Chia sẻ phương pháp giải đề thi Đại học môn Toán: Phần 1

Tài liệu Phương pháp giải đề thi Đại học môn Toán được biên soạn nhằm cung cấp cho các thầy, cô một bộ bài giảng có chất lượng theo định hướng mới của Bộ giáo dục và đào tạo, đồng thời cung cấp cho các em học sinh THPT một bộ tài liệu hữu ích khi tiếp cận các dạng toán trong các đề thi đại học kể từ năm 2009 trở về trước. Mời các bạn tham khảo phần 1 tài liệu.

ThS LÊ HÓNG ĐỨC (Chủ biên) CÙNG TẬP THỂ GIÁO VIÊN TRƯỜNG QUỐC TỂ NEWTON - HÀ NỘI

M ÔN

THEO CẦU TRÚC ĐÊ THI CỦA BỘ GD&ĐT

♦ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÔI ưu

♦ GIÀI CHI TIẾT DỀ HIÊU

d * ĩ * 4 , Ths LÊ HỔNG ĐỨC (Chủ biên)

* 3 CÙNG TẬP THỂ GIÁO VIÊN

TRƯỜNG QUỐC TẾ NEWTON - HÀ NỘI

PHƯƠNG PHÁP GIẢI DỀ THI ĐẠI HỌC

MÔN TOÁN

ỡ GIẢI CHI TIẾT DỄ HIỂU THEO CẤU TRÚC CỦA BỘ GD - ĐT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

GIỚI THIỆU CHUNGm

X in trâ n trọng giới thiệu tới bạn đọc cuốn sách:

PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐỂ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

do Nhóm Cự Môn dưới sự phụ trách của Lê Hồng Đức biên soạn.

Mục tiêu của cuốn sách này là cung cấp cho các thầyy cô giáo một bộ bài

giảng có chất lượng theo định hướng mới của Bộ GD & ĐT và cho các em

học sinh T rung hoc p h ổ thông một bộ tài liệu hoc tập bổ ích kh i tiếp cân các ’ 1 I ' '« * * *

dạ n g toán trong các đ ề thi đại học k ể tụ năm 2009 trở về trước.

Cuốn sách được viết trên một tư tưởng hoàn toàn mới mẻ, có tính sư

p h ạ m ; có tín h tổng hớp cao, tuân thủ đ ú n g nguyên tắc đ ể đ ả m bảo được

\

tín h đ ú n g đ ắ n trong cách trình bày moi bài toán.

Cuốn sách này chắc chắn phù hợp với nhiều đối tượng bạn đọc từ các thầy, cô giáo đến các em học sinh lớp 10, 11, 12 và các em chuẩn bị d ự

thi môn Toán vào các Trường Đại học.

Cuôĩ cùng, cho d ù đã rất c ố gắng, nhưng th ậ t khó tránh khỏi những thiếu sót bởi nh ữ n g hiểu biết và kinh nghiêm còn hạn chế, rất mong

nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của bạn đọc gần xa.

Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ tới:

K)ịa chỉ: Nhóm tác giả Cự Mỏn do Th.s Toán học Lê Hổng Đức phụ trách

Sỏ' nhà 2 0 - N gõ 86 - Đường Tô Ngọc Vân - Quận Tây Hổ - Hà Nội ỈDiện thoại: (04) 7196671 hoặc 0893046689

E-mail: lchongduc39@ yahoo.com

NHÓM Cự MÔN - LÊ HỔNG ĐỨC

CẤU TRÚC CỦA MỘT t)Ể THI TUYỂN SINH

ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Theo phương thức mới thì dề thi cua Bộ GD & ĐT có cấu trúc:

1 Đé thi gồm 7()f:< kiến thức thuộc Iớp 12 và 30rt kiến thức thuộc lóp 1C* 'à lớp 11.

2 Mỗi dể thi thông thường có 10 câu, mỗi cáu dượt 1 điểm và dưực phân p>hói như sau:

Các dê thi từ năm 2006 - 2008 có cấu trúc

Câu I (2 điểm): Hàm số và các hài toán liên quail, cụ thổ:

1 (1 diem): Kháo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị hàm số.

2 (1 điểm): Bài toán liôn quan tới hàm số.

Câu II (2 diem): Đại sô' và lượng giác

1 (1 diếm): Giải phương trình hoăc hệ lượng giác.

2 ( 1 điểm): Cỉiải phương trình hoâc hệ đại số.

Câu III (2 điếm): Phương pháp toạ độ trong không gian.

Câu IV (2 điếm)

1 (1 điổm): Các bài toán liẽn quan đến nguyỏn hàm và tích phiân.

2 (1 diểin): Các hài toán vé bất dẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏnhất của hàm số.

Câu V (2 điổni):

T heo chương trình TH PT không phân ban

1 (1 diêm): Phưonig pháp toạ dộ trong măt phảng.

2 (1 diem): Tổ hợp và xác suất.

T heo chương trình TH PT phàn ban

1 (1 diêm): Phương trình, bất phương trình, hê mũ và lôgarit.

2 (1 điếm): Hình học không gian.

Các dê thi ỉừ n à m 2009 có, cấu trúc

Câu I (2 điểm): Iiàm số và các bài toán liên quan, cụ thể:

1 (1 điểm): Khảo sát sự biến thièn và vẽ dồ thị hàm sô.

2 (1 diổm): Bài toán liên quan tới hàm sớ.

Câu II (2 diem): Dại số và lượng giác

1 (1 diem): Giải phương trình hoăc hẹ lượng giác.

2 (1 điểm): Giải phương trình hoăc hê đại số.

Câu III (1 điểm):Các hài toán liên quan đến nguyên hàm và tích phân.

Câu IV (1 cỉiỔm):Hình học không gian (Ihuộc kiến thức lớp 12).

Câu V (1 diem): Các bài toán vé bất đẳng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ

nhất của hàm số.

Theo chưong trình THPT chuan

Càu VI (2 điểm )

1 (1 điểm): Phương pháp toạ độ trong mặt phảng.

2 (1 diếin): Phương pháp toạ dỏ trong không gian.

Câu VII (1 điếm): Số phức.

Theo chương trình THPT nâng cao

Câu VI (2 dicm)

1 (1 diem): Phưcmg pháp toạ dộ trong mặt phảng.

2 (1 diem): Phương pháp toạ độ trong không gian.

Câu VII (1 điểm): Các bài toán chỉ có trone chương trình nâng cao.

Để thực hiện lốt bài thi của hán thân, các cm học sinh có thể tham khảo kinh nghiệm sau:

1 Đọc dề thi thật kỹ, tối thiểu ba lán (dành từ 10 đốn 25 phút):

lún dọc thừ nhất: Đọc chậm từ trOn xuống với mục đích gắng ghi nhớ toàn bộ nội dung của dé thi.

Lẩn dọc tlỉửliai: Đọc chậm íừ trẽn xuống, và:

a Khi gặp bùi toán chắc chắn giíii dược, hãy khảng định nó thuộc dạng toán gì

và các bước dể thực hiện nó (ghi ra nháp) Thí dụ với câu "Khảo sát sự biến

Bước 4: Lập bảng biến thiên.

Rước 5: Vẽ đổ thị hàm số dựa trôn bảng tổng kết (có thể cần lấy thêm

điểm dể đảm bảo tính chính xác cho đổ thị) và với dạng đồ thị này cần vẽ các tiệm cận trước.

b Khi gặp bài toán chưa chác chắn gidi dược, cho dù đã định hình dưực nó thuộc một dạng toán lớn nào CĨÓ thì hãy nhìn nhận lại đầu hài rổi thực hiên một vài phép thử ra nháp để dưa ra lời kết Thí dụ với bài toán:

c/ cos3x + S1U.U , ~ 5(sinx 4- —— ——- — ) = cos2x + 3 ,

1 + 2sin 2x

các em học sinh sẽ nhạn thấv ngav rằng cắn thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đạt điểu kiện có nghĩa cho phương trinh.

Bước 2: Lựa chọn phép biến đổi lượng giác phù hợp dể chuyển phưcmg

trình ban đáu về dạng phương trình lượng giác cơ bản, từ đó nhận được nghiệm cho phưcmg trình theo k e z

Bước 3: Thiết lạp cliểu kiên cho nghiêm X 6 [0,271] giá trị k ==> nghiêm.Tuy nhiên, việc thực hiộn bước 2 là không chắc chắn, do đó cán một vài phcp biến dổi ra nháp theo ba (lịnh hướng sau:

■ Chuyển dổi phân số, với nhộn xét:

cos3x + sin3x = 4cos'x - 3cosx + 3sinx - 4sin 1x

= 4(cos-1x - sin3x) - 3(cosx - sinx)

= (cosx - sia\)[4(l + cosx.sinx) - 3]

= (cosx - siiixXl + 2sin2x)cos3x+sin3x

- —— “— = cosx - sinx

1 + 2sio2x Khi đó, phưưng truih dược chuyển vể dạng:

5(sinx -f cosx - sinx) = cos2x + 3 <=> 2cos?x - 5cosx + 2 = 0.

Tới đây, các em học sinh dừng lại vì đã chắn chác thực hiện dược tiêp.

= - —— - = cosx.

1 + 2sia2x Khi dó, phương trình được chuyển về dạng:

5cosx = cos2x + 3 <=> 2cos2x - Scosx + 2 = 0 Tới dây, các cm học sinh dừng lại vì dã chán chác thực hiộn đươc tiẽp.

■ Tliực hiện phép quv dồng toàn bộ dể khử máu.

c Khi gạp b à i toán chưa dinh hướng (lược cách qicii, thì hàv bỏ qua sau khi dà

thuộc dược nội elung cứa nỏ

Lần clọc ilìữ ba Dọc chậm lừ trên xuống, và kiếm tra lại tính đúng đắn cho những

bìu toán Jã chác chắn giải dược, cổng việc này sẽ giúp các em học sinh loại bỏ duợc nhừiig suy nghĩ chú quan hoác thiếu SÓI không dáng có Với bài toán chưa dinh hương được cách giái trong lẩn dọc thứ hai, rất có thể tới lẩn đọc này các em

sẽ phát hiện ra dược ý tưởng dể thực hiện nó, nếu được như vậv thì hãy ghi ngay ra nháp, còn không lại tiếp tục bỏ qua.

2 Cỉhi lời giải chi tiết các hài loán cĩă chác chán giải dược vào giấy thi Trong thời gian này các em học sinh cán tập trung cao độ và dừng băn khoăn vé những bài toán chưa giải đưực Tuy nhiên, do đã ghi nhận được nội dung của các bài toán chưa giải dược vào não bợ và phương thức hoạt dộng da nhiệm của nó nên hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp các em chợt nhận thấv rằng bài toán đó thuôc một dạng dã gặp hoặc có dược một phương pháp để tháo gỡ vướng mác sau lần dọc thứ ba, níu như vậy hày ghi nhận tất cả ra nháp rồi tiếp tục quay lại với bài thi.

3 Sau khi đảm bảo đưực tính đúng đắn cho lời giải trong giấy thi thì mới quay lại nháp chc những bài toán chưa giải dược.

4 Cần loại bó suy nghĩ phải giái được dến cùng mới ghi vào bài thi, bơi cho dù mỗi câu hỏi dược 1 điểm nhưng vì nó dược chấm theo thung điểm 0.25, tức là làm đúng đến dAu các cm sẽ nhận dược diêm den dỏ, do vây hãy cứ ghi nhận chúng vào bài làm của mình.

Thí dụ với câu:

"Xác (lịnli m dế hùm s o y = x‘‘ - 2 m \? + 2m + m4 có các cliẽm cực dụi, cực

tiếu lập tlìàiilì một lam giác d é ìì\

khi nhậi thấy nỏ thuộc dạng toán 'Thuộc lính của cúc điếm cực trị" và sẽ phái

thực hiện theo các bước:

5 Trong để thi rất có thổ các em sẽ gãp phái một vài dạng toán chưa dưực tio'p càn

'bao giờ, trong Irường hợp này dừng vội kết luận mình khỏng giúi được mà hãy

nghĩ tới phương pháp phân tích lió chia nhỏ bài toán thành những bài toán COI1

(bài toán 0.25 diểm) và trong số chúng rất có thể các eiĩi biết cách giái quyết Đó

chính là bí quyết để nhận dược điCI11 tối đa từ một bài toán lớn không giải dược.

Thí dụ với câu:

" T í n h l í c h p h à n 1 = f * + Sl—*dx ",

J, X 2 + 1

rất nhiểu học sinh sẽ thấy lúng túng bởi:

■ N ó khòng thuộc dạng nguyôn hàm cơ bản.

■ K hông thể sử dụng phương pháp đổi biến.

■ Không thể sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Và viêc vận dụng phương pháp phản tích vào đây sẽ giúp các em có được một

phần điểm hoặc nhận được điểm tối da vì dã tìm ra được lời giải hoàn chỉnh của

nó Cụ thể:

■ Chia nhỏ I thành hai tích ph.ifi 1 1 và I^ như K2U:

i r í r + ỉ

sin x dx X2 +1

■ Tới dây hầu hết các em đéu có thổ lính được I, bàng phcp dổi biến X = tam (đã được học trong sgk), như vậy sõ nhận dược 0.5 diổm.

■ Với tích phân I; nó thuộc dạng cư bân 'Tinh tích phán Ịf(x)cta với f(x) là

-A

lìàm sỏ lè" ta sử dụng phép đổi biến X = - t.

6 Cuối cùng, các em học sinh cẩn biết ràng do khồng nhất thiết phải thực hiỡn đề

thi theo thứ tự nên bài toán nào chác chắn giải được các em nỏn thực hiện trước.

Xin chúc các em thành công!

LÊ HỔNG ĐỨ<

id

PH Ấ N C H U N (Ỉ CHO TẤ T CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 diem)

Cắu I: <2 diem ): Cho hàm số: \ = - ( ! )

1 Kliảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ( I ).

2 Viết phương trình liếp tuyến tủ a đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt hai trục

O x, Oy tại A, B và AOAB cân tại o

Câu II: (2 điểm )

I Giải phương trình:

Câu IV: (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD cổ đáy là hình thang vuông tại A và D,

AB = A D = 2a, CD = a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (A BCD ) bằng 60" Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) vuông góc với mặt phang (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Càu V: (1 điểm ): Chứng minh rằng với mọi số thực dương X, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:

X + y - 5 = 0 V iết phương trình dường thắng AB.

2 Trong không gian với hệ toạ độ O xy7, cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

có phưưng trình:

(p): 2x - 2v - z - 4 = 0, (S): X2 + y2 + z2 - 2x - 4 y - 6 z - 1 1 = 0 Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo m ột đường tròn Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Câu VII.a (1 điểm): Gọi Z| và z~ là hai nghiệm của phương trình Z2 + 2 z + 10= 0 Tính giá trị của biểu thức A = I Z| 12 + I Zj 12.

C âu VI b (2 đ iểm )

1 Trong mật phảng với hệ toạ độ O xy, cho đường tròn (C) và đường tháng (A) có phương trình:

(C): X 2 + y 2 + 4x + 4y + 6 = 0,(A): X + my - 2m + 3 = 0, với m là tham sỗ ilìực.

G ọi I là tâm đường tròn (C) Tìm m đe (A) cắt (C) tại hai điổm phân biệt

A và B sao ch o diện tích AIAB lớn nhất.

2 Trong không gian VỚI hệ toạ độ O xyz, cho mặt pháng (P) và hai đường thẳng (A t), (A2) có phương trình:

(P): X - 2y + 2z - 1 = 0 ,

Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng (A,) sao cho khoáng cách từ

M tới đường thẳng (A2) và khoảng cách từ M tới mặt pliáng (P) bằng nhau.

ta lần lượt có:

a Tập xác định D = M \ ( - — }.

c

b Sự biến thiên của hàm số:

■ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường

C áu V ll.b (1 điểm ): Giải hệ phương trình: <

ad - bc

y = -1 • (cx + d ) Nếu D = ad - bc > 0 => hàm sô đổng biến trên D

Nếu D = aci - bc < 0 => hàm số nghịch biến trên D

c Đ ồ thị: Xác định toạ độ giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ.

D o c ó hai trường hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm số c ó hai dạng sau đây:

J

Đ ồ thị hàm sô' nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

V1ÔT SÔ TÍNH CHẤT CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

Tính chất 1: Đ ồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Hướng dẫn chứng minh:

Bước 1: Thật vậy, điểm I(x0, y„) là giao điểm của hai đường

tiệm cận, ta dời trục bằng tịnh tiến về gốc 1 Công thức dời trục là:

Tính chất 2: Không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đổ thị hàm số đi qua

tâm đối xứng I.

Hướng dẫn ctúữig minh:

Bước 1: Lấy điểm M(x„, y0) e ( H ) , khi đó y„ = aX- + -

Từ (2) suy ra điều mâu thuẫn.

Bước 3: V ậy không có bất cứ đường tiếp tuyến nào của đồ thị

hàm số đi qua I.

Tính chất 3: M là điểm tuỳ ý thuộc đồ thị hàm số N ếu tiếp tuyến tại M cắt

hai tiệm cận tại A, B thì:

a M là trung điểm AB;

b AIAB c ó diộn tích không đ ổ i ;

c Tích các khoảng cách từ M tới hai đường tiệm cận là một hằng số

ỏ ) : y - yô = y (x„)(x - x0) (1)

Bước 2: Xác định toạ độ của A , B theo thứ tự là giao điềm

của đường thẳng (d) với tiộm cận đứng (tcđ) X =

c

và tiệm cận ngang (ten) y = —.

Bước 3: Ta có:

a Nhận xét răng XA + X | J = 2xM <=> M là trung điếm AB.

h S aiar = — IA.IB = const.

a Nếu AABC nội tiếp trong Hyperbol (H) (A, B, c không thảng hàng thuộc đồ thị hàm sô ) thì trực tâm H của AABC cũng thuọc (H).

b Nếu AABC vuông tại A nội tiếp trong (H ) thì B, c thuộc hai nhánh của Hyperbol (H).

c Nếu xét tập hợp các tam giác vuông có chung đỉnh góc vuông và cùng nội tiếp trong m ộl đường Hyperbol (H) thì tất cả các cạnh huyền của chúng song song với nhau (hay cùng vuông góc với một tiếp tuyến ).

Tức là BC, B'C' cùng vuông góc với tiếp tuyến tại A của (H ).

a Hai tiếp tuyến của (H) không bao g iờ vuông góc với nhau.

b Hai tiếp tuyến son g song của (H) c ó các tiếp điểm đối xứng nhau qua tâm của (H).

Y ta ítirrtr nhirrtno trình tipn tiivA’n tai R r ó ila nw

V ới A (X |, — ) e ( H ) , ta được phương trình tiếp tuyến tại A có dạng:

Tinil chat 6: Hvperbol (H) \<) dưởntytròn. Nếu một dường tròn (C) cắt (H )

tại bối) diem sao cho hai điểm trong 4 điếm đ ó là các đầu mút đường kính của đường tròn, thì hai điếm còn lại đối xứng nhau qua tâm cua (H) và ngược lại

Ilifr/ng (lần chứng minh:

(jiả sử (C )n (H ) = {A, B, c , D} và AB là dường kính của (C), khi đó:

■ ADAB vuông lại D => tiếp tuyến tại D là (d D) vuông góc với AB.

■ ACAB vuông lại c -=> tiếp tuyến tại c là (dc) vuóng góc với AB.

:=> (d,,)//(dc ) => c , D đối xứng qua tâm o của (H ).

Chú ý: Với phép dời trục bằng tịnh tiến về gốc I, theo công thức dời trục là:

Tới đây các em học sinh hãy tham khảo định hướng trong câu 1.2 của đề toán khôi B - 2006.

^ C hú ý: Nếu các em học sinh khống đưa ra được đánh giá về hộ sô' góc cúa tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài thì cần thực hiện bài toán theo định hướng trong câu 1.2 của đề toán khối D - 20 0 7

Tới đây, dễ dàng đánh giá đ u ợ t rằniì cán c h ia hai cung X và 2x vé h.ii vê

đê nhận được phương trình có dạng tổntí quát:

a.sin (k x) + b.cos(kx) = c.sin (lx) + d cos(lx), với a2 + b2 = c 2 + d

và phương pháp giái nó tương tự cách 1 để giải phưctng trình a.sinx + b.coss =- c

- Tham khảo định hướng trong câu II 1 cùa đé toán khôi D - 2007

Như vậy, khi trình bày bài toán này các em học sinh cần thực hiện theo cá? bưỏc:

Bước 2: Sử dụng biến đổi trên để giải phưcmg trình.

và để giải hệ trên chúng ta chỉ cần sử dụng phương pháp thế.

C âu III Đ ây là tích phân chỉ chứa một hàm số lượng giác (hàm số cosx) và lại được cho dưới dạng tích, điều này cho phép chúng ta nghĩ tới việc tách I thành nhiều tích phân khác nhau, cụ thể:

Như vậy, đỏ giảm dộ phức tạp của bất đắng thức cần chứng minh chúng

ta nghĩ ngay tới việc sử dụng ba ẩn phụ:

a = X + y

c =-y+ z

và khi đó bất đẳng thức ccần chứng minh tương đương với:

a1 + b' + 3abc < 5c1 > o ( a + b)(a3 + b2 - ab) + 3abc < 5 c \ (1)

Tới đây, chúng ta cần c h u y ể n biểu thức điều kiện theo a, b, c, thì bằng việc giải hệ (*), chúng ta sẽ nhận được:

C âu V l.a

1 Các em học sinh hãy phác thảo ra hình vẽ để thấv rằng vói yêu cáu viết phương trình đường thẳng AB, chúng ta chỉ cần xác định phương của nó (tức đi tìm vtcp hoặc vtpt của A B) bởi AB luôn đi qua M (giả thiết)

Ta lần lượt đánh giá như sau:

* Đ ế có dược vtcp của AB, chúng ta cần

biết đirợc toạ dộ của A hoặc B và hướng

này kh ôn g đúng bởi k h ô n s tận tỉụng

được giả thiết đã cho về I và E.

* Đ ê có được vtpt của AB, chúng ta chỉ cần

biết toạ độ điểm E và vì E thuộc (A) nên

chúng ta chí cần thêm một điều kiện nữa.

C ông việc Iìàv khá dơn giản khi tận dụng được tính dối xứng của tâm

I để tìm được điểm N dối xứng với M qua I, từ đó:

N e CD => NE 1 IE <=> ĨẼ.NẼ = 0 => toạ độ của E.

Như vậy, để thực hiện bài toán trcn chúng ta ihực hiện ih eo các bước:

Bước 1: G ọi N là điểm dối xứng với M qua I, suy ra toạ độ CUU N và

a Đ ể chứng ininh rằng mật phảng (P) (có vtpt n p ) cắt mặt cầu (S) (có tâm I bán kinh R) theo một đường tròn, chúng ta đi khầng định:

d(I, (P)) < R.

b Đ ể xác định toạ độ tâm H và bán kính r của đường tròn đo, ta lần lượt có:

■ Bán kính r = V r 2 - IH2

■ Tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) nên để có dược toạ

độ của H chúng ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: V iết phương trình tham số (giả sử ih eo t) của đường

thẳng (d) qua I và vuông góc với (P), tức:

Q u a i (A B ):

( d ) :

Ytcp n

Bước 2: Thay phương trình của (c!) vào (P), ta được:

f(t) = 0 => Giá trị t => Toạ độ điểm H.

* Tìm m để (A) cắt (C) (có tâm i, bán kính R) tại hai điểm phân biệt A

và B, tức là thiết lạp điều kiện:

d(I, (A)) < R.

• lìm m dê diện tích AIAB lớn nhất.

Trong thực tế, bài toán này được thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tâm I và bán kính R cùa (C).

C âu V ll.b Đ ể giải hệ phương trình đã cho chúng ta chỉ cần thực hiện theo các bước sau:

chúng ta sẽ biến đổi được hệ về dạng đơn giản.

Bước 3: Kết hợp với (*) để kết luận nghiệm đúng của hệ.

ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI TUYEN SINH

■ ■ m ô n t o á n k h ô i a N ăm 2 0 0 9 H H

C âu I.

1 Ta lần lượt có:

a H àm số xác định trên D = K \ I - — Ị.

■ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

lim y = — nên y = — là đường tiêm cân ngang.

3 lim y = +00 và lim y = -co nên X = — là đường tiêm cân đímg.2

■ V ới X = - 2, ta được tiếp tuyến (d|) có dạng y = - X - 2.

■ V ới X = - 1 , ta được tiếp tuyến (d2) có dạng y = - X , tiếp tuyến này bịloại bởi nó đi qua gốc toạ độ o

Vậy, tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = - X - 2.

C c 'tc ih y D iem M(a; y(a)) thuộc đồ thị hàm số, khi đó phương trình tiếp luyến tại

y = 0

1 2 a 2 + 8a + 6 => A (2a' + 8a + 6; 0 ).

y = - X +

-(2a + 3)2 (2a + 3 )4 To; đô giao điểm B của tiếp luyến (d) với Ov là nghiệm của hô:

X = 0

y =

-1 2 a 2 + 8 a + 6 = > B

X + - — - — (2a + 3)2 (2a + 3)"

© ế A O A B cân tại A điều kiện là:

2 a 2 + 8a + 6

(2a + 3 )2

CA = OB <=> 2ci 4- 83 + 6 o (2a + 3)2 = 1 <=> a = - 2

a = -1 (2a + 3 )2

Khi đó, ta lần lượt có:

■ V ới a = - 2, ta được tiếp tuvến (d|) có dạng y = - X - 2.

■ V ới a = - 1 , ta được tiếp tuyến (d2) có dạng y = - X , tiếp tuyến này bị loại bởi nó đi qua gốc toạ độ o

V iy , tiếp tuyến cần tìm có phương trình y = - X - 2.

VM điều kiộn (*) biến đổi tương đương phương trình về dạng:

(1 - 2 sin x )c o s x = 73 (1 + 2 sin x )(l - sin x)

8 - 2 u

u' = 3 x - 2 V2 = 6 - 5 x

= 8

V = 8 - 2 u

3 15u3 + 4 u 2 - 3 2 u + 4 0 = 0

V ậy, phương trình c ó nghiệm duy nhất X = - 2

C âu III Biến đổi I về dạng:

Đặt t - sinx, suy ra dl = cosx.dx

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (A B C D ) nên:

SIX(ABCD) = VSAK„ = I s i.S Alla).

CI _ IV ♦ SI = IK tanSK l = ——— tan 60 =c T' i _ , / n ° _ 3&VF5

3aJ>/Ĩ5 Thay (2), (3) vào (1), ta được V

(1)

(2)

(3)

S.ABCD

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

a* + b3 + 3abc < 5c'1 <=> (a + b)(a2 + b2 - ab) + 3abc < 5 c ‘

Cộng theo v ế (4) và (5) ta được bất đẳng thức cần chứng minh (3).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Til lan lượt:

• Với V = 6 thi phương trình đường tháng AB dược cho bởi:

Qua M (l; 5) (A D ): • <=> (AB): y - 5 = 0.

■ Bán kính r được cho bởi:

r = SỈŨT-^IHr = V52 - 32 = 4

■ Gọi (d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) (có vtpt n p (2; -2 ; -1 )),

ta có:

X = 1 + 2t (d );

Qua 1(1; 2; 3) vtcp n ( 2 ; - 2 ; - l )

từ đó, suy ra (S AIAB) M x = — IA IB , đạt được khi:

sin A IB = 1 o AIB = 90° IA 1 IB <=> d (I,(A )) = ~

z = 6 t - 9 Khi đó, điểm M thuộc (Aị) thì M(t - 1; t; 6t - 9).

■ Đ ường thẳng (A2) đi qua điểm A (l; 3; - 1 ) và có vtcp u 3 (2; 11; -2 ) Khi đó, ta lần lượt có:

■ K hoảng cách từ M tới dường thẳng (A2) được cho bởi:

V ậy, tổn tại hai điểm Mị, M2 thoả mãn điều kiện đầu bài.

C âu V II.b Đ iều kiện xy > 9.

Biến đổi tương đương hệ phương trình về dạng:

x = y X2 - X 2 + X2 = 4

X = y = 2

X = y = - 2

V ậy, hệ phương trình có hai cập nghiệm (2; 2) và (-2 ; - 2 )

ĐÊ THI MÔN TOÁN KHỎI B NĂM 2009

PH Ầ N C H U N G CHO TÂT CẢ CÁ C THÍ SINH (7.0 điểm )

Câu I: (2 điểm): Cho hàm số:

y = 2 x 4 - 4 x 2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đ ồ thị (C) của hàm số (1).

2 V ới giá trị nào của m phương trình X2 1X2 - 2 I = m có đúng 6 nghiệm phân biệt.

Câu II: (2 điểm )

1 G iải phương trình: sin X + c o s x s in 2 x + V3 c o s3 x = 2 (c o s 4 x + sin , x).

với trọng tâm của AABC Tính thể tích khối tứ diện A ’ABC theo a.

■dx.

Câu V: (1 điểm ): Cho các số thực X, y thay đổi thoả mãn (x + y)? + 4xy í 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 3 (x 4 + y4 + x2y 2) - 2 (x 2 + y2) + 1.

PHẨN RIÊNG (3.0 điểm)

Thí sinh được làm một trong hai phần (phán A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

C âu V I a (2 điểm )

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) và hai đường thẳng (Aị), (A2) có phưưng trình:

( C ) : (x - 2 )2 + y 2 = J , (A,): X - y = 0, (A2): X - 7y = 0 Xác định toạ độ tâm K và bán kính của đường tròn (Cị), biết đường tròn (Cị) tiếp xúc với các đường thẳng (A(), (A2) và tâm K thuộc đường tròn (C).

2 Trong không gian với hộ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đinh A( 1; 2; 1), B (-2 ; 1; 3), C(2; - 1 ; 1) và D(0; 3; 1) V iết phương trình mật phẳng (P) đi qua A , B sao cho khoảng cách từ c tới (P) bằng khoảng cách lừ D tới(P).

C âu V II a (1 điểm ): Tìm sô' phức thoả mãn:

| | z - ( 2 + Ì)| = yịĩõ

I Z Z = 2 5

B Theo chương trình Nâng cao

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho AABC cân tại A có đỉnh A ( - 1; 4)

va các đỉnh B, c thuộc đường thẳng (A): X - y - 4 = 0 Xác định toạ độ điểm B và c , biết diện tích AABC bằng 18.

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A (-3 ; 0; 1), B( 1; -1 ; 3)

X

19ÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THƯC HIÊB

51ỘT SÔ TÍNH CHẤT CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG

Tímh chất 1: Hàm số có cực trị với mọi giá trị của tham số sao ch o a * 0

Tímh chất 2: Hàm số c ó cực đại, cực tiểu

<=> y' = 0 có ba nghiêm phân biêt o — < 0.

2a

Tính chất 3: Hàm sô' có hai cực đại và một cực tiểu

Tính chất 4: Hàm số có một cực đại và hai cực tiểu

a > 0

o <

b < 0

Tính chất 5: Hàm số có hai điểm uốn

<=> y" = 0 vô nghiêm <=> — > 0.

P hương pháp 1: Đ ại số

Đ iều kiện là (1) có hai nghiệm kép phân biệt

ax4 + bx2 + c = a(x - x,)2(x - x 2)2 với X| * x 2 (3)

Sử dụng phương pháp hằng số bất định ta xác định được giá trị của tham số.

Đ ạo hàm:

y' = 4 a x ’ + 2bx = 2 x(2ax2 + b), y' = 0 o 2 x(2ax2 + b) = 0

1 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x).

2 Đ ối xúng phần đồ thị phía dưới trục hoành của y = f(x) qua trục hoành

và phương pháp giải nó tưưng tự cách I đô giải phương trình

2 Đ ây là hệ phương trình không mảu mực do vậy đế giải nó chúng ta cẩn

c ó những đánh giá như sau:

■ Phương trình thứ nhất của hệ có bậc 2 và v p là bậc nhất của y.

■ Phương trình thú hai của hệ có bậc 4 và v p là bậc hai của y Và ở đâv dẻ nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của hệ.

Từ đó, để hằng số hoá v p của các phương trình trong hệ chúng lần lirợt chia nó cho y và y2 để chuyển hệ về dạng:

X 1

X + — + — = 7

1X2 + — + - y = 13

C âu IV Dây là bài toán về hình học không gian có yêu cầu vé kiến thức ở lởp I I cụ thế:

• Góc giữa đường thẳng BB’ và mặt pháng (ABC) bàng 60", tuy nhiên

VI có giả thiết "Hình chiêu vuông (ỊÓC của (liểm B’ trên mặt phang

(ABC) irítny với trọiìiỊ lâm của AABC", nôn ta cổ ngay:

B 'B G = 6 0 ° , với G là trọng tâm AABC.

• Đ ê tính thể tích khối tứ diện /V A BC theo a, ta có đánh giá:

V = V = —R ' G S

A ' ABC' v II ABC’ ẵ J A A B C *

j Câti V Thông thường, với yêu cầu "Tìm ý á trị lớn nhất và nhỏ nhất của biên thức A thocí mãn tính chất K", trong đó K là một bất đắng thức, các em học sinh cán định hướng ràng:

• Cấn biến đổi A về dạng f(t).

• Từ K suy ra điều kiện cho biến t.

• Từ đó, xét hàm số f(t) ứng với điều kiện của t vừa tìm được.

Nlnr vậy, với bài toán đã cho chúng ta sẽ lần lượt định hướng biến dối như sau:

Từ đó, dản tới việc cần tìm điều kiện cho biến t từ giả thiết (x + y )' + 4xy > 2,

và (lé thực hiện cồng việc này chúng ta chỉ cần kết hợp nó với bất đảng thức:(x + y )2 > 4xy.

C âu V l.a

1 Với yêu cầu "Tìm điểm M thuộc đường tròn (C): (x - a)2 + (y - b )2 = R2

thoá mãn điều kiện K", ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách I: Ta thực hiện theo các bước:

Bước l: Lấy điểm M (x(); y„)e(C ), suy ra:

(x„ - a)2 + (y„ - b)2 = R 2.

Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện ch o X,|, y„.

Cách 2: Sử dụng phương trình tham số của đường tròn, như sau:

X = a + R sin t - - - „(c >: L n , t e [0,271)

y = b + R COS t

Bước 2: Đ iểm M e (C ) => M (a + Rsint; b + Rcost).

Bước 3: Sử dụng điều kiện K để xác định cost, sint Từ đó tìm được toạ

độ của M dựa trên đẳng thức sin2t + co s2t = 1.

Và trong bài toán này chúng ta sẽ sử dụng cách 1, cụ thể:

■ Vì K(a; b) thuộc (C) nên:

■ Khoảng cách từ c tới (P) bằng khoảng cách từ D tới (P).

Chắc chắn sẽ thực hiện bài toán này theo các bước:

liưrc 4: Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2), (3) đê tìm cách biểu diễn ba

trong bôn ẩn số A B, c , D theo một ẩn còn lại Từ đó, suy ra phương trình mặt phẳng (P) cần tìm.

Cách giải trên không sai và luôn là phương pháp được lựa chọn trong trường hợp tổng quát d(C, (P)) = k.d(D, (P)).

Tu' nhiên, vì d(C (P)) = d(D , (P)) chúng ta sử dụng đánh giá:

Để Tỉặt phắng (P) cách đều hai điếm c , D chi có thể xảy ra hai trường hợp:

■ P) song song với CD.

■ P) đi qua trung điểm của CD.

Từ Iihận xét trên, ta lần lượt:

■ P) song song với CD, suy ra:

(P ):

Qua A [ c ạ p vtcp A B và CD (P) đi qua trung điểm 1(1; 1; 1) cửa CD, suy ra:

(P ):

Qua A

Qua A vtpt n = [Ã B , C D ]

Qua A vtpt n =ị^AB A lJ Cặp vtcp AB và AI

C âu V ll.a Với yèu cầu này chúng ta chí cần giả sử số phức z = a + bi, rồi

sử dụnị: công thức tính môdun Khi đó chúng ta nhận được hệ phương trình:

a + b i - ( 2 + i)| = VĨÕ

a 2 + b 2 = 25

Câu Vl.b.

1 V ớ yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ đi khai thác dần giả thiết:

■ Vì A và đường thẳng chứa B, c là (A) đã cho nén ta c ó ngay

2 Với yêu cầu của bài toán, chúng ta sẽ đi khai thác dần giả thiết:

■ (d) song song với (P) nên nằm trong mặt pháng (Q) qua A và song song với (P), suy ra:

Bước 2: Đ ể xét tính chất của các giao điểm chúng ta khéo léc đưa về

việc xét tính chất nghiệm của phương trình (1).

1 Định lí Vi - ét ch o phương trình đa thức:

• Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ta có:

f X, + x 2 = - b / a VA

< , ngoai ra |X| - x 2| = — [X|X2 = c / a a

Phương trình bậc ba a x 1 + bx2 + cx + d = 0 ta có:

b

X, + x 2 + X, =

a c

x , x 2 + X2X, + x ,x , = — X,X2X ,= —

2 Định lí đảo.

3 Hàm số.

►ẤP Á s CHI TIET ĐẸ THI TUYEN SINH

C áu I.

I Ta lần lượt có:

u Hàm sô xác định trên D = X

h Sự biên thiên của hàm sò:

iới hạn của hàm sô tại vô cực:

c Đ ồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A (-2 ; 0), B(2; 0).

2 Viết lại phương trình dưới dạng: 12x4 - 4x2 1 = 2m

9 J

và U 2

u ; 9 ,

phưctng trình cỏ đúng 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = 2m cắt

đổ thị hàm số y = I 2x4 - 4x2 1 tại 6 điểm phân biệt.

D ồ thị y = 12x4 — 4 x ’ I gồm:

4- Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị (C): y = 2x4 - 4x2.

4- Đ ối xứng phần đồ thị (C) phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Từ đồ thị, yêu cầu của bài toán được thoả mãn khi và ch ỉ khi:

V ậy, phương trình có hai họ nghiệm

2 Vì y = 0 khống phải là nghiệm của phương trình nên ta biến đổi:

I = - 3 + ln x

x + 1

dx 3 - ln 3

dx

<=> 5 Ịa - b| = |a - 7b| <=>

y Ị Ĩ 7 5 0

5 ( a - b ) = a - 7 b

5 ( a - b ) = - a + 7b