỳ như Larson, CPMP, Glencoe…

1.3 Nghiên cứu so sánh SGK môn Toán giữa các hệ thống giáo dục

Do SGK đóng một vai trò quan trọng trong quá trình dạy học và nó định vị hầu hết những nội dung gì sẽ được dạy trong lớp và những gì học sinh sẽ học, việc phân tích SGK có thể mang lại những hiểu biết mới về sự khác nhau trong kết quả đánh giá học sinh, chẳnghạn như kết quả từ các chương trình đánh giá học sinh quốc tế (Fuson, Stigler, & Bartsch, 1988, [18]; Reys, Reys, & Chavez, 2004, [10]; Zhu & Fan, 2006, [17]) Vì vậy, nghiên cứu phân tích so sánh SGK là một hướng nghiên cứu được nhiều

nhà nghiên cứu quan tâm (Stigler et al., 2007, [45]; Fan & Zhu, 2007,[17]; Mayer et

al., 1995, [36]; Hong & Choi, 2013, [27])

Nhiều nghiên cứu (chẳng hạn Cai, 1995, [8]) đã cho thấy rằng chương trình ở các nước châu Á chứa đựng nhiều chủ đề thuần túy toán học hơn và các chủ đề này cũng được giới thiệu sớm hơn so với chương trình ở Hoa Kỳ Stigler et al (2007, [45])

đã phân tích các SGK toán tiểu học ở ba nước là Nhật Bản, Đài Loan và Hoa Kỳ Các tác giả này thấy rằng có tất cả 320 khái niệm toán học và kỹ năng, trong đó 64% có mặt trong cả ba SGK của ba nước, 78% xuất hiện trong SGK Hoa Kỳ, 80% xuất hiện trong SGK Đài Loan và 91% trong SGK Nhật Bản Stevenson & Bartsch (1992, [47]) đã phân tích nội dung của các SGK trung học và tiểu học và thấy rằng nhiều khái niệm và chủ đề toán học đã được đưa vào SGK Nhật Bản sớm hơn so với SGK Hoa Kỳ

Westbury (1992, [53]) khẳng định rằng thành tích thấp của học sinh Hoa Kỳ trong các nghiên cứu so sánh quốc tế có thể là một hệ quả của sự khác biệt trong

về so sánh các bài học về phân số và số nguyên SGK môn toán ở Hàn Quốc và Trung Quốc có nhiều bài toán gồm nhiều bước giải hơn các SGK ở Hoa Kỳ (Li, 2000, [34]; Son & Senk, 2010, [44]) Tuy vậy, các kết quả như trên có khác nhau khi xem xét bản chất các bài toán và lời giải chúng Nghiên cứu của Li cho thấy rằng SGK Hoa Kỳ có nhiều hơn các bài toán đòi hỏi sự giải thích Tương tự, Charalambous et al (2010, [11]) thấy rằng SGK toán ở Đài Loan gồm nhiều bài toán chứa đựng thử thách và đòi hỏi nhiều giải thích hơn là SGK của Cyprus và Ireland.

Về mặt phương pháp luận phân tích SGK, theo Charalambous et al (2010, [11]), các nghiên cứu so sánh SGK này có thể chia làm các hướng phân tích như sau:

phân tích theo chiều ngang (horizontal analysis), phân tích theo chiều dọc (vertical

analysis), và phân tích theo ngữ cảnh sử dụng (contextual analysis) Phân tích theo

chiều ngang xem xét SGK như là một đối tượng tổng thể trong hệ thống giáo dục (Herbst, 1995, [22]) Việc phân tích sẽ tập trung vào các đặc trưng tổng quát của SGK như hình thức vật lý bên ngoài, việc sắp xếp các nội dung trong sách Cách phân tích này có một số hạn chế chẳng hạn như bỏ qua các khác nhau cơ bản về cơ hội học tập đưa ra cho học sinh trong các nước khác nhau, bởi vì các SGK khác nhau không xử lý các chủ đề theo một cách giống nhau với cùng một mức độ nhấn mạnh Phân tích theo chiều dọc xem xét cách các SGK xử lý một khái niệm hay chủ đề riêng lẻ, trên quan niệm SGK như là một môi trường cho việc kiến tạo tri thức (Li, 2000, [34]; Mesa,

2010, [37]; Herbst, 1995, [22]) Phân tích theo chiều dọc có hạn chế là bỏ qua các kết nối giữa các chủ đề trong cùng một SGK Phân tích theo ngữ cảnh sử dụng đề cập đến các vấn đề về triển khai các dụng ý của SGK trong lớp học Hướng phân tích này

bổ sung (Wijaya, Heuvel-Panhuizen & Doorman, 2015, [53]; Hong & Choi, 2013, [27]) Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp phân tích SGK theo chiều ngang và chiều dọc đề xuất bởi Charalambous và đồng nghiệp như là một khung nội dung lý thuyết và phương pháp luận để phân tích so sách chủ đề hàm số trong SGK lớp 10 ở ba nước là Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ Chúng tôi sẽ làm rõ phương pháp luận này trong chương 3

15

Chương 2 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN

LỚP 10 Ở VIỆT NAM, PHÁP VÀ HOA KỲ

2.1 Sơ lược lịch sử khái niệm hàm số

Phần này được viết với ý định trình bày một cách tóm tắt các ý tưởng hình thành khái niệm hàm số thông qua các giai đoạn lịch sử chính Mục đích của việc trình bàylịch sử khái niệm hàm số này là để làm rõ đặc trưng tri thức luận và lịch sử hình thành của khái niệm này Đây là cơ sở để phân tích và hiểu ý nghĩa của các cách tiếp cận hàm

số trong chương trình và SGK của mỗi nước Phần này chúng tôi chủ yếu dựa trên các tài liệu như Minh (2011), Ngô Thị Nhật Anh (2013), Hồ Ngọc Hưng (2013)

2.1.1 Thời kỳ cổ đại

Vào khoảng hai nghìn năm trước công nguyên, những nhà toán học Babylon đã

sử dụng một cách rộng rãi, trong các tính toán của mình, các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng lập phương hay bảng căn bậc ba trong hệ lục thập phân Còn người Hy Lạp thì đã thiết lập các bảng sin Những bảng này xuất hiện chủ yếu từ nhu cầu giải quyết các vấn đề của toán học (đo đạc hình học, nghiên cứu các đường cong…) hay của các ngành khoa học tự nhiên (Vật lí, Thiên văn học…)

Ở thời kì này, khái niệm hàm số chưa có tên, chưa có định nghĩa Nó chỉ xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn cho việc giải quyết các bài toán thuộc về thiên văn học, toán học…Trong đó, vấn đề nghiên cứu về sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng lấy giá trị trong các tập hợp hữu hạn và rời rạc Yếu tố đầu tiên của khái niệm hàm số được ưu tiên đề cập là tính “phụ thuộc” giữa hai đại lượng, mặc dù đặc tính phụ thuộc này không xuất hiện tường minh Tương

tự, đặc trưng tương ứng và đặc trưng biến thiên của các đại lượng chỉ thể hiện một cách ngầm ẩn Sự phụ thuộc giữa hai đại lượng chỉ được mô tả dưới hình thức các bảng số

16

2.1.2 Thời kỳ trung cổ

Người ta tiếp tục nghiên cứu về sự phụ thuộc giữa hai đại lượng, đặc biệt là các đại lượng liên quan tới chuyển động như : Vận tốc, quãng đường, thời gian,… Các chuyển động này được nghiên cứu chủ yếu về mặt định tính bằng cách mô tả chiều biến thiên nhưng không đi tới các quan hệ số lượng Mặc định lượng được đề cập vào cuối thời kì bằng cách mô tả vài giá trị tách rời của hiện tượng và có xu hướng che đậy đi mặt biến thiên liên tục Tính phụ thuộc giữa các đại lượng được mô tả bằng lời, nhưng chủ yếu bằng các bảng số hoặc bằng các hình hình học

Chẳng hạn, N.Oresme (1323 – 13820) đã biểu diễn cường độ của chất điểm chuyển động (vận tốc) theo thời gian bằng một hình hình học mà ta có thể mô tả như sau:

Chú ý rằng, biểu diễn trên hoàn toàn định tính, không hiện diện các số (các độ đo) Sau này, Galileo (1564 – 1642) mới đưa vào trong các biểu diễn của Oresme các yếu tố định lượng

Như vậy, ngoài nghiên cứu về tính phụ thuộc giữa các đại lượng, thời kì này bắt đầu có những nghiên cứu rõ nét hơn về đặc trưng biến thiên, biểu diễn bằng hình hình học Điều này đánh dấu một bước tiến về khái niệm hàm số với tư cách biến phụ thuộc Tuy nhiên, bản thân thuật ngữ “biến thiên” và khái niệm biến chưa xuất hiện một cách rõ ràng

2.1.3 Thời kỳ hiện đại: Giới thiệu các biểu thức đại số hình thức hóa

a/ Thế kỉ XVI – Thế kỉ XVII

Trong giai đoạn này, việc gia tăng mạnh mẽ những phép tính toán học và đặc biệt sự ra đời của các kí hiệu chữ đóng vai trò quyết định đối với sự phát triển sau này của lí thuyết các hàm số

17

Nhà toán học được nhắc đến trong giai đoạn này là Galileo Ông quan tâm chủ yếu vào nghiên cứu các chuyển động như là các đại lượng vận tốc, gia tốc, khoảng cách được hình thành Ông cố gắng đi tìm những kết quả và quan hệ nhờ vào các thực nghiệm, điều đó cho phép ông đi vào nghiên cứu định lượng các hiện tượng

Bên cạnh đó Descartes (1596 – 1650) cũng có những phân tích về mặt hình học được mô tả như sau: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường y ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta

có vô hạn các điểm khác nhau, nhờ vào đó ta mô tả được đường cong mong muốn”

Ở đây, ta thấy những yếu tố chủ yếu của khái niệm hàm số đã hiện diện rõ ràng hơn: Những “đường x”, “đường y” – đó là những biến, giá trị của chúng là phụ thuộc Tuy nhiên, các thuật ngữ “Hàm số”, “phụ thuộc”, “biến thiên” vẫn chưa xuất hiện tường minh

b/ Thế kỉ XVIII

Thời kì này, biểu thức giải tích của hàm số bắt đầu xuất hiện và chiếm ưu thế Dấu hiệu đặc trưng của hàm số thời kì này là sự phụ thuộc lẫn nhau của hai đại lượng biến thiên thể hiện bởi một biểu thức giải tích, và trong giai đoạn này các nhà toán học quan niệm: Hàm số là một biểu thức giải tích Như vậy, khái niệm hàm số bị thu hẹp vào một phương tiện biểu diễn của nó

Quan niệm hàm số như một biểu thức giải tích, lần đầu tiên thể hiện ngầm ẩn trong định nghĩa của Bernoulli công bố năm 1718: “Ta gọi hàm số của một đại lượng biến thiên là một đại lượng được tạo ra theo một cách nào đó từ đại lượng biến thiên này và từ các hằng số”

Euler (1707 –1783) thì cho rằng: “Một hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích được tạo thành theo một cách thức nào đó từ chính đại lượng biến thiên này và các số hay các đại lượng không đổi… Một hàm số của một biến cũng là một đại lượng biến thiên”

c/ Thế kỉ XIX

Từ đầu thế kỉ XIX, người ta lại thường định nghĩa hàm số mà không nhắc gì tới cách biểu diễn giải tích của nó Người ta dần dần nhận ra cái chủ yếu trong định nghĩa hàm số là sự tương ứng

Dirichlet (1837): “y là hàm của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng với một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng”

Định nghĩa về hàm số một cách hình thức theo quan điểm của lý thuyết tập hợp hiện đại chỉ được chính thức đề cập đến vào đầu thế kỷ XX trong công trình của nhóm Bourbaki (1939): “Giả sử E và F là hai tập hợp phân biệt hoặc không Quan hệ giữa một biến x của E và một biến y của F được gọi là quan hệ hàm nếu với mỗi x thuộc E tồn tại một và chỉ một phần tử y thuộc F có quan hệ với x Ta gán từ “hàm” cho thao tác “kết hợp mỗi phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F có quan hệ với x” Ta nói y

là giá trị của hàm đối với phần tử x và hàm được xác định bởi quan hệ đã cho”

Từ các phân tích trên, ta thấy ý tưởng về hàm số xuất hiện từ nhu cầu từ thực tế

và trong ngữ cảnh ứng dụng (Hình học, Cơ học, Vật lý, Thời tiết…) Quá trình hình thành về mặt lịch sử cho thấy có hai khía cạnh nổi bật mang tính cơ bản trong quan niệm về hàm số: khía cạnh “tương ứng” và khía cạnh “biến thiên phụ thuộc” Khía cạnh “tương ứng” thường xuất hiện tường minh trong các định nghĩa, trong khi đó khía cạnh “biến thiên phụ thuộc” xuất hiện sớm trong các ý tưởng hình thành khái niệm hàm số nhưng chỉ ở dạng ngầm ẩn

2.2 Đặc trưng tri thức luận của khái niệm hàm số: quan niệm tương ứng và quan niệm biến thiên phụ thuộc

2.2.1 Quan niệm tương ứng

Khía cạnh “tương ứng” được thể hiện ở chỗ hai đại lượng biến thiên được liên kết với nhau bởi một tương ứng duy nhất: mỗi giá trị của đại lượng thứ nhất được liên kết với một giá trị duy nhất của đại lượng thứ hai, nhưng sự liên kết không đòi hỏi phải có một sự biểu diễn mối liên hệ đó Thậm chí trong trường hợp tồn tại một biểu diễn mối

19

liên hệ đó, khía cạnh “tương ứng” chỉ đề cập đến một quan hệ có tính riêng biệt (rời rạc) giữa một giá trị của đại lượng thứ nhất với một giá trị của đại lượng thứ hai Ví dụ sau minh họa khía cạnh “tương ứng” này:

“Cho f là hàm số xác định trên tập hợp các số Chứng minh nhân dân của công dân một xã, sao cho với mỗi số Chứng minh nhân dân liên kết với chiều cao của công dân mang số đó”

Hàm số trên được mô tả qua một mối liên hệ bằng lời Tuy nhiên mối liên hệ này chứa rất ít thông tin liên quan đến giá trị của hàm số f đối với các giá trị khác nhau của số Chứng minh nhân dân Để biết được giá trị của hàm số (ảnh) của một số Chứng minh cho trước, cần thiết phải xác định được người có số chứng minh đó, sau đó lấy số

đo chiều cao của người đó Chúng tôi cho rằng ở đây khía cạnh “tương ứng” là chủ đạo

2.2.2 Quan niệm biến thiên phụ thuộc

Khía cạnh này trước hết liên quan đến các trải nghiệm cảm giác: khi ta tác động lên đại lượng thứ nhất, đại lượng thứ hai sẽ bị thay đổi theo Khía cạnh “biến thiên phụ thuộc” đòi hỏi rằng hai đại lượng biến thiên liên kết với nhau trong một hệ thống quan sát được, chẳng hạn các đại lượng như độ dài, diện tích trong một hình hình học động Tất nhiên hai khía cạnh này có khi đan xen nhau tùy theo trải nghiệm và kiến thức của chủ thể Ví dụ, biểu thức f n 2n có thể được hiểu như là “biến thiên phụ thuộc” (gia tăng lũy thừa) đối với một số học sinh, nhưng đối với các học sinh khác đơn giản chỉ là một tương ứng giữa các giá trị “vào/ra” 11, 24 

Một bảng giá trị cho phép đối chiếu các giá trị của hai đại lượng thể hiện một

“tương ứng” Tuy nhiên, nếu các giá trị của đại lượng thứ nhất được trình bày theo cách động và cơ hoạt hơn (có tính liên tiếp, liên tục), thì một bảng giá trị có thể được xem như là biểu diễn của một hàm số từ khía cạnh “biến thiên phụ thuộc”

Quá trình hình thành khái niệm hàm số trong lịch sử cho thấy một “áp lực” giữa hai khía cạnh này Các bảng giá trị tương ứng đầu tiên ở thời kỳ cổ đại được sử dụng

để dễ dàng tính toán vì các lý do thực tế Trong khi đó khía cạnh “biến thiên phụ thuộc” được hình thành qua nhiều thế kỷ ở dạng không tường minh và phát triển cùng

20

với sự khái quát các biểu diễn đồ thị và giải tích Một biểu diễn bằng biểu thức giải tích của một mối liên hệ bằng lời mang lại nhiều thế mạnh thao tác hơn một biểu diễn bằng bảng giá trị tương ứng, đặc biệt là nhờ vào khả năng của các phép tính đại số và vi tích phân Quan niệm hàm số theo Bourbaki nhấn mạnh đến khía cạnh “tương ứng”, nhưng đơn thuần là định nghĩa này chỉ dành cho các nhà toán học để họ phân biệt với các đối tượng toán học họ thao tác Đơn giản định nghĩa hàm số theo quan điểm tập hợp của Bourbaki sẽ làm mất đi nghĩa chính của khái niệm này Trên thực tế, toán học hình thức xây dựng chặt chẽ theo trường phái Bourbaki đã chứng tỏ thất bại trong dạy học ở nhà trường phổ thông ở Pháp trong những năm 1970

2.3 Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Việt Nam

Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Việt Nam

- Hiểu khái niệm hàm số, tập xác định của hàm số, đồ thị của hàm số

- Hiểu khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến, hàm số chẵn, lẻ Biết được tính chất đối xứng của đồ thị hàm số chẵn, đồ thị hàm số lẻ

Về kỹ năng:

- Biết tìm tập xác định của hàm số đơn giản

- Biết cách chứng minh tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng cho trước

Bảng 2.1: Chủ đề hàm số trong chương trình toán lớp 10 Việt Nam

2.4 Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Pháp

Chúng tôi tạm dịch nguyên văn nội dung hàm số trong chương trình môn toán lớp 10 hiện hành ở Pháp (Chương trình năm 2009) Bản tiếng Pháp có thể xem ở phần Phụ lục của luận văn này

“Mục tiêu là học sinh có khả năng giải quyết:

• Một bài toán quy về phương trình f(x) =k trong đó hàm số được cho bởi một đường cong, một bảng dữ liệu, hoặc một công thức

22

• Một vấn đề tối ưu hóa hay một bài toán dạng f(x)>k và giải chúng, tùy theo trường hợp, bằng cách khai thác tiềm năng của các phần mềm hình học động hoặc tính toán đại số

Các tình huống được đề xuất trong phạm vi này đến từ các lĩnh vực rất đa dạng: hình học phẳng hoặc trong không gian, sinh học, kinh tế, vật lý, tin tức, vv Phần mềm

có sẵn cho học sinh (bảng tính, phần mềm hình học động, năng động, tính toán hình thức…) có thể được khai thác hữu ích

Ngoài ra, việc giải quyết các bài toán cũng nhằm mục đích để nâng cao sự thành thạo trong tính toán đại số, làm sâu sắc thêm kiến thức về các dạng số khác nhau, đặc biệt để phân biệt một số với giá trị gần đúng của nó

Chương trình cũng hướng đến làm cho học sinh hiểu rằng các hình vẽ có thể đủ

để trả lời cho một vấn đề cụ thể nào đó, nhưng không đủ để chứng minh các tính chất của hàm số”

Cụ thể nội dung phần Hàm số trong chương trình lớp 10 hiện hành (2009) ở Pháp bao gồm:

Hàm số (ảnh, tạo ảnh,

đường cong biểu diễn)

• Thể hiện được một mối liên hệ giữa hai đại lượng bởi một công thức

Đối với hàm số được xác định bởi một đường cong, một bảng giá trị hoặc một công thức:

• Nhận ra được biến, tập xác định

• Xác định được ảnh của một số

• Tìm được tạo ảnh của một số

• Các hàm số được đề cập thông thường là những hàm số một biến thực có tập xác định đã được cho trước

• Một vài ví dụ về hàm số xác định trên tập hữu hạn hoặc trên , thậm chí hàm hai biến (diện tích phụ thuộc hàm theo chiều dài các cạnh) có thể phải đưa ra minh họa cho học sinh

23

Khảo sát định tính hàm số

Hàm tăng, giảm, cực đại,

cực tiểu của một hàm trên

một khoảng

• Mô tả với từ ngữ thích hợp hoặc với một bảng biến thiên, dáng điệu của một hàm số xác định bởi một đường cong

• Vẽ một đồ thị tương thích với một bảng biến thiên

Khi chiều biến thiên đã được cho trước, bằng một câu văn hoặc một bảng biến thiên, hãy:

• So sánh ảnh của hai số cùng thuộc trong một khoảng biến thiên

• Xác định tất cả các số mà ảnh của chúng là lớn hơn hoặc nhỏ hơn một ảnh cho trước

• Các định nghĩa hình thức về hàm số tăng, giảm dần dần được làm sáng tỏ Việc thành thạo các định nghĩa hình thức này là một yêu cầu chỉ đặt ra vào giai đoạn cuối năm học

• Cho dù các phần mềm

vẽ đường cong cho pháp

có được nhanh chóng biểu diễn đồ thị một hàm số cho bởi công thức đại số, cũng cần thiết, đặc biệt là các hàm cho bởi nhiều công thức, cho học sinh biết một thuật toán để vẽ đường cong

Biểu thức đại số

Biển đổi biểu thức đại số

để phục vụ cho giải quyết

vấn đề

• Liên kết một biểu thức đại số với một vấn đề (bài toán)

• Nhận ra dạng thích hợp nhất (khai triển, nhân tử hóa) của một biểu thức nhằm phục vụ cho việc giải quyết vấn đề đưa ra

• Khai triển, nhân tử hóa các biểu thức dạng đa thức đơn giản, biến đổi các biểu

• Đối với cùng một bài toán, kết hợp lời giải bằng

đồ thị và kiểm tra bằng phương pháp đại số

• Đặc biệt, sử dụng các biểu diễn bằng đồ thị cho trên màn hình của máy tính cầm tay, phần mềm

và b là các số đã cho

• Biết tính biên thiên của hàm bình phương và hàm nghịch đảo

• Biểu diễn đồ thị các hàm bình phương và hàm nghịch đảo

• Tạo mối liên hệ giữa dấu của ax b , chiều biến thiên của hàm số và đường cong biểu diễn

• Các ví dụ về tính phi tuyến tính Đặc biệt, cho học sinh nhận thấy được rằng các hàm bình phương

và nghịch đảo là phi tuyến

• Nhận ra được tập xác định của một hàm đơn ứng

• Các kết quả liên quan đến các hàm đa thức bậc hai (đơn điệu, cực trị) và tính chất đối xứng của đồ thị của chúng được đưa ra trong lớp, nhưng có thể là thừa nhận một phần hoặc toàn bộ

• Việc biết chuyển về dạng chính tắc một đa thức bậc hai không phải là một năng lực mong đợi của chương trình

• Không kể trường hợp

hàm nghịch đảo y 1

x

 , kiến thức tổng quát về

25

biến thiên của một hàm đơn ứng và dạng rút gọn của nó không phải là một mong đợi của chương trình

• Giải một bất phương bắt đầu bằng xét dấu của một biểu thức dạng tích hoặc thương các nhân tử bậc nhất

• Giải bằng đại số các bất phương trình cần thiết cho việc giải quyết một vấn đề

Đối với cùng một bài toán:

• Kết hợp các hỗ trợ từ sử dụng đồ thị và lời giải đại

số

• Làm nổi bật các hạn chế của thông tin cho bởi một

đồ thị Các hàm số sử dụng là những hàm đa thức bậc hai hoặc hàm đơn ứng

Bảng 2.2: Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Pháp

2.5 Chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán lớp 10 ở Hoa Kỳ

 Xác định được tập xác định và miền giá trị của

 Cho học sinh biết sẽ tìm hiểu làm thế nào

 Hãy hỏi học sinh về tình huống thực tế khác mà các dữ liệu được đưa ra trong một bảng

 Giảng dạy trực quan

để giúp học sinh thấy rằng các đầu vào thuộc miền xác định, đầu ra

là miền giá trị Các cặp (đầu vào, đầu ra) xếp thứ tự và có mối liên

hệ với nhau

Biểu diễn hàm số bằng đồ

thị

 Vẽ được đồ thị của một hàm khi cho hàm số bằng công thức

 Vẽ được đồ thị của một hàm khi cho hàm số bằng bảng giá trị

 Viết được công thức hàm

 Thúc đẩy các kỹ năng học tập tương tác, hoạt động nhóm, một nhóm

từ 6 đến 7 học sinh Học sinh chia sẽ các

đồ thị để giúp dễ dàng nhìn rõ các mối quan

hệ

27

số khi biết đồ thị của nó

 Phân tích được một đồ thị

 Vẽ bằng tay trong những trường hợp đơn giản và sử dụng công nghệ cho các trường hợp phức tạp hơn

Xây dựng hàm số

 Xác định được một mối quan hệ phụ thuộc là một hàm số hay không

 Viết một hàm số mô tả mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng

 Sử dụng đường thẳng đứng để kiểm tra một mối quan hệ phụ thuộc có phải là một hàm số hay không

 Yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm để tạo

ra các bảng giá trị thực

tế và sau đó vẽ đồ thị chúng Làm việc với các giá trị thực tế có thể giúp học sinh thấy được các mối quan hệ

dễ dàng hơn

Bảng 2.3: Chủ đề hàm số trong chương trình toán lớp 10 ở Hoa Kỳ

2.6 Nhận xét

Chương trình Pháp và Hoa Kỳ Chương trình Việt Nam

 Tiếp cận theo năng lực

 Hình thức trình bày nội dung chương

trình của chủ đề chia làm 3 phần:

nội dung hàm số, năng lực mong

đợi, hướng dẫn thực hiện

 Tiếp cận hàm số qua các tình huống

giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực

ứng dụng Nhấn mạnh sự mô hình

 Tiếp cận theo chuẩn (kiến thức, kỹ năng)

 Hình thức trình bày nội dung chia làm

2 phần: nội dung kiến thức và kỹ năng

 Không chỉ rõ cách tiếp cận hàm số

 Các tình huống giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực ứng dụng không được chú

ý và đề cập trong chương trình

28

hóa các tình huống bởi các hàm số

toán học

 Khuyến khích việc sử dụng các công

cụ công nghệ như máy tính cầm tay,

phần mềm hình học động, phần

mềm tính toán đại số, bảng tính

dạng excel… để giải quyết vấn đề

liên quan đến hàm số, biểu diễn hàm

số

 Cả ba kiểu biểu diễn một hàm số là

biểu diễn bằng biểu thức đại số, biểu

diễn bằng đồ thị, và biểu diễn bằng

bảng giá trị đều được chú trọng đề

cập đến Ngoài ra năng lực về mặt

ngôn ngữ để biểu diễn các vấn đề

liên quan đến hàm số cũng được nói

đến

 Đề cập đến năng lực chuyển đổi qua

lại giữa ba kiểu biểu diễn trên đối

với một hàm số

 Nhấn mạnh đến khía cạnh xem hàm

số như là công cụ để giải quyết các

bài toán, vấn đề về bất phương trình,

 Nội dung các phần về hàm số

yax b , hàm đa thức bậc hai của hai chương trình có nhiều điểm giống nhau (biến thiên, cực trị, đồ thị)

 Các tình huống giải quyết vấn đề, đặc biệt vấn đề thực tế mà hàm số đóng vai trò như là công cụ không được đề cập trong chương trình

Bảng 2.4: Nhận xét chương trình Toán của Pháp, Hoa Kỳ và Việt Nam

29

Chương 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3.1 Mục đích

Mục tiêu của nghiên cứu này là phân tích so sánh chủ đề hàm số được trình bày trong SGK cấp độ lớp 10 ở ba nước là Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ Cụ thể hơn, chúng tôi hướng đến:

 Phân tích so sánh theo chiều ngang các đặc trưng của mỗi SGK liên quan đến chủ đề hàm số: đặc trưng hình thức, số lượng bài học, cấu trúc bài học, số lượng bài tập…

 Phân tích so sánh theo chiều dọc các đặc trưng của mỗi SGK liên quan đến chủ

đề hàm số: cách tiếp cận khái niệm hàm số, các kiểu biểu đạt được sử dụng liên quan đến hàm số, mức độ yêu cầu về nhận thức của các bài tập, việc sử dụng các ví dụ minh họa, các kiểu câu trả lời

Từ các mục tiêu trên, chúng tôi cụ thể hóa thành các câu hỏi nghiên cứu sau đây:

 Câu hỏi 1: Đặc trưng về hình thức, số lượng bài học, kiểu cấu trúc mỗi bài học

và số lượng bài tập được trình bày trong mỗi SGK như thế nào?

 Câu hỏi 2: Nội dung về chủ đề hàm số được giới thiệu và phát triển trong mỗi

SGK như thế nào? Cụ thể hơn:

o Khái niệm hàm số được tiếp cận như thế nào?

o Các kiểu biểu đạt được sử dụng và ngữ cảnh liên quan đến các bài toán

về hàm số?

o Mức độ yêu cầu về nhận thức được đòi hỏi trong các bài tập như thế nào?

o Cách thức các SGK sử dụng các ví dụ minh họa và các kiểu câu trả lời được yêu cầu trong các SGK này như thế nào?

30

3.2 Phương pháp so sánh sách giáo khoa

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu trên, chúng tôi đã chọn phương pháp phân tích SGK của Charalambous và công sự (Charalambous et al 2010, [11]) Phương pháp này gồm hai khía cạnh chủ yếu: phân tích theo chiều ngang và phân tích theo chiều dọc

3.2.1 Phân tích theo chiều ngang

Phân tích theo chiều ngang cung cấp bức tranh tổng thể và các thông tin nền tảng về chủ đề hàm số trong mỗi SGK Phân tích theo chiều ngang là phân tích hệ thống giáo dục, số lượng bài học trong SGK, cấu trúc bài học và số lượng bài tập Phân tích theo chiều ngang xem SGK như là một đối tượng tổng thể trong hệ thống giáo dục (Herbst, 1995, [23]) Việc phân tích sẽ tập trung vào các đặc trưng tổng quát của SGK như hình thức vật lý bên ngoài, việc sắp xếp các nội dung trong sách Cách phân tích này có một số hạn chế chẳng hạn như bỏ qua các khác nhau cơ bản về

cơ hội học tập đưa ra cho học sinh trong các nước khác nhau, bởi vì các SGK khác nhau không xử lý các chủ đề theo một cách giống nhau với cùng một mức độ nhấn mạnh

Phân tích đặc trưng hình thức của SGK bao gồm các khía cạnh như cỡ sách, hình thức trình bày và màu sắc, số lượng bài học về chủ đề hàm số, tỷ lệ số trang dành cho chủ đề này Cấu trúc bài học bao gồm các yếu tố như các hoạt động chuẩn bị bài học mới, hoạt động tiếp cận bài học, bài học mới, bài tập luyện tập, bài tập thực hành, bài tập khám phá xa hơn…

3.2.2 Phân tích theo chiều dọc

Phân tích theo chiều dọc cung cấp những hiểu biết sâu sắc về nội dung bài học, ý tưởng xây dựng bài học của tác giả, cách xây dựng và phát triển các chủ đề, cách sử dụng các ví dụ trong bài, các mức độ yêu cầu nhận thức của bài tập, kiểu đáp ứng mong đợi từ học sinh

Phân tích theo chiều dọc xem xét cách các SGK xử lý một khái niệm hay chủ đề riêng lẻ, trên quan niệm SGK như là một môi trường cho việc kiến tạo tri thức (Li,

2000, [34]; Mesa, 2010, [37]; Herbst, 1995, [22]) Phân tích theo chiều dọc có hạn chế

là bỏ qua các kết nối giữa các chủ đề trong cùng một SGK

Phương pháp phân tích của Charalambous và cộng sự có thể tóm tắt như bảng dưới đây:

Bảng 3.1: Khung nội dung phân tích theo chiều ngang, chiều dọc

Vận dụng khung phân tích SGK này vào chủ đề hàm số, chúng tôi cụ thể hóa các nội dung trên nhƣ sau:

Phân tích theo chiều ngang Phân tích theo chiều dọc

- Hệ thống giáo dục Việt Nam và

Bảng 3.2: Nội dung phân tích theo chiều dọc, phân tích theo chiều ngang

Liên quan đến các mức độ yêu cầu (đòi hỏi) về nhận thức của mỗi nhiệm vụ toán, chúng tôi sử dụng cách phân loại của Stein & Smith (1998, [46]) đã đƣợc nhiều nhà nghiên cứu quan tâm vận dụng nhƣ Jones & Taro Fujita (2013, [28]) Stein và Smith phân chia các mức độ yêu cầu nhận thức từ thấp đến cao đối với các nhiệm vụ toán nhƣ sau:

32

 Ghi nhớ, tái hiện (Memorization)

- Nhiệm vụ toán liên quan đến việc tái hiện lại các sự kiện, quy tắc, công thức, định nghĩa

- Nhiệm vụ đó không thể được giải quyết bằng cách sử dụng các quy trình vì không tồn tại một quy trình cho phép giải nó hoặc thời gian cho nhiệm vụ đó không đủ để sử dụng một quy trình

- Không có kết nối với các khái niệm hoặc ý nghĩa đóng vai trò làm cơ sở cho các quy tắc, công thức hoặc định nghĩa được học hoặc được tái tạo

 Quy trình không có kết nối (Procedures without Connections)

- Nhiệm vụ toán có tính thuật toán Việc sử dụng quy trình đó được yêu cầu một cách rõ ràng

- Nhiệm vụ đó đòi hỏi các yêu cầu nhận thức hạn chế để hoàn thành nó

- Không có kết nối với các khái niệm hoặc ý nghĩa làm nền tảng cho quy trình được sử dụng

- Nhiệm vụ toán đó tập trung vào việc tìm ra câu trả lời đúng thay vì vào việc phát triển việc hiểu các ý tưởng toán học

- Không đòi hỏi các giải thích hoặc những giải thích đòi hỏi chỉ tập trung vào việc mô tả quy trình đã được sử dụng

 Quy trình có kết nối (Procedures with Connections)

- Tập trung chú ý của học sinh vào việc sử dụng các quy trình cho mục đích phát triển các mức độ hiểu sâu hơn về các khái niệm và ý tưởng toán học

- Gợi ý một cách rõ ràng hoặc ngầm ẩn các hướng để tiếp tục đi theo, thường

đó là những quy trình tổng quát, rộng và có kết nối chặt chẽ với các khái niệm và ý tưởng làm nền tảng

- Nhiệm vụ toán đó thường được biểu đạt theo nhiều cách, chẳng hạn như các

33

sơ đồ trực quan, các đồ vật thao tác được, các biểu tượng, các tình huống có vấn đề Việc kết nối giữa các kiểu biểu diễn khác nhau đó sẽ hỗ trợ phát triển ý nghĩa toán học

- Đòi hỏi một cấp độ nào đó về nỗ lực nhận thức Học sinh cần phải tham gia vào các ý tưởng, khái niệm làm nền tảng cho các quy trình để hoàn thành nhiệm vụ đó một cách thành công và phát triển được việc hiểu các ý tưởng toán học

 Khảo sát toán (Doing Mathematics)

- Nhiệm vụ toán đòi hỏi tư duy phức hợp và không có tính thuật toán Một phương pháp hoặc hướng giải quyết có thể dự đoán được là không được gợi

ý một cách rõ ràng bởi nhiệm vụ đó, hoặc qua các ví dụ đã được giải

- Đòi hỏi học sinh khám phá và hiểu bản chất các khái niệm, quá trình toán học và mối liên hệ giữa chúng

- Đòi hỏi học sinh tìm đến (truy cập đến) các kiến thức và trải nghiệm liên quan và sử dụng chúng một cách thích hợp trong quá trình giải quyết nhiệm

Bảng 3.3: Các đặc trưng của nhiệm vụ toán ở các mức độ yêu cầu nhận thức khác nhau

theo Stein & Smith (1998)

Trong bốn cấp độ trên, hai cấp độ đầu tiên (Ghi nhớ, Quy trình không có kết nối)

có mức độ yêu cầu nhận thức thấp, trong khi đó hai cấp độ cuối cùng (Quy trình có kết nối, Khảo sát toán) có mức độ yêu cầu nhận thức cao Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng các ký hiệu như sau để chỉ các mức độ nhận thức ở trên:

34

 M: Ghi nhớ, tái hiện

 P: Quy trình không có kết nối

(Kang, Jung, & Lee, 2008, p 79)

2 Tìm tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai M

(Hirsch, Fey, Hart, Schoen, & Watkins, 2007, p 513) PC

5 Hiển thị bên dưới là kích thước của một hộp quà Có thể đưa một câu viết dài 10

cm vào hộp quà như hình vẽ được không? Giải thích vì sao được, vì sao không?

35

(Hirsch, Schoen, Fey, Watkins, & Hart, 2007, p 521) DM

Bảng 3.4: Ví dụ về phân loại nhiệm vụ toán theo các mức độ nhận thức

Ở phần trên, chúng tôi đã trình bày khung tham chiếu về mặt phương pháp luận

để phân tích so sánh các SGK, đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm sử dụng gần đây Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ bổ sung và vận dụng khung nội dung trên để tiến hành phân tích so sánh chủ đề hàm số trong SGK đầu cấp THPT (lớp 10) của ba nước là Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ Chúng tôi chọn chủ đề hàm số vì hàm số có vai trò

và vị trí rất quan trọng và xuyên suốt trong chương trình toán ở bậc phổ thông Chúng tôi chọn SGK của ba quốc gia trên vì hệ thống dạy học của mỗi quốc gia này đều có những đặc trưng giống nhau và khác nhau cơ bản Nghiên cứu của chúng tôi sẽ làm sáng tỏ những nét tương đồng và khác biệt trong nội dung chủ đề hàm số ở mỗi quốc gia

3.3 Dữ liệu

Chúng tôi sử dụng ba cuốn SGK Toán đầu cấp THPT hiện được sử dụng rộng rãi trong ba nước là: Đại số 10 cơ bản (Việt Nam), Math'x (Pháp) và Larson Algebra I (Hoa Kỳ) Ngoài ra, chúng tôi sử dụng thêm tài liệu về chương trình toán THPT ở ba nước để phân tích rõ hơn vị trí của chủ đề hàm số trong chương trình môn Toán

36

Chương 4 KẾT QUẢ

4.1 Kết quả phân tích theo chiều ngang

4.1.1 Sơ lược về hệ thống giáo dục ba nước Việt Nam, Pháp và Hoa Kỳ

Việt Nam có hệ thống giáo dục tập trung, bao gồm một chương trình giảng dạy thống nhất ở cấp độ quốc gia Bộ Giáo dục và Đào tạo phát triển, cung cấp tài liệu hướng dẫn thực hiện chương trình Bộ giáo dục công bố SGKvà có thẩm quyền kiểm soát toàn bộ quá trình xuất bản, từ lập kế hoạch để phát triển và nội dung trong tất cả SGK giống nhau Chương trình và thời gian giảng dạy phải tuân theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Tính đến năm 2010, Hoa kỳ không có chương trình giảng dạy quốc gia, chương trình học được xác định theo mỗi tiểu bang Thay vào đó, họ đã cung cấp các hướng dẫn chương trình giảng dạy hay các tiêu chuẩn đánh giá Hiện nay, chẳng hạn đối với môn Toán, họ ban hành các Chuẩn về những nội dung cốt lõi theo từng tiểu bang (Common Core State Standards-Mathematics, CCSS-M) để phản ánh ý tưởng cho các tiêu chuẩn chung của tất cả học sinh để thiết lập sự đồng bộ về kiến thức và kỹ năng của học sinh cần phát triển

Ở Pháp, Bộ giáo dục quốc gia ban hành chương trình khung cho từng môn học trên phạm vi toàn quốc Từ đó, hằng năm Bộ giáo dục có cập nhật hoặc biên soạn thêm các tài liệu hướng dẫn thực hiện chương trình, nhằm cụ thể hóa các nội dung được trình bày trong chương trình2 Từ chương trình chung đó, có nhiều bộ SGK được biên soạn

để các nhà quản lý giáo dục và giáo viên lựa chọn Bộ giáo dục không đứng ra tổ chức biên soạn một bộ SGK nào, mà phần biên soạn SGK thường do các tổ chức nghề nghiệp, nhóm chuyên gia giáo dục và giáo viên phổ thông thực hiện Bộ giáo dục chỉ đóng vai trò thẩm định các bộ SGK đó

2 Có thể tham khảo chương trình các môn học phổ thông ở Pháp tại địa chỉ : www.eduscol.education.fr

37

Giáo viên ở Pháp có nhiều quyền tự do hơn trong việc quyết định tiến trình giảng dạy các nội dung trong SGK, miễn sao kết thúc nội dung theo đúng quy định về thời gian năm học Giáo viên không bị ràng buộc một cách cứng nhắc bởi phân phối chương trình chi tiết như Việt Nam Ở Pháp, chương trình phổ thông được công bố trên trang Web của Bộ giáo dục quốc gia, các vùng giáo dục và nhiều tổ chức quốc gia khác Bộ giáo dục không quy định đối tượng được viết sách, tác giả SGK trung học thường là các chuyên gia sư phạm, nhà nghiên cứu giáo dục, giáo viên trung học cao cấp

4.1.2 Đặc trưng hình thức

Để có sự so sánh tổng quát về đặc trưng hình thức của SGK ở Pháp, Hoa Kỳ và Việt Nam, luận văn này đưa ra phần hàm số trong SGK 10 cơ bản Việt Nam, SGK Math'x của Pháp và SGK Larson Algebra I của Hoa Kỳ

Bảng 4.1: Bìa SGK Math'x của Pháp và Larson Algebra I của Hoa Kỳ