Xin giới thiệu tới các bạn học sinh, sinh viên Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 16. Đề thi gồm có 10 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết với thời gian làm bài 180 phút. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.
Trang 1THI THÛ I HÅC NM 2015 SÈ 16
C¥u 1 (2,0 iºm) Cho h m sè x3− 6x2+ 3(4 − m2)x + 6m2− 7(1), trong â m l tham sè
a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà cõa h m sè (1) khi m = 1
b) T¼m m º ç thà h m sè (1) ¤t cüc trà t¤i A, B sao cho tam gi¡c OAB vuæng t¤i O
C¥u 2 (1,0 iºm)
a) Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 52x+1− 26 · 5x+ 5 > 0 (x ∈ R)
b) T¼m tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z bi¸t |z − 1| = |(1 − i)z|
C¥u 3 (1,0 iºm) T½nh t½ch ph¥n
I =
Z 2 0
2x ·√ex+ x2+√ex
1 + 2x dx
C¥u 4 (1,0 iºm) Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho m°t ph¯ng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 v hai ÷íng th¯ng d1 : x − 1
y − 3
−3 =
z
1, d2: x − 5
y
4 =
z + 5
−5 a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (Q) qua ÷íng th¯ng d1 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P )
b) T¼m iºm M thuëc ÷íng th¯ng d1 v iºm N thuëc ÷íng th¯ng d2 sao cho ÷íng th¯ng MN song song vîi m°t ph¯ng (P ) çng thíi ÷íng th¯ng MN c¡ch m°t ph¯ng (P ) mët kho£ng b¬ng 2
C¥u 5 (1,0 iºm) H¼nh châp S.ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B, BC = SA = a, \ACB = [SAC = 600, m°t ph¯ng (SAC) vuæng gâc vîi m°t ¡y T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v kho£ng c¡ch tø iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC)
C¥u 6 (1,0 iºm)
a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh sin 3x + 3 cos 2x = sin x, x ∈ (−π; π)
b) Mët lîp câ 30 håc sinh trong â câ 3 håc sinh l c¡n bë lîp Chån ng¨u nhi¶n 3 håc sinh tø lîp º l m trüc nhªt lîp håc T½nh x¡c su§t º trong 3 håc sinh ÷ñc chån câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp
C¥u 7 (1,0 iºm) Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh vuæng ABCD câ iºm B thuëc ÷íng th¯ng
d : x + 3y − 6 = 0, iºm E thuëc tia èi cõa tia BA sao cho BA = 2BE, iºm H(7; 3) l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa
Atr¶n CE, hai ÷íng th¯ng DH v AB ct nhau t¤i iºm F (16; 0) T¼m tåa ë c¡c ¿nh cõa h¼nh vuæng ABCD C¥u 8 (1,0 iºm) Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
2
y +px + y2 +√ y
4 − x + 2 = 1
y3− y + 4 = 2√x + 1
(x, y ∈ R)
C¥u 9 (1 iºm) Cho x, y l c¡c sè thüc d÷ìng ph¥n bi»t thäa m¢n x2+ 4y2 ≤ 2(xy + 2) T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P = 16 +16 + 5
Trang 2P N THI THÛ SÈ 16 C¥u 1 Cho h m sè x3− 6x2+ 3(4 − m2)x + 6m2− 7(1), trong â m l tham sè
a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà cõa h m sè (1) khi m = 1
b) T¼m m º ç thà h m sè (1) ¤t cüc trà t¤i A, B sao cho tam gi¡c OAB vuæng t¤i O
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
a) Vîi m = 1 ta câ y = x3− 6x2+ 9x − 1
• Tªp x¡c ành: R
• Ta câ
y0 = 3x2− 12x + 9,
y0 = 0 ⇔x = 1 ⇒ y(1) = 3
x = 3 ⇒ y(3) = −1
• lim
x→±∞y = lim
x→±∞x3
1 − 6
x +
9
x2 − 1
x3
= ±∞
• B£ng bi¸n thi¶n:
x
y0
y
−∞
3
−1
+∞
• H m sè çng bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; 1), (3; +∞)
• H m sè nghàch bi¸n tr¶n (1; 3)
• ç thà h m sè ¤t cüc ¤i t¤i (1; 3) v ¤t cüc tiºu t¤i (3; −1)
• ç thà:
−1
3
y
O
x
Trang 3b) Tªp x¡c ành: R y0 = 3x2− 12x + 3(4 − m2).
• Ta câ
y0 = 0 ⇔x = 2 − m ⇒ y(2 − m) = 1 + 2m3
x = 2 + m ⇒ y(2 + m) = 1 − 2m3
• H m sè câ hai iºm cüc trà ⇔ y0 = 0câ hai nghi»m ph¥n bi»t ⇔ 2 − m 6= 2 + m ⇔ m 6= 0
• Khi â hai iºm cüc trà cõa ç thà h m sè (1) l A(2 − m; 1 + 2m3), B(2 + m; 1 − 2m3) Tam gi¡c OAB vuæng t¤i O
⇔OA ·−→
−→
OB= 0
⇔ (2 − m)(2 + m) + (1 + 2m3)(1 − 2m3) = 0
⇔ −4m6− m2+ 5 = 0 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = ±1
• Vªy m = ±1
C¥u 2
a) Gi£i b§t ph÷ìng tr¼nh 52x+1− 26 · 5x+ 5 > 0 (x ∈ R)
b) T¼m tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z bi¸t |z − 1| = |(1 − i)z|
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
a) B§t ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng vîi
5 · (5x)2− 26 · 5x+ 5 > 0
⇔
"
5x < 1 5
5x > 5
⇔x < −1
x > 1
Vªy tªp nghi»m cõa b§t ph÷ìng tr¼nh l S = (−∞; −1) ∪ [1; +∞)
b) °t z = x + yi, x, y ∈ R Ta câ M(x, y) v
|z − 1| = |(1 − i)z| ⇔ |(x − 1) + yi| = |1 − i| · |x + yi|
⇔p(x − 1)2+ y2=√2 ·px2+ y2
⇔ x2+ y2− 2x + 1 = 2x2+ 2y2
⇔ x2+ y2+ 2x − 1 = 0
Vªy tªp hñp c¡c iºm M biºu di¹n sè phùc z l ÷íng trán (C) : x2+ y2+ 2x − 1 = 0 câ t¥m I(−1; 0)v câ b¡n k½nh R =√2
C¥u 3 T½nh t½ch ph¥n
I =
Z 2 0
2x ·√ex+ x2+√ex
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
Ta câ
I =
Z 2 0
√
ex(2x + 1) + x2
1 + 2x dx =Z 2
0
√
exdx +Z 2
0
x2
1 + 2xdx = A + B
• T½nh A:
A =
Z 2 0
e1xdx = 2e1 x
2
0 = 2(e − 1)
Trang 4• T½nh B: °t t = 2x + 1 ⇒ x = t − 1
2 ⇒dx = 1
2dt êi cªn: xt 01 25
B =
Z 5 1
(t − 1)2 4t ·
1
2dt = 1 8
Z 5 1
t − 2 + 1
t
dt
= 1 8
1
2t
2− 2t + ln t
5 1
= 1
2 +
1
8ln 5.
Vªy I = 2e − 3
2+
1
8ln 5
C¥u 4 Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho m°t ph¯ng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 v hai ÷íng th¯ng d1 :x − 1
y − 3
−3 =
z
1, d2 : x − 5
y
4 =
z + 5
−5 a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (Q) qua ÷íng th¯ng d1 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P ) b) T¼m iºm M thuëc d1 v iºm N thuëc d2 sao cho ÷íng th¯ng MN song song vîi m°t ph¯ng (P ) çng thíi ÷íng th¯ng MN c¡ch m°t ph¯ng (P ) mët kho£ng b¬ng 2
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
a) ÷íng th¯ng d1 qua iºm A(1; 3; 0), nhªn−→u = (2; −3; 1)l m vectì ch¿ ph÷ìng M°t ph¯ng (P )
câ vectì ph¡p tuy¸n l −→nP= (1; −2; 2) V¼ (Q) chùa ÷íng th¯ng d1 v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P )n¶n i qua A v câ vectì ph¡p tuy¸n l
−→
n =h−→nP,−→u i= (4; 3; 1)
Do â ph÷ìng tr¼nh m°t ph¯ng (Q) : 4x + 3y + z − 13 = 0
b) Ta câ M ∈ d1 ⇒ M (2a + 1; −3a + 3; a), N ∈ d2⇒ N (6b + 5; 4b; −5b − 5),
−→
M N = (6b − 2a + 4; 4b + 3a − 3; −5b − a − 5)
• Ta câ
M N k (P ) ⇔
(
M /∈ (P )
−→
M N ·−→n = 0
⇔
( (2a + 1) − 2(−3a + 3) + 2a − 1 6= 0 (6b − 2a + 4) − 2(4b + 3a − 3) + 2(−5b − a − 5) = 0
⇔
a 6= 3 5 6b + 5a = 0
• V¼ MN k (P ) n¶n d(MN, (P )) = d(M, (P )) = |10a − 6|
3 Do â
d(MN, (P )) = 2 ⇔ |10a − 6| = 6 ⇔" a = 0
a = 6
5.
• Vîi a = 0 ta câ b = 0 n¶n M(1; 3; 0), N (5; 0; −5)
• Vîi a = 6
5 ta câ b = −1 n¶n M 17
5 ; −
3
5;
6 5
, N (−1; −4; 0)
Trang 5Vªy M(1; 3; 0), N (5; 0; −5) ho°c M 17
5 ; −
3
5;
6
5 , N (−1; −4; 0)
C¥u 5 H¼nh châp S.ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c vuæng t¤i B, BC = SA = a, \ACB = [SAC = 600, m°t ph¯ng (SAC) vuæng gâc vîi m°t ¡y T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABC v kho£ng c¡ch tø
iºm A ¸n m°t ph¯ng (SBC)
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
C
B
A
S
H
K
T
Gåi H l h¼nh chi¸u vuæng gâc c£u S tr¶n AC, K l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n BC v T l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa H tr¶n SK
(SAC) ⊥ (ABC) (SAC) ∪ (ABC) = AC
SH ∈ (SAC)
SH ⊥ AC
⇒ SH ⊥ (ABC)
AB = AC tan \ACB = a√3 , AC = AB
sin \ACB = 2a , AH = SA cos [SAC =
a
2 , HC = AC−AH =
3a
2 ,
SH = SA sin [SAC = a
√ 3
2 , SABC =
1
2BC · BA =
a2√3
2 .
Do â VS.ABC = 1
3SH · SABC =
a3
4
• Ta câ
d(A, (SBC)) = AC
HC ·d(H, (SAC)) = 4
3·d(H, (SAC))
BC ⊥ HK v BC ⊥ SH n¶n BC ⊥ (SHK) Suy ra BC ⊥ HT M SK ⊥ HT n¶n HT ⊥ (SBC) Th nh thû
d(H, (SBC)) = HT
• HK = CH sin \ACB = 3a
√ 3
4 HT l ÷íng cao cõa tam gi¡c vuæng SHK n¶n
HT = SH · HK
SH · HK
√
SH2+ HK2 = 3a
√ 39
26 . Vªy d(A, (SBC)) = 2a
√ 39
13
Trang 6C¥u 6.
a) Gi£i ph÷ìng tr¼nh sin 3x + 3 cos 2x = sin x, x ∈ (−π; π)
b) Mët lîp câ 30 håc sinh trong â câ 3 håc sinh l c¡n bë lîp Chån ng¨u nhi¶n 3 håc sinh tø lîp
º l m trüc nhªt lîp håc T½nh x¡c su§t º trong 3 håc sinh ÷ñc chån câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
a) Ta câ ph÷ìng tr¼nh ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi
(sin 3x − sin x) + 3 cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 2x sin x + 3 cos 2x = 0
⇔ cos 2x · (2 sin x + 3) = 0 ⇔
"cos 2x = 0 sin x = −3
2 (lo¤i)
⇔2x = π
2 + kπ, k ∈ Z ⇔ x = π
4 + k
π
2, k ∈ Z
Ta câ x ∈ (−π; π) ⇔ k ∈
−5
2;
3 2
M k ∈ Z n¶n k ∈ {−2; −1; 0; 1} Vªy tªp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l S =
−3π
4 ; −
π
4;
π
4;
3π 4
b) Gåi Ω l khæng gian m¨u, A l bi¸n cè "trong 3 håc sinh ÷ñc chån câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp" T½nh |Ω|: |Ω| ch½nh l sè c¡ch chån 3 håc sinh tø mët lîp câ 30 håc sinh n¶n
|Ω| = C303 = 4060
T½nh |ΩA|: Trong sè C3
30 c¡ch chån 3 håc sinh tòy þ câ C3
27c¡ch chån khæng câ c¡n bë lîp n o
Do â sè c¡ch chån 3 håc sinh câ ½t nh§t mët c¡n bë lîp l
|ΩA| = C303 − C273 = 1135
Vªy x¡c su§t cõa bi¸n cè A l
P (A) = |ΩA|
|Ω| =
227
812.
C¥u 7 Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho h¼nh vuæng ABCD câ iºm B thuëc ÷íng th¯ng
d : x + 3y − 6 = 0, iºm E thuëc tia èi cõa tia BA sao cho BA = 2BE, iºm H(7; 3) l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa A tr¶n CE, hai ÷íng th¯ng DH v AB ct nhau t¤i iºm F (16; 0) T¼m tåa ë c¡c
¿nh cõa h¼nh vuæng ABCD
F
H
A
p
Trang 7Ph¥n t½ch-Líi gi£i.
C¡c tù gi¡c ABHC v ADCH còng nëi ti¸p ÷íng trán ÷íng k½nh AC n¶n tù gi¡c DCHB công nëi ti¸p ÷íng trán ÷íng k½nh AC Do â
\ DHC = \DCB = 900 , \BHE = \BCD = 450
• Ta câ DF : x + 3y − 16 = 0, BH : 3x − y − 18 = 0, B l giao iºm cõa DF vîi BH n¶n B(6; 0)
HE l ph¥n gi¡c gâc \BHF n¶n ta câ
BE
EF =
BH
F H =
1
3 ⇒
−→
BE= 1 4
−→
BF ⇒ E 17
2 ; 0
• EA= 2−→
−→
EB⇒ A(1; 0)
• AD : x = 1, D l giao iºm cõa AD vîi DF n¶n D(1; 5) ⇒ C(6; 5)
C¥u 8 Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh
2
y +px + y2 +√ y
4 − x + 2 = 1 (1)
y3− y + 4 = 2√x + 1 (2)
(x, y ∈ R)
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
i·u ki»n:
−1 ≤ x ≤ 4
x + y2 ≥ 0
y +px + y2 6= 0
Tr÷íng hñp 1: x = 0 Khi â h» trð th nh
2
y +py2 +y
4 = 1
y3− y + 2 = 0
(væ nghi»m)
Tr÷íng hñp 2: x 6= 0 Ta câ
(1) ⇔
2px + y2− y
y 2 −√4 − x
⇔ 2px + y2 = y√4 − x + x
⇒ 4x + 4y2= 4y2− xy2+ x2+ 2xy√4 − x
⇒ y2+ (4 − x) − 2y√4 − x = 0 ⇒ (y −√4 − x)2 = 0
⇒ y =√4 − x ⇒
(
y ≥ 0
x = 4 − y2 Thay x = 4 − y2 v o (2) ta câ
y3− y + 4 − 2p5 − y2= 0 (3)
i·u ki»n cõa ph÷ìng tr¼nh (3): 0 ≤ y ≤√5 Ta câ
(3) ⇔(y3− y) + 22 −p5 − y2= 0
⇔(y − 1)(y2+ y) +2(y − 1)(y + 1)
2 +p5 − y2 = 0
⇔(y − 1) y2+ y + 2(y + 1)
2 +p5 − y2
!
= 0 (4)
V¼ y2+ y + 2(y + 1)
2 +p5 − y2 > 0 vîi måi y ∈ [0;√5] n¶n (4)⇔ y = 1 ⇒ x = 3 (thäa m¢n) Vªy nghi»m cõa h» l (x, y) = (3; 1)
Trang 8C¥u 9 Cho x, y l c¡c sè thüc d÷ìng ph¥n bi»t thäa m¢n x2+ 4y2≤ 2(xy + 2) T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc
P = 16
x4 + 16
y4 + 5 (x − y)4
Ph¥n t½ch-Líi gi£i
Ta câ
4xy ≤ x2+ 4y2 ≤ 2(xy + 2) ⇒ xy ≤ 2
Do â
4P ≥ x2y2 16
x4 +16
y4 + 5 (x − y)4
= 16 x2
y2 + y
2
x2
2y2 (x2+ y2− 2xy)2
= 16 x
y +
y x
2
− 2
!
x
y +
y
x − 2
2
°t t = x
y +
y
x, t > 2 Ta câ
4P ≥ 16t2+ 5
(t − 2)2 − 32
Theo b§t ¯ng thùc Cauchy, ta câ
1
(t − 2)2 + 8(t − 2) + 8(t − 2) ≥ 33
s 1 (t − 2)2 · 8(t − 2) · 8(t − 2) = 12 ⇒ 1
(t − 2)2 ≥ 44 − 16t
Tø â câ
4P ≥ 16t2− 80t + 188 = 4 (2t − 5)2+ 78 ≥ 88 ⇒ P ≥ 22
Khi x = 2 v y = 1 th¼ P = 22 n¶n gi¡ trà nhä nh§t cõa P b¬ng 22
... class="page_container" data-page="8">C¥u Cho x, y l c¡c số thỹc dữỡng phƠn biằt thọa mÂn x2+ 4y2 2(xy + 2) Tẳm giĂ tr nhọ nhĐt cừa biu thực
P = 16< /sup>
x4...
4P ≥ x2y2 16
x4 +16< /sup>
y4 + 5 (x − y)4
= 16 x2
y2...
P = 16< /sup>
x4 + 16< /sup>
y4 + 5 (x y)4
PhƠn tẵch-Lới giÊi
Ta cõ
4xy x2+ 4y2