ax2 + bx + c
y = - - ——
dx + e ta lần lượt thực hiện:
Bước I: V iết lại hàm số dưới dạng:
y = f(x) = a x + p + —-— . dx + e
Bước 2: Khi đó, để hàm số c ó hai đường tiệm cận điều kiện là y * 0.
Và ta được:
lim y = 00 nên X = - — là đường tiệm cận đứng.
x - * - e / d (j
lim [y - (ax + p)] = 0 nên y = ax + p là đường tiệm cận xiên.
\-* r.
P h ầ n II: Tìm điều kiện để hai đường tiộm cận tạo với nhau m ột góc a , ta lần lượt thực hiện:
Bước 1: Chỉ ra các vtpt n p n 2 của hai đường tiệm cân.
Bước 2: Khi đó: COS a =
n,.n.
n, n Bước 3: Kết luận.
Câu II.
1. Chúng ta đi đánh giá lần lượt:
VP = 4 sin í 7n 1 / \
í ~ 71 í * 1 ( * ì
— - X = 4 sin 271- — - X = 4s i n - —- X = - 4 sin —+ x
l 4 J l 4 J l 4 J u J
= 4 sin — - X = 4 sin
u J
= - 2 \ f ĩ (sin X + c o s x ) ,
1 - 1 —u
sin I • I X — ——
2
VT = c o s x
1 1 s i n x + c o s x
—_ + — :— = — — --- - s i n x c o s x sin X. c o s X
V ^ /
Tức cả hai v ế sẽ có nhân tử chung là (sinx + cosx), điều đó khảng định rằng phương trình sẽ được chuyển về dạng tích để giải. Và cụ thể chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình. (*)
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi như trên để chuyển phương trình về dạng tích:
(sinx + co sx ).f(x ) = 0 => N ghiệm .
Bước 3: Kết hợp với (*) để đưa ra kết luận về nghiệm ch o phương trình.
2. Đ ây là hệ phương trình không mẫu mực, do vậy để giải nó chúng ta cần có những đánh giá như sau:
■ Phương trình thứ nhất cua hệ có thể được phân chia như sau:
X2 + y + x y (x 2 + y ) + xy = - - 4
Tức là, nó được xây dựng dựa trên bộ cơ sở X2 + y và xy.
■ Chúng ta thử định hướng biến đổi phương trình thứ hai của hệ theo X2 + y và xy, cụ thể:
X4 + y 2 + xy(l + 2 x ) = - — o ( x 2 + y )2 + xy = .
4 4
Từ đó, bằng việc sử dụng ẩn phụ u = X2 + y và v = x y , hệ phương trình được biến đổi về dạng:
5
Ho này dược giai dè dàng hằng phưcmg pháp thế.
Cuối cùng với (II,,; v„) tìm được chúng ta sẽ có tiệ mới: <X + y = u
Như vậy, chi cần sir dung phương pháp thế chúng ta sẽ giải được hệ trên.
1 Với mong muốn cung cấp cho các cm học sinh một lượng kiến thức tổng quát là “Tint điểm M thuộc dường thẳng (d) thoả mãn diều kiện K ”, ta
lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách l : Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình đườniỉ thẳng (d) về dạng tham số:
Bước 2: Đ iểm M e (d), suy ra M(x„ + at; y„ + bt; Z,, + ct) Bước 3: Thiết lập tính chất K cho điểm M.
Cách 2 : Sử dụng điều kiện K khảng định M thuộc đường (L ), khi đó:
(d) n (L) = {MỊ . Chúng ta thường gặp:
1. Tim trên đường thẳng (d) điểm M (xm; y M; ZM) sao ch o X2M + y 2M +Z*., nhỏ nhất (hoặc được phát biếu dưới dạng "Tìm toạ độ hình chiểu vuông góc M của o trên (d)").
Khi đó, nếu sử dụng cách 1 thì bước 3 có nội dung:
2. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng (d).
■ N ếu sử dụng cách 1 thì bước 3 có nội dung:
A M _L (d) ô A M 1 U o ẢM.Ũ = 0 => Giỏ trị t => Toạ độ H.
■ N ếu sử dụng cách 2 thì thực hiện theo các bước:
Bước I: Xác định vtcp ẩ của đường thẳng (d).
Bước 2: V iết phương trình mặt phẳng (P) thoả mãn:
C àu 1 l ĩ .
X = x (l +at
(d): < y = y„ + b t , t e R (có vtcp u(a; b; c ) ).
y = z„+ct
XL + y M + ZM = (x<>+ at)2 + (yô+ bt)2 + <z*, + ct)2
= At2 + Bt + c > —
4A
A b
ơc í \ ị , + yt, + zL) = --- đat đươc khi t = — — => M.
^ V M JM M;M,n 4 A 2A
Khi đó:
Bước 3: Hình chiếu vuông góc M của A lên đường thẳng (d) là giao điểm cúa (d) và (P).
Từ việc xác định được toạ độ hình chiếu vuòng góc của A lên (d), chúng ta thực hiện được việc:
i- Tìm toạ độ điểm M thuộc (d) sao cho độ dài AM ngắn nhất.
4- Tim toạ độ điểm A | đối xứng với điểm A qua (d), cụ thể ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M cua A lên (d).
Bước 2: Suy ra toạ độ điểm AI từ điều kiện M là trung điểm của A AI . Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:
Bước 1: Xác định vtcp u của đường thẳng (d).
Bước 2: Giả sử A ,(x; y; z), suy ra:
Trung điểm M của A A , thuộc (d) A A , ± ( d )
<=>
M ^x + x A - y + y A . z + z A x
€ ( d )
Toạ độ A|.
2 2 2
Ă Ã7.U = 0
4- V iết phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với (d) và cắt (d), cụ thể ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: X ác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d).
Bước 2: Suy ra đường thẳng (AM ) là đường thẳng cần đựng.
Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:
B ư ớcl: V iết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa đường thẳng (d).
Bước 2: V iết phương trình mặt phảng (Q ) đi qua A và vuông góc với đường thẳng (d).
Bước 3: Đường thẳng cần tìm chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q ).
4- V iết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (d), cụ thể ta thực hiộn theo các bước:
Bước 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d).
Bước 2: Mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) được xác định bởi:
Tâm A
Bán kính R=AM (S):
Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:
Bước 1: Gọi R là bán kính mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với (d) thì ta có:
R = d(A , (d)).
Hước 2: Phương trình mật cầu (S) được xác định bởi:
(Tâm A /"QV
I Bán kính R
i- V iết phương trình mặt cầu tâm A và cắt (d) tại hai điểm E, F sao cho EF = /, cụ thể ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc M của A lên (d).
Ta có M là trung điểm của đoạn EF.
Bước 2: Mặt cầu (S) cần dựng dược xác định bởi:
Tâm A
Bán kính R=AE=n/aM2 + EM2 (S):
o ( S ) :
Tâm A
Bán kính R=, AM + ' E F x2 Tuy nhiên, yêu cầu này còn có thể thực hiện bằng cách:
Bước 1: G ọi M là hình chiếu vuổng góc của A trên (d) (khi đó M là trung điểm của đoạn EF) và R là bán kính mặt cầu (S) cần dựng thì ta có:
R=ảE=VaM 2 + EM2 = J d 2(A, (d)) + 2 ,
Bước 2: Phương trình mặt cầu (S) được xác định bởi:
<s*í \ Bán kính RW .
2. Sử dụng đánh giá rằng nếu gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mật phẳng (P), ta có:
d(A, (P)) = AK < AH - tính chất đường vuông góc và đường xiên.
Do đó, khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi và chỉ khi K H H. Suy ra, mặt phẳng (p ) cần dựng sẽ đi qua H, do đó:
ÍQua A ( P ) : j
[vtpt AH
Kết hợp hai câu I), câu 2) chúng ta đưa ra được lược đồ để giải bài toán
"Viết phương trình mặt plìẳng (P) chửa (d) sao cho khoáng cách từ A đến (P) lớn nhất", bàng cách thực hiện theo các bước:
Bước I:
Bước 2:
Bước 3:
Tim toạ độ hình chiêu vuông góc H của A trẽn (d).
G ọi K là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phảng (P), ta cổ:
d(A , (P)) = AK < AH
tính chất đường vuông góc và đường xiên.
Do đó, khoảng cáclv từ A đến (P) lớn nhất khi và chi khi K 3 H.
Suy ra, mặt -phang (P) cần dựng sẽ đi qua H. do đó:
Qua A vtpt AH (P):
C âu IV .
1. Nhận xét rằng với tích phân chứa tan"x, nếu muốn sử dụng ẩn phụ t = tanx, chúng ta cần có sự xuất hiện của — ", - , và điều này dược thực hiện thôngdx