Khóa luận tốt nghiệp toán Khai thác từ một số bất đẳng thức cổ điển

Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn sử dụng tư duy bất đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp, hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngân hàng.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHÒATOÁN’

Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G

T H Ứ C C Ổ Đ I Ể N ” được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của các thày cô và bạn bè

Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tói cô giáo hướng dẫn - TS

Đồng thời em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

Khóa luận được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn tận tình

Khóa luận là kết quả nghiên cứu của em, không trùng vói bất kì đề tài nào khác Tất cả các kết quả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực

Em xin chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu của mình

Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên

Nguyễn Thị Bích Ngọc

LỜI CẢM ƠN

• MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

• Nói chung, cuộc sống của mỗi con người luôn có sự tìm kiếm và khẳng định giá ttị bản thân Mỗi vật có chỗ đứng ttong thế giới luôn thay đổi này là nhờ giá trị của nó nhưng người ta thường không nhận ra rằng mọi vật chỉ có thể nhận giá tri trong quan hệ so sánh Chính quan hệ đó đã tạo ra các bất đẳng thức của cuộc sống

• Thực tế dù câu nói “mọi so sánh đều khập khiễng” có đứng đắn đến mức nào thì con người vẫn không ngừng đánh giá - so sánh

• Các bài toán so sánh đặtravề sau ngày càng khó hơn với sự mở rộng của các phép toán Tất cả các nhà toán học đều có chung một quan điểm là “Các

K Ế T Q U Ả C Ơ B Ả N C Ủ A T O Á N H Ọ C T H Ư Ờ N G Đ Ư Ợ C

B I Ể U T H Ị B Ằ N G N H Ữ N G B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C H Ứ

K H Ô N G P H Ả I B Ằ N G N H Ữ N G Đ Ẳ N G T H Ứ C ” Điều đó cũng giống như trong cuộc sống người ta luôn gặp sự khác nhau giữa các sự vật hiện tượng và ngay trong bản thân mỗi sự vật hiện tượng cũng biến đổi theo từng giây phút Mặt khác, trong đời sống xã hội chúng ta luôn sử dụng tư duy bất đẳng thức để đánh giá hoạt động của doanh nghiệp, hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khoán, tài chính, ngân hàng Vì thế để phát triển tư duy và đánh giá tốt các sự biến đổi trong cuộc sống thì càn phải có tư duy tốt về bất đẳng thức toán học

• Nói riêng, ữong chương trình toán phổ thông các bài toán về bất đẳng thức thường là những bài toán đem lại cho học sinh nhiều thú yị song chúng cũng là những bài toán khó Chúng thường có mặt trong các đề thi học sinh giỏi và các kỳ thi cao đẳng, đại học Để giải quyết chúng đòi hỏi phải có sự sáng tạo, kiên trì, linh hoạt của người yêu thích toán

4

• Tất nhiên có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán này và việc lựa chọn một phương pháp tối ưu cho lời giải hay và ngắn gọn, đẹp mắt là việc rất quan trọng Một trong các phương pháp đó là chúng ta sử dụng các bất đẳng thức kinh điển, nhờ nó mà hầu hết các bài toán đều được giải quyết một cách nhanh chóng.

• Được sự động viên, chỉ bảo tận tình của cô Nguyễn Thị Kiều Nga cùng với sự say mê của bản thân, em mạnh dạn nghiên cứu và thực hiện khóa luận với đề tài “ K H A I T H Á C T Ừ M Ộ T S Ố B Ấ T Đ Ẳ N G T H Ứ C C Ổ

Đ I Ể N ”

2 Muc đích và nhiêm vu nghiên cứu

• Khai thác các ứng dụng của một số bất đẳng thức cổ điển

3 Đối tượng nghiên cứu

• Một số bài tập về bất đẳng thức

4 Phương pháp nghiên cứu

5

1.1Quan hệ thứ tự trên R và bất đẳng thức

•Trên tập số thực M xác định quan hệ “<” được định nghĩa như sau: Với mọi A , B thuộc R, ta có

• A < B nếu& - A là số dương Ta kí hiệu A < B nếu A < B

hoặc A - B A < B còn được viết là B > A A < B còn được viết là B

> A

• Ta có tổng và tích của các số thực dương là một số thực dương

•Cho hai biểu thức A và B Nếu xảy ra các quan hệ A < B , A < B ,

B > A , B > A thì ta gọi đó là một bất đẳng thức A gọi là vế trái, B gọi là

vế phải của bất đẳng thức đó

B

theo định nghĩa ta có A < B khi và chỉ khi B - A >0 A < B

khi và chỉ khi B - A >0 Cho A , B , C , D là các biểu thức Khi

đó ta có các tính chất sau đây: A<B và B<c thì A<c A < B V À

1.3.3 Tính chất cơ bản của hàm lồi

• Tính chất 1 Cho D là tập lồi trong K Giả sử F 2 ( X ) , , F N ( X )là các hàm lồi xác định trên D Cho Ả Ị > 0, với mọi I = L , 2 , , N Khi đó hàm số /îj/j (jc) + Лз/з (jc) + + Ằ N F N (jc) cũng lồi trên D

• Tính chất 2 (Điều kiện để một hàm số là hàm lồi)

• Cho D là tập lồi trên R 2 Hàm / : D M là hàm lồi trên D khi và

• chỉ khi (-^,y1), (x 2 ,y2)thuộcDthì

• Y / { X ) = F Ọ I X Y +(1 - Ả ) X 2 Л У \ 1 + (1 - Ằ ) Y 2 ) làhàmlồittên [0;l]

• Tính chất 3 Cho D <z]R là tập hợp lồi, hàm số/: D — > R là hàm lồi

• trên D Khi đó vói mọi số thực a thuộc № thì các tập

• К={{ х ’У) &г>: /{ х ’У) <а }

• là các tập lồi trong M

• C H Ú Ý : Các tập № A , N A gọi là các tập hợp mức của hàm lồi

F ( X , Y ) Ta quan niệm tập Ф là tập lồi

• Tính chất 4 Giả sử / : D —» K D là tập lồi trong Ш

• Đặt E P I F = |(jc, j) G M

;Y , X G d| E P I Ý Â Ư Ợ с gọi là tập lồi trên

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

7

• đồ thị Hàm / là lồi trên D khi và chỉ khi E P I Ý Ì Ầ L tập lồi trong M Tính chất 5 Cho/(jt)là hàm xác định trên [ A , B ] và có đạo hàm cấp 2 tại jee[ữ,z?] Nếu/"(jc)>0, Vjce[a,&]thì /(jc)là hàm lồi ưên [ A , B ] Nếu F ( X )

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

8

(«-CHƯƠNG

9

•

(

• = ( Ữ - 1)2 1 + 2an”2 + 3 A N ~ 3

+ + Ị N - l)a + n) ~ Ị > 0

• Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy bằng

quy nạp theo N Với N -1 :bất đẳng thức hiển nhiên đúng

• Giả sử bất đẳng thức đúng với N số thực không âm, tức là

CHƯƠNG

1

• hay bất đẳng thức đúng với n + 1 số thực dương.

• Vậy bất đẳng thức được chứng minh

• Hiển nhiên dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

• CL + ữry + + ữ ,

—<^(h=a 2

• n + l 2.1.3 Khai thác từ bất đẳng thúc Cauchy

CHƯƠNG

1

— a n+\ a i a 2 "- a n

2.1.3.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trong chứng minh bất đẳng thức Ví dụ l.Vói a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

• Cong ve voi v§ cua cac bat dang thuc tren ta dugc

• a5 + B 5 + C 5 >

A

5B 6 + B 2 C 3 + C 2 A3 Vay bat dang thuc (1)

dugc chung minh

• Dau “=” xay ra khi va chi khi A = B = C

• a’b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 > abc ( ab + 2 be 2 + ca 2 ) (2)

• Chia 2 ve cua (2) choA 3 B 3 C 3 >0 Khi do bat dang thuc can

chung minh tuong duong voi

• Dau bang xay ra khi va chi khi A = B = C

17 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

18 Ví dụ 5.VỚĨ A >0, { Ỉ = l,2, ,n) thỏa mãn điều kiện =1 Chứng

41 tr 2-a( 2n-l

42 Vậy ta có điều phải chứng minh.

!_ 1 = s-q > (n-ĩy^a l a 2 a i _ 1 a i+v a n , 2 ,

54 a i a i a i Nhân vế với vế của N bất đẳng thức trên ta được

76 Dâu băng xảy ra khi và chỉ khi ữ, =

1

>

— í / í /

— Nhân vế với vế của các bất đẳng thức ừên ta được điều cần chứng minh.

— hayP<-Ỷ1 = - = 1

— ntỉ n

— Vậy ta có điều phải chứng minh

2.1.3.2 Xây dựng bất đẳng thức và áp dụng

— Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng các bất

đẳng thức trung gian dạng phân thức Sử dụng các bất đẳng thức trung

gian đó chúng ta chứng minh được một số bất đẳng thức khó

— Ví dụ l.Vói A , B , C là các số thực dương Chứng minh rằng:

— Vậy bất đẳng thức được chứng minh

— Đây là một bất đẳng thức khó với cách giải hay Sử dụng bất

đẳng thức này chúng ta chứng minh các bất đẳng thức hệ quả sau

— Sử dụng kết quả của ví dụ 2 với A = P = Ỵ =

A

ta được

—

— r b- 3c

2 ^ — V-

3a 2>

c 2 +a ỉ J

^ b + c ca a

— -Sử dung kêt quả của ví

du 6 và chon А = ->0 ta có bài toán sau

— Ví dụ 15 Với a,è,c >0 Chứng ming rằng:

2afcc(a + fc + c)

— Vậy ta có điều cần chứng minh.

— Sử dụng kết quả của ví dụ 18 vói A = 1 ta được bất đẳng

> -— Й + Ữ B B + С + B C С + ữ + Cữ

— -Sử dung kêt quả của ví du

18 với а = -ta có bât đăng thức sau:

— Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần

chứng minh Bài 4 Với A , B , C >0 Chứng minh rằng:

— aịca 2 +cb 2 + 1) bịab 2 +ac 2 +l) cịbc 2 + ba 2 +ìj 1 + 2 abc

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh

Bài 3 Với a,b,c >0 Chứng minh rằng:

3

— ^ = { a Pi + a 'p2+ — + a nK) ~{ a ỉ + a 2 + — + a^)(b\ +bị + + b^< 0

— hay ịaị +aị + + al^ịỉị + bị + +

[api +a 2 b 2 + + a n b n )

— Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A' = 0

— Hay phương trình F ( X ) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi

— Vậy bất đẳng thức được chứng minh

— Sau đây là một dạng phát biểu khác của bất đẳng thức

Bunhiacopski Dạng cộng mẫu số:

— CL 2 al a 2 ịcL+a 7 + + a) 2

— — + — + ’ VjcP*2>•••>*„ >0

— *1 *2 x n X 1 + X 2 + + X n

— về mặt toán học có thể hiểu là dạng cộng mẫu số bởi vì: vế trái

là tổng của N phân số nhờ chuyển hóa qua dấu bất đẳng thức mà ta nhận được một phân số có mẫu số là tổng của N mẫu số ở vế trái, về mặt lịch sử bất đẳng thức này có tên gọi là E N G E L

2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski

2.2.3.1 Bài toán cực trị của hàm

— Cho A = F (jt) có miền xác định là D , để sử dụng bất đẳng thức

— Bunhiacopski trong việc giải bài toán cực trị của hàm số ta thực hiện cácbước sau:

— Bước 1: Chỉ ra chặn trên và chặn dưới F ( X ) , nghĩa là chứng minh hai bất đẳng thức (nếu có) M < F (jt) < M , trong đó m, M là hai hằng

số Bước 2: Chứng minh dấu bằng có thể xảy ra, nghĩa là chứng minh

— Ví dụ 1 Tìm GTLN và GTNN của A = yỊsinx + л/cosjc , X e

— S<^W2

—^ ta được s = — . Vậy giá trị lớn nhất của s =

—Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

— [(,/3)(Æ)+(-2)(2y)] 2 < (3+4) (3* 2 +4y 2 )

— Suy ra 49 <

75 Hay s > 7 Cho

JC = 1, У = -lta được 5=7

— (

ax + by — c

1

X a 2 <=>' ỵ_-bjb

— \xy + yz +

zt + tx I < X 2 + y 2

+ z 2 +1 2

— => T I<r

— Vậy giá trị lớn nhất của T = 0.

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

— у = sinjc + 4cosjc

— Bài 2 Tìm giá tri nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

— Bài 3 Tìm giá tri nhỏ nhất của hàm số

— y = sin Лл/cosx + cosxVsinjc

— Đặt vấn đề: Từ bất đẳng thức Nesbit với vế trái gồm 3 số hạng của tổng:

— -—1—I 1—1— > —với mọi A , B , C > и

— b+c c+a a+b 2

— (a + b + c + dy =[(a + Z?) + (c + <i)J >4 {a+b}ịc + d}

C Ị ^ D + + íí^ÍZ +

— Suyra (fl + fr + c + í / ) 2

[ữ(è + c) + b [ c + ấ ) + c ị d + a ) + d ( a + ^)]Ị—“

—+-^—

> - a a + b ,

aịb + c} + b{c + d) + c{d +a) + dịa +

— Ta mở rộng bất đẳng thức Nesbit với vế trái gồm 5 số hạng của tổng

— Bất đẳng thức luôn đúng Suy ra điều cần chứng minh Ví dụ 4 Cho

2 Aab +

— a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 - abcịa +b + c) = — I {ab -bcf + {be -ca) 2 +

ịca - ab) 2 ~ị > о suy га

— a 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 >abc(a+b + c) (4)

— f Í Ỳ a i x ì ] ^ Ỳ a i f ( x i )

2.3.2 Chứng minh

mọi ne N Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

— Với n là sô dương bât kỳ.

(

5

— + /(jc)là hàm lõm trên D, mọi jCpX2 , ,jen eDta có

a) Bất đẳng thức AM -

GM Chứng minh rằng:

—

— ' H Ế W M I N Ị A Ỉ , A 2 , , A N Ị Ị = Othì A

V A 2 A N =0 Suy ra điều phải chứng minh

— Xét trường hợp min[a v a 2 , ,a n > } 0

ay

/ ( jc) là hàm lồi với mọi X > 0.

ra ti +

X .2

=.g,/f f(í)

>0s

Y

Ị

\ + E T

— k

=\

ị I

k k

=l yị

L +

U k

*= 1 V

n

—

rf (0 )-

với mọi a,b,c > 0.

— =cot7;AA+ i+ cot7AiA => Ỳrt =ẳ(cot7 ;AA + i+cotT A + A ) (1)

— của đa giác.Giả sử a i = A Ị A Ị + Ỉ , Xị - M A Ị , (i = l,2, ,n) Chứng

— hay 4nsin2 —<V—

— n i = 1 x t x t+i

b

c 3 +b 3 >

6

(

— <=>3(a 3 +b 3 )>3ab(a + b).

(7

V 2

л2

^ Í _ л/, ^ г Æ " I " + с

<;»(а + г>)(ь + с)<^

— Nhân từng vế của các bất đẳng thức trên ta được

(b + c)(c +

à) ^ (c + a)(a

(1 +x

r

b + 2a + cỴ

T khi đó T < 0 với moi X < 1 ( x + x ý

— (a + b)\b + c)\c + af< (a + 2b + c)(b + 2c + a)(b + 2& + c)

= B = C Vậy ta có điều phải chứng minh.

a + b

1

— Cho a,b,c>- 1 thỏa mãn a + b + c- 1

— sin A sin В + sin С sin 5 + sin с sin Л < COS ^ + cos —+ COS

— Suy ra/(x) = lncosxlàhàĩĩilõmtrên 0;—

— P = tanA + tani? + tanC-(sinA + sini? + sinC).

(1

—

— Hướng dân: Đặt r = sinx + 2tanxíl+tan 2 x)>0vớimọixe 0; ~ R

— A B C > 8 (p — ữ ) ( / 7 — b)(p — c)

— , [a ì >a ọ > >a„ \CL <a 0 < <a

— 'ỉ\>b 2 > >b H

— Thì a l b l + a 2 b 2 + + a n b n ^a l + a 2 + +

a n b 1 +b 2 + + b n n n n

— + a 2 b 2 + + a n b n )>(a l +a 2 + + «„)(&! + b 2 + + b n )

2 Bất đẳng thức Chebyshev trên hai dãy đơn điệu ngược chiều

— n{a ỉ b ỉ + a 2 b 2 + + a n b n )>(a l +a 2 + + «„)(&! +b 2 + + b n )

0<a 1 <a?< <a m Mặt khác Oj -l<a 2 a n -

Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev với 2 dãy đơn điệu tăng (1) và (2) ta có

>ÍỊA )[(a-l) + (a +-l) + (a„-l)]