Giáo án bài Ứng dụng tích phân trong hình học - Toán 12 - GV.Lý Thanh

HS viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b. Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b.

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

(3 TIẾT)

I Mục tiêu:

1 Về kiến thức:

- Viết và giải thích được công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục Ox, các đường thẳng x = a, x = b Hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b

- Nắm được công thức thể tích của một vật thể nói chung

- Nắm được công thức thể tích khối tròn xoay, công thức của khối nón, khối nón cụt, khối trụ tròn xoay trong trường hợp vật thể quay xung quanh trục Ox

2 Về kỹ năng:

- Áp dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thiết lập được công thức tính thể tích khối chóp, khối nón và khối nón cụt

- Ứng dụng được tích phân để tính được thể tích nói chung và thể tích khối tròn xoay nói riêng

3 Về tư duy, thái độ:

- Thấy được ứng dụng rộng rãi của tích phân trong việc tính diện tích, thể tích

- Học sinh có thái độ tích cực, sáng tạo trong học tập

II Chuẩn bị:

1 Giáo viên: Phiếu học tập, bảng phụ các hình vẽ SGK

2 Học sinh: Làm bài tập và học lý thuyết về tích phân, đọc nội dung bài mới

III Tiến trình bài dạy:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Kiểm tra bài cũ: Tính     

2

1

2 3x 2.dx x

I

3 Bài mới:

Tiết 1:

HĐ1: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học

sinh

Ghi bảng

HĐTP 1: Xây dựng công

thức

- Cho học sinh tiến hành

hoạt động 1 SGK

- GV treo bảng phụ hình

vẽ 51, 52 SGK

- GV đặt vấn đề nghiên

cứu cách tính diện tích

hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = f(x),

trục Ox và các đường

thẳng x = a, x = b

- GV giới thiệu 3 trường

hợp:

+ Nếu hàm y = f(x) liên

tục và không âm trên

a; b Diện tích S của

hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của f(x), trục Ox

và các đường thẳng x = a,

x = b là: 

b

a

dx x f

+ Nếu hàm y = f(x)  0

trên a; b Diện tích





b

a

dx x f

+ Tổng quát:

- Tiến hành giải hoạt động 1

- Hs suy nghĩ

I Tính diện tích hình phẳng

1 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục hoành

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục Ox

và các đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức: 

b

a

dx x f



b

a

dx x f

HĐTP2: Củng cố công

thức

- Gv đưa ra ví dụ 1 SGK,

hướng dẫn học sinh thực

hiện

- Gv phát phiếu học tập

số 1

+ Phân nhóm, yêu cầu Hs

thực hiện

- Giải ví dụ 1 SGK

- Tiến hành hoạt động nhóm

Ví dụ 1: SGK

Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng

giới hạn bởi Parabol yx2 3x 2

và trục hoành Ox

Bài giải

Hoành độ giao điểm của Parabol

2 3

2  



y và trục hoành Ox là nghiệm của phương trình





















2

1 0

2 3

2

1 2

x

x x

2 2

3 3

2 3

2

1

2 3

2

1 2





























x x

x

dx x

x S

HĐ2: Tiếp cận công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong

HĐTP 1: Xây dựng công

thức

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai

- GV treo bảng phụ hình

vẽ 54 SGK

- GV đặt vấn đề nghiên

cứu cách tính diện tích

hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị hàm số y = f1(x), và

y = f2(x) và hai đường

thẳng x = a, x = b

- Từ công thức tính diện

tích của hình thang cong

suy ra được diện tích của

hình phẳng trên được tính

bởi công thức



b

a

dx x f x

f

HĐTP2: Củng cố công

thức

- Gv hướng dẫn học sinh

giải vd2, vd3 SGK

- Gv phát phiếu học tập số

2

- Theo dõi hình vẽ

- Hs lĩnh hội và ghi nhớ

đường cong

Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên a; b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

đó và các đường thẳng x = a, x = b trong hình 54 thì diện tích của hình phẳng được tính theo công thức



b

a

dx x f x f

Lưu ý: Để tính S ta thực hiện theo các cách

Cách 1: Chia khoảng, xét dấu biểu thức f1(x) – f2(x) rồi khử dấu trị tuyệt đối

Cách 2: Tìm nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0 Giả sử ptrình

có 2 nghiệm c, d (c < d) thuộc a; b

thì:

+ Phân nhóm, yêu cầu Hs

thực hiện

+ Treo bảng phụ, trình

bày cách giải bài tập

trong phiếu học tập số 2

- Theo dõi, thực hiện

- Hs tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên

- Hs thảo luận theo nhóm và tiến hành giải

Hoành độ giao điểm của 2 đường đã cho

là nghiệm của ptrình

x2 + 1 = 3 – x

x2 + x – 2 = 0















2

1

x x

2 9

) 2 (

) 3 ( 1

1

2 2

1

2 2



























dx x x

x x

S





































b

d

d

c

c

a

b

d

d

c

c

a

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x

f

dx x f x f S

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

Tiết 2:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Kiểm tra bài cũ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P)y  x2 và y  x

3 Bài mới:

HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích vật thể

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học

sinh

Ghi bảng

- Giáo viên đặt vấn đề

như SGK và thông báo

công thức tính thể tich

vật thể (treo hình vẽ đã

chuẩn bị lên bảng)

- Hướng dẫn Hs giải vd4

SGK

- Hs giải quyết vấn

đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên

- Thực hiện theo sự hướng dẫn của giáo viên

II Tính thể tích

1 Thể tích của vật thể

Một vật thể V giới hạn bởi 2 mp (P)

và (Q) Chọn hệ trục toạ độ có Ox vuông góc với (P) và (Q) Gọi a, b (a

< b) là giao điểm của (P) và (Q) với

Ox Gọi một mp tùy ý vuông góc với

Ox tại x (xa;b) cắt V theo thiết diện có diện tích là S(x) Giả sử S(x) liên tục trên a; b Khi đó thể tích của vật thể V được tính bởi công thức





b a

dx x S

HĐ2: Hướng dẫn Hs hình thành công thức thể tích khối chóp và khối chóp cụt

- Xét khối nón (khối

chóp) đỉnh A và diện tích

đáy là S, đường cao AI =

h Tính diện tích S(x) của

thiết diện của khối chóp

(khối nón) cắt bởi mp

song song với đáy? Tính

tích phân trên

2

2

) (

h

x S x

Do đó, thể tích của khối chóp (khối nón) là:

3

0 2

2 S h dx h

x S V

h



2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt

* Thể tích khối chóp:

3

0 2

2 S h dx h

x S V

h



* Thể tích khối chóp cụt:

- Đối với khối chóp cụt,

nón cụt giới hạn bởi mp

đáy có hoành độ AI0 = h0

và AI1 = h1 (h0 < h1) Gọi

S0 và S1 lần lượt là diện

tích 2 mặt đáy tương ứng

Viết công thức tính thể

tích của khối chóp cụt

này

- Củng cố công thức:

+ Giáo viên phát phiếu

học tập số 3: Tính thể tích

của vật thể nằm giữa 2

mp x = 3 và x = 5, biết

rằng thiết diện của vật thể

bị cắt bởi mp vuông góc

với Ox tại điểm có hoành

độ x (x 3;5 ) là một

hình chữ nhật có độ dài

các cạnh là 2x, x2  9

Yêu cầu Hs làm việc theo

nhóm

- Gv yêu cầu Hs trình bày

- Đánh giá bài làm và

chính xác hoá kết quả

- Hs tiến hành giải quyết vấn đề đưa ra dưới sự định hướng của giáo viên

Thể tích của khối chóp cụt (nón cụt) là:

 0 0 1 1

h

- Hs giải bài tập dưới sự định hướng của giáo viên theo nhóm

- Hs tính được diện tích của thiết diện là:

9

2 )



x S

- Do đó thể tích của vật thể là:

3

128

9

2

) (

5

3

2

5

3















dx x

x

dx x S V

- Thực hiện theo yêu cầu

 0 0 1 1

h

của giáo viên

- Các nhóm nhận xét bài làm trên bảng

Tiết 3:

1 Ổn định: Kiểm tra sỉ số, tác phong

2 Bài mới:

HĐ1: Hướng dẫn học sinh chiếm lĩnh công thức tính thể tích khối tròn xoay

TG Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

- Giáo viên nhắc lại khái

niệm khối tròn xoay: Một

mp quay quanh một trục

nào đó tạo nên khối tròn

xoay

+ Gv định hướng Hs tính

thể tích khối tròn xoay

(treo bảng phụ trình bày

hình vẽ 60SGK) Xét bài

toán cho hàm số y = f(x)

liên tục và không âm trên

a; b Hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị y = f(x),

trục hoành và đường

thẳng x = a, x = b quay

quanh trục Ox tạo nên

khối tròn xoay

Tính diện tích S(x) của

thiết diện khối tròn xoay

cắt bởi mp vuông góc với

trục Ox? Viết công thức

tính thể tích của khối tròn

xoay này

- Thiết diện khối tròn xoay cắt bởi mp vuông góc với Ox là hình tròn có bán kính y = f(x) nên diện tích của thiết diện là:

) ( )

Suy ra thể tích của khối tròn xoay là:





b a

dx x f

III Thể tích khối tròn xoay

1 Thể tích khối tròn xoay





b a

dx x f

2 Thể tích khối cầu bán kính R

3

3

4

R

HĐ2: Củng cố công thức

- Gv hướng dẫn Hs giải

vd5, vd6 SGK

- Chia nhóm học sinh,

yêu cầu Hs làm việc theo

nhóm để giải vdụ

+ Đối với câu a) Gv

hướng dẫn Hs vẽ hình

cho dễ hình dung

+ Đánh giá bài làm và

chính xác hoá kết quả

- Dưới sự định hướng của giáo viên Hs hình thành công thức tính thể tích khối cầu và giải vd5 SGK

- Tiến hành làm việc theo nhóm

- Đại diện các nhóm lên trình bày và nhận xét bài làm của nhóm khác

Ví dụ: Tính thể tích vật tròn xoay

tạo thành khi quay hình phẳng (H) xác định bởi các đường sau quanh trục Ox

a) 3 2

3

1

x x

y  , y = 0, x = 0 và x = 3

b) y e x.cosx, y = 0, x =

2



, x =



Giải:

35

81 3

2 9

3 1

3

0

4 5 6

3

0

2 2 3















































dx x x x

dx x x V

b)

)

3 ( 8

2 cos 2

2

cos

2

2 2

2

2 2

2 2

























e e

xdx e

dx e

dx x e

V

x x

x



















IV Củng cố:

1 Giáo viên hướng dẫn học sinh ôn lại kiến thức trọng tâm của bài học

2 Nhắc lại công thức tính thể tích của một vật thể nói chung từ đó suy ra công thức của thể tích khối chóp, khối nón

3 Nhắc lại công thức tính thể tích khối tròn xoay

Bài tập về nhà:

- Giải các bài tập SGK

- Bài tập làm thêm:

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) x0,x1,y0,y5x4 3x2 3

b) y x2 1,xy3

c) y x2 2,y3x

d) y 4x x2,y0

e) y lnx,y 0,xe

f) xy3,y1,x8

2 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Parabol yx2  2x2 tiếp tuyến với

nó tại điểm M(3;5) và trục tung

3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay, sinh bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi nó quay xung quanh trục Ox

a)

4 , 0 , 0 ,

b) y sin2 x,y 0,x0,x

c) y xe2,y0,x0,x1

x

BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Số tiết:2

I/ MỤC TIÊU:

1.Về kiến thức:

Nắm được công thức tính diện tích,thể tích nhờ tích phân

Biết được một số dạng đồ thị của những hàm số quen thuộc để chuyển bài toán tính diện tích và thể tích theo công thức tính ở dạng tích phân

2.Về kỹ năng:

Biết tính được diện tích một số hình phẳng,thể tích một số khối nhờ tích phân

3.Về thái độ:

Rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận chính xác và thói quen kiểm ta lại bài

của học sinh

Biết qui lạ về quen,biết nhận xét đánh giá bài làm của bạn

Có tinh thần hợp tác trong học tập

II/CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH

+Giáo viên:Giáo án,bảng phụ,phiếu học tập

+Học sinh :Sách giáo khoa,kiến thức về công thức tính tích phân,vở bài tập đã

chuẩn bị ở nhà

III/PHƯƠNG PHÁP:

Gợi mở,vấn đáp,giải quyết vấn đề,hoạt động nhóm

IV/TIẾN TRÌNH TỔ CHỨC BÀI DẠY:

1 Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs

2 Kiểm tra bài cũ:kiểm tra đan xen vào bài tập

3 Bài mới:

*Tiết1

HĐ1:Baì toán tìm diện tích giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

10’

+Nêu công thức tính

diện tích giới hạn bởi

đồ thị hàm số

y=f(x),liên tục ,trục

hoành và 2 đường

x=a,x=b

+Hs trả lời

S= ( )

b

a

f x dx

�

+Tính S giới hạn bởi

y =x3-x,trục ox,đthẳng

x=-1,x=1

+ +Gv cho hs lên bảng

giải,hs dưới lớp tự giải

đđể nhận xét

+Hs vận dụng công thức tính

HS mở dấu giá trị tuyệt đối để tính tích phân

1 3 1

(x x dx) (x x dx)

=1/2

HĐ2:Bài toán tìm diện tích giới hạn bởi hai đường cong

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

10’

+Nêu công thức tính

diện tích giới hạn bởi

đồ thi hàm số

y=f(x),y=g(x) và 2

đường thẳng x=a,x=b

+Gv cho hs tính câu 1a

ở sgk

+GVvẽ hình minh hoạ

trên bảng phụ để hs

thây rõ

+Gv cho hs nhận xét và

cho điểm

Hs trả lời

Hs tìm pt hoành độ giao điểm

Sau đó áp dụng công thức tính diện tích

S= ( ) ( )

b

a

f x - g x dx

�

PTHĐGĐ

x2=x+2

2

2 1

x x

�=

�

�

�=-�

S=

+Gv gợi ý hs giải bài

tập 1b,c tương tự

=9/2(đvdt)

HĐ3:Bài toán liên quan đến tìm diện tích hai đường cong

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

10’

+GV gợi ý hs giải câu 2

ở sgk

+GVvẽ hình minh hoạ

trên bảng phụ để hs

thấy rõ

+Gv cho hs nhận xét

+Hs viết pttt taị điểm M(2;5)

+Hs áp dụng cong thức tính diện tích hình phẳng cần tìm

Hs lên bảng tính

Pttt:y-5=4(x-2) � y=4x-3

S=

2 2 0

(x + -1 (4x- 3))dx

�

=

2 2 0

(x - 4x+4)dx

� =8/3(đvdt)

HĐ4:Giáo viên tổng kết lại một số bài toán về diện tích

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

10’

+Gv phát phiếu hoc tập

cho hs giải theo nhóm

+Gv cho các nhóm

nhận xét sau đó đánh

giá tổng kết

+Hs giải và mỗi nhóm lên bảng trình bày

Kết quả

a 9/8

b 17/12

c 4/3

+Gv treo kết qủa ở

bảng phụ

d. 4(4 3)

3 p+

 Củng cố hướng dẫn làm bài tập ở nhà:(5’)

Gv hướng dẫn học sinh giải bài tập 3 sgk và dặn dò hs giải các bài tập về thể tích khối tròn xoay

*Tiết 2:

Ổn định tổ chức:Kiểm tra sĩ số hs

Bài mới:

HĐ5: Bài toán tính thể tích khối tròn xoay

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

15’

+Nêu công thức tính thể

tích khối tròn xoay sinh

ra bởi hình phẳng giới

hạn bởi các đường

y =f(x); y=0;x=a;x=b

quay quanh trục ox

+Gv cho hs giải bài tập

4a

+Hs trả lời

+Hs vận dụng lên bảng

trình bày

V= 2( )

b a

f x dx

* Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi

+Gv gợi ý hs giải bài4c

tương tự

a PTHĐGĐ

1-x2= � x=1hoăc x=-1 V=

1

2 2 1

(1 x ) dx p

16

15p

b V= 2

0

os

c x dx

p

2

2

p

a y =1-x2 ;y=0

b y =cosx ;y=0 ;x= 0 ;x= p

HĐ6: Bài toán liên quan đến tính thể tích khối tròn xoay

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

15’

+Gv gợi ý hs xem hình

vẽ dẫn dắt hs tính được

thể tích khối tròn xoay

+Gv gợi ý hs tìm

GTLN của V theo a

+Gv gợi ý đặt t= cosa

với t 1;1

2

� �

� �

�

� �

+Hs lâp được công thức

theo hướng dẫn của gv

+Hs tính được diện tích

tam giác vuông OMP.Sau

đó áp dụng công thức tính thể tích

+Hs nêu cách tìm GTLN

và áp dung tìm

Btập 5(sgk)

a V= os 2 2

0Rc atan x dx

=

3

3

( os -cos ) 3

R c

p

b.MaxV(a )=

3

2 3 27

R p

HĐ7:Gv cho học sinh giải bài tập theo nhóm bài toán về thể tích khối tròn xoay

TG Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng

10’

+Gv phát phiếu hoc tập

cho hs giải theo nhóm

+Gv cho các nhóm

nhận xét sau đó đánh

giá tổng kết

+Gv treo kết qủa ở

bảng phụ

Hs giải và mỗi nhóm lên bảng trình bày

a.16

15

p

b ( 2) 8

p

p-c.2 (ln 2 1)p - 2

d.64

15p

4.Củng cố và dặn dò: (5’)

Học sinh cần nắm vững công thức tính diện tích và thể tích khối tròn xoay đã

học để giải các bài toán tính diện tích và thể tích

Học sinh về nhà xem lại các bài tạp đã giải và giải các bài tập 319-324 trang

158-159 ở sách bài tập

V/ PHỤ LỤC

1.Phiếu học tập

* Phiếu học tập 1:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a y =x2-2x+2 và y =-x2-x+3