Vấn đề 4: Ứng dụng tích phân

Vấn đề 4: Ứng dụng tích phân được biên soạn với các nội dung chính: Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích tròn xoay. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo tài liệu. Hi vọng tài liệu sẽ là nguồn tư liệu bổ ích cho các bạn học sinh trong quá trình học tập.

Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân

Vấn đề 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:

Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức

Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x a, x b,y f(x), y g(x) với

ab là ( ) ( )

b

a

S  f x g x dx

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y3 ,x y2x1

Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) yx22x4, y 4 x b) y2x3x28x1, y6

c) yx22x2, y   x2 x 3 d) y 12x,y e x,x 1

e





e) yln ,x y0 và xe f)

4

g) Parabol y  x2 6x8, tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung

h) 3

3

yx  x và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ 1

2

x 

i) yxsin

2

4

x y x x

k) y lnx ,y 0,x 1,x e

e

l) y (e 1)x, y (e x1)x

Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

2

y x y  x x

Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) 1 2 2 2

2

y x  x và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M (5

2;-1)

c) yx2,y x 2 d) yx2,y 2 x y, 0

e)

2

8

x

x

   f) y5x2,y0,x0,y 3 x

1

yx  luôn cắt đường thẳng 2

ymx tại hai điểm phân biệt Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường trên là nhỏ nhất

Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân

yx trên đoạn  0;1 Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc 0;1 Gọi S1 là diện tích giới hạn bởi các đường x0, 2

ym và 2

yx , S2 là diện tích giới hạn bởi các đường

,

yx ym và x1 CMR với mọi giá trị của m 0;1 ta đều có 1 1 2 2

4S S 3

II Thể tích tròn xoay

Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox

Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x a, x b,y 0,y f(x) với ab

Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là

 2

( )

b

a

V  f x dx

Ví dụ 3: Tính thể tích khối trong xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox

Ví dụ 4: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:

Bài 5: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x

a) yx ln x , y0,x1,xe b) yx sin x , 0, 0,

2

2

     d) x2 y2 8,y2 2x

yx  x y  x x

Bài 6: Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 Gọi (H)

là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H) khi quay quanh trục Ox

Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy

Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với

ab Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích

là  2

( )

b

a

Bài 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường yex;y0 0   x  Khi quay quanh

Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0y

a) yx2;xy2; b) y x y;  2 x y; 0;

c) y2xx2;y0