Quy hoạch tuyến tính - GS Đặng Hấn

Là 1 cuốn sách của GS Đặng Hấn trình bày, giúp các bạn sinh viên học tập đơn giản và dễ hiểu hơn

Gs n;.\NG HAN

(Ly thuyet va bai t~p c6 lai giai)

Bia 1 : 1>6 hQa vi tinh cua

D4NG BINH PHUONG

DAI HOt' ~TVT , 0 HC~ 1 '··' ;v v , '4 t 'l!fi

TRUONG D~I ~QC KINH TE TP HO CHi

MINH-Loi noi dau

Hi~n nay, trong cong CUQC d6i moi dat nuoc, phat tri~n kinh te" Ia m9t trong nhung quan tam Mn cua xa h¢i Chinh vi v~y ma

s6 nguoi h9c t~p, nghi€m cuu kinh te ngay m9t nhi'eu

Toan kinh te la mqt trong nhung c6ng Clf quan trQng cho vi~c h9c t~p, nghi€m cuu do

Song, d~ tiep c~n voi toan kinh te", kh6ng it nguoi g(ip kh6 khan la chua du<;1c trang hi nhung kien thuc toan co ban mqt each

d~y du va co M th6ng Mqt s6 khac da dU<;1c chwfn bL nhung Iau

ngay hi quen lang, roi rlfng

Nh11m giup cho cac b:;m (kh6ng lay toan lam m1Jc tieu ma chi la phuong ti~n nghien cuu kinh te) khdc phlfc nhung kh6 khan tren, dfK c6 thfK nlim du<;1c ban chat m6n hQc, cu6n sach nay duqc SO~n thao voi m1JC tieu rat th\fc d1Jng : trong khi trinh bay van d'e m¢t each c6 h~ thong, thi DON GIAN, TRVC QUAN (tat nhien

v~n c6 gAng dam bao tinh cJtihh xac toan hQc) la mlfC tieu cua chung t6i

Tuy nhien, d~t du<;1c llllfC tieu tren la m¢t vi~c kh6, n€m cM.c chiin khOng tM tranh khOi cac thie"u s6t Rfit mong dU<Jc cac b~n

dQC gop cho nhung y kien Chung t6i xin cam on va chan thanh tie'p nMn

TP ff6 Chi Minh nam Giap Tufit thang 10

GS DANG HAN

Chudng 0 MOT SO KHAI NIEM

TRONG DAI SO TUYEN TINH

§ 1 MA TR~N

ducjc xep thimh blmg hinh chu nMt g6m ll1 hang, n CQt

M<?t ma tr~n A cap 111 X 11 t6ng quat duqc mo ta nhu sau :

I all a12 · ·· alj ·· · aln a21 a22 ··· a2j ·· · a2n A=

ail ai2 · · · aij · · · ain

aml am2 ··· amj ···

Tuc la m6i phfin ttl duqc ky hi~u bdng ni<?t chu a vdi hai chi

SO : chi SO thu nhat chi hang va chi SO thu hai chi CQt cua phftn tti d6 trong ma tr~n Thi d1J a21 la phfin tti a hang thu 2 vil CQt

thu 1, aij la ph'an tu nilm tren hang i va c¢t j (i = l,m ; j = 1,n) dugc gQi la ph'an tli" t6ng quat cua ma tr$-n Khi d6, ma tr?n A c6

th~ ky hi~u tiit

A = (ac.) lJ mxn 1.2 Ma tr~n chuy~n vi : Cho ma tr?n A = (ai)mxn·

Ma tran moi A' = (a:.) x trong d6 a: = aJ.1• dugc gQi la ma

0 Chiing hQ.n :

8

Xi la thanh phAn thu i Cua vectd X (i = l,n)

Thi df!, : x = (3, - 1, 0) la m9t vectd 3 chi~u Thanh ph'an thu nh~t la 3, thanh ph'an thu 2 la - 1, thanh ph'an thu 3 la o

Ho?c x = (3, 2, - 9, 0, 6, 8, - 1) la m(lt vectd 7 chi~u voi thanh ph'an thu nh~t la 3, thanh ph'an thu 2 la 2,

2.2 Vectd hang va vectd c()t : Vectd dttqc vi€t theo hang

gQi la vectd hang Nfiu vifit theo c9t gQi la vectd c(lt

x = (xl' x2, , xn) la vectd hang n chi~u

y = ( ~y.:2ml) la vectd c(lt m chi~u

Th£ d¥ : x = G) 10 vectd cQt 3 chf•u

y = (3, 0, - 9, 6) la vectd hang 4 chi'eu

2.3 Vectd ddn vi n chi~u : Ia vectd n chi'eu c6 duy nha't m9t thanh ph"an hAng 1 con cac thanh phlln kha.c bAng 0

Thi dl!- : (0, 1, 0, 0) Ia mQt vecte1 ddn vi 4 chi'eu ; (1, 0, 0)

Ia m9t vectd ddn vi 3 chi'eu Vectd ddn vi c6 thanh ph'an thu i bAng

1, gc;>i -la vectd ddn vi thu i (i = 1,n)

Chimg h1;1n, voi n = 2 ta c6 vectd ddn vi thu nha't Ia (1, 0) con vectd ddn vi thu hai la (0, 1) Voi n = 3, ta c6 vectd ddn vi thu nha't la (1, 0, 0), vectd ddn vi thu hai la (0, 1, 0) con vectd ddn vi thu ba Ia (0, 0, 1) Voi n ba't ky ta c6 vectd ddn vi thu nha't

la (1, 0, , 0) ; vectd ddn vi thu 2 la (0, 1, 0, , 0) con vectd ddn vi thu n la (0, 0, , 1)

Nh~n xet : M9t ma tr~n ddn vi ca'p n dtt<;~c l~p n€m bCii n vectd ddn vi (hang ho~c c9t) n chi'eu c6 thu tq: khac nhau

Chi\ng h•n : E2 = (~ ~) li;p n•n hOi hai vectd hang 0, 0) va (0, l)

ho~c bdi hai vectd c9t (~ )va (~)

COn E3 = (~ r ~) du~c l~p n•n hOi ba vectd hltng 0, 0, 0) ; (0, 1, 0) ; (p, 0, 1) ho~c bCii ba vectd CQt

10

§3 H~ PHUONG TRiNH TUYEN Ti"tH

3.1 Thi dt~.:

[ 2x 1 + 3x2 - 5x3 = 5 4x1 + 2x2 + 6x3 = 9

la mqt M 2 p(~tto;g ~r~n)h tuye'n tfnh vdi 3 1\n s6

A = Ia ma tran cac he s6 cac phttong trinh

B = (~) la vecto cac s6 h~ng tt1 do va x = (xl' x2, x3) la vecto cac i[n s6

H~ phttong trinh nay dttQc d~c trttng bdi ma trtj,n miJ r(mg

3.3 Phep khii' Gauss - Jordan

Ta thua nh?n hai ke't qua kM trvc quan sau day

1 Ne'u ta nhan m9t phttdng trinh hilt ky nao d6 cua M vdi ffiQt s6 khac 0 (tuc la nhan ca 2 ve' vdi s6 d6) thi ta se dttQC M

12

moi tudng dudng voi M cu (nghia Ia nghi~m cua M nay cung la nghi~m cua M kia va ngu<;Jc l~i)

2 Neu ta nhan phudng trinh nlw do cua M voi m()t so tuy

y, rlli c¢ng ket qua vao voi m¢t phudng trinh khac cua M (tuc la c¢ng ve voi ve) thi ta du<;Jc M moi tudng dudng voi M da cho

Thi dl!- : 3 M phudng trinh sau la tudng dudng :

{ x1 - 2x2 + x3 + x4 = 12

(1) x1 + x2 - x3 + 2x4 = 15

4x1 + 2x2 + x3 - x4 = 18

l x1 - 2x2 + x3 + x4 = 12 H~ nlly nMn du<;Jc

(2) 2x1 + 2x2 - 2x3 + 4x4 = 30 khi nhan phudng

4x1 + 2x2 + x3 - x4 = 18 trinh thu hai cua

M (1) voi 2

I x1 - 2x2 + x3 + x4 = 12 H,~ nay nMn du<;~c

1 -1 x2 - x:3 + 2x4 = 15 tit M (1) bhng each 6x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = 42 nhan phudng trinh

thu nhat voi 2 rlli cqng vao p.t thu 3 Nhu tren da n6i, m¢t M hoan toan xac dinh bdi ma tr~n ma r¢ng nen m9i phep bien d6i M thtfc chat la bien d6i ma tr~n ma rqng Trong thi d1,1 ta c6

Ma tr~n (B'/A') nh~n tu (B/A) b~ng each nhan 2 hang th\1' 2

Ma tr~n (B"/A") nMn duqc tu (B/A) b~ng each nhan hang thtl' nhat vdi 2 r6i c9ng vao hang th\1' 3

Hai phep bi€in d6i tr€m la cd Sd cua phep khti' Gauss -,Jordan:

Phep khil' : Cho M phudng trinh duqc xac d\nh bdi ma tr~n

mc1 r<}ng

( bl all al2 alv aln

b') a21 a22 a 2v a2n

···

\ b m a ml a m2 amv amn

Ta quan tam den ph'an ttl' arv :t: 0 gQi la ph'an tit tr1;tc xooy

Hang r gqi la hiing chzl ye'u C¢t v gqi la c¢t chu ye'u

Bay giC1 ta bien d6i (B/A) thanh (B' /A')

b~ all ' al2 ' 0 aln '

Mng hai bi~n ph:ip sau :

1 Chia hang thtl' r (hang chu yeu) cua (B/A) cho ph'an ttl' trvc xoay arv ta c6 hang r cua (B'/A') gQi la hCmg chudn

? Hang i (i :t: r) cua (B'/A') t:;1o ra bling each :

14

- Lay - a (a la ph'an tu w w (J hang dang mu6n bi€n d6'i vii c6t chii yeu) nhan vdi hang chu::fn r~i c¢ng vao hang i ell ciia (B/A) (i = 1,m va i ;C r)

Sau khi bien d6'i, (tuc thq'c hi~n phep khu Gauss - Jordan) cqt chii yeu da bien thanh vectd dc1n vi (m chi"eu) thu r An xv chi con lf}.i a duy nhat phuc1ng trlnh thu r voi M s6 1 (d cac phuc1ng trlnh khnc xv da hi khu)

Tlzf d7~- : Cho M phuong trinh duqc xac d\nh bdi

- Hang thtt nhat ciia (B'/A') nMn duqc ti't hang thu nhat ciia

B/A) bilng each :

Lay - a1v = - 3 (3 la ph'an tu na.m tr€m hang 1 ta dang mu6n bien d6i va CQt chu yeu) nhan VOi hang chufrn ta CO ;

- Hang thu 3 cua (B/A) nh~n dttQc bi'lng each :

La'y - a3v (~v nfim a hang 3 ta dang mu6n bien d6i va CQt

chu yeu) la + 1, nhan vdi hang chulin :

10 X 1 2 X 1 1 X 1 4 X 1 1/2 X 1 r6i dem c¢ng vao hang 3 ell :

3.4 Phep khU: Gauss :

I Trtt<fng hc;1p n phttdng trinh d(lc l~p vCti n tin so :

1 Phttdng phap : D~ d~ hinh dung, ta xet n = 3 Truong hQp n khac lam hoan toan tuong hf 'I'a c6 M 3 phttong trinh 3 lin so' vdi ma tr~n mo r¢ng

r6i c¢ng vao hang 3, ta c6 ma tn}.n mo r9ng cua all

bai toan tttong dttong :

c all a12

a.") '

16

Tuc la ta c6 M phuong trinh tucJng dudng voi M d'au :

allxl + a12x2 + a13x3 = bl (1)

a;;3x3 = b~ (3) Ttr (3) ta tim dUQC x3 The' x3 vao (2) ta tim dUQC x2 The'

x3 va x2 vao (1) ta tim dUQC x 1

2 Thi dt;a:

2x 1 + x2 5x 1 + 4x 2

x 1 - x2 + 3x3 = 8

+ 3x3 = 8

+ x3 7 x3 = 10

x1 - 2 + 3.3 = 8 ., x

1 = 1

II Truong hgp m phuoog trinh dt}c l~p tuyen tuyen, n

tin so vai m < n

Ltic nay c6 n - m a"n tl).' do c6 th~ gan gia tr\ tuy y, sau d6

dua v~ n phudng trinh n a"n s6 va l:;ti giai nhu tren

3.5 H~ phudng trinh chutrn :

Ta xet h$ rn phudng trinh tuyen tinh n lin s6

Ta biet neu n phudng trinh d9c l~p thi

Khi rn > n h$ v6 nghi~rn

Khi rn = n h~ c6 nghi~rn duy nhat

Khi rn < n M c6 v6 s6 nghi~rn Sau nay t:=t chu yeu xet truong hqp rn < n

D\nh nghia : H~ phudng trinh c6 d:?-ng sau gQi la h~ phudng trinh ch utrn :

+ al(m+ l)xm+ 1 + + alnxn = bl + a2(m+llxm+l + + a2nxn = b2

'xm + a m(m+l)xm+l + + amnxn = bm Trang h$ nay

A= ~ ~ ••• ~ ~:~~ :: ·•·•·• :.~~ \

0 0 1 am(m+l) amn) Nhu v?y h$ phudng trinh chu&n laM phudng trinh rna trang rna tr~n M s6 cac phudng trinh c9.-c~hY_~_11lQL~~.i9E_YL<::~ ,rn

- H~ tren c6 tM viet tilt la :

-

-~ ~ · ··· -~-· ·n-xi + L aij xj = bi (i = l,rn) j=m+l

D\nh nghia : Cac :fn ung vdi cac c9t vectd ddn v\ du(/c gQi

la cac trn cd ban Cac :fn con l?i la cac :fn khong cd ban An cd

ban ung vdi vectd ddn vt thu i gQi la :fn cd ban thu i (i = l,rn) Trang each trinh bay d tren, cac &n X 1' xm la cd ban, con cac :fn xm + 1' , xn la cac :fn kh6ng cd ban N gaai ra xi d'ong thoi

18

la !ln cd ban thu i (i = 1,m)

D\nh nghia : M¢t nghi$m cua h$ phudng trinh chu!ln, trong d6 cac !ln khOng cd ban d'eu bAng 0 g9i la nghi~m cCI ban

Chu y 1 : Vdi bai toan d;;tng chudn, ta luon c6 m¢t nghi~m

cCI ban ban d'llu

{

b j = 1,m

-j=m+1,n tuc la x = (x1, , xm, xm+ 1, , xn) = (bl' , bm, 0, , 0)

x1 la !ln cd ban thu nhfit, x2 la dn cd han thu hai, x3 la !ln

cd biin thu ba Khi cho x4 x5 la cac !ln khOng cd ban bAng 0, ta c6 nghi$m cd han ban d'au la :

x1 = 27 ; x2 = 25 ; x3 = 30 ; x4 ::::, 0 ; x5 = 0 Tuc x = (xl' x2, x3, x4, x5) = (27, 25, 30, 0, 0)

Chu y 2 : So nghi$m cd han cua M phudng trinh chulln la huu h1;1n BC:Ii vi m6i nghi$m cd ban duc;1c xac dinh hoi M !ln cd

ban ma s6 he dn Cd ban la em n

Chu y 3 : 0 tre~, M cho ti$n each trinh bay, ta xem m !ln d'au la ~n Cd ban, d'ong thoi thu t\f CUa dn Cd ban l1;1i chinh la thu

tq cua !ln Trong thqc te' c6 sv xao tr(in va 'ta phai nMn ra !ln nao la !ln cd ban, d'ong thoi gn cd bi'm fly la ~n cd ban thu mfiy

Thi d¥:

A= 0 0 2 1)

0 1 2 0

1 0 3 0

Ta thS:y M nay da c6 d~ng chu:fn voi :fn cc1 biin thu nhlft la

x , :fn cc1 bi'm thu hai la x3 va :fn cc1 ban thu ba la x Trong M

nay, cho cac :fn kh6ng cc1 ban xl = x4 = 0 ta c6 x5 = 30, x3 = 26,

x2 = 17 tuc la fin cd bim thu nhlft b~ng bl' fin cd bim thu hai

b~ng b2 fin cd ban thu ba b~ng b3 cac :fn kh6ng cc1 ban deu b~ng

0 la nghi$m cc1 biin ban ,dau

3.6 Phep khfr Gauss-Jordan voi h~ phudng trinh chufin:

{ x1 + 2x2 + 4x, = 152 4x2 + 2x3 + x4 60 3x2 + x5 36

Nh~n xet : Ltic d'au 3 vectc1 dc1n vi (J c¢t thu nhS:t, thu 4, thu 5 Sau phep khu 3 vectc1 dc1n vf iJ cac c¢t : thu nhlft, thu nhi, thu 4, c¢t thu 5 truoc la vectc1 dc1n vi thu 3 (thu r) bay gio kh6ng

20

con la vecto don v1 nua N6i khac di, neu ph'an tti triJ.C xoay)a arv' thi vecto don vi thu r dtt9c chuyfJn v~ c¢t v Trong M lin cd blm,

xr da dtt<;1c thay M.ng xv H~ lin co ban h1c d'au (xl' x4 x5) thanh

M lin co ban mdi (xl' x4 x2) va cung nho v~y, ta chuyfin dtt(1c tU

nghi~m co ban thu nh€lt x = (152, 0, 0, 60, 36) v~ nghi~m co ban thu hai X = (128, 12, 0, 12, 0) (b~ng each ChO cac lin khOng CO

ban b~ng 0)

BAI TAP CHu'dNG 0

BAI 1 : Tim ma tr~n chuyfin vi cua cac ma tr~n sau :

m

(2) L aij yi = cj (j = 1,n) j=l

dudi d;;tng trinh bay a 3.1 va 3.2

b) Ap d1J.ng CIJ tM ph'an a) cho ma tr~n A d ph'an bai 1 a) vdi b = (15, 20, - 5) ; c = (2, 4, 3, 0)

c) Ap d1J.ng CIJ thfi ph'an a) cho ma tr~n A d bai 1 ph'an b)

b) Tim nghi~m co ban ban d'au

c) Tim hai h~ lin co biin mdi va hai nghi~m co ban tuong ung bAng phep kh11 Gauss- Jordan

BAI 4 : Ch(:~~~ ~hT: ·r~ ~ !" t~)mO' r<)ng

a) Vie't M phuong trinh

b) Lam nhu bai 3 cho M phuong trinh nay

22

Chtidng 1

BAI TOAN QUY HO~CH TUYEN TINH

1.1 Bai toan l~p k€ ho~ch san xuilt trong di~u kit}n tai nguy~n h~n ch€ :

Thi dl,l : NMn dip tet Trung Thu, xi nghi¢p san xugt banh TRANG mu6n slm xugt ba lol;li banh : D~u xanh, th~p cdm, banh deo nhiin d~u xanh D~ san xugt ba lol;li banh nay, xi nghi$p clln : duong, d~u, b¢t, trung, mut, ll;lp xuong, Gia s\! s6 duong c6 th~

chudn bi dttqc la 500 kg, d~u la 300 kg, cac nguyen li¢u khac mu6n bao nhieu cung c6 Luqng dttong, d~u clln thiet va s6 ti"en lai khi ban m9t chiec banh m6i lol;li cho trong biing :

l \

Banh deo d~u xanh th~p cdm

'

LAi : 2 ngan 1,7 ngim 1,8 ngan

Clln l~p ke' hol;lch san xugt m6i lQI;li banh bao nhieu cai de' khong bi d9ng v"'e dttong, d~u va t<ing s6 liii thu dtt<;fc la ldn nhgt (ne'u san xugt bao nhieu cung ban he't)

PhAn tich : D~t xl' x2 x3 llln lttqt la s6 chie'c banh d4u xanh, th~p cdm, banh deo se san xugt

a) Tat nhien so ht<;1ng cac chie'c banh m6i lo1;1i khOng th~ la

so am, tuc la xj ;;:;: 0 (j = 1,3) (bllng 0 ne'u kh6ng slm xuat lol;li banh d6):

b) T6ng so duong cdn thie't Ja :

0,06x1 + 0,04x2 + 0,07x3 T6ng nay kh6ng tM vtt<;lt qua 500kg c6 trong kho

c) T6ng so d~u.xanh 9'an thie't la :

0,08x1 + Ox2 + 0,04x 3 T6ng nay kh6ng tM vttCJt qua 300kg

d) T6ng sO, lai thu duCJc la :

2x1+ 1, 7x2 + 1,8x3 (ngim) T6ng nay tat nhien cang lon c~ng tot

Tu cac phan tich tren, m6 hinh cua bai toan la :

(1) · f(x) = 2x1 + 1, 7x2 + 1,8x3 ~ max

(2) [0,06xl + 0,04x2 + o,o7x3 :S 500

0,08x1 + 0,04x3 :S 300 (3) xj ;;:;: 0 (j = 1,3}

Ham f(x) a (1) gQi la ham mvc tieti cua bai toari

Cac bat phuong trinh (J (2) ducjc gQi la h~ cac rang bu()c cua bai toan

Cac bat dhg thuc a (3) gQi Ja cac h~n che v~ dau cua cac

0,04

0 0,07) 0,04

lA rna tt·•: :~ so(·::)ran~•b::td """ slf h•n~N do

300 vdi b1 = 500, b2 = 300

x = (x1, x2 x3J la vec;to cac in' so

M~t vectd ba chi~u thOa man (2) va '(3) gQi la m¢tphudng

24·

an cua bai toan l\1¢t phttdng an thoa (1), tU:c la lam ham m1,1c tieu

d~t c\fc trt tren mi~n cac phttdng an gQi Ia phttdng an t6i uu Giai bai toan nay la di tim phttdng an t6i ttu cua bai toan (tuc chi ra phttdng an san xu::l't mang l:;li nhi~u Iai nha't) ho~c chi

ra ding bai toan khong c6 phttdng an t6i ttu

1.2 Biti tmin von d~u ttt nho nhat :

Thi dlf- : C6 ba xi nghi~p may : I, II, III cung c6 th~ san xu::l't

ao vet va qu'an Do trinh dq cong nhan, tai t6 chuc, mU:c trang hi

ky thu~t khac nhau, nen hi~u qua cua d'ong v6n b cac xi nghi~p cung khac nhau Gia stt d'au tit 1000 USD vao XN I thi cu6i ky se cho 35 ao vet va 45 qulln ; vao XN II thi cu6i ky cho 40 ao vet

va 42 qu'an ; con vao XN III thi cu6i ky cho 43 ao vet va 30 qu'an Ltt<;lng viii va s6 gio cong c'an thiet d~ san xuat 1 ao ho~c 1 qu~n

(con gQi la su::l't ti€m hao nguyen li~u va lao d¢ng) (J ba xi nghi~p cho trong biing

'-~~ -hang h6a thi neu le bq, chi c6 qu'an la d~ ban

Hay l~p ke ho~;~.ch d'au ttt vao m6i xi nghi~p bao nhieu v6n d~ :

- Hoan thanh ke ho~ch san phlfm

- Kh6ng kh6 kMn v~ tieu th1,1

- Khong hi d¢ng v~ vai va lao d()ng

- T6ng s6 v6n dau tu nhO nh:ft la di'eu n6i b~t can quan tam PhAn tfch : D~t xj la s6 v6n (don vi la 1000 USD) dau tu vao XN thu j G = 1,3)

a) T:ft nhi~n xj ::: 0 G = 1,3)

b) T6ng s6 ao vet thu du<;1c C1 ca 3 XN cu6i ky la :

35x1 + 40x2 + 43x3 T6ng nay kh6ng th~ nhO hcsn 1500

c) T6ng s6 quan thu duqc C1 ca 3 XN cu6i ky la :

45x1 + 42x2 + 30x3 T6ng nay kh6ng it hcsn t6ng s6 ao vet tuc ·I a :

45x1 + 42x2 + 30x3 <:: 35x1 + 40x2 + 43x3 1 Ox 1 + 2x2 - 13x3 ;:: 0

Di'eu nay dam biio n~u le b¢ thi chi du quan

d) T6ng s6 vai can cho ca 3 XN la :

Truoc h~t, ta tinh t6ng s6 vai can cho ca 3 XN chi M may

ao vet :

3,5m 35x1 + 4m 40x2 + 3,8m 43x3 (vi t6ng s6 ao vet thu duqc da tinh d tr~n la 35xl + 40x2 +

43x3 Trong d6 35x1 ao vet thu duqc may C1 XN I mad XN nay, m¢t ao vet can 3,5m vai ; 40x2 ao vet duqc may C1 XN II, m6i ao can 4m ; 43x3 ao vet may C1 XN III m6i ao can 3,8m)

Tucsng tv, s6 vai can M may quan C1 ca ba XN la :

2,8m 45x1 + 2,6m 42x2 + 2,5m 30x3

V ~y t6ng s6 vai can cho ca ba XN la :

3,5m 35x

1 + 4m 40x2 + 3,8m 43x3 +

2,8m 45x1 + 2,6m 42x2 + 2,5m 30x3 248,5x1 + 269,2x2 + 238,4x3 T6ng nay kh6ng th~ VUQt qua 10.000m

e) T6ng s6 lao d~ng c'ln cho ca 3 XN cllng tinh tucsng tv :

26

f) T6ng s6 vein phai bo ra la :

xl + x2 + x3

T6ng nay dudng nhi~n cang nhO cang t6t

Tit cac phAn tich tr~n, mo hinh cua bhl toan la :

(1) f(x) = x1 + x2 + x3 min

[

35x1 + 40x2 + 43x3 ;;:: 1.500 10x1 + 2x2 - 13x3 ;;:: 0

(2)

248,5x1 + 269,2x2 + 238,4x3 s 10.000 1150x1 + 1144x2 + 1224x3 s 52.000 (3) xj ;;:: 0 (j = 1,3)

A =(r~8,5 z2 ;3~~4)

1150 1144 1224 ~ 1500 )

B 0 ,,

10.000' 52.000

bl = 1500, b2 = 0, b3 = 10.000, b4 = 52.000

x = (xl' x2, x3)

1.3 Bai toan v*n tai :

Tht df!, : Ta cAn v~n tiii v~t li~u xdy d\fng ttt 2 kho : Kl' K2

d€n ba cong truong xlly d\fng : Cl' C2, C3 T6ng so v~t li~u c6 es

m6i kho, t6ng s6 v~t li~u y~u cliu es m6i cong truong, cling nhu khoiing each tit m6i kho d€n m6i cong truong du<1c cho trong bang dudi

Hay l~p k~ ho?ch v~n chuy~n th~ n£w M :

- Cac kho giai ph6ng h~t v$-t li$u

T6ng nay phiii bAng 15T theo yeu cliu cua C1

d) So tS:n v4t li~u chuy~n v'e cong tru:bng C2 t\r 2 kho :

x12 + x22

T6ng nay phai bAng 20T do C2 yeu cliu :

e) So v?t li~u chuy~n v'e cong tru:bng C3 t\r 2 kho

28

A

x13 + x23 T6ng nay phiii M.ng 25T do C3 y€m.c'au

f) T6ng s6 T.km phiii thvc hi~m :

5x11 + 7x 12 + 2x 13 + 4x21 + 3x22 + 6x23 T6ng nay cang nhO cang t6t

Tu cac phan tich tr~n, mo hinh bai toan la :

va mdi cqt voi mqt tr:;tm thu cho d~ hinh dung

Bai toan nay c6 net d~c bi~t la cac rang buqc; d~u du<;~c cho

d d:;tng phudng trlnh va cac ~n d'eu khOng am d ph'an 2.2 cua chuc1ng nay se xet d:;tng d6 va gQi Ia d:;tng "chinh tile" _

Ngoai ra bai toan con c6 net d~c bi.~t la :

H~ s6 cac ~n chi b~ng 0 ho~c 1

- M6i ~n chi xua't hi~n a hai phuc1ng trinh n~n bai toan nay

se c6 thu~t toan giai ri~ng xet (J chuc1ng 4 la "Bai toan v~n tai" 1.4 Bai toan pha trqn :

h<;Jp kim vdi 20% bl;lc, 30% d~ng va 50% nhOm, HQ sli dqng cac nguyen li~u : bl}.c, d~ng, nh6m, h<;lp kim A, h<;Jp kim B, h\lp kim C

Ham ht<;lng bl}.c, d~ng, nhOm trong cac nguyen li~u tren cling nhtrgia m{lt ddn vi kh01 lu<~ng m6i lol;li (USD/kg) duc)c cho trong bang dudi :

a) TB:t nhien xj 2: 0 (j = 1,6)

b) Ltt<;lng bl}.C chua trong 1kg san phgm la :

x1 + 0,3x4 + 0,5x5 + 0,4x6 Luqng nay phai b~ng 0,2kg

c) Lu<;Jng <t~ng chua trong 1kg ~an phgm la :

x2 + 0,4x4 + Q,2x5 + 0,35x6 Ltt<;lng nay phiii b~ng 0,3kg

d) Ltt<;lng nh6m chua trong 1kg san phgm la :

x3 + 0,3x4 + 0,3x5 + 0,25x6

30

(1)

(2)

(3)

Lttc;tng nay ph9.i bAng 0,5kg

e) Gia thanh lkg san phftm la :

1500x1 + 300x2 + 100x3 + 1000x4 + 1200x5 + 1100x6 T6'ng nay cang nhO cang tot

Tu cac pMn tich tren, mo hinh bai toan la :

f(x) = 1500x1+300x2+100x3+1000x4+1200x5+1100x6 """' min

+ 0,3x4 + 0,5x5 + 0,4x6 = 0,2 + 0,4x4 + 0,2x5 + 0,35x6 = 0,3 + 0,3x4 + 0,3x5 + 0,25x6 = 0,5

0,2)

B = 0,3 0,5

Ta nMn tba'y M cac rang bu9c <1 day Ia M phttong trinh chuftn (xem ph'an 3.5 chttong 0) Df,mg bai toan nay v'e sau se rat dttc;tc quan tam va dttc;tc trinh bay d ph'an 2.3 chttong nay

§ 2 PHAN LO~I D~NG BAI TOAN :

Qua cac vi d1,1 <1 §1, ta thay mQi bai toan d'eu dttc;tc d§.n v'e

mo hinh g6m 3 ph'an :

1 Ham M9C ti~u : la m<?t t6 hc;tp tuye'n tfnh cua cac ftn so, bidu thi m9t dl;li lttc;tng nao d6 ma ta phai quan tam trong bai toan : t6'ng so hii thu dttc;tc, t6ng so von phai bO ra, gia thanh san phftm v.v

2 Cac rang bul)c cua bai toan : la cac phttong trinh ho~c

bat phttong trinh tuye'n tinh n ftn so, nay sinh do tai nguyen hl;ln che', ke' bOl;LCh san phdm, yeu CllU v'e ky thu~t trong san xuat V.V

3 Cac h~n ch€~ v~ dau cua cac l:{n so : trong cac thi d1,1

d §1, xj thttC1ng khOng am (n6 la so san phdm, so von, so ngttC1i

v.v ) Tuy nhien, trong tnrong hqpt6'ng quat, xf c6 thl'f kh6ng thl'f lon hem 0 (nhu xj la nhi~t d9 b9.o quan thqc phffm ch:lng h:;m) ho~c

am dudng tuy y

Can cu vao cac kil'fu rang bu(>c Ci (2), cac kil'fu h~n che' v'e d:iu cua :in s6 a (3), d~ng cua ma tr$.n M s6 c:k rang bu(>c A va d:iu cua cac s6 h~ng tq do'bi (i = 1,;.), nguoi ta phan d~ng cac

hili toan thanh ba lo~i chinh sau da;y

A = (aij)mxn lama tr~n M s6 cac rang bu¢c

B' = (bl' b2, , bm) la vecto cac s6 h~ng tq do

X = (x 1' x 2, , Xn) }a vectd CaC ffn SeJ ,

C = (c1 c2, , en) la vecto h~ s6 cac ffn trong ham m1Jc tieu; a) Ham f(x) a (1) gQi la ham m1JC tieu, tuy theo n6 bi~u thi cai gl .ma c6 thfi min ho~c max ·

b) Cac phuong trinh va b:it phuong trinh a (2) g9i la M cac rang bu(>c cua bai toan, gbm 3 lo:;ti

- M(>t s6 la phuong trinh

32

- M¢t sei la bB:t phuon,g trinh voi dB:u II :5 II

M¢t sei khac Ia bB:t phuong trinh voi d3:u II;;::,,

Nh u' ta da ph An tich trollg thi dv 11

l?p ke' ho~ch san xuB:t II'

m9t veeto x = (xl' x2, , xn) thoa (2) vii (3) gQi la m9t phuc1ng

an cua ba'i toan M9t phuong an thOa (1), tuc la ham f(x) d~t ct(c tigu (hay ct(c d~i) tren t?p cac phu'clng an gQi Ia phu'clng an teii u'U -Giai bai toan quy ho~ch tuye'n tinh la di tim PATU' cua bai toan

ho~c chi ra ding n6 khOng c6 P ATU'

Thi dt!- 1 : Ca bein bai toan l!}p a §1 d'eu c6 d~ng tcing quat

d ba.i toan 11

L?p ke' ho~ch san X.uB:t "

I1 ='0 (khOng c6 rang bu9c phuong trinh) ; I2 = I = {1, 2} (ca 2 rang bu9c d'eu :5.) ; 13 = 0 (khOng co rang bu(lc 2:)

Trong hili toan nay J 1 = J = {1, 2, 3}tuc la ca 3 §:n d'eu

;;:: 0 J2 = J3 = 0 (kh6ng co in :5 0 va khOng co §:n tuy y)

Trong 3 bai tmln c;on l~i, cac b~n hay thti' phAn tich .M tim

n

(2) f(x) = 2: aij xj = bi (i= 1,m)

j=l (3) xj ;:: 0 (j = 1,n)

)

Nh.~n xet : Bai· t01in da·.'·ng.· ·c hinh tile la bai toan d~ng t6ng uat, trong d6 : r,

'\.' + Cac rang bu(ic d'eu la phuong trinh

· \ + Cac lin so d'eu khOng am

\ I 1 = I ; I2 = I3 = 0 ; J 1 = J ; J 2 = J 3 = 0

Thi dt~- 1 : Trong bon bai toan J?p b cac thi d1,1 §1, thi bai

toan thti ba (v?n tai) va bai toan thu tu (pha tr(in) da c6 d~ng chinh tiic

Thi dt~- 2 : Bai toan sau day cung c6 d~ng chinh tiic :

(2) [xl x2

xm + am(m+l)xm+l + ··· + amnxn = bm (3) xj ~ 0 (j = l,n) ngoai ra bi ~ 0 (i l,m)

+ Ma tr~n M s6 cac rang bu()c A c6 chua m()t rna tr~n don

vt ca"p m N6i khac di, .M cac rang bu()c Iah;';huong tri~·b-;;huin

~~~

(xem 3.5 chuang 0 M r6 them bai toan d~ng chudn cling nhu cac d\nh nghia va chu y du<'!i day)

D\nh nghia : Cac lin ling voi cac vecto c()t don vi trong rna

tr~n A · duqc gQi la cac ~n cd him An co him ~ng voi vecto don

(*) Theo thu~t ngfr cua DANTZIG [Linear programning and extensions, University

of California 1965) thi bai toan co d?ng a phan 2.2 trang 34 ciUQ'c g<;>i Ia bai

toan d?ng ti{w chuiin (standard form), con bai toan co d?ng a phan 2.3 nay, kh6ng cloi hoi gl ve d€iu cac b; (i = 1, m) g<;>i Ia d?ng chfnh tac (Canonical -

from) Neu co tMm clieu ki~n b; ;:: 0 (i = 1, m) ciUQ'C g<;>i Ia d?ng chfnh tac

khil giai (feasible canonical form) Nhung trong nhieu sach thoong g~p cac

thu~t ngfr ciUQ'C dung ciao l?i 0~ tranh Xao tr9n, gfly kho khan cho b?n cl<;>c khi tham khao nhieu tai li~u t6i dung the,9 each cia kha ph6 bien (D H)

v\ thtt i gqi la lin co biin thtt i (i = l,m) Cac lin con l~i la cac lin

D\nh nghia : M~t phuong an ma cac lin kh6rig cd ban d"eu

b~ng 0 gQi la phlidng an cd ban

M9t phtrdng an co biin c6 du m th~mh ph'an duong g9i la khong suy bien N~ c6 it hdn m th~mh phfm duong g9i la suy bien

Nh~n xet : Vdi bai toan d~ng chulin, ta lu6n c6 phuong an

cd him ban dllu la :

x = { bj vdi j = 1, m _

tttc la (xl' , xm,_xm+1' , xn) = (bl' , bm, 0, , 0) (nhd

rhg b day hi 2! 0 i = 1,m)

Chu y : d tren,· M ti~n each trirth bay, ta xem m lin dliu Ui

cd ban, dong thoi so thu tt[ cua lin ed bib cung chinh la so thu tt[ cua lin Trong tht[c te' c6 Stf xao tr~n va ta phi!li nM.n ra :

An nao la lin co ban

- An cd ban fiy la lin co Mn thu mfiy

Thi dlf, 1 : Trong 4 bai toan l~p ra b §1, bai toan thu-tu (pha

.tr~n) da_ c6 d~ng chulin D~ng eua n6 hoan toan gi6ng d~ng trinh hay d tren Phuong an co ban ban dllu la :

(x1 x2 x3 x4 x5 x6) = (0,2 ; 0,3 ; 0;5 ; 0 ; 0 ; 0) la phuong

an co ban kh6ng suy bien

Thi dlf, 2 : Bai toan sau day cung c6 d~ng chulin

(1) f(x) =

(2)

(3)

36

An cd biin thu nha."t la x5 ~n co ban thu hai ia x6, ~n co ban thu ba la x3 Phuong an co ban ban dliu la :

(xl' x2, x3, x4, x5, x6) = (0, 0, 28, 0, 20, 0) la phuong an co ban suy bie'n

§ 3 BIEN DOl D~NG CUA BAI TOAN Q.H.T.T

3.1 Dua d~ng t&ng quat v~ d~ng chinh tlic :

Voi b6n bi~n phap mo ta duoi day, ta c6 thg dua mQi bai toan

d~ng t6ng quat va d~,mg chinh tile :

n

(I)Ne-u g~p rang bu¢c d:;mg j~/ij xj "=::; hi t a 9 t M m vao ve' trai m9t ifn ph\1 (Slack variable) khong arb xn+i ;:: 0 M bie'n v'e d~ng phuong trinh :

\·j~:: Ne'u g!)p ~n xj =::; 0 ta thay xj = - tj vdi tj ;:: 0

\./4:·)Ne'u g!)p ~n x: tuy y v'e da"u, ta thay x = x: - x:· vdi x: ~ 0

\a x ": ;::::: 0 (nhling xi vftn c6 th6 am, dliong, bhng 0 tuy theo Xj' nho han, lon hon hay b~ng x "i)

Thi d~1 : Dtra bai toan sau day v'e d~ng chinh tiic :

Ta tha'y, bai toan a day chua chinh tacdo:

-Rang bu()c thu 1, 2, 3 chtta ph:ii phttdng trlnh

- An x4 :::; 0 va Xz, x3 tuy y

Ta ph:h them ~n phl;l X6 vao rang bu()c thu nha't voi h(; s6

+ 1 ; ~n phl;l X7 YaO phlicfng trlnh thu hai y(jj h~ SO - 1 ; ~n ph~l

Xg vao phu'dng trlnh thu ba voi M s6 - 1 Cac ~n X6, X?, Xx d'eu c6 M s6 bhg 0 trong ham mt,1c tieu

Ngoai ra ~n ~ phai thay biing- ~ va x2 = x'2 - x'l2 ;

X3 = x' 3 x'i 3 trong ham m\}C tieu Va cac rang bu(}c

Bai toan c6 d~wg chinh uic la :

(l) f(x) = 2x1- x' 2 -x··2+2x3-2x l-tc2Xs + Ox6 + Ox1+0xx ~min

Chu y : Khi gilli bai toan m(Ji nay, neu khOng c6 phudng an

t6i uu thi bai toan xuat phat cung kh6ng c6 phudng an t6i uu Neu c6 phudng an t6i uu

( o xl' xo' 2 xo" 2 , xo' 3 , xo" 3 , to 4, xo 5, xo 6, x].: o xo) 8 _ t h i p udng i:ln t61 uu h .< '·

cU a bhl toari g6c se the nao ?

Tru(jc het, ta khOng c'an chu y den cac A~ ph1,1 x~, x~, X~ vi n6 khOng dong vai tro gi v'e kinh te

Ta tinh X~ = xr- xr va X~ = x~' - xf ; X~ = - t~ khi d6

(x~, x~,x~, x~, x~) se la phudng an t6i uu cua bai toan xuat phat 3.2 Dlia d~ng chinh tile v'e d~ng chuAp :

i Mt ta phuc1ng phap :

Tru(Jc het, neu trong bai toan d~ng chinh tiic, c6 m9t so h~ng

t\1 do bi baa do ilm, ta chi c'an d6'i dS:u hai ve M du<;~ebi > o

M (m9t s6 lon hdn s6 naa c'an so ~liF; ·cb~ khief(:g:) ·.- m~ cac

An gia trang ham m1,1c tieu c6 M s6 (M) Ta c6 bal·t~~hfudi gqi

'""-'~~/

la bai toon md r?mg cua bai toan xua't· phat

a) Ta hay phan bi$t dn phv va :fn gia voi 3 y sau :

- An ph1,1 d€ dtta bai toan t6ng quat v'e chinh t!ic con d'n gia dtta chiirh tAc v'e chudn

- Trong ham mvc tieu h$ s6 cua fin gia b~ng M (f(x) _, min)

va - M (f(x) _, max) ; con d'n ph\1 luon co h$ s6 b~ng o

- An ph1,1 la con s6 thQ'c gitip ta bie'n ba't phttong trinh v'e

phttong trinh con dn gia thi 2 ve' da b~ng nhau rna vAn CQng them

la vi$c lam "gia t~o" c6t M t~o ra vectd don vi nra thOi

b) N e'u bhl toan d~ng chinh Me c6 bi ~ 0 (i = 1, m) da c6 s~n ffiQt s6 vectd CQt don Vl trong A, thi chi c'an them dn gia vao :tlliung phuong trinh din thie't du d6 t~o ra bill foan mb r9ng d~ng chuffn

Thi d11- :

(1) f(x)_ = 2x1 + x2 + x3 - x4 _, max

40

Ta th9:y ne'u cac :in gia deu bhng 0, thi bhl toan moi la,.i chinh

la bhl toan cu, vi vf).y phuong huang cua ta la phiii lam sao cho cac dn gia bhng 0 Ke't ClJC d6 da du\1c b6 tri siin nhu sau : Gia s\! bhl toan c6

f(x) -+ min, thi di'eu d6 chi dt;~.t dUQC ne'u cac dn gia b{tng 0 Vi ne'U dn gia duong thi f(x) vlin con chda M voi M s6 duong ma M la,.i IOn tuy

y Con ne'u f(x) -+ max thi M thay bhng- M cung vdi y d6

Tu di'eu nay ta th:iy : n~u hili tmin m& r(>ng khong co phttdng an t6i ttu thi bai toan xuat phat cling khong co PATU

3 N eu x A' 0 = ( xl' x0 0 2, , xn, , , ' 0 0 0) l' h a p u ng an 01 uu cua d ' tA'' ?

bai toan rna r¢ng thi x0 = (x~, x~, , x~) la phUdng an t6i Uu cua bai toan xu:it phat Tttc la n~u bai toan m& r(>ng co phudng an t6i ttu trong do cac ain gia d~u bilng o, thi bo phln ain gia

di, ta con l~i phttdng an t6i ttu cua bai toan xuat phat

4 N~u bai toan m& r(>ng co phttdng an t6i ttu trong do

co it nhat m(>t ain gia nh~n gia tri dttdng, thi bai toan xuat phat khOng co phttdng an

Th~t v~y : gia sli f(x) -+ min va bai toan rna r()ng c6 phUdng ' t A'• u l' 0 ( 0 ' 0 0 1 0) t ' I' ' J! • ? 1 0

an 01 u ax = xl' , xn, , , , trc a co an g1a xn+2 = > ,

trong khi d6 bai toan xmrt phat v§.n c6 ph11dng an x1 = (xi, , x!) Khi d6, theo nMn xet (1) x1 = (xi, , x!, 0, , 0) la phUdng an cua bai toan rna r¢ng Ta c6 :

Vi M la sO' Ion hdn bat ky sO' nao din so sanh cho nen f(x1) < f(x0

tttc x1 t6t hdn x0

trai vdi vi~c x0

Ia ph11dng an t6i Uu V~y bai toan xuat phat kh6ng th~ c6 phUdng an dU<;fc

3.3 K€t lu~n :

Bai toan d:;mg t6'ng quat nao cling d11a d119c v'e d~ng chinh tlic va bai toan d~ng chinh tlic nao cung d11a d119c v'e bai toan rna

r()ng d~ng chulfn V~y nen m:iu ch6t cua vlln d'e la giai hili toan

d~ng chulfn Thu~t toan giai se dUc;Jc trinh bay a chUdng sau

42