CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm vững được cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc trên đường tròn lượng giác, số đo đơn vị độ, rađian, mối quan hệ giữa các đơn vị này
Trang 1Trang 1
BÀI 1 CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC MỤC TIÊU
Kiến thức:
- Nắm vững được cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc trên đường tròn lượng giác, số đo đơn vị độ, rađian, mối quan hệ giữa các đơn vị này
- Phát hiện được các vấn đề trong toán học từ những bài toán thực tế
Kỹ năng:
- Đổi được đơn vị từ độ sang rađian và ngược lại
- Biểu diễn được cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
- Tinh được độ dài cung tròn, số đo cung theo dữ kiện cho trước
- Xác định được điểm cuối của một cung lượng giác và tia cuối của một góc lượng giác
I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khái niệm cung và góc lượng giác
- Đường tròn định hướng là đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương (Hình 1)
Hình 2
- Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì có vô số cung lượng giác có điểm đầu là A, điểm cuối là B, kí hiệu AB Lưu ý: kí hiệu AB chỉ cung hình học xác định bởi A, B
- Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động trên đường tròn
từ C đến D tạo nên cung lượng giác CD nói trên Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến
OD Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD Kí hiệu góc lượng giác đó
là (OC,OD) (Hình 1)
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R =1 Đường tròn này cắt hai
trục tọa độ tại bốn điểm (1;0), ( 1;0), (0;1), (0; 1)A A B B Ta lấy A(1;0) làm điểm gốc của đường tròn Đường tròn được xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác gốc A (Hình 2)
Trang 2Trang 2
Hình 2
Số đo cung và góc lượng giác
- Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad
- Quy tắc đổi từ độ sang rad và từ rad sang độ:
180
1 rad và 1rad 180
- Độ dài cung có số đo a rad của đường tròn bán kính R được tính theo công thức: I R
- Số đo của một cung lượng giác AM (AM) là một số thực âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM
là sđ AM
- Số đo của góc lượng giác (OA,OC) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng
- Để biểu diễn một cung lượng giác trên đường tròn lượng giác ta chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu, điểm cuối là điểm M được xác định bằng hệ thức sử sđ AM = a
Ví dụ: Vì 25 8
3
là điểm M thuộc cung nhỏ AB sao cho
60
3
AOM
3
trên đường tròn lượng giác như hình vẽ
II CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1 Đơn vị đo độ và rađian
Phương pháp giải
Dùng mối quan hệ giữa độ và radian: 180 rad
• Đổi cung a có số đo từ radian ra độ 180
a
• Đổi cung x có số đo từ độ ra rađian
180
x
Ví dụ:
a) Đổi cung 3
4
có số đo từ radian ra độ
rad
4
180
135
b) Đổi các cung 50°; 11°15' CÓ số đo từ độ ra radian
Trang 3Trang 3
5
;
15
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 Đổi số đo các cung sau đây 25 ;30 ;24 15 ;80 30
từ độ ra rađian
Hướng dẫn giải
Ta có 25 25 5 rad
180 36
180 6
60 180 720
60 180 360
Ví dụ 2 Đổi số đo các cung sau đây: ; ; 0, 75 ;3, 75
9 24
từ rađian ra độ
Hướng dẫn giải
Ta có rad
9
180
20 ; rad
24
180
24
7,5 7 30
0, 75 rad 0, 75 180
135 ; 3, 75rad 3, 75 180 675 214,9
Ví dụ 3 Số đo cung 10,5(rad) từ rađian ra độ, phút, giây là
A 601 3619 B ''
601 36 20 C 601 36 21 D 601 36 22
Hướng dẫn giải
Do 10,5rad 10,5 180 1890
nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau
Ta được kết quả là 601 36 20.47
Vậy góc lượng giác có số đo 10,5(rad) thì có số đo theo độ làm tròn đến giây
là 601 36 20
Chọn B
Ví dụ 4 Đổi số đo cung 138 32 22
từ độ ra rađian là (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)
Hướng dẫn giải
Do 138 32 22 138 32 22 (rad)
180
nên để kết quả chính xác đến giây, chúng ta sẽ sử dụng máy tính
bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) và ấn như sau
Ta được kết quả là 2,417969449
Trang 4Trang 4
Vậy góc lượng giác có số đo 138 32 22 thì có số đo theo rađian làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba là 2,418
Chọn C
Ví dụ 5 Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vuông góc với
nhau? Lúc đó tổng số đo góc hai kim quay được theo rađian hoặc độ là bao nhiêu? (Độ: chính xác đến giây, rađian: chính xác đến chữ số thập phân thứ ba)
A 212 83 37 '' B 3,724 (rad) C 3,713(rad) D 213 83 37
Hướng dẫn giải
Lúc 3 giờ hai kim vuông góc với nhau nên khoảng cách giữa hai kim là 1
4 vòng đồng hồ Để kim phút vuông góc với kim giờ một lần nữa thì kim phút phải đuổi kịp kim giờ và đi tiếp đến khi khoảng cách giữa hai kim là 1
4 vòng đồng hồ một lần nữa
Ở đây chúng ta sẽ sử dụng công thức quen thuộc là
Thời gian = (Quãng đường) : (Vận tốc)
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là 1 1 11
12 12
(vòng đồng hồ/giờ)
Vào lúc 3 giờ khoảng cách giữa hai kim là 1
4 vòng đồng hồ Vậy khoảng thời gian ngắn nhất để kim phút lại vuông góc với kim giờ là 1 1 :11 6
4 4 12 11
(giờ) Trong một giờ kim phút quay được một vòng 360°,
còn kim giờ quay được 30° cho nên tổng số đo góc hai kim quay được trong 6
11 giờ là
360 30
Tiếp theo ta dùng máy tính bỏ túi và thực hiện giống như Ví dụ 3 và Ví dụ 4 thì ta có được kết quả như
sau 212°43'38" và 3,713 (rad)
Chọn C
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1 Góc lượng giác có số đo -2880° thì có số đo theo rađian là
A 16(rad) B 16(rad) C -16(rad) D -16(rad)
Câu 2 Góc lượng giác có số đo
36
rad thì có số đo theo độ là
Câu 3 Góc lượng giác có số đo 49
5 rad thì có số đo theo độ làm tròn đến phút là
A 561 29 B 561 30 C 561 31 D 561 32
Câu 4 Góc lượng giác có số đo 78° thì có số đo theo rađian là
A 13 (rad)
30
B 13 (rad)
30
30 (rad)
13
Câu 5 Góc lượng giác có số đo 22°30' đổi ra rađian là
A (rad)
8
B 7 (rad)
12
5
6
Câu 6 Cho (OA OM, )23 15 k360 ; k Với k bằng bao nhiêu thì(OA OM, )3263 15 ?
Trang 5Trang 5
Câu 7 Đường tròn lượng giác cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm (1;0),A A( 1;0), (0;1), B B(0, 1) Ta thường chọn điểm gốc của đường tròn lượng giác tại điểm nào?
A A(1; 0) B O 0;0 C B 0;1 D '
1;0
Câu 8 Một bánh xe có 108 bánh răng Góc mà bánh xe quay được khi di chuyển 30 bánh răng là
Bài tập nâng cao
Câu 9 Người ta muốn xây dựng một cây cầu bằng sắt có chiều cao MN = 5m qua sông (như hình vẽ)
Biết rằng AB = 50m Số đo cung AMB theo rad gần bằng số nào trong các số sau?
A 0, 25 (rad) B 0,35 (rad) C 0, 45 (rad) D.0,55 (rad)
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
HƯỚNG DẪN
Câu 9 Chọn A
Gọi O là tâm của đường tròn chưa cung AMB MK là đường kính của đường tròn tâm , O OA ;
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ∆AMK vuông tại A, đường cao AN,
ta có
2 2
5
AN
MN
125
AN
NK
Do tính chất góc nội tiếp bằng 1
2 số đo cung bị chắn nên
0
45, 2 0, 251 (rad)
Dạng 2 Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Để biểu diễn cung lượng giác có số đo a trên đường tròn lượng giác ta thực hiện như sau:
- Chọn điểm A(1;0) làm điểm đầu của cung
- Xác định điểm cuối M của cung sao cho AM
Lưu ý:
Trang 6Trang 6
+ Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2là:
sđAM k2 ; k Ngoài ra, ta cũng có thể viết số đo bằng độ:
sđAM xk360 , k + Nếu ta có AM k2 ; ,k n
n
thì sẽ có n điểm ngọn
Ví dụ: Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là 25
4
Ta có
AM
Vậy điểm cuối M của cung AM sẽ trùng với điểm ngọn của cung
4
Suy ra M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB
Ví dụ 1 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là -1485°
Hướng dẫn giải
Ta có sđ AM 1485 45 ( 4) 360 Vậy điểm cuối M của cung AM sẽ trùng với điểm cuối của
cung - 45°C
Suy ra M là điểm chính giữa của cung nhỏ '
AB
Ví dụ 2 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngon của cung lượng giác có số đo
6 k 2 k
Hướng dẫn giải
Trang 7Trang 7
AM k
nên có 4 điểm ngọn trên đường tròn lượng giác
6
AM
có điểm ngọn là M
6 2
AN
có điểm ngọn là N
2
6
AP có điểm ngọn là P
3
6 2
AQ
có điểm ngọn là Q
4
6
AR
có điểm ngọn là R Lúc này điểm ngọn R trùng với M
Vậy bốn điểm M, N, P, Q tạo thành một hình vuông nội tiếp đường tròn lượng giác
Ví dụ 3 Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn của cung lượng giác có số đo là ;
3
k k
Hướng dẫn giải
Ta có sđ 2
6
AM k
nên có sáu điểm ngọn trên đường tròn lượng giác
0
k sđ AM 0 có điểm ngọn là M
1
3
AN
có điểm ngọn là N
2
3
AP
có điểm ngọn là P
Trang 8Trang 8
3
k sđ AQ có điểm ngon là Q
4
3
AR
có điểm ngọn là R
5
3
AS
có điểm ngọn là S
6
k sđ AT 2 có điểm ngọn là T
Lúc này điểm ngọn T trùng với M
Vậy sáu điểm M, N, P, Q, R; S tạo thành một lục giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác
Ví dụ 4 Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ 3 giờ Hỏi sau bao nhiêu lâu hai kim lại vuông góc với
nhau?
A 6
7
8
9
11 giờ
Câu này ta thấy giống Dạng 1 Ví dụ 5 Nhưng giờ ta sẽ giải theo một cách tư duy khác như sau:
Hướng dẫn giải
Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2 ; kim giờ quét được một góc
6
Hiệu vận tốc giữa
kim phút và kim giờ là 2 11
Vào lúc 3 giờ hai kim vuông góc với nhau cho nên khoảng cách
giữa hai kim là
2
Sau đó kim phút phải quay để bắt kịp kim giờ và tạo thành một góc vuông nữa nên
kim phút cần phải quay thêm
2
nữa
Khoảng thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần nữa là :11 6 ( )
Chon A
Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1 Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung
lượng giác có số đo là
5
?
A 7
5
5
5
D 31
5
Câu 2 Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, khi nào xảy ra
trường hợp các điểm đầu, cuối của chúng trùng nhau?
A Khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2
B Khi các số đo hơn kém nhau một ước của 2
C Khi các số đo hơn kém nhau một bội của
D Khi các số đo hơn kém nhau một ước của
Câu 3 Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối không trùng với
cung lượng giác có số đo là 23
7
?
A 5
7
7
7
7
Câu 4 Trong các cung lượng giác sau, cung lượng giác nào có điểm đầu và điểm cuối trùng với cung
lượng giác có số đo là 1756°?
Trang 9Trang 9
Câu 5 Cung nào sau đây có điểm cuối trùng với M? Biết M là điểm chính giữa của cung AB
B 2 ;
D 2 ;
Câu 6 Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm B và điểm cuối trùng với M? Biết M là điểm chính giữa
của cung A B
4 k k
B 5 ;
4 k k
D 5 2 ;
Câu 7 Biết tam giácOCBvàODBlà hai tam giác đều Cung nào sau đây có điểm đầu là điểm A và điểm cuối trùng với B, C, D?
2 k 3 k
6 k 3 k
Trang 10Trang 10
Câu 8 Cho
6
AOB
Cho các góc lượng giác có số đo ;5 ; 5 ;13 ; 11 ;7 ; 7
Trong các
góc lượng giác có số đo trên, có bao nhiêu góc lượng giác có tia đầu là OA, tia cuối là OB?
Bài tập nâng cao
Câu 9 Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông
góc với nhau hai lần Hỏi thời gian để hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên gần với số nào sau đây
A 15 phút B 16 phút C 17 phút D 18 phút
Câu 10 Kim giờ và kim phút của đồng hồ chỉ thời gian lúc 12 giờ Hỏi thời gian để 2 kim trùng nhau lần
thứ 2 là bao lâu (không tính lúc 12 giờ)?
A 23
24
25
11 giờ D 2 giờ
Câu 11 Kim giờ và kim phút chỉ thời gian lúc 12 giờ Người ta để ý rằng cứ cách 1 giờ thì hai kim vuông
góc với nhau hai lần Số lần hai kim vuông góc với nhau từ 12 giờ đến 15 giờ và 16 giờ là
A 6 và 7 lần B 6 và 8 lần C 5 và 7 lần D 5 và 8 lần
HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
11-A
Câu 9 Chọn B
Xét chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ Trong 1 giờ, kim phút quay được 1 vòng là 2 rad
và kim giờ quay được 1
12 vòng là 6rad.
Trang 11Trang 11
- Hai kim vuông góc với nhau thì hai kim cách nhau một khoảng là
2rad
- Nhận thấy rằng trong 1 giờ, hai kim vuông góc với nhau 2 lần nên chu kỳ của phương trình dưới sẽ là
k
Gọi x là thời gian để hai kim vuông góc với nhau Ta có phương trình như sau
; 2 1 11 1 3 6.
11
k x (giờ) 16,3 (phút)
Vậy sau 16,3 phút thì hai kim vuông góc với nhau lần đầu tiên
Câu 10 Chọn B
Xét chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ Trong 1 giờ, kim phút quay được 1 vòng là
2 rad
và kim giờ quay được 1
12 vòng là 6(rad)
Nhận thấy rằng cứ cách hơn 1 giờ thì 2 kim sẽ gặp lại nhau nên chu kỳ của phương trình dưới sẽ là k2m Gọi x là thời gian để 2 kim trùng nhau Ta có phương trình như sau
2 2 11 2 12.
11
k x (giờ)
Vậy sau : 24
11 (giờ) thì 2 kim gặp nhau lần thứ 2
Câu 11 Chọn A
- Phương trình hai kim vuông góc với nhau là 3 6. ; ; 0
11 11
k
x k k (áp dụng kết quả câu 9)
- Vào lúc 15 giờ cách 12 giờ 3 tiếng nên 3 3 6. 5
11 11
k k
Vì k là số nguyên nên k={0,1,2,3,4,5}
Vậy vào lúc 15 giờ 2 kim vuông góc với nhau 6 lần
- Vào lúc 16 giờ cách 12 (giờ) 4 tiếng nên 4 3 6 6,8 {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}
11 11
k
Vậy vào lúc 16 giờ 2 kim vuông góc với nhau 7 lần
Dạng 3 Độ dài của một cung tròn
Phương pháp giải
Cung có số đo a (rad) của đường tròn bán kính R có độ dài là l R a
Ví dụ : Một đường tròn có bán kính 30 cm Tìm độ dài của các cung trên đường tròn có số đo sau đây: rad; 70
15
Hướng dẫn giải
Gọi , ,l R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và | bán kính của đường tròn Khi đó R = 30 cm
+) Độ dài cung có số đo
15
rad là
30 2 (cm) 15
+) Độ dài cung có số đo 70° Chuyển từ độ sang radian:
Trang 12Trang 12
7
70 70
180 18
Độ dài cung: 30 7 35 (cm)
18 3
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 Trên đường tròn định hướng có bán kính bằng 3 lấy một cung có độ dài là 2 Số đo theo độ của cung đó là
Hướng dẫn giải
Gọi , ,l R lần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn
Khi đó R3;I 2
3
R
180
120
Chọn A
Ví dụ 2 Một cung lượng giác trên đường tròn định hướng có độ dài bằng một nửa bán kính Số đo theo
rađian của cung đó là
A 1rad
Hướng dẫn giải
Gọi , ,l Rlần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của đường tròn
Vì độ dài bằng nửa bán kính nên 1
2
I R
Ta có
1
R
R
1 (rad) 2
Chọn A
Ví dụ 3 Biết độ dài của xích đạo là 40000 km Bán kính của Trái Đất là
A 6166,2 km B 6266,2 km C 6366,2km D 6466,2 km
Hướng dẫn giải
Gọi , ,l Rlần lượt là số đo cung, độ dài cung và bán kính của Trái Đất
Khi đó I 40000(km)
2
I
I R R
Chọn C
Ví dụ 4 Kim giờ dài 5,5cm và kim phút dài 11cm của đồng hồ chỉ 4 giờ Hỏi sau bao nhiêu lâu 2 kim lại
vuông góc với nhau? Lúc đó tổng quãng đường 2 đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?
Câu này ta thấy giống ví dụ 5 Dạng 1 nhưng giờ ta sẽ giải theo 1 cách khác như sau
Hướng dẫn giải
- Một giờ, kim phút quét được 1 góc lượng giác 2 ; kim giờ quét được một góc
6
- Vào lúc 4 giờ hai kim cách nhau 1
3 đồng hồ cho nên khoảng cách giữa 2 kim là
2 3
Sau đó kim phút
phải quay để tạo thành 1 góc vuông với kim giờ nên kim phút cần cách kim giờ 1 khoảng
2
nữa