Quy hoạch tuyến tính

Tịnh tiến đường thẳng d theo một hướng nào đó sẽ làm cho giá trị hàm mục tiêu tăng, ngược lại sẽ làm hàm mục Mộ ph ươ ng án của bài toán QHTT là 1 bộ thoả ất cả các ràng buộc của bài toá

Trang 1

PHÂN PH Ố I CH ƯƠ NG TRÌNH

S ố

S ố ti ti ế ế t t: : 30 30 -

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương 1: Phương pháp Gauss - Jordan

Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính

Chương 3: Bài toán đối ngẫu

Chương 4: Bài toán vận tải

Gi ả ng viên:

Gi ả ng viên: ThS L ê Trung Nghĩa

Tài liệu tham khảo

[1] Võ Văn Tuấn Dũng , Giáo trình Quy hoạch tuyến tính , NXB Thống kê, 2007

[2] Nguyễn Thành Cả , Tối ưu hĩa (phần Quy hoạch

Hệphương trình tuyến tính tổng quát cĩ dạng

Trang 3

x −4 0 1 0 3 3

4

− 0 0 0 3

4 0 0 0 − 3

Trang 4

(4) : (4) 12(1),= −

ACS SHTD x 1 x2 x3 x41

x 5 1 − 1 − 2 4

14

− 0 2 5 − 10 14

− 0 2 5 − 10 70

− 0 10 25 − 50

Trang 6

1 Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.

Cần vận chuyển hàng hóa từ 3 phân xưởng P1,

P2, P3tới 2 đại lý D1, D2 Cho biết lượng hàng hóa

ở các phân xưởng Pilà ai, nhu cầu ở các đại lý Dj

là bjvà là chi phí vận chuyển trên mộ đơn vị

1.1 Bài toán vận tải 1 Một số bài toán quy hoạch tuyến tính.

Gọi là số lượng hàng hóa vận chuyể

Trang 7

i

bi

Khi đó, ta nhận được bài toán

đậ u c ầ n thi ế t và l ợ i nhu ậ n thu đượ c trên m ộ t cái bánh m ỗ

lo ạ i cho trong b ả ng sau

C ầ n l ậ p k ế ho ạ ch s ả n xu ấ t m ỗ i lo ạ i bánh bao nhiêu cái để

không b ị độ ng v ề đườ ng, đậ u và t ổ ng l ợ i nhu ậ n thu đượ c

là l ớ n nh ấ t n ế u s ả n xu ấ t bao nhiêu c ũ ng bán h ế

2 Mộ t xí nghi ệ p d ệ t hi ệ n có 3 lo ạ i s ợ i : Cotton, Katé, Polyester v ớ i

Trang 8

Bi ế t l i nhu ậ n thu đượ c khi s ả n xu ấ t m ộ t mét v ả i các lo ạ i A, B,

C t ươ ng ứ ng là 350, 480, 250 ( đồ ng) S ả n ph ẩ m s ả n xu ấ t ra

đề u có th ể tiêu th ụ đượ c h ế t v ớ i s ố l ượ ng không h ạ n ch ế

nh ư ng t ỷ ệ v ề s ố mét v ả i c ủ a B và C ph ả i là 1 : 2.

Hãy xây d ự ng bài toán tìm k ế ho ạ ch s ả n xu ấ t t ố i ư u.

2 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch tuyến tính.

Xét một bài toán quy hoạch tuyến tính theo hai ẩn :

2 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch

2

3(2,3)

2 Ý nghĩa hình học của bài toán quy hoạch

Trang 9

C O

đi qua gốc tọa độ

Tịnh tiến đường thẳng (d) theo một hướng nào đó sẽ làm

cho giá trị hàm mục tiêu tăng, ngược lại sẽ làm hàm mục

Mộ ph ươ ng án của bài toán QHTT là 1 bộ

thoả ất cả các ràng buộc của bài toán

Ph ươ ng án t ố i ư u(PATƯ) hay nghi ệ mlà phương

Trang 10

3 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính.

3.2 Giải thuật chuyển dạng tổng quát

b ng đểđưa ràng buộc bất phương trìnhtrên về ràng buộc dạng phương trình

Chú ý: Nếu là bài toán dạng max thì ta có thể chuyển về

bài toán dạng min bằng cách áp dụng công thức sau:

3 Các dạng của bài toán QHTT. 3 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính.

Ví d ụ 7.Xét bài toán quy hoạch tuyế

Trang 11

3 Các dạng của bài toán quy hoạch tuyến tính.

4.1 Bài toán QHTT dạng đơn hình (tham khảo)

Xét bài toán tìm sao cho

x a x a x b

x 0, j 1, n,

+ + + +

x b 1 ′ 1 a ′ 1,i 0 a 1,r 1 ′+ 0 a 1,n ′

Trang 12

• Dựa vào các ước lượng thứ j ta chia thành 3

trường hợp như sau:

TH 1: Nếu thì ta kết luận PA

đang xét là PA tối ưu

TH 2: Nếu thì

hay bài toán đã cho không có PATƯ

TH 3: Nếu với mỗi j mà ta luôn tìm

được ít nhất một thì khi đó ta có thể

tìm được một PA mới tốt hơn PA đã xét,

nghĩa là hàm mục tiêu có giá trị nhỏ hơn

Cách xây dựng PA mới như sau:

• Thay thế một ACS bằng một ẩn tự do trong đó

ẩn cơ sở đưa vào tương ứng với lớn nhất

Giả sử đó là thì ẩn tự do đưa vào là xk Ẩn bị thay ra là xsvới cách xác định như sau:

(lấy các phần tử ở cột SHTD chia cho cột k)

• Sau đó ta dùng các phép biến đổi sở cấp trên dòng biến cột xkthành cột xs

• Cuối cùng, ta lại xét dấu các giá trị của các ước lượng để xem thử thuộc trường hợp nào

ik

bb

Trang 13

4.3 Bài toán QHTT tổng quát.

Để giải bài toán QHTT bằng phương pháp

đơn hình ta phải đưa bài toán đó về dạngchuẩn Từ các ràng buộc BTQHTTTQ

Quan hệ giữa bài toán mở ộng và bài toán xuấ

các s ố h ạ ng t ươ ng ứ ng v ớ i các ẩ n gi ả , ta đượ c ph ươ ng án

t ố i ư u c ủ a bài toán g ố c v ớ i giá tr ị hàm m ụ c tiêu f=f

Trang 14

Tr ườ ng h ợ p 3: Bài toán (M) có ph ươ ng án t ố i ư u và có

s ố h ạ ng t ươ ng ứ ng v ớ i ẩ n gi ả khác 0 Khi đ ó bài toán g ố c

không có ph ươ ng án nên không có ph ươ ng án t ố i ư u.

để giải bài toán mở ộng với lưu ý: do hệ số của

hàm mục tiêu đều luôn chứa các hằng số nhân

với M rồi cộng với hằng số nên để trình bày đơn

giản, ta chia hàng cuối của thành 2 hàng, hàng

trên ghi các số hạng hằng (không phụ thuộc vào

M), còn hàng dưới ghi các hệ số của M

Ngoài ra, vì bài toán gốc không có các ẩn giả

nên trong bảng đơn hình của bài toán (M) ta

không nhất thiết ghi các cột t.ư với các ẩn giả

f f

c ' 1

c ' 2

Ý ngh ĩ a kinh t ế c ủ a bài toán đố i ng ẫ

C ặ p bài toán đố i ng ẫ u t ổ ng quát

Đị nh lý độ l ệ ch bù

Trang 15

1 Thành lập bài toán đối ngẫu

Cho bài toán quy ho ạ ch tuy ế n tính , mà ta

m ụ c tiêu cho bài toán đố i ng ẫ u và ng ượ c l ạ i.

Các ràng bu ộ c trong bài toán g ố c ( ) là các b ấ

ph ươ ng trình trong khi các ràng bu ộ c trong bài toán đố i

ng ẫ u ( ) là các b ấ t ph ươ ng trình .

Các h ệ s ố trong ràng bu ộ c ph ươ ng trình c ủ a bài toán g ố c tr ở

thành các h ệ s ố c ủ a ẩ n trong các ràng bu ộ c c ủ a bài toán đố i

ng ẫ u và ng ượ c l ạ i.

≥

1 Thành lập bài toán đối ngẫu

Ví d ụ 1. L p bài toán đố i ng ẫ u c ủ a bài toán sau

2 Ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu

Trong bài toán đối ngẫu trong ví dụ 1,

ta xét bài toán vật tư (xem phần 1.2,

Ngoài ra, gi ả s ử thêm r ằ ng đơ n v ị v ậ t t ư t n kho c ủ a l ầ n

l ượ t là 40; 12; 40 và giá bán m ộ đơ n v ị m ặ t hàng là 20;

Trang 16

Do giá bán ph ả i không âm, ta đượ c

Khi đ ó, t ổ ng s ố ti ề n thu đượ c khi bán h ế

T ớ i đ ây, ta có hai quan đ i ể m :

T ừ (3.7-3.9), ta nh ậ n đượ c bài toán (3.5),

Trang 17

3 Cặp bài toán đối ngẫu tổng quát

Ví d ụ 2. L p bài toán đố i ng ẫ u c ủ a bài toán sau

Ví d ụ 3. L p bài toán đố i ng ẫ u c ủ a bài toán

ng ẫ u v ớ i nhau đượ c g ọ i là c ặ p bài toán đố i ng ẫ u đố i x ứ ng

Ví d ụ 4. L p bài toán đố i ng ẫ u c ủ a bài toán

( ) ( )

f x =g y

Trang 18

Định lý đối ngẫu mạnh:

Nếu bài toán gốc có phương án tối ưu

thì bài toán đối ngẫu cũng có phương án tối

ưu và giá trị hàm mục tiêu tối ưu bằng

nhau, nghĩa là , trong đó f là

hàm mục tiêu của bài toán gốc, g là hàm

mục tiêu của bài toán đối ngẫu.

x y

Các phương án của bài toán gốc và đối ngẫu đều là phương án tối ưu điều kiện cần

m

j ij i j i

có phương án tối ưu là và giá

trị tối ưu là -6 Tìm PATƯ của bt đối ngẫu?

x x 23x 4x 7

Thành lập bài toán vận tảiCác tính chất của bài toán vận tảiCác phương pháp tìm phương án xuất phátThuật toán thế vị giải bài toán vận tải

Trường hợp không cân bằng thu phát

Trang 19

1 Thành lập bài toán vận tải

1. Phát biểu bài toán

Gi ả s ử ta có m đị a đ i ể m phát hàng, ký hi ệ u là

và n đị a đ i ể m thu hàng, ký hi ệ u là Gi ả s ử kh ả

n ng cung c ấ p hàng c ủ a là đơ n v ị s ả n ph ẩ m, nhu c ầ u

thu hàng c ủ a là đơ n v ị s ả n ph ẩ m và giá v ậ n chuy ể n

B , j 1, n =

i A

i

a

j B j

b

i

A B j

i j c ij

Tr ướ c h ế t, ta xét tr ườ ng h ợ p cân

và lượng hàng chuyển chở tới thỏa mãn nhu

và các ràng buộc về dấu Ngoài ra, ta còn có thêm các giảđịnh

n

j 1 m

(1.9)

2 Bài toán vận tải dưới dạng bảng.

Bài toán v ậ n t ả i (1.5-1.8) có th ể vi ế t d ướ i

d ng b ả ng nh ư sau :

j

B b1 b 2 ⋯ b n i

A

1

a c 11 11 x 12 c 12 x

⋯ c 1n 1n x 2

a c 21 21 x 22 c 22 x

⋯ c 2n 2n x

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ m

a c m1 x

m 2 c x

⋯ c mn x

trong đó Hàm mục tiêu bằng tổng tất cả các tích ở

b

Trang 20

Ký hiệu là ô nằm ở hàng i và cột j

Một dãy các ô có dạng :

hay nói cách khác là một dãy các

ô mà 2 ô gần nhau thì cùng dòng hoặc cùng cộ

và việc cùng dòng hay cùng cột này là xen kẽ

nhau được gọi là một dây ( đườ ng đ i)

Một dây khép kín được gọi là một vòng (chu trình)

(2,3)

2 Các tính chất của bài toán vận tải

2.1 Tính chất 1.Bài toán v ậ n t ả i cân b ằ ng thu

2 Các tính chất của bài toán vận tải

H ệ qu ả Trong một phương án cơ bản bất kỳ, số ô

chọn không bao giờ vượt quá

2.3 Tính ch ấ t 3.Số ô tối đa không lập thành vòng

là , nghĩa là một tập hợp gồm ô

bao giờ cũng chứa vòng, tập hợp gồm ô

không bao giờ chứa vòng.

2.4 Tính ch ấ t 4.Phương án là phương án

cơ bản khi và chỉ khi tập hợp các ô chọn của

không chứa vòng (các ô chọn tối đa là ).

Trên đườ ng đ i, phân ph ố i t ố i đ a và b ả o đả m cân b ằ ng hàng

c ộ t Phân ph ố i h ế t thì d ừ ng, sau đ ó ki ể m tra t ổ ng s ố ô ch ọ n có

b ng hay không N ế u t ổ ng s ố ô ch ọ n b ằ ng thì ph ươ ng án này là ph ươ ng án c ơ b ả n.

m+ −n 1

m + − n 1

Trang 21

3 Các phương pháp tìm phương án xuất phát

có thể bước chọn trước tốt nhưng bước

chọn sau lại có thể r i vào ô có cước phí rất

cao Phương pháp Fogels khắc phục nhược

điểm này để cho phương án xuất phát gầ

phương án tối ưu hơn

min

C

Ph ươ ng pháp Fogels g ồ m các b ướ c sau : Trên m ỗ i hàng, m ỗ i c ộ t, ch ọ n nh ỏ nh ấ t và nh ỏ th ứ

hai L ấ y hi ệ u s ố c ủ a chúng (l ấ y s ố l ớ n tr ừ s ố nh ỏ ) r ồ i ghi vào

cu ố i hàng và cu ố i c ộ t t ươ ng ứ ng Sau đ ó tìm s ố l ớ n nh ấ t trong các hi ệ u s ố đ ó.

Ta phân ph ố i cho hàng (ho ặ c c ộ t) có hi ệ u s ố l ớ n nh ấ t tr ướ c tiên Lúc phân ph ố i thì phân cho ô nào có nh ỏ nh ấ t c ủ a hàng (ho ặ c c ộ t) ứ ng v ớ i hi ệ u s ố l ớ n nh ấ t nói trên theo cách phân ph ố i t ố i đ a và b ả o đả m cân b ằ ng hàng, c ộ

i j

c

Trang 22

4 Thuật toán thế vị giải bài toán vận tải

4.1 Tiêu chuẩn tối ưu của bài toán vận tải.

Điều kiện cần và đủ để một phương án

là phương án tối ưu là tồn tại

thoả mãn các điều kiện sau :

mỗi phần tử của hàng một số và cộngvào mỗi phần tử của cột một số tuỳ ý thì ta thu được bài toán vận tải mới tương

đương với bài toán ban đầu

T đó, ta có ph ươ ng pháp th ế v ịg mcác bước sau đây :

án t ố i ư u (theo 4.1).

Kh ả n ă ng 2 : Có ít nhấ t m ộ t ô lo ạ i có Khi đ ó, để bi ế t ô lo ạ i nào th ỏ a mãn đ i ề u ki ệ n ii) hay không, ta tính độ chênh l ệ ch theo công

th ứ c sau :

+ =

i j i j i) u v c

Trang 23

4 Thuật tốn thế vị giải bài tốn vận tải

Nếu thì ơ thỏa điều kiện ii) Ta gọi ơ

là ơ đạ tvà tất cả các ơ đều là ơ đạt thì phương

án đang xét là phương án tối ưu

Nếu thì ơ khơng thoả ii) Khi đĩ, ta gọi

ơ là ơ khơng đạ tvà phương án đang xét

chưa tối ưu Ta cần điều chỉnh ơ này để thu được

ij i j

x x với i, j nằm ngoài vòng điều chỉnh

x x q với i, j là ô mang dấu " "

f X ′ − f X = − ∆ < q 0.

X′

X

Ví d ụ 5. Gi ả i bài tốn v ậ n t ả i sau:

Ví d ụ 6. a) Gi ả i bài tốn v ậ n t ả i sau:

b) Tìm 1 ph ươ ng án t ố i ư u khác c ủ a bài tốn.

4.3 Trường hợp suy biến.

Trang 24

Các ô loại được chọn cần đạt các yêu cầu sau :

Ví d ụ 7.Giải bài toán vận tải sau :

Ta đưa bài toán vận tải về trường hợp cân

b ng thu phát bằng cách đưa thêm cột thu

5 Trường hợp không cân bằng thu phát

Sau khi giải bài toán vận tải cân bằng thu phát ở

trên, nếu ở cộ ảo có ta sẽ loại bỏ các biến này Tuy nhiên các thành phần ảo này cho ta

biết trong phương án tối ưu số lượng hàng không

được phát hết là bao nhiêu và giữở trạm phát nào

Ví d ụ 8. Xét bài toán v ậ n t ả i sau

Trang 25

5.3 Bài toán vận tải có ô cấm:

Ô c ấ m là ô không nhận được hàng Giả sử ô (i,j) là

ô cấm Khi đó ta thay , trong đó là số

5.4 Bài toán vận tải có hàm mục tiêu cực đại:

Ví d ụ 10.Giải bài toán vận tải có hàm mục tiêu cực

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	468,63 KB