Tài liệu ôn toán - Chuyên đề đại số tổ hợp

Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - chuyên đề đại số tổ hợp'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Trang 1

CHUYÊN ðỀ: ðẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn

CHUYÊN ðỀ ðẠI SỐ TỔ HỢP

I/ LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1) Quy tắc cộng:

Có n1 cách chọn ñối tượng A1

n2 cách chọn ñối tượng A2

A1 ∩ A2 = ∅

⇒ Có n1 + n2 cách chọn một trong các ñối tượng A1, A2

2) Quy tắc nhân:

Có n1 cách chọn ñối tượng A1

Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn ñối tượng A2

⇒ Có n1.n2 cách chọn dãy ñối tượng A1, A2

3) Hoán vị:

− Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử

− Số hoán vị: Pn = n!

4) Chỉnh hợp:

− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k ≤ n) và sắp thứ tự của chúng gọi

là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

− Số các chỉnh hợp: k

n

n!

A (n k)!

=

−

5) Tổ hợp:

− Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 ≤ k ≤ n) gọi là một tổ hợp chập k của

n phần tử

− Số các tổ hợp: k

n

n!

C k!(n k)!

=

−

− Hai tính chất k n k

Ck 1n 1−− +Ckn 1− =Ckn

6) Nhị thức Newton

n

k 0

C a C a b C b

−

=

−

∑

T+ = C a − b

(1 x) + = C + xC + x C + + x C

Trang 2

II / MỘT SỐ VÍ DỤ

1 Bài toán ñếm

1.1 ðếm các số tự nhiênñược thành lập

Ví dụ 1

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho

a) Các chứ số ñều khác nhau

b) Chữ số ñầu tiên là 3

c)Các chữ số khác nhau và không tận cùng bằng chữ số 4

Giải

7

Chữ số ñàu tiên là 3 ⇒ a có 1 cách chọn

b, c, d, e ñều có 7 cách chọn

⇒ Có 1.7.7.7.7 = 2401 số

Chữ số cuối cùng khác 4 ⇒ e có 6 cách chọn (trừ số 4)

a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

d có 3 cách chọn

⇒ Có 6.6.5.4.3 = 2160 số

Ví dụ 2.(ðH An ninh 97)

Từ bảy chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 thành lập ñược bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Giải

Xét hai trường hợp

+ Trường hợp 1: Chọn e = 0 ⇒ e có 1 cách chọn

Khi ñó a có 6 cách chọn

⇒ Có 6.5.4.3 = 360 số

+ Trường hợp 2: Chọn e ∈ { 2, 4, 6 } ⇒ e có 3 cách chọn

Khi ñó a có 5 cách chọn trừ số 0 và e

Trang 3

⇒ Có 3.5.5.4.3 = 900 số

Vậy có 360 + 900 = 1260 số

Ví dụ 3

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lập ñược bao nhiêu số có 4 chữ số sao cho số tạo thành gồm các chữ số khác nhau và nhất thiết có chữ số 5

Giải

Cách 1:

Với mỗi số vừa thành lập có 4 vị trí ñể xen số 5 tạo thành số có 4 chữ số khác nhau và

có mặt chữ số 5

⇒ Có 120.4 = 480 số

Cách 2:

− Mỗi dạng có 120 số ⇒ có 480 số

Ví dụ 4:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 2008 chữ số sao cho tổng các chữ số bằng 3

Giải

Xét các trường hợp

+ Trườnghợp 1: Số tạo thành gồm 1 chữ số 3 và 2007 chữ số 0

⇒ Chỉ có 1 số 3000…000 (2007 chữ số 0)

+ Trường hợp 2: Số tạo thành gồm 1 chữ số 1, 1 chữ số 2 và 2006 chữ số 0

Chọn chữ số ñầu tiên có 2 cách chọn số 1 hoặc 2

Chữ số còn lại có 2007 vị trí ñể ñặt, còn các vị trí khác ñặt số 0

⇒ Có 2.2007 = 4014 số

+ Trường hợp 3: Số tạo thành gồm 3 chữ số 1 và 2005 chữ số 0

Chọn chữ số ñầu tiên là 1

Vậy có 1 + 4014 + 2013021 = 2017036 số

Ví dụ 5(ðHQG TPHCM 2001)

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bảy chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt ñúng hai lần, chữ

số ba có mặt ñúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần

Giải

+ Coi một dãy gồm 7 chữ số tương ứng với một số gồm 7 chữ số (Kể cả bắt ñầu bằng 0) Khi ñó ta thành lập số bằng cách xếp các chữ số vào 7 vị trí

Trang 4

7

C C 35 A = 11 760 cách 28

+ Cần phải loại các trường hợp chữ số 0 ñứng ñầu Lập luận tương tự cho 6 vị trí ⇒ có 2

6

C C 34 A = 420 số 17

Vậy có 11 760 − 420 = 11 340 số

1.2 ðếm số phương án

Ví dụ 6: (ðH Thái nguyên 99)

Một lớp học có 25 nam và 15 nữ Cần chọn một nhóm gồm ba học sinh Hỏi có bao nhiêu cách:

a) Chọn 3 học sinh bất kì

b) Chọn 3 học sinh gồm 2 nam và một nữ

c) Chọn 3 học sinh trong ñó có ít nhất 1 nam

Giải

⇒ Có 25.105 = 2625 cách chọn

⇒ Có 9880 − 455 = 9425 cách chọn có ít nhất 1 nam

Ví dụ 7: (ðHSP Quy Nhơn 97)

Cho hai ñường thẳng song song a và b Trên a lấy 17 ñiểm phân biệt, trên b lấy 20 ñiểm phân biệt Tính số tam giác có các ñỉnh là 3 trong số 37 ñiểm ñã chọn ở trên

Giải

Cách 1

Mỗi tam giác ñược hình thành bởi ba ñiểm không thẳng hàng

Số bộ ba ñiểm từ 37 ñiểm trên là: 3

37

C

Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên a là: 3

17

C

Số bộ ba ñiểm thẳng hàng trên b là: 3

20

C

Vậy số tam giác tạo thành là: 3

37

17

20

Cách 2:

Trang 5

Mỗi tam giác ñược tạo thành bởi một ñiểm trên ñường thẳng này và hai ñiểm trên

ñường thẳng kia Xét 2 trường hợp

20

Ví dụ 8: (ðH Cảnh sát nhân dân)

Cho tam giác ABC Xét bộ gồm 4 ñường thẳng song song với AB, 5 ñường thẳng song song với BC và 6 ñường thẳng song song với CA trong ñó không có ba ñường thẳng nào ñồng quy Hỏi các ñường thẳng trên tạo ñược bao nhiêu tam giác và bao nhiêu tứ giác (không kể hình bình hành)

Giải

Số tam giác là 4.5.6 = 120

thuộc nhóm này và một ñường thẳng thuộc mỗi nhóm còn lại ⇒ Số hình thang là

2 Giải phương trình, bất phương trình và hệ ñại số tổ hợp

Ví dụ 1: (CðSP TPHCM99)

Giải

k 12

∈





Phương trình tương ñương với

k!(14 k)! + (k 2)!(12 k)! = (k 1)!(13 k)!

(14 k)(13 k) + (k 2)(k 1) = (k 1)(13 k)

⇔ (k + 2)(k + 1) + (14 − k)(13 − k) = (k + 2)(14 − k)

− 12k + 32 = 0

⇔ k = 4, k = 8 (Thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm: k = 4, k = 8

Ví dụ 2: (ðH Hàng hải 99)

Trang 6

Giải bất phương trình:

n 3

C n 1 1

n 1

−

− >

+

Giải

ðK: 4≤ n+1 ⇔ n ≥ 3, n nguyên dương

n 3

C n 1 1

n 1

−

− >

+

n 1 !

−

− ⇔n2 + −n 42< ⇔0 (n−6 n) ( +7)< ⇔ −7 < n < 6 0

Kết hợp với ðk n≥ 3 ñược tập nghiệm của bất phương trình là: {3, 4, 5}

Ví dụ 3: (ðHBK HN2001)

Giải hệ phương trình:





−



=

Giải

u

2.u 5.v 90

5 2.v 80





u 20

v 10







=

Thay vào ta có

y

Ax 20 y

Cx 10







=

x!

(x y)!

x!

y!(x y)!

20 10



 −









=

= ⇔

y! 2 x!

(x y)! 20

=







 −

y 2 x!

(x 2)! 20

=







 −

⇔ x(x 1) 20

y 2

− =



 =

x 5, x 4

y 2

= = −



 =



y 2

=



 =



3) Xác ñịnh một số hạng của khai triển Newuton

Ví dụ 1: (ðH Kinh tế quốc dân, 1997)

Trang 7

CHUYÊN đỀ: đẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của

12 1 x x

 + 

Giải

Số hạng tổng quát

k

1

x

 

Số hạng không chứa x tương ứng với 12 − 2k = 0 ⇔ k = 6

Vắ dụ 2:(đH và Cđ, khối A, 2003)

n

x 3 x

biết rằng Cn 1 Cn 7 n 3( )

n 4+ −+ n 3+ = +

Giải

Ta có Cn 1 Cn 7 n 3( ) (n 4)! (n 3)! 7(n 3)

⇔ (n 4)(n 3)(n 2) (n 3)(n 2)(n 1) 42(n 3)+ + + − + + + = + ⇔

(n 4)(n 2) (n 2)(n 1)+ + − + + =42

⇔ 3n = 36 ⇔ n = 12

Số hạng tổng quát

1

Số hạng chứa x8 tương ứng với 5k 36 3k 8

2 − + = ⇔ 11k = 88 ⇔ k = 8

đáp số:Hệ số của số hạng chứa x8 phải tìm là: 8

12=

Trang 8

Ví dụ 3:

Khai triển ña thức:

P(x) =( )12

P x = a + a x + a x a x + + Tìm max(a , a , , a 1 2 12)

Giải

Xét hai hệ số liên tiếp a Ck .2k

12

k = và a Ck 1 k 1.2

12

+ Giả sử ak < ak + 1 ⇔

+

k!.(12 k)! < (k 1)!.(11 k)!.2

23

3

< <

Vậy a0 < a1 < … < a8

Tương tự như trên ⇒ a8 > a9 > … > a12

Vậy hệ số lớn nhất là: a8 C8 28 126720

12

4) Tính tổng hoặc chứng minh ñẳng thức

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng ∀ n, k ∈ N* và n ≥ k ≥ 1 thì: k k 1

kC = nC −−

Giải

Thật vậy ∀ n, k ∈ N* và n ≥ k ≥ 1 ta có:

k

n

kC k

k!(n k)! (k 1)!(n k)!

−

= n (n 1)!

(k 1)!(n k)!

−

1 1

k n

nC −− (ñpcm)

Lưu ý :(ðây là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các bài tập chứng minh ñẳng thức tổ hợp khi chưa có công cụ ñạo hàm và tích phân)

Ví dụ 2 : (ðH Quốc gia Hà Nội, khối D, 1997)

Tính tổng 6 7 8 9 10 11

S = C + C + C + C + C + C

Giải

Do C116 =C ,C115 117 =C , 114 nên

S=C +C +C +C +C +C →2S=C +C +C + C +C (1)

Áp dụng khai triển Niu tơn ( )n n k k

n

k 0

=

+ =∑ với x = 1, n = 11 ñược

k 0

=

Từ (1), (2) suy ra 2S=211→ =S 210 =1024

Trang 9

CHUYÊN đỀ: đẠI SỐ TỔ HỢP - Phương Xuân Trịnh http://ebook.here.vn

đáp số : 10

S = 2 = 1024

Vắ dụ 3 : (đH Bách Khoa Hà Nội, 1999)

Cho n là số tự nhiên lớn hơn 2, tắnh tổng :

S C= 1n −2.C2n +3.C3n −4.C4n + + − ( 1)n 1− n.Cnn

Giải

Cách 1: (Sử dụng kết quả vắ dụ 1)

Áp dụng kết quả vắ dụ 1 ta có:

0

n n

n

1

n 1

=

= −

=

−

Cộng theo vế các ựẳng thức trên ta ựược

n 1

n(C C C C , , , ( 1) C )

n(1 1) 0

−

Cách 2: (Sử dụng ựạo hàm)

Xét khai triển

(1 x)+ n =C0n +xC1n +x C2 2n + + x Cn nn

Chọn x = − 1 ⇒ n.(1 1)− n 1− =C1n −2C2n + + − ( 1) nCn nn

Vậy : S = 0

Vắ dụ 4: (đHDL Duy Tân, khối A, 2001)

n 1

1

Giải

Cách 1( Sử dụng kết quả vắ dụ 1)

Âp dụng kết quả vắ dụ 1 ta có:

kC = nC −− ⇔ k 1 k

(k 1)C + ++ = (n 1)C + ⇔ k k 1

+ +

=

Thay k = 0, 1, 2 Ầ , n ta có

Trang 10

+

+ +

= +

=

n 1

n 1 1

n 1 1 (2 1)

n 1

1

+

(2 1)

n 1

+

=

Cách 2:(Sử dụng tích phân)

Xét khai triển

(1 x)+ n =C0n +xC1n +x C2 2n +x C3 3n + + x Cn nn

Ta có:

1

0

n 0

(1 x) dx

∫

n 1

+ −

x

n 1

1

+

n 1

1

=

+

(2 1)

n 1

+

=

Ví dụ 5: Chứng minh ñẳng thức sau:

3 2 7

−

=

Giải

Xét khai triển

(2+x)6 =2 C6 06 +2 xC5 16 +2 x C4 2 62 +2 x C3 3 36 +2 x C2 4 46 +2x C5 56+ x C6 66

Trang 11

7

1 1

0 7

1

0

7

Vậy

3 2 7

−

=

Trang 12

BÀI TÂP T Ự L ƯY ỆN :

8 ghế nếu:

ghế trống?

a) vào 5 ghế xếp thành một dãy

b) vào 5 ghế chung quanh một bàn tròn, nếu không có sự phân biệt giữa các ghế này

cách ñổi chỗ ñứng lẫn nhau Cho rằng mỗi lần ñổi chỗ và chụp ảnh mất 1 phút, hỏi cần bao lâu ñể có thể chụp tất cả các ảnh khác nhau?

chữ số này bằng 8?

ngồi nếu:

a) họ ngồi chỗ nào cũng ñược

b) nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau

c) chỉ có nữ sinh ngồi kề nhau

bằng 12?

Một phòng khách có 3 chỗ có thể ñặt tranh, ảnh hoặc tượng Chủ nhà muốn trang trí bằng cách xếp ñặt 4 bức tranh khác nhau vào một chỗ, 3 tấm ảnh khác nhau vào chỗ thứ hai và 2 pho tượng khác nhau vào chỗ còn lại Hỏi có bao nhiêu cách trang trí phòng khách?

ngồi nếu:

a) Có 3 người trong bọn họ muốn ngồi kề nhau?

b) Có 2 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau?

c) Có 3 người trong bọn họ không muốn ngồi kề nhau ñôi một?

khách gồm 6 nam và 6 nữ Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:

ñược lấy từ các số ñã cho, sao cho:

a) Số ñó chẵn

b) Số ñó chia hết cho 5

c) Luôn có mặt chữ số 1 và 3

Trang 13

nhau ñược lấy từ các chữ số ñã cho sao cho các số lẻ luôn ñứng liền nhau

a) Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 9 chữ số ñược lấy từ các số ñã cho sao cho

số 3 có mặt 3 lần, các số khác có mặt ñúng 1 lần

b) Có thể lập ñược bao nhiêu số có 5 chữ số ñược lấy từ các số ñã cho sao cho

số 3 có mặt 1 lần, các số khác có mặt một vài lần

từ các số ñã cho Sao cho:

a) Luôn có mặt chữ số 5

b) Số ñó chia hết cho 3

c) Không bắt ñầu từ chữ số 3

các số ñã cho sao cho:

a) Số ñầu và số cuối giống nhau, các số giữa khác nhau

b) 2 chữ số ñầu và 2 chữ số cuối giống nhau

a) Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 10 chữ số sao cho số 0 có mặt 2 lần, số 3

có mặt 2 lần Các số khác có mặt một lần

b) Có thể lập ñược bao nhiêu số gồm 6 chữ số sao cho số 2 có mặt 2 lần, các số khác có mặt một vài lần

số chẵn không ñứng liền nhau

một giám ñốc,một phó giám ñốc và một thủ qũy Có 10 người hội ñủ ñiều kiện ñể ñược chọn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban ñiều hành?

bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? ( Kể cả thủ môn)

b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A ñá quả số 1 và cầu thủ B ñá quả số 4?

trang trí Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Người ñó có 6 pho tượng khác nhau?

b) Người ñó có 4 pho tượng khác nhau?

c) Người ñó có 8 pho tượng khác nhau?

mặt hai lần các số còn lại mỗi số có mặt ñúng một lần?

a) các số này chia hết cho 5?

b) trong các số này phải có mặt ba chữ số 0,1,2 ?

32) Với sáu số 2,3,5,6,7,8, ta muốn thành lập những số gồm bốn chữ số khác nhau

Trang 14

a) Có bao nhiêu số nhỏ hơn 5000 ?

b) Có bao nhiêu số chẵn nhỏ hơn 7000 ?

gồm 8 người Có bao nhiêu cách lập sao cho trong tổ có ñúng 2 nữ

ñồng phẳng Hỏi có thể lập ñược bao nhiêu hình tứ diện với ñỉnh thuộc tập hợp ñã cho

” của thí sinh này)

nhất một câu khác nhau )

một ñề thi

ñể trực thư viện Có bao nhiêu cách chọn nếu:

bao nhiêu hình bình hành ñược tạo thành

hai viên

khác màu?

2 học sinh Có bao nhiêu cách chia?

hãy tính số các giao ñiểm ( không phải là ñỉnh ) của các ñường chéo ấy

học sinh Có bao nhiêu cách chọn nếu nhóm này phải có ít nhất một nữ sinh?

công ty có 12 người hội ñủ ñiều kiện ñể ñược chọn, trong ñó có hai cặp vợ chồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:

Trang 15

số ñường chéo

5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi ñó có thể lập ñược bao nhiêu ñề kiểm tra, mỗi ñề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi

ñề nhất thiết phải có ñủ 3 loại câu hỏi ( khó, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?

3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công ñội thanh niên tình nguyện ñó về giúp ñỡ

3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

2

C + C − +C − =C + ≤ ≤k n

3

C + C − + C − +C − =C + ≤ ≤k n

1

k k k

C +C + =C ++

4

C + C − + C − + C − +C − =C +

1

3.C x+ − 2.A x =x.

x x

A+ +C +− = x+ b) 2 2 3 ( )1 2

C+ A − x = A

5

0.

4

C− −C − − A− < b)

4 1

3 3

1

14 .

x x x

A

P C

+

−

>

1 1 2000.

x x

C +− −C +− ≤

C +C + +C + + +C + − =C ++

m n m n m n m n m n

C C +C C − +C C − + +C C − =C +

1 k k 1 n n 0.

C −C +C − + − C + + − C =

1

n n n

n n n n

C C C C

n

−

 − 

≤  − 

2n n k 2n n k 2n n .

C + C − ≤ C

2.1 3.2 1 n 1 2n .

C + C + +n n− C =n n− −

Trang 16

2

n n .

C + C + + C =C

6 1

12

lgx1

+

17 3 4

3 2

1

.

x x

+

Newton của

7 3

4

1

x x

1 +x + + 1 x + + 1 x + + + 1 x . Ta ñược một ña thức:

( )x 0 1 2 11

P =A +A x+A x + + A x

Tính A7=?

x

( ) 8

2

1 x 1 x .

( ) ( ) (2 ) (3 ) (4 )5

x

P = +x + +x + +x + +x

7

3 2

1

x x

+

2

3

x x

1

n n

> 0 )

1 n 2 n

4

x x

2n 1 2n 1 2n 1 2n n 1 2 1.

nguyên dương, x > 0 )

21

3

+

Trang 17

, , , , n.

n n n n

bằng 4096

n∈N và các hệ số a a0, 1, ,a n thỏa mãn hệ thức: 1

n n

a a

các số: a a0, , ,1 a n.

1 1

−

5

n n

tìm n và x

2n 1 2.2 2n 1 3.2 2n 1 4.2 2n 1 2 1 2 n 2n n1 2005.

C + − C + + C + − C + + + n+ C ++ =

n

+

2 4 2n n 243.

C + C + C + + C =

,

1 !

M

n

+ +

=

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	245,23 KB