Dễ thấy rằng thay số nguyên tố 3 bởi các số nguyên tố khác bất kì, ta có các bài toán mới... Vậy với n là số tự nhiên chẵn khác không thì A chia hết cho 3.. D/*Ta đi từ bài toán: Bài toá
Trang 1Hình thành các bài toán mới
từ một bài toán cơ bản 1) từ dễ đến khó, tuy xa mà gần!
Bài toán A( dễ):
Cmr: m2 - mn + n2 ≥ 0 với mọi n, m
H
ớng dẫn :
m2 - mn + n2 = (m2 - mn +
2
4
n ) + 3 2
4
0
m
− + ≥
Nhận ra rằng nếu cho m = x - 1; n = 1 - y thì có
( ) (2 ) ( ) ( )2
⇔ x2 −2x+ − +1 x xy+ − + −1 y 1 2y y+ 2 ≥0 ⇔ x2 + y2+xy−3x−3y+ ≥3 0
Ta đến với bài toán 1:
Bài toán 1: Cmr: x2+ y2 +xy−3x−3y+ ≥3 0
Và nếu cho m = x - 2, n = 1 - y thì
( ) (2 ) ( ) ( )2
x − x+ − +x xy+ − y+ − y y+ ≥ ⇔ x2 + y2+xy−5x−4y+ ≥7 0
Ta đến với bài toán 2:
Bài toán 2: Cmr: x2 + y2+xy−5x−4y+ ≥7 0
Tiếp tục cho m = a, n = -b thì ta có
a2 - a(-b) + (-b)2 ≥ 0 ⇔a2 + ab + b2 ≥ 0
Mà (a - b)2 ≥ 0 với mọi a, b
Do đó (a2 + ab + b2)(a - b)2 ≥ 0 ⇔ (a2 +ab b+ 2) (a b− ) ( a b− ≥) 0
⇔ (a3−b3) (a b− ≥) 0 ⇔ a4 −a b ab3 − 3 + ≥b4 0 ⇔ a4 + ≥b4 a b ab3 + 3
Ta đến với bài toán 3:
Bài toán 3: Cmr: a4 + ≥b4 a b ab3 + 3 với mọi a, b
Từ bài toán 3 nếu cho a = x2, b = y2 và x, y khác 0, ta có:
( ) ( ) ( )2 4 2 4 2 3 2 2( )2 3
x + y ≥ x y +x y ⇔ 2x82 2 2y8 x y6 22 2 x y2 62 2
Cho ta bài toán:
Bài toán 4: Chứng tỏ rằng với x, y khác 0, BĐT sau đúng x4 + y4 <
ZZZ
2) Về một bài toán (Lớp 6)
Trang 2A/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán cơ bản: Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố.
Lời giải:
* Với k = 0 thì 3.k = 0 không là số nguyên tố
* Với k = 1 thì 3.k = 3 là số nguyên tố
* Với k ≥ 2 thì 3.k là hợp số vì ngoài các ớc là 1 và chính nó số 3.k còn có ớc là 3
Dễ thấy rằng thay số nguyên tố 3 bởi các số nguyên tố khác bất kì, ta có các bài toán mới.
Chẳng hạn:
Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên k để:
a) 17k là số nguyên tố;
b) 101k là số nguyên tố
Từ lời giải bài toán, ta còn có các bài toán sau:
Bài 2: Tìm số tự nhiên k để 3.k là:
a) Hợp số; b) Không là số nguyên tố
Thay “k” bởi n - 15 cho ta bài toán
Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 7(n - 15) là số nguyên tố.
Còn nếu để ý đến:
Với x, y ∈N, ta có: 3 - x = 1 thì x = 3 - 1 = 2,
3 - x là số nguyên tố thì 3 - x = 2; 3 nên x = 1; 0
và 7 - y là số nguyên tố thì 7 - y = 2; 3; 5; 7 nên y = 5; 4; 2; 0
Cho ta bài toán Hay và Khó sau:
Bài 4: Tìm các số tự nhiên x, y để (3 - x).(7 - y) là số nguyên tố.
B/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán cơ bản: Tổng sau có chia hết cho 3 không?
A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
Lời giải:
A = (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + (27 + 28) + (29 + 210)
= 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + 25(1 + 2) + 27(1 + 2) + 29(1 + 2)
= 2.3 + 23 3 + 25.3 + 27.3 + 29.3
Vậy A chia hết cho 3
Từ lời giải bài toán, ta còn có các bài toán sau:
Bài 1: Tổng sau có chia hết cho 3 không?
a) A = 2 + 22;
b) B = 2 + 22 + 23
Giải:
a) A = 2(1 + 2) = 2.3 Vậy A chia hết cho 3
b) B = 2 + 22(1 + 2) = 2 + 22.3
Do 22.3 chia hết cho 3, còn 2 không chia hết cho 3 nên B không chia hết cho 3
Bài 2: Chứng tỏ rằng C = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 22002 chia hết cho 3
Giải:
C = (2 + 22) + (23 + 24) + …+ (22001 + 22002)
= 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + … + 22001(1 + 2)
Trang 3Vậy C chia hết cho 3
Từ lời giải các bài toán, ta có thể đề xuất bài toán tổng quát:
Bài toán tổng quát 1: Chứng tỏ rằng
a) S1 = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 22k chia hết cho 3 với k ∈N*
b) S2 = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 22k + 1 không chia hết cho 3 với k ∈N*
(Chứng minh tổng quát nh bài toán 1)
Bài toán tổng quát 2: Tìm điều kiện của số tự nhiên n ≠0
để tổng A = 2 + 22 + 23 + 24 + …+ 22n chia hết cho 3
Chứng minh đợc chia ra hai trờng hợp là n ∈N*, n chẵn và n ∈N*, n lẻ
Vậy với n là số tự nhiên chẵn khác không thì A chia hết cho 3
C/*Ta đi từ bài toán SGK:
Bài toán cơ bản: Tính tổng sau 1 + 2 + 3 + …+ 98 + 99 + 100
Lời giải: 1 + 2 + 3 + …+ 98 + 99 + 100
= (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + …+ (50 + 51)
= 101 101 1011 4 44 2 4 4 43 = 101.50 = 5050+ + +
Lời giải trên cũng là lời giải của nhà toán học Đức Gau-Xơ (Gauss; 1777-1855) lúc lên 7 tuổi
“Ghép” 1 + 2 = 3; 3 + 4 = 7; 5 + 6 = 11; …; 99 + 100 = 199
Cho ta bài toán1:
Bài 1: Cho biết 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 99 + 100 = 5050
Hãy tính nhanh tổng sau: 3 + 7 + 11 +…+ 199
Và nh vậy ta đề xuất đợc nhiều bài toán tơng tự bài toán 1.
Và … ta có bài toán “ngợc”
Bài 2: Tìm x ∈N biết rằng: 1 + 2 + 3 + 4 + …+ x = 5050
D/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán cơ bản: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3;
b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
Đây là bài toán khó chỉ dành cho Hs giỏi Lời giải bài toán này nh sau:
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2 (a ∈N)
Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) = 3a + 3 chia hết cho 3
b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a; a + 1; a + 2; a + 3 (a ∈N)
Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + (a + 3) = 4a + 6 không chia hết cho 4
Nh vậy ta có bài toán “Hơn một chút”
Bài 1: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của năm số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 5;
b) Tổng của sáu số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 6
Và … và từ ý tởng nh vậy ta đề xuất giải bài toán tổng quát:
Bài toán tổng quát: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho n, nếu n lẻ
b) Tổng của n số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho n, nếu n chẵn
Lời giải: Gọi n số tự nhiên liên tiếp là: a; a + 1; …; a + n - 1
50 Số hạng
Trang 4Ta có: a + (a + 1) + (a + 2) + …+ (a + n -1)
= (1 4 44 2 4 4 43a a a+ + + + + a) 0 1 2 3 + + + + + −(n 1)
= n a + + −(0 n 1 : 2) n =n a +(n−1 : 2 ) n
a) Nếu n lẻ thì n - 1 chẵn nên (n - 1): 2 là số tự nhiên, do đó n a +(n−1 : 2 ) n
chia hết cho n
b) Nếu n chẵn thì n - 1 lẻ nên (n - 1): 2 không là số tự nhiên, do đó
( )
n a+ n− n không chia hết cho n
E/*Ta đi từ bài toán:
Bài 1: Chứng tỏ rằng 12 1
n n
+ + là phân số tối giản (n ∈N) Gợi ý: Vì n ∈N nên muốn chứng tỏ 12 1
n n
+ + là phân số tối giản thì cần chứng tỏ 12n + 1
và 30n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi d là ớc chung lớn nhất của 12n + 1 và 30n + 2
Ta có: (12n + 1) M d và (30n + 2) M d
Do đó 5(12n + 1) - 2(30n + 2) = 1 M d
Vậy d = 1 nên 12n + 1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó 12 1
n n
+ + là phân số tối giản.
Từ đây ta cũng có lời giải cho các bài toán cùng dạng sau:
Bài 2: Chứng tỏ rằng 14 3
n n
+ + là phân số tối giản (n ∈N)
Bài 3: Chứng tỏ rằng 18 5
n n
+ + là phân số tối giản (n ∈N)
Thật ra nếu chỉ cần tìm đợc các số tự nhiên a, b, c, d, e, g
sao cho a bn c( + −) d en g( + ) =1 tức là ab = de, ac dg− =1
en g
+ + và
en g
bn c
+ + là các phân số tối giản (với n ∈N).
F/*Ta đi từ bài toán:
Bài 1: Tìm các số tự nhiên a sao cho a chia hết cho 15 và 0 < a ≤ 40
Lời giải: a M 15 ⇒a = 15k (k ∈N) mà 0 < a ≤ 40 ⇒0 < 15k ≤ 40 ⇒k = 1, 2
Vậy a = 15; a = 30
Mở rộng số các số chia trong phép chia cùng với việc khai thác về số tự nhiên a ta có bài toán:
Bài 2: Tìm các số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số biết rằng nó chia hết cho 5 và 12.
n số hạng
Trang 5Lời giải: a M 5; a M 12 ⇒a ∈BC (5,12) mà (5,12) = 1 ⇒a = 60k (k ∈N) Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số nên 60k > 100 và k nhỏ nhất ⇒k = 2 Vậy a = 120
Khai thác bài toán 1 và bài toán 2 về số d ta có bài toán:
Bài 3: Tìm các số tự nhiên a nhỏ nhất biết rằng khi chia nó cho 2, 3, 4 ta đợc số d lần lợt
là: 1, 2, 3
Lời giải: Vì a chia cho 2, 3, 4 có số d lần lợt là 1, 2, 3 nên a + 1 chia hết cho 2, 3, 4 ⇒ a + 1 ∈BC (2, 3, 4) mà BCNN (2, 3, 4) = 12 ⇒a + 1 = 12k (k ∈N*).Vì a nhỏ nhất ⇒k = 1 nên a + 1 = 12 ⇒ a = 11
Thay đổi hình thức yêu cầu của bài toán 3, nâng cao sự đa dạng của các số d trong các phép chia ta đợc bài toán:
Bài 4: Một số tự nhiên a khi chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13 Hỏi khi
chia a cho 1292 thì có số d là bao nhiêu?
Lời giải:
Vì a chia cho 4 d 3, chia cho 17 d 9, chia cho 19 d 13 nên a + 25 chia hết cho 4,
17, 19 ⇒ a + 25 ∈BC (4, 17, 19) mà (4, 17, 19) = 1 ⇒a + 25 = 4.14.17k (k ∈N*)
⇒ a = 1292k - 25 ⇒ a = 1292(k - 1) + 1267 Vậy a chia cho 1292 thì có số d là 1267
Tiếp tục nâng cao hơn nữa sự đa dạng trong các phép chia ta có bài toán:
Bài 5:Tìm số con vịt (tìm x) biết x chia cho 3 d 1; x chia cho 5 d 4; x chia hết cho 7 Biết
số vịt cha đến 200 con
Lời giải: x chia cho 3 d 1; x chia cho 5 d 4; x chia hết cho 7 nên x + 56 chia hết cho 357
⇒x + 56 = 105k (k ∈N) vì x < 200 ⇒105k - 56 < 200 ⇒105k < 256 ⇒k = 1, 2 (Theo cách hiểu của dân gian thì số vịt phải gần 200 con nên loại k = 1) Vậy số vịt cần tìm là
154 con
Tới đây ta có thể đa ra tổng quát sau:
Cho a chia m d r 1 , a chia cho n d r 2 , a chia cho p d r 3 ⇒a - r 1 M m; a - r 2 M n;
a - r 3 M p
Ta phải tìm số tự nhiên t sao cho r 1 + t M m; r 2 + t M n; r 3 + t M p
Khi đó a - r 1 + (r 1 + t) M m; a - r 2 + (r 2 + t) M n; a - r 3 + (r 3 + t) M p
⇒a + t ∈BC (m, n, p).
Rõ ràng ở bài toán 1, 2 ta tìm đợc t = 0; còn ở bài toán 3: t = 1; bài toán 4: t = 25; bài toán 5: t = 56
Vậy trong các bài toán sau:
Bài 1: Tìm a ∈N biết a M 5, a : 7 d 2, a : 9 d 4 và 600 < a < 700.
Bài 2: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết
a) a : 2 d 1, a : 3 d 1, a : 5 d 4
b) a : 2 d 1, a : 3 d 2, a : 5 d 4 , a M 7
Thì t bằng bao nhiêu từ đó rút ra phơng hớng tổng quát về cách tính t nhanh chóng nh thế nào?
ZZZ
3) Về một bài toán (Lớp 7)
A/*Ta đi từ bài toán:
Viết các số 227 và 318 dới dạng các lũy thừa có số mũ là 9
Tìm tòi lời giải
Trang 6Ta đã biết (xm)n = xm.n và nh vậy cho ta nghĩ đến 27 = 3.9; 18 = 2.9 Giúp ta đến với lời giải bài toán
Giải:
227 = 23.9 =(23)9 = 89; 318 = 32.9 = (32)9 = 99
Đến đây ta có thể nhận ra bài toán tổng quát của bài toán trên
Bài 1: Viết các số 32n và 23n dới dạng các lũy thừa có số mũ là n (Với n ∈N*) Thay “3
và 2” ở bài toán bởi “4 và 5” cho ta bài 2.
Bài 2: Viết các số 445 và 536 dới dạng các lũy thừa có số mũ là 9; Cũng có
Bài 3: Viết các số 45n và 54n dới dạng các lũy thừa có số mũ là n (Với n ∈N*)
Hơn nữa, ta còn có 89 < 99 Do đó 227 < 318
Giúp ta có bài toán mới
Bài 4: Trong hai số 227 và 318, số nào lớn hơn? (SGK - 7)
Còn với n ∈N thì sẽ nh thế nào?
Ta nhận ra rằng 23n = 32n nếu n = 0 và 23n < 32n , nếu n ≠0, giúp ta đến với bài
toán Hay và Khó hơn sau
Bài 5: Cho n ∈N, so sánh 23n và 32n
Ta còn có (-2)a = 2a (nếu a chẵn), (-3)b = 3b (nếu b chẵn) Do vậy, ta có bài toán mới
Bài 6: So sánh (-2)300 và (-3)200
Ta cũng có bài toán hơn chút nữa
Bài 7: So sánh (-2)6n và (-3)4n (với n ∈N)
B/*Ta đi từ bài toán:
Thu gọn đa thức sau:
Q = 2x4y2 – 7x3y5 + 2x3y5 - 1
2x
4y2 + 5x3y5
Đây là một bài toán dễ đối với Hs lớp 7 Kết quả là Q = 3
2x
4y2
Ta nhận ra rằng bậc của đa thức Q là 6 Giúp ta có bài toán mới
Bài toán 1: Cho đa thức
Q = 2x4y2 – 7x3y5 + 2x3y5 - 1
2x
4y2 + 5x3y5 Thu gọn đa thức và tìm bậc của đa thức Q
Và … và nh vậy ta cũng có bài tập trắc nghiệm:
Bài toán 2: Chọn câu trả lời đúng
Bậc của đa thức 2x4y2 – 7x3y5 + 2x3y5 - 1
2x
4y2 + 5x3y5 là:
2x
4y2 ≥0 với mọi x, y, từ đó ta có bài toán Hay và Khó sau:
Bài toán 3: Chứng tỏ đa thức Q không âm với mọi x, y Biết rằng:
Q = 2x4y2 – 7x3y5 + 2x3y5 - 1
2x
4y2 + 5x3y5
Ta nhận ra rằng nếu
Trang 7A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = 2x3y5 - 1
2x
4y2; C = 5x3y5 thì
Q = A + B + C = 3
2x
4y2 Từ đó cho ta bài toán mới sau:
Bài toán 4: Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = 2x3y5 - 1
2x
4y2; Q = 3
2x
4y2 Tìm đa thức C cho biết A + B + C = Q
Bài toán 5: Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; C = 5x3y5 ; Q = 3
2x
4y2 Tìm đa thức B cho biết A + B + C = Q
Bài toán 6: Cho B = 2x3y5 - 1
2x
4y2; C = 5x3y5 ; Q = 3
2x
4y2 Tìm đa thức A cho biết A + B + C = Q
2x
4y2 ≥0 do đó A + B + C ≥0, do đó A, B, C có ít nhất một số
không âm.
Cho ta bài toán mới sau:
Bài toán 7: Cho các đa thức sau:
A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = 2x3y5 - 1
2x
4y2; C = 5x3y5 Chứng tỏ rằng A, B, C có ít nhất một đa thức có giá trị không âm với mọi giá trị của x, y
C/*Ta đi từ bài toán:
Chứng tỏ rằng nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức ax2 + bx + c
Lời giải: Ta có a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0
Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức ax2 + bx + c
Và nếu đặt f(x) = ax2 + bx + c ta có
f(-1) = a - b + c; f(2) = 4a + 2b + c; f(-2) = 4a - 2b + c
Giúp ta có đợc các bài toán mới.
Bài toán 1:
Chứng tỏ rằng nếu a - b + c thì x = -1 là một nghiệm của đa thức ax2 + bx + c
Bài toán 2:
Chứng minh rằng nếu 4a + 2b + c = 0 thì đa thức f(x) = ax2 + bx + c có một nghiệm bằng 2
Bài toán 3: Chứng minh rằng nếu 4a - 2b + c = 0 thì đa thức f(x) = ax2 + bx + c có một nghiệm bằng -2
Mở rộng kết quả của bài toán, ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 4: Chứng tỏ rằng nếu an + an-1 + … + a0 = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức
anxn+ an-1xn-1+ … + a1x + a0
Ta còn có f(1) = f(-1) ⇔ a + b + c = a - b + c ⇔b = 0
Giúp ta đến với bài toán sau:
Bài toán 5: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c và f(1) = f(-1) Tìm b
Trang 8Bài toán 6: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c và f(1) = f(-1)
Chứng tỏ rằng f(x) = f(-x) với mọi x
Bài toán 7: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c và f(1) = f(-1); f(1996) = -2004
Tính f(-1996)
ZZZ 4) về một Bài toán (Lớp 8)
A/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán 1: Cho các số dơng a, b, c có a + b + c = 1 Cmr: 1 1 1 9
a b c+ + ≥
Có thể giải:
Vế trái (a + b + c) 1 1 1
a b c
+ +
Và a, b, c là các số dơng suy ra (a + b + c) ≥3 abc3 (1), 1 1 1 3 1
3
Nhân (1) với (2) ta đợc 1 1 1 9
a b c+ + ≥
Từ đây Ta có thể hình thành các bài toán sau:
Bài toán 2: (Mở rộng các số a, b, c)
Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1
9
H
ớng dẫn :
Đặt x = a3 + b3 + c3, y = 3b(a + b)(a + c), z = 3c(a + b)(a + c)
Ta có x + y + z = (a + b + c)3 = 1 Bài toán trở về bài toán 1
Từ cách giải ở bài toán 1 ta thấy rằng “Tích của tổng ba số với tổng nghịch đảo của chúng ≥9”.Từ đây ta hình thành bài toán mới:
Bài toán 3: Cmr nếu a > b > c > 0 thì
H
ớng dẫn :
Vì a > b > c > 0 suy ra a − b〉0, b− c〉0, a − c〉0
Ta có 2 a−2 c = a− b+ b− c + a− c Từ đó ta đa về bài toán 1
Tơng tự nếu thay đổi điều kiện cho bài toán ta có bài toán mới nữa:
Bài toán 4: Cho a, b, c > 0
Cmr:
9
H
ớng dẫn : Ta biến đổi
+ − + − + −
Trang 9Nếu giữ nguyên điều kiện của a, b, c thay đổi điều kiện a + b + c = 1 thì BĐT
của bài toán 1 có xảy ra không Từ đó ta có bài toán:
Bài toán 5: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác và a + b + c = 2p.
H
ớng dẫn :
Đặt a + b - c = x, b + c - a = y, a + c - b = z Ta có x + y + x = a + b + c = 2p Ta
đ-a về bài toán 1
B/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán 1: Cmr: n3 - n M6 với mọi số nguyên n
H
ớng dẫn :
n3 - n = n(n - 1)(n +1) Ta chứng minh đợc trong 3 số nguyên liên tiếp luôn có một
số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 3 mà(2, 3) = 1 nên n3 - n M6
Qua bài toán trên ta thấy n 3 và n đồng d khi chia cho 2, cho 3 và cho 6, từ đó
ta có bài toán tơng tự:
Bài toán 2: Cmr: m3 + n3 M 6 ⇔m + n M 6 (∀m n Z, ∈ )
H
ớng dẫn :
Ta biến đổi (m3 + n3) - (m + n) = (m3 - m) + (n3 - n)
Theo bài 1 ta có (m3 - m) M 6, (n3 - n) M 6 suy ra (m3 - m) - (n3 - n) M 6
Nh vậy: - nếu m3 + n3 M 6 thì m + n M 6
- Nếu m + n M 6 thì m3 + n3 M 6
Bài toán 3: Cho các số nguyên dơng thỏa mãn đẳng thức x3 + y3 + x3 = 3269 Tìm số d của phép chia x + y + z cho 3
H
ớng dẫn :
(x3 + y3 + z3) - (x + y + z) = (x3 - x) + (y3 - y) + (z3 - z)
Vì (x3 - x) M 3, (y3 - y) M 3, (z3 - z) M 3 nên (x3 + y3 + z3) - (x + y + z) M 3
suy ra (x + y + z) đồng d với (x3 + y3 + z3) khi chia cho 3
Ta có 3269 chia cho 3 d 2 ⇒ x + y + z chia cho 3 d 2
Bài toán 4: Cho A = 13 + 23 + 33 + …+ 993 Cmr: A M 6
H
ớng dẫn :
Gọi S = 1 + 2 + 3 + …+ 99
Ta có: A - S = (13 + 23 + 33 + …+ 993) - (1 + 2 + 3 + …+ 99)
= (13 - 1) + (23 - 2) + (33 - 3) + … + (993 - 99) Theo bài toán 1 thì vế phải chia hết cho 6, do đó A - S M 6 (1)
Mặt khác S = 1 + 2 + 3 + …+ 99 = 99.(99 1) 99.50 6.33.25
Từ (1) và (2) suy ra A M 6
Bài toán 5: Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn đẳng thức a + b + c = 222111
Cmr: (a2 + ab + bc)3 + (b2 + ab + ac)3 + (c2 + bc + ac)3 chia hết cho 6
H
ớng dẫn :
Đặt x = a2 + ab + bc; y = b2 + ab + ac; z = c2 + bc + ac
Ta có: x + y + z = a2 + b2 + c2 + 2(ab +bc + ac) = (a + b + c)2 (1)
Vì 222 M 6 ⇒222111 M 6 ⇒ a + b + c M 6 (2)
Từ (1) và (2) suy ra x + y + z M 6 ⇒ x3 + y3 + z3 M 6 (đpcm)
Trang 10Bài toán 6: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình
(x + y)3 + (y + z)3 = x + 2y + z + 20053 H
ớng dẫn :
(x + y)3 + (y + z)3 = x + 2y + z + 20053
⇔ (x + y)3 - (x + y) + (y + z)3 - (y + z) = 20053
Với mọi số nguyên x, y, z ta luôn có (x + y)3 - (x + y) M 6; (y + z)3 - (y + z) M 6 (Theo bài toán 1)
Do đó vế trái luôn chia hết cho 6 Nhng 20053 M6
Suy ra phơng trình không có nghiệm nguyên
C/*Ta đi từ bài toán:
Bài toán 1: Thực hiện phép tính: : 2: 3
Lời giải:
Cách 1: : 2: 3
+ + ữ +
+ + ữ +
= : 3
+ + + = 3
x
x+
Cách 2: : 2: 3
x
x+
Và … và nh vậy ta có bài toán tổng quát
: 2: 3: 4: :
Từ đó cho ta bài toán mới
Bài toán 1: Thực hiện các phép tính sau:
c) : 2: 3: 4: :
+ + , giúp ta có bài toán:
Bài toán 2: Thực hiện các phép tính
Và thế là ta cũng có lời giải của bài toán sau:
Bài toán 3: Đố em điền đợc vào chổ trống của dãy phép chia dới đây những phân thức
với tử lớn hơn mẫu một đơn vị:
