Chuyên đề "Một số phương pháp giải hệ phương trình" - GV. Lê Đình Tần

Thế vào phư ơ ng trình thứ hai trong hệ , ta có:... Phân tích mộ t trong hai phư ơ ng trình củ a hệ thành tích các nhân tử.

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ “MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH ”

Hệ phư ơ ng trình là mả ng kiế n thứ c quan trọ ng trong chư ơ ng trình Toán họ c

phổ thông, nó thư ờ ng gặ p trong các kì thi tuyể n sinh vào lớ p 10, tuyể n sinh Đạ i

họ c, Cao đẳ ng, thi họ c sinh giỏ i Mặ c dù họ c sinh đư ợ c cọ xát phầ n này khá nhiề u

song phầ n lớ n các em vẫ n thư ờ ng lúng túng trong quá trình tìm ra cách giả i

Nguyên nhân là vì:

Thứ nhấ t, hệ phư ơ ng trình là mả ng kiế n thứ c phong phú và khó, đòi hỏ ingư ờ i họ c phả i có tư duy sâu sắ c, có sự kế t hợ p nhiề u mả ng kiế n thứ c khác nhau,

có sự nhìn nhậ n trên nhiề u phư ơ ng diệ n

Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phầ n này khá đơ n giả n, các tài liệ u tham

khả o đề cậ p đế n phầ n này khá nhiề u song sự phân loạ i chư a dự a trên cái gố c củ a

bài toán nên khi họ c, họ c sinh chư a có sự liên kế t, đị nh hình và chư a có cái nhìn

tổ ng quát về hệ phư ơ ng trình

Thứ ba, đa số họ c sinh đề u họ c mộ t cách máy móc, chư a có thói quen tổ ng

quát bài toán và tìm ra bài toán xuấ t phát, chư a biế t đư ợ c bài toán trong các đề thi

do đâu mà có nên khi ngư ờ i ra đề chỉ cầ n thay đổ i mộ t chút là đã gây khó khăn cho

các em (dẫ n chứ ng gầ n đây nhấ t là đề thi thử lầ n 2 Trư ờ ng THPT Chuyên –Đạ i

Họ c Vinh năm 2014 )

Chuyên đề này củ a tôi về mặ t hình thứ c là không mớ i Cái mớ i ở đây chính

là sự phân loạ i có tính chấ t xuyên suố t chư ơ ng trình như ng vẫ n bám vào các kĩ

thuậ t quen thuộ c, phù hợ p vớ i tư duy củ a họ c sinh Thêm vào đó, vớ i mỗ i bài toán

đề u có sự phân tích lôgic, có sự tổ ng quát và điề u đặ c biệ t là cho họ c sinh tìm ra cái

gố c củ a bài toán, các bài toán từ đâu mà có, ngư ờ i ta đã tạ o ra chúng bằ ng cách

nào

Thông qua các việ c làm thư ờ ng xuyên này, họ c sinh đã dầ n dầ n hình thành

đư ợ c phư ơ ng pháp, rèn luyệ n đư ợ c kỹ năng, có tư duy sáng tạ o, có năng lự c làm

toán và tạ o ra các bài toán mớ i Họ c sinh thư ờ ng hiể u sâu và hứ ng thú khi họ c phầ n

này

Mặ c dù đã có sự đầ u tư song vì điề u kiệ n thờ i gian còn hạ n chế nên sự phân

loạ i có thể chư a đư ợ c triệ t để và chỉ mang tính chấ t tư ơ ng đố i, rấ t mong đư ợ c các

bạ n bè đồ ng nghiệ p góp ý kiế n chỉ nh sử a để chuyên đề này đư ợ c hoàn thiệ n hơ n

Tôi xin chân thành cả m ơ n!

Trang 2

A.BÀI TOÁN MỞ ĐẦ U

Giả i hệ phư ơ ng trình :

4 4

Dễ dàng suy ra : (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1)

Cách 3 ( phư ơ ng pháp đánh giá kế t hợ p sử dụ ng nhân liên hợ p )

Đk : x 1

x y x y y (x y 1)2 4y (*) Vậ y : y 0Xét 4 x 1 y 0(y 0) x 1 và y=0 thỏ a mãn hệ phư ơ ng trình đã cho nên

hệ nhậ n nghiệ m là 1

0

x y

Trang 3

(1) ( x 1 y4 2 ) ( 4 x 1 y) 0

2 4

Trang 4

g y y y y , nên g(y) đồ ng biế n trên 0, )

Mà g(1) =0 nên y=1 là nghiệ m duy nhấ t củ a g(y) Vớ i y=1 x=2

Vậ y (x;y)=(1;0) hay (x;y) =(2;1)

Qua bài toán mở đầ u,ta thấ y có nhiề u cách giả i khác nhau để giả i mộ t hệ

phư ơ ng trình Tuy nhiên các cách đó đề u dự a trên cơ sở phá bỏ căn rút mộ t biể u

thứ c x theo y đư a về hệ phư ơ ng trình đơ n giả n hơ n mà ta đã biế t cách giả i.Sau

đây, tôi xin trình bày mộ t số phư ơ ng pháp cụ thể để giả i hệ Phư ơ ng trình.

B MỘ T SỐ PHƯ Ơ NG PHÁP GIẢ I HỆ PHƯ Ơ NG TRÌNH.

1 Phư ơ ng pháp thế

* Cơ sở phư ơ ng pháp Ta rút mộ t ẩ n (hay mộ t biể u thứ c) từ mộ t phư ơ ng trình

hoặ c kế t hợ p hai phư ơ ng trình trong hệ và thế vào mộ t phư ơ ng trình còn lạ i.Mụ cđích củ a việ c làm này là giả m số ẩ n Tùy thuộ c vào đặ c điể m củ a bài toán mà ta có

nhữ ng cách biế n đổ i phù hợ p

* Nhậ n dạ ng.

-Phư ơ ng pháp này thư ờ ng hay sử dụ ng khi trong hệ có mộ t phư ơ ng trình là bậ c

nhấ t,bậ c hai đố i vớ i mộ t ẩ n nào đó (có thể coi biế n còn lạ i là tham số )

-Vớ i hai số thự c bấ t kỳ x 0 ;ta luôn có y=tx vớ i cách làm này ta chuyể n về

phư ơ ng trình ẩ n t

- Phư ơ ng trình f(x;y)=f(y;x) luôn có mộ t cặ p nghiệ m x=y do đó có thể phân tíchphư ơ ng trình đã cho về dạ ng (x-y).g(x;y)=0

- Trong hệ phư ơ ng trình biể u thứ c u(x) xuấ t hiệ n ở cả hai phư ơ ng trình thì ta có thể

đặ t u(x)=t để làm đơ n giả n hình thứ c bài toán

Trang 5

Ví dụ 1 Giả i hệ pt:

3

4

x 2 y 1 27 x (x 2) 1 y

Đề thi Chọ n Họ c sinh giỏ i Tĩnh lớ p 10 _GD H à Tĩnh

Giả i hệ pt:

3

4

x 2 y 1 27 x (1) (x 2) 1 y 2 Điề u kiệ n: x 2 (3)

Khi a = 1, ta đư ợ c x = 3 và y = 2 (thỏ a mãn điề u kiệ n (3))

Vậ y hệ phư ơ ng trình đã cho chỉ có 1 nghiệ m (3; 2)

Nhậ n xét Quan sát phư ơ ng trình (2) ta thấ y 4

(x 2) 1 y hay (x-2) 4 =y-1có thể nghỉ ngay đế n việ c đặ t ẩ n phụ chuyể n hệ trên về mộ t hệ đạ i số đã có cách giả i

2 2

Trang 6

Nhậ n xét :Rỏ ràng ta không thể biế n đổ i phư ơ ng trình (2),vấ n đề là ở chổ

biế n đổ i phư ơ ng trình (1) như thế nào ,để ý thấ y các hệ số 2:1=2:1 như vậ y

phư ơ ng trình này có nghiệ m x=y

Lờ i giả i.

Đk: x 0;y 0 Phư ơ ng trình (1) tư ơ ng đư ơ ng vớ i

Nhậ n xét :Phư ơ ng trình 2 là mộ t phư ơ ng trình đố i xứ ng theo x và y tuy chư a thể

khẳ ng đinh có hay không nghiệ m x=y ,tuy nhiên để ý phư ơ ng trình (1) có chứ a biể u thứ c độ c lậ p 2 2

L y

Trang 7

Nhậ n xét : phư ơ ng trình (1) là mộ t phư ơ ng trình bậ c 2 theo y có thể nghỉ ngay đế n

việ c giả i phư ơ ng trình bậ c hai ẩ n y hy vọ ng đư ợ c nghiệ m đẹ p

Nhậ n xét: Hệ phư ơ ng trình trên đúng là cho ta mộ t lờ i giả i đẹ p ,tạ o cả m hứ ng cho

ngư ờ i viế t chuyên đề này cả m thấ y rấ t thiế u sót nế u như không tiế p tụ c tạ o nên

Nhậ n xét : Rỏ ràng muố n hay không thì cũng chỉ có thể biế n đổ i phư ơ ng trình 1

?phân tích về dạ ng tích chăng ? rấ t khó ? để ý thấ y rằ ng phư ơ ng trình 1 cũng chỉ

là phư ơ ng trình bậ c hai theo y vậ y ta còn chờ gì nữ a ???

Trang 8

Thử lạ i x =1 thõa mãn (3) vớ i x 1 y 0 vậ y hệ đã cho có nghiệ m : (1;0)

Nhậ n xét Lợ i thế củ a phư ơ ng trình (3) là nhìn rỏ ngay bấ t đẳ ng thứ c cauchy

Thư ờ ng thì khi gặ p mộ t phư ơ ng trình cuố i chứ a căn sau khi thế ta hay vậ n dụ ng

Thi thử lầ n 2 khố i A &A1 năm 2014 THPT Chuyên ĐH Vinh

Nhậ n xét : Để ý phư ơ ng trình đầ u là mộ t phư ơ ng trình bậ c 2 theo x ,bậ c hai theo

y 2 ,và cũng là bậ c hai theo biế n ( x+y ),như vậ y bạ n đọ c có thể giả i theo ba cách đó

Nhậ n xét: Dĩ nhiên ta có thể biế n đổ i phư ơ ng trình (1) như ng nế u xét về tính công

bằ ng củ a nó thì phư ơ ng trình (2) là mộ t phư ơ ng trình bậ c 2 theo y tuy có hơ i phứ c

tạ p như ng không phả i là không thể

Trang 9

Nhậ n xét :

Cả hai phư ơ ng trình củ a hệ đề u có thể coi là phư ơ ng trình bậ c hai theo x hoặ c

y,tuy nhiên nó không đư ợ c thuậ n lợ i như các ví dụ trên Để ý mộ t tý ta thấ y yế u tố

còn thiế u trong phư ơ ng trình (1) là tích xy ,và phư ơ ng trình (2) nế u rút 2

Nhậ n xét :Thông thư ờ ng ta vẩ n hay thế x hay y hoặ c mộ t biể u thứ c độ c lậ p

nào đó ,và đôi khi ta cũng có thể thế mộ t hằ ng số nhấ t là đố i vớ i hệ có đủ bậ c.

Trang 10

4

2 4

x

(x;y)=( 2; 0)TH2: x=-y y=-x thay vào hệ ta đư ợ c

3 2

Hệ có nghiệ m (x;y) = (1;-1); (-1;1)

TH3: x=-5y thay vào hệ ta có nghiệ m (x;y) =( 5 ; 1);( 5; 1 )

Vậ y hệ đã cho có 6 nghiệ m

Tóm lạ i Phư ơ ng pháp “ thế ” tuy là không có mộ t đư ờ ng lố i giả i tổ ng quát như

mộ t số phư ơ ng pháp khác,tuy nhiên để tạ o cho bạ n đọ c mộ t lố i mòn và cũng cố

lờ i giả i củ a các hệ trên ta xét hai ví dụ khó sau đây.

Nhậ n xét: phư ơ ng trình (2) có vế trái là bậ c 5 Vế phả i gồ m bậ c 1 và trong ngoặ c

cao nhấ t bậ c 4 như ng không phả i hạ ng tử nào cũng có bậ c 4 Vậ y ta tiế n hành thế

hằ ng số bằ ng biể u thứ c từ (1) xuố ng dư ớ i để tạ o nên sự thuầ n nhấ t

Lờ i giả i.

4 (x y ) Vì sao không thế 2 2

4 2(x y ) Đơ n giả n tôi

muố n tấ t cả đề u là bậ c 4 Thay tấ t cả vào (2) ta đư ợ c

Nhậ n xét :Để ý thấ y phư ơ ng trình thứ nhấ t trong hệ có chứ a biế n y độ c lậ p, nên

không cầ n suy nghỉ ta rút y từ phư ơ ng trình này thế vào phư ơ ng trình thứ hai củ a

hệ ,rồ i biế n đổ i theo biể u thứ c trong căn đư ợ c phư ơ ng trình đố i xứ ng f(x+1)=f(-x).

y x x (1) Thế vào phư ơ ng trình thứ hai trong hệ , ta có:

Trang 11

f t t t vớ i t IR Ta có

2 2

x y

2 Phư ơ ng pháp cộ ng đạ i số

* Cơ sở phư ơ ng pháp Kế t hợ p 2 phư ơ ng trình trong hệ bằ ng các phép toán: cộ ng,

trừ , nhân, chia ta thu đư ợ c phư ơ ng trình hệ quả mà việ c giả i phư ơ ng trình này là

khả thi hoặ c có lợ i cho các bư ớ c sau

* Nhậ n dạ ng Phư ơ ng pháp này thư ờ ng dùng cho các hệ đố i xứ ng loạ i II, hệ

23

y y x x x y

Nhậ n xét : đây là mộ t hệ phư ơ ng trình đố i xứ ng loạ i II,đã có cách giả i tổ ng quát

x y

Trang 12

y x y x thế vào mộ t trong hai phư ơ ng

trình củ a hệ ta thu đư ợ c kế t quả

* Chú ý

- Cách giả i trên có thể áp dụ ng cho pt có vế trái đẳ ng cấ p bậ c cao hơ n.

- Cách giả i trên chứ ng tỏ rằ ng hệ phư ơ ng trình này hoàn toàn giả i đư ợ c bằ ng

2 2

1111

3

y y

Trang 13

Trang 14

Thay x 2y vào pt thứ 2 củ a hệ (II) ta đư ợ c

Trích từ đề thi chọ n Họ c sinh giỏ i Quố c Gia năm 2006

Nhậ n xét Các biể u thứ c trong ngoặ c có dạ ng a + b và a – b nên ta chia hai vế pt

thứ nhấ t cho 3x và chia hai vế pt thứ hai cho 7 y tấ t nhiên là trư ớ c khi chia

cầ n kiể m tra điề u kiệ n.

Cách 2 :Cách này tôi vậ n dụ ng “Phứ c hóa ’’mộ t phư ơ ng pháp mớ i

Mộ t cách khác có thể sử dụ ng trong bài này đó là phứ c hóa Nó mớ i xuấ t hiệ n gầ nđây

Trang 15

2 3

4 2 7

a a

b b

Trang 16

Nhậ n xét Qua ví dụ trên ta thấ y: từ mộ t hệ phư ơ ng trình đơ n giả n, bằ ng cách đổ i

biế n số (ở trên là phép thay nghị ch đả o) ta thu đư ợ c mộ t hệ phứ c tạ p Vậ y đố i vớ i

mộ t hệ phứ c tạ p ta sẽ nghĩ đế n phép đặ t ẩ n phụ để hệ trở nên đơ n giả n.

3 Phư ơ ng pháp đặ t ẩ n phụ

* Cơ sở phư ơ ng pháp Không có mộ t lố i mòn nào cả ,tuy nhiên điể m quan trọ ng

nhấ t khi vậ n dụ ng phư ơ ng pháp này là phát hiệ n ẩ n phụ u=f(x;y),v=g(x;y) đã có

ngay trong từ ng phư ơ ng trình hoặ c xuấ t hiệ n sau mộ t vài phép biế n đổ i hằ ng đẳ ng

thứ c cơ bả n,chuyể n vế ,cộ ng,trừ ,nhân ,Chia cho mộ t biể u thứ c khác 0,hay mộ t phép

đồ ng nhấ t …

* Mụ c đích Tạ o ra mộ t hệ phư ơ ng trình mớ i đơ n giả n hơ n hay hệ phư ơ ng trình đã

có phư ơ ng pháp giả i như

Hư ớ ng 1 Biể u diễ n từ ng pt theo tổ ng x y và tích xy

Hư ớ ng 2 Biể u diễ n từ ng pt theo x2 x và y2 y Rõ ràng hư ớ ng này tố t hơ n

Trang 17

41,

Nhậ n xét Bài toán trên đư ợ c hình thành theo cách sau

Xuấ t phát từ hệ phư ơ ng trình đơ n giả n 18

tư ơ ng tự như trên ta lạ i thu đư ợ c các hệ mớ i khác Chẳ ng hạ n

6) Thay a x2 y2,b xy vào hệ (II) ta đư ợ c hệ

Trang 18

(6)

721

y

x

Thi Thử Đạ i họ c lầ n 1 năm 2014 THPT Nguyề n Trung Thiên –Hà Tĩnh

Nhậ n xét : Để ý thấ y phư ơ ng trình thứ nhấ t củ a hệ có chứ a biế n độ c lậ p y ,kiể m tra

vớ i y=0 rồ i đư a hệ về chỉ chứ a

2 1

và x+y

x y

Lờ i giả i.

Nhậ n xét y=0 không thỏ a mãn hệ phư ơ ng trình

Hệ phư ơ ng trình tư ơ ng đư ơ ng vớ i

x

x y y

x

y , hệ trở thành :

4 1 2

u v v u

Giả i hệ ta có : 1

3

u v

Trang 19

Vớ i

1

2 1

y u

Thi Thử Đạ i Họ c lầ n 1 THPT Chu văn an Hà Nộ i năm 2014

Nhậ n xét : Theo thói quen thì phư ơ ng trình thứ nhấ t chứ a ẩ n độ c lậ p là y phư ơ ng

S P

1 1 2

x

y hoặ c 2

1

x y

Hệ phư ơ ng trình có hai nghiệ m: (1; 1); (2; 1)

Trang 20

(đề thi thử đạ i họ c lầ n 2 năm 2014 Trư ờ ng THPT Lý Tự Trọ ng)

Nhậ n xét : Quan sát hai đạ i lư ợ ng x 3 và x lầ n lư ợ t ở hai phư ơ ng trình thứ nhấ t và thứ hai cho ta ngay phư ơ ng pháp giả i

Từ hệ phư ơ ng trình đã cho ta có điề u kiệ n :x 0 khi đó hệ tư ơ ng đư ơ ng

x y x xy

x x y x y

(kỳ thi chọ n họ c sinh giỏ i Tĩnh H à Tĩnh lớ p 12 THPT năm họ c 2011 -2012)

Nhậ n xét : Đạ i lư ợ ng x 3 y củ a phư ơ ng trình thứ nhấ t tạ o độ ng cơ giúp ta biế n đổ i

phư ơ ng trình thứ hai theo hằ ng đẳ ng thứ c

Lờ i Giả i

Hệ trên tư ơ ng đư ơ ng vớ i hệ sau

3

2 3

1(1) 1(2)

Trang 21

x y

Nhậ n xét : các biể u thứ c ở phư ơ ng trình thứ nhấ t giúp ta nghỉ đế n các hằ ng đẳ ng

thứ c quen thuộ c ,thêm bớ t phư ơ ng trình thứ hai cho ta mộ t lờ i giả i gọ n.

Trang 22

2

0 7

y

Nhậ n xét : Quả là mộ t hệ không đơ n giả n, đòi hỏ i ngư ờ i làm phả i có tư duy tố t

không rậ p khuôn,hư ớ ng giả i quyế t là chia hai vế củ a phư ơ ng trình thứ nhấ t cho y

,phư ơ ng trình thứ hai cho y 2 Tạ i sao vậ y ? tấ t nhiên là do tính độ c lậ p củ a nó.

Trang 23

Hệ đã cho tư ơ ng đư ơ ng 2

Nhậ n xét : Cả bố n ví dụ trên ngoài cách giả i bằ ng cách đặ t ẩ n phụ còn có các

cách giả i khác đặ c biệ t là dùng phư ơ ng pháp thế lờ i giả i cũng rấ t gọ n đẹ p ,tuy nhiên trong khuôn khổ bài viế t này tôi chỉ dùng phư ơ ng pháp đặ t ẩ n phụ

Trang 24

Trang 25

* Cơ sở phư ơ ng pháp Phân tích mộ t trong hai phư ơ ng trình củ a hệ thành tích các

nhân tử Đôi khi cầ n tổ hợ p hai phư ơ ng trình thành phư ơ ng trình hệ quả rồ i mớ i

Nhậ n xét Rõ ràng, việ c giả i phư ơ ng trình (2) hay kế t hợ p (1) vớ i (2) không thu

đư ợ c kế t quả khả quan nên chúng ta tậ p trung để giả i (1).

Chú ý Do có thể phân tích đư ợ c thành tích củ a hai nhân tử bậ c nhấ t đố i y (hay x)

nên có thể giả i pt (1) bằ ng cách coi (1) là pt bậ c hai ẩ n y (hoặ c x)

Trang 26

Thi Thử Đạ i họ c THPT Hàn Thuyên lầ n 2 năm 2014 –Bắ c Ninh

Nhậ n xét : Phư ơ ng trình (2) chứ a hai căn độ c lậ p ,không đị nh hư ớ ng đư ợ c vậ y

Trang 27

Kế t quả (*), giả i ra ta đư ợ c : (x;y)=(1;0), (0;2)

Nhậ n xét Rõ ràng, việ c giả i phư ơ ng trình (2) hay kế t hợ p (1) vớ i (2) không thu

đư ợ c kế t quả khả quan nên chúng ta tậ p trung để giả i (1)

Thi Thử Đạ i họ c THPT chuyên Vĩnh phúc lầ n 1 năm 2014 –Vĩnh Phúc

Nhậ n xét :Tuy phư ơ ng trình (2) khá đơ n giả n như ng mấ u chố t vẩ n là phư ơ ng trình

Tiêu đề	Một Số Phương Pháp Giải Hệ Phương Trình
Tác giả	Lê Đình Tần
Trường học	Trường THPT Cao Thắng
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2014
Thành phố	Vinh

Định dạng
Số trang	45
Dung lượng	541,8 KB