PHÀN CHIINÍỈ CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH ( ail I: (2 điểm): Cho hàm số:
y = x' - 3x2 + 4. (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đổ thị hàm số ( l ).
2. Chứng minh rằng mọi đường thảng đi qua điểm 1(1; 2) với hệ số góc k (k > - 3 ) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời í là trưng điểm của đoạn thảng AB.
Câu II: (2 điểm)
1. Giải phương trình 2sinx( 1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx.
2. Giải hệ phương trình:
XV + X + y = X2 - 2 y 2
1 r — , ( x . y e R ) .
X s J2 y - y v x - 1 = 2 x - 2 y
Câu III: (2 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3>; C(0: 3; 3), D(3; 3; 3).
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, c , D.
2. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp AABC.
Câu IV: (2 điểm)
1. Tính tích phân 1 = Ị^ n x ^ x
r x
2. Cho hai số thực X, y không âm thay đổi. Tim giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( x - D ( l - x y ) (1 + x) (1 + y) PHÂN T ự CHỌN
Thí sinh chọn cảu v .a hoăc câu v .b
Câu v .a Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm) 1. T im sô nguyên n thoả mãn hệ thức:
C ' n + C L -K .. + C r = 2 0 4 8 .
(n nguyên dương, C* là tổ hợp chập k của n phần tử).
2. T rong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): y 2 = 16x và điểm A ( l ; 4). Hai điểm phân biệt B, c (B và c khác A) di động trên (P) sao cho BAC = 90°. Chứng minh rằng đường thảng BC luôn đi qua một điểm cố định.
Câu v .b Theo chương trình THPT phân ban (2 điểm)
X2- 3 x + 2 1. Giải bất phương trình lo g , --- —--- > 0.
2 x
2. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C ’ có đáy ABC là tam giác vuông AB = AC = a, cạnh bên A A ' = ã\Í2. Gọi M là trune điểm của BC. Tính theo a the tích khối lăng trụ ABC.A’B’C ’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C.
ĐÁNH GIÁ VÀ ĐỊNH HƯỚNG THựC HIỆB
Bước 4:
Câu I.
1. Tham khảo định hướng trong câu 1.1 của đề toán khối B - 2008.
2. Đ ây là bài toán tương giao với yêu cầu thêm chỉ ra tính chất của giao điểm, và chúng ta thực hiện nó theo các bước:
Bước ỉ: Viết phương trình đường thảng (d) qua I với hệ số góc k.
Bước 2: Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm cúa (d) với đồ thị (1), rồi phàn tích nó thành:
( x - l ) g ( x ) = 0 o X = 1
g(x) = 0 (*)
Bước 3: Sử dụng điếu kiện k > - 3 để chứng minh (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, cụ thể chứng minh:
' x > 0 ■
, g ( D * o '
Vậy, mọi đường thẳng (d) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt 1(1; 2), A(x,; y,), B(x2; y2) thoả mãn:
X| + x2 = 2x, o I là trung điểm của AB.
Câu II.
1. Chúng ta đi đánh giá lần lượt:
VT = 4sinx.cos2x + sin2x = (2cosx + l)sin2x = VP.sin2x
Từ đó, suy ra phương trình được giải bằng cách chuyển về dạng tích.
2. Nhận xét rằng hộ được cho dưới dạng không mẫu mực và có chứa căn hỗn hợp nên rát khó để khử căn thức bằng các phép bình phương. Trong khi đó, phương trình thứ nhất của hệ lại không chứa can, dẫn tới nhận định cần sử dụng phương pháp thế để giải hộ. Và để đi theo hướng này thì với phương trình:
x y + x + y = X2 - 2 y 2 ( * )
chúng ta chỉ có thể:
* Rút X hoặc y từ (*), điểu này không thể bởi X cũng như y đều có bậc hai và bậc nhất.
* Phân tích đa thức thành nhân tử, cụ thể (*) sẽ được biến đổi thành:
(x + y)(x - 2y - 1) = 0. (1)
Tới đáy, dựa vào điểu kiện có nghĩa cua hệ (x > 1, y > 0), ta suy ra:
X - 2 y - l = 0 <=> X = 2y + 1. (**) Công việc còn lại chi là thav (**) vào phương trình thứ hai của hệ.
^ Chú ý: Để có phân tích như (1) các em học sinh cũng có thể sử dụng kiến thức tam thức bậc hai bằng cách coi đó là phương trình bậc hai theo X hoặc theo y, để rồi đi tính A.
Câu III.
I. Đè lặp phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, c , D ta có thể trình bày theo các cách sau:
Cách /: Thực hiện theo các bước:
Bước ỉ: Giả sử mặt cầu (S) có dạng:
(S): X2 + y2 + T - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, (*) điéu kiện a2 + b2 + c2 - d > 0.
Bước 2: Đ iểm A, B, c , D e (S), ta được hệ (I) gồm 4 phương trình với 4 ẩn a, b, c, d.
Bước3: Giải hệ (I), lihận được a, b, c, d rồi thay vào (*) để có (S).
Cách /: Thực hiện theo các bước:
Bước I: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), khi đó ta có điểu kiện:
IA2 = IB2
IA2 = IC2 => Toạ độ tâm I.
IA2 = ID2 IA = IB
IA = IC <=>
IA = ID
Bước 2: Vây, phương trình mặt cầu (S) được cho bởi:
Tâm I
Bán kính R = IA (S):
^ Chú ý: Ngoài hai cách giải trên, để lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm không đồng phẳng A, B, c , D (ngoại tiếp tứ diện ABCD) chúng ta còn có thể tận dụng được tính chất của tứ diện ABCD để nhận được lời giải đơn giản hơn, cụ thể:
Trường hợp 1: Nếu DA = DB = DC thì:
Bước 1: Xác định tâm I bằng cách:
■ Dựng đường cao DH-L(ABC).
■ Dựng mặt phẳng trung trực (P) của DA.
■ K h i đ ó {1} = ( D H ) n ( P ) .
Bước 2: Vậy, phương trình mật cầu (S) được cho bởi:
í Tâm I
(S): Bán kính R = IA
Trường hợp 2: Nếu D A l(A B C ) thì:
Bước ỉ: Xác định tâm I bằng cách:
■ Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp AABC.
• Dựng đường thắng (d) qua K và song song với DA (hoặc (d) ± (ABC).
■ Dựng mặt phảng trung trực (P) của DA.
■ Khi đó ỊIỊ = (d) n (P).
Bước 2: Vậy, phương trình mặt cầu (S) được cho bởi:
í Tâm I (S):
[B án kính R = IA
Trường hợp 3: Nếu ACB = ADB = — thì mặt cẩu ngoại tiếp DABC có tâm I là trung điểm AB và bán kính R = .
Trường hợp 4: Nếu AD và BC có đoạn trung trực chung EF; thì:
Bước 1: Ta lần lượt:
■ Lập phương trình tham số của đường thẳng (EF) theo t.
■ Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A BCD có tâm I e EF (thỏa mãn phương trình tham sô' của EF).
■ Từ điều kiện IA2 = 1C2 = R 2 suy ra giá trị tham số t, từ đó nhận được tọa độ tâm 1.
Bước 2: Vậy, phương trình mặt cầu (S) được cho bởi:
í Tâm I (S):
[B án kính R = IA
2. Mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, c nên sẽ cắt (ABC) theo giao tuyến chính là đường tròn (C) ngoại tiếp AABC, đế xác định toạ độ tAm H và bán kính r cúa đường tròn (C), ta lần lượt có:
a. . Bán kính r = Vr2 - I H - .
b. Tâm H là hình chiếu vuông góc của I trên (ABC) nên để có được toạ độ của H chúng ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Viết phương trình mặt phắng (ABC), cụ thể:
Qua A _ _ [Qua A
(ABC): < _ ô ( A B C H - r — — 1-
Cặp vtcp AB, AC vtpt n = [AB, ACJ Bước 2: Viết phương trình tham số (giả sử theo t) của đường thẳng
(d) qua I và vuông góc với (ABC), tức:
Qua I ( d )
vtcp n
f(t) = 0 => Giá trị t => Toạ độ điểm H.
B ước 4: Kết luận.
Câu IV.
b
1. Dây là tích phân được mở rộng từ dạng I = j f ( x ) . l n n x.dx phương pháp
a
dược lựa chọn là "Phương pháp lích phàn tìmg phân" với cách lựa chọn:
u = In X
1
Bước 3: T h ay phương trình cùa (d) vào (ABC), ta được:
dv = —Ị-.đx
X
2. vSử dụng đánh giá:
( x - l ) ( l - x y ) A | .
(1 + x) (1 + y)
< (x + y)(l + xy)
< 1 . [(x + y) + (l + xy)]2 4 C â u v . a .
1. Sử dụng khai triển:iụng khai triẽn:
0 + x ) !" = ẳ C Ỉ „ . x ' lí=0
rồi lấy tương ứng X = 1 và X = - 1 , chúng ta sẽ nhận được:
2 n~' = c \ n + c ị n +... + c ịl~ ' => Giá trị của n.
2. Dể thực hiện bài toán này chúng ta chi cần làm theo các bước:
bước l: Hai điểm phân biệt B, c (B và c khác A) di động trên (P), suy ra:
( b 2 A C- ì . . , , , .
B — ; b , c — ; c , với b * 4 và c * 4.
. I l 6 J l l 6 ’ J Bước 2: Ta lần lượt:
■ Phương trình đường thẳng (BC) được cho bởi:
í Qua B [Q u a C
■ Từ điều kiện BAC = 90°, suy ra:
ÃB 1 Ấ c <=> ÃB.ÃC = 0 (2)
Bước 3: Từ (1) và (2) suy ra đường thẳng (BC) luôn đi qua điểm cố định I.
Cáu v.b.
1. Bằng các phép biến đổi tương đương các em học sinh có thể giải ngay được bất phương trình này, với lưu ý về tính đơn điệu của hàm số lôgarit tương ứng với cơ số lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 1.
(BC) (1)
2. Công việc:
• Chứng minh MN vuông góc vói BD sẽ được rút ra từ nhân xét ráng MN // (P) và BD _L (P).
• Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC sẽ được thực hiện bằng việc chọn một mặt phắng chứa AC và song song với MN.