SKKN Giai BT bang cach lap PT lop 8

Lý do chän ®Ò tµi.. c) KiÕn thøc chñ yÕu... KÕt thóc vÊn ®Ò C.[r]

Phòng GD-ĐT Quốc Oai Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam Trường THCS Phú Cát Độc lập Độc lập tự do tự do tự do hạnh phúc hạnh phúc hạnh phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Phần I : Sơ yếu lý lịch

Phần II : Nội dung đề tài

Tên đề tài

" một số gợi ý trong giải toán bằng cách lập phương trình "

A Đặt vấn đề

A Đặt vấn đề

1. Lý do chọn đề tài

Trong dạy học môn toán việc giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết cho một lớp các bài toán là một việc làm rất quan trọng Đặc biệt đối với dạng bài có nhiều ứng dụng trong Đại Số “Giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình” việc làm đó càng trở nên cần thiết hơn

Trong chương trình Đại Số ở lớp 8 các em đ: được làm quen qua dạng bài giải bài toán bằng cách lập phương trình nhưng chỉ dừng lại ở dạng phương trình bậc nhất một ẩn Song chương trình Đại Số 9 các em lại một lần nữa được giải các bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai, và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số Tôi nhận thấy chủ yếu học sinh khá giỏi có thể có khả năng làm được dạng toán này còn các học sinh yếu, trung bình gặp rất nhiều khó khăn trong việc giải toán loại này

Chính vì vậy mà tôi đ: mạnh dạn đưa ra một vài gợi ý cho các em khi giải loại toán này Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân tôi, trong khi giải các bài toán và rất mừng nó đ: thu được những kết quả nhất định

2. Thời gian thực hiện và phạm vi đề tài

Đề tài này tôi thực hiện khi dạy các tiết 40 – 41 – 62 trong chương trình Đại Số 9 với nội dung chủ yếu là luyện tập giải các bài toán bằng cách lập phương trình mà cách giải các em đ: làm quen ở chương trình Đại Số 8 ở mỗi dạng toán tôi có đưa ra thêm một vài gợi ý cho các em học sinh khi giải

Đối tượng thể nghiệm đề tài này là học sinh lớp 9BC trường THCS Phú Cát Đây là 2 lớp có nhiều học sinh yếu và trung bình Đối tượng thường gặp rất lúng túng với dạng toán này

3. Mục tiêu của đề tài

Đề tài này tôi muốn cung cấp cho các em phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình Qua đó giúp các em nắm được

và vận dụng váo các bài tập

4. Khảo sát trước khi thực hiện đề tài

Sau khi dạy xong tiết 41 – trong chương trình Đại Số 9 về giải bài toán bằng cách lập phương trình - hệ phương trình tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 20 phút với nội dung:

Đề bài :

Cho 1 số có 2 chữ số Nếu đổi chỗ 2 chữ số đó thì được số lớn hơn số

đ: cho 36 Tổng của số đ: cho và số mới là 99 Tìm số đ: cho

Kết quả như sau :

Điểm Lớp Số học

sinh 0 1 -> 3 4 -> 5 6 -> 7 8 -> 9 10

Qua bài làm của các em tôi nhận thấy các em chưa vận dụng tốt được cách giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình Một số em còn lúng túng khi giải, chưa biết cách chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn như thế nào, chưa biết cách biểu thị mối liên hệ giữa giá trị đ: biết qua ẩn để đi đến phương trình – hệ phương trình

Do vậy người thầy cần chỉ ra con đường để giúp các em đi đến kết quả của bài toán một cách tất yếu nhanh và chính xác

B Giải quyết vấn đề

B Giải quyết vấn đề

a) Mục tiêu của đề tài

Tôi suy nghĩ và thể nghiệm đề tài này với mong muốn giúp các em học sinh giải nhanh và chính xác cách giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

b) Các bước tiến hành

Sau khi dạy xong các tiết 40 – 41 – 62 tôi cho kiểm tra và thu được kết quả như trên Tôi nhận thấy trong các tiết luyện tập sau cần nhắc lại cho các em hiểu rõ cách giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình

c) Kiến thức chủ yếu

- Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình – hệ phương trình (có 3 bước cụ thể)

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, phương pháp cộng

đại số

- Giải phương trình ax2 + bx + c = 0 ( ≠a 0 )

d) Nội dung chủ yếu:

Dạng 1

Dạng 1 :::: Toán về tỷ số và quan hệ giữa các số

1 phương pháp giải :

1 phương pháp giải :

Tỷ số của 2 số a và b ( ≠a 0 ) là a : b

Hiệu 2 số là a – b

Tổng 2 số là a + b

Tổng bình phương hai số là : a2+b2

Tổng nghịch đảo hai số là: a1 +b1

2 Các ví dụ :

2 Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số nhỏ cho 7 và số

lớn cho 5 thì thương thứ nhất kém thương thứ hai 4 đơn vị Tìm hai số đó

Hướng dẫn giải

- Đối với bài toán này việc chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn đòi hỏi học sinh phải xác định rõ ràng đúng đắn để đưa ra phương trình hoặc hệ phương trình cho bài toán

Lời giải

- Gọi số lớn là x số bé là y (x>0, y>0)

- Ta có x – y =12

- Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho 5 ta có 4

7

y x

- Ta có hệ phương trình :







=

=

⇔







=

ư

=

ư

⇔









=

ư

=

ư

28

40 140

5 7

12 4

7 5

12

y

x y

x

y x y

x

y x

- Vậy hai số cần tìm là 28 và 40

Ví dụ 2 : Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 7 và tổng các bình

phương của chúng bằng 289

Hướng dẫn giải

Đối với bài toán này cỏ thể giải bằng cách lập hệ phương trình hoặc phương trình bậc hai một ẩn số Song cách biểu diễn các số liệu đ: biết qua ẩn, việc chọn ẩn phải phù hợp với yêu cầu của bài toán Lời giải

- Gọi số thứ nhất là x (x ∈ N)

- Số thứ hai là x+7

- Theo đề bài tổng bình phương hai số là 289 nên ta có phương trình

x2 + (x + 7)2

= 289  2x2

+ 14x – 240 = 0  x2 + 7x – 120 = 0

- Giải phương trình ta được: x1 = -15 ; x2 = 8

- Vậy hai số cần tìm là 15 và 8 hoặc – 15 và - 8

Bài tập áp dụng:

Bài tập : Tìm hai số biết rằng tổng của chúng bằng 156, nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 6 số dư là 9

Đáp số : 135 và 21

Dạng 2

Dạng 2 :::: Toán về số và chữ số

1 phương phá

1 phương pháp giải : p giải : p giải :

Cách biểu diễn số có hai chữ số ab= 10a+b

a là số hàng chục 0 <a≤ 9

b là số hàng đơn vị 0 ≤b≤ 9

Cách biểu diễn số có 3 chữ số: abc= 100a+ 10b+c

2 Các ví dụ :

2 Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn hơn chữ

số hàng đơn vị là 2 Nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì chữ số tự nhiên đó tăng thêm 630 đơn vị

Hướng dẫn giải

- Đây là dạng toán tìm số tự nhiên có hai chữ số Để giải được bài toán này học sinh cần phải biết cách chọn ẩn, đặt điều kiện cho

ẩn, biểu diễn cấu trúc số bao gồm chữ số hàng chục, hàng đơn

vị, hàng trăm v.v…

Lời giải

- Gọi chữ số hàng chục là a: 2≤a≤9

- Chữ số hàng đơn vị là b : 0≤b≤9

- Số đ: cho là: ab = 10a + b Theo đề bài ta có a = b + 2

- Nếu viết xen chữ số 0 vào giữa ta có số mới a0 b = 100a + 0 +

b Số này lớn hơn số đ: cho 630 đơn vị

- Nên ta có: (100a + b) – ( 10a + b) = 630  90a = 630

- Ta có hệ phương trình:







=

=

⇔





 +

=

=

5

7 2

630 90

b

a b

a a

- Vậy số đ: cho là 75

Ví dụ 2 : Tổng các chứ số của một số có hai chữ số bằng 6 Nếu thêm vào

số đó 18 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại H:y tìm số đó

Lời giải

- Gọi chữ số hàng chục là x: (0 < x ≤9; x ∈ N )

- Chữ số hàng đơn vị là 6 – x

- Số đ: cho là x(6ưx) =10x+(6ưx)

- Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị ta được số mới viết theo thứ tự ngược lại :( 6 ưx)x= 10 ( 6 ưx) +x

- Ta có phương trình :

2 36

18 9

60 24 9

) 6 ( 10 18 ) 6 ( 10

=

⇔

=

⇔

ư

= +

⇔

⇔ +

ư

= +

ư +

x x

x x

x x x

x

- Vậy chữ số hàng chục là 2; chữ số hàng đơn vị là 6ư2 =4

- Số đ: cho là 24

Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Tìm một số có hai chữ số biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn

số đó 6 lần và thêm 25 vào tích của hai chữ số đó sẽ được số viết theo thứ

tự ngược lại với số đ: cho ?

Đáp số : 54 Bài 2 : Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5, nếu đổi hai chữ số cho nhau sẽ được một số bằng

8

3

số ban đầu Tìm số đ: cho ?

Đáp số : 72

Dạng 3

Dạng 3:::: Toán chuyển động

1 phương pháp giải :

1 phương pháp giải :

Gọi s là qu:ng đường đi được trong thời gian t với vận tốc v, ta có công thức :

v

s t t

s v t v

s= ; = ; =

2 Các

2 Các ví dụ : ví dụ : ví dụ :

Ví dụ 1 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A, sau đó 5 giờ

20 phút một canô chạy từ bến A đuổi theo gặp thuyền cách bến sông A 20 km Tính vận tốc của thuyền biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12 km/h ?

Hướng dẫn giải

- Đây là một bài toán chuyển động, một dạng toán tương đối khó

đối với học sinh, đòi hỏi học sinh phải phân tích đầu bài rõ ràng

để biết được cần tính đại lượng nào khi đ: biết các đại lượng liên quan

- Giáo viên cần phải phân tích cho học sinh thấy được thời gian của canô so với thời gian của thuyền, vận tốc của canô và vận tốc của thuyền, còn qu:ng đường của canô và của thuyền là như nhau

Lời giải

- Gọi vận tốc của thuyền là x (x> 0 ,km/h)

- Khi đó vận tốc của canô là x + 12

- Thời gian của thuyền đi hết qu:ng đường 20 km là

x

20

- Thời gian của canô đi hết qu:ng đường 20 km là

12

20 +

x

- Theo bài ra ta có phương trình :

( )







ư

=

=

⇔

=

ư

ư

⇔

= +

ư

loai x

tm x

x x

x

3 0

45 12 3

16 12

20

- Vậy vận tốc của thuyền là 3 km/h

Ví dụ 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất

định, nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm 2 giờ, nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính qu:ng đường AB và vận tốc dự định đi lúc đầu ?

Hướng dẫn giải

- Đây là một bài toán rất hay đòi hỏi học sinh phải hiểu được yêu cầu đề bài Tìm qu:ng đường và vận tốc dự định đi lúc đầu khi biết vận tốc xe chạy trên qu:ng đường không đổi đó, học sinh phải biết cách lập luận để biểu thị mối liên hệ giữa đại lượng

đến sớm và đại lượng đến muộn so với kế hoạch

Lời giải

- Gọi qu:ng đường AB là s (s> 0 ,km) và vận tốc dự định là v

(35 <v< 50 ,km/h)

- Thời gian dự định là

v s

- Thời gian đi hết qu:ng đường với vận tốc 35 km/h là

35

s

- Thời gian đi hết qu:ng đường với vận tốc 50 km/h là

50

s

- Theo bài ra ta có hệ phương trình :

( )







=

=

⇔













=

ư

=

ư

h km v

km s

s v s v

s s

/ 75

, 43

350 1

50

2 35

Ví dụ 3 : Một ô tô đi qu:ng đường AB với vận tốc 50 km/h rồi đi tiếp

qu:ng đường BC với vận tốc 45 km/h, biết tổng cộng hai qu:ng đường dài 165 km và thời gian ôtô đi trên AB ít hơn thời gian nó đi trên BC 30 phút Tính thời gian ôtô đi trên mỗi đoạn đường ?

Hướng dẫn giải

- Đối với loại bài tập này giáo viên có thể mô tả cho học sinh bằng hình vẽ và yêu cầu học sinh biểu diễn số liệu đ: biết qua

ẩn đó để đi đến phương trình

- Ta có :

y x

y x AC

y t x t

BC AB

BC AB

= +

= +

=

=

=

= +

2 1

165 45

50 , 165

Lời giải

- Gọi thời gian ôtô đi trên AB là x (x> 0 ,h) và thời gian ôtô đi trên BC là y (y> 0 ,h)

- Qu:ng đường AB dài 50x, qu:ng đường BC dài 45y

- Vì thời gian đi trên AB ít hơn thời gian đi trên BC 30 phút

( )h

2

1

= nên ta có :

2

1

ư

=

ưy x

- Theo bài ra ta có hệ phương trình :

( ) ( )









=

=

⇔







ư

=

ư

= +

⇔









ư

=

ư

= +

h y

h x

y x

y x y

x

y x

2 2 3 1

2 2

33 9 10 2

1

165 45

50

Ví dụ 4 : Đoạn đường AB dài 200 km, cùng lúc xe máy đi từ A và ôtô

đi từ B gặp nhau tại C cách A 120 km, nếu xe máy khởi hành sau ôtô 1 giờ thì gặp nhau tại D cách C 24 km Tính vận tốc của ôtô và xe máy ?

Hướng dẫn giải

- Minh hoạ bằng hình vẽ :

24 km

80 km

120 km

A

B

Lời giải

- Gọi vận tốc của xe máy là x (x> 0 ,km/h) và vận tốc cảu ôtô là y

(y> 0 ,km/h)

- Ta có : AC = 120km,BC = 80km,AD= 96km,BD= 104km

- Theo bài ra ta có hệ phương trình :







=

=

⇔













=

=

⇔







=

ư

=

ư

⇔













=

ư

=

h km y

h km x

Y

X Y

X

Y X y

x

y x

/ 40

/ 60

40 1 60 1 1

96 104

0 80 120 1

96 104

80 120

Bài tập tự luyện :

Bài 1 : Một ôtô dự định đi qu:ng đường AB trong thời gian nhất định, sau khi đi được nửa qu:ng đường ôtô dừng lại 10 phút do đó để đến B đúng giờ xe phải tăng thêm vận tốc 5 km/h trên qu:ng đường còn lại Tính vận tốc dự định của ôtô ?

Đáp số : 45 km/h Bài 2 : Một người đi xe đạp từ A đến B gồm một đoạn lên dốc AC và một

đoạn xuống dốc BC, thời gian đi trên mỗi đoạn đường lần lượt là 4 giờ 20 phút và 4 giờ Tính qu:ng đường AC và CB biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h ?

Đáp số : AC = 30 km, CB = 20 km Bài 3 : Hai canô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vận tốc thật của mỗi canô biết rằng vận tốc của canô đi xuôi lớn hơn vận tốc của canô đi ngược

là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h ( vận tốc thật của canô không

đổi ) ?

Đáp số : xuôi 27 km/h, ngược 24 km/h

Dạng 4

Dạng 4 :::: Toán làm chung công việc

1 phương pháp giải :

1 phương pháp giải :

Toán làm chung công việc có ba đại lượng tham gia là : toàn bộ công việc, phần công việc làm trong một đơn vị thời gian (năng suất ), thời gian

Năng suất làm việc đưa về một đơn vị thời gian chằng hạn một ngày, một giờ

Nếu một đơn vị làm xong công việc trong x ngày thì một ngày làm

được

x

1 công việc

Xem toàn bộ công việc là 1

2 Các ví dụ :

2 Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút

bể đầy, nếu vòi thứ nhất chảy trong 10 phút, vòi thứ hai chảy trong 12 phút thì được

15

2

bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu bể đầy ?

Hướng dẫn giải

- Đây là một bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản về giải toán, biết cách biểu thị giá trị của đầu bài, coi toàn bộ công việc là 1, từ đó biểu diễn các đại lượng để lập nên phương trình Lời giải

- Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (x> 0 ,h) và thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là y (y> 0 ,h)

- Trong một giờ vòi 1 chảy được

x

1

bể và vòi 2 chảy được

y

1

bể

- Vì hai vòi chảy trong 1 giờ 20 phút = 4/3 giờ bể đầy nên ta có

4

3 1 1

= +

y x

- Vì vòi thứ nhất chảy trong 10 phút = 1/6 giờ, vòi thứ hai chảy trong 12 phút = 1/5 giờ thì được

15

2

bể nên ta có phương trình 15

2 5

1 6

1

= +

y x

- Theo bài ra ta có hệ phương trình :













= +

= +

4

3 1 1

15

2 5

1 6 1

y x

y x

- Giải hệ này ta được x= 2( )h và y= 4( )h

- Vậy vòi 1 chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi 2 chảy một mình đầy bể trong 4 giờ

Ví dụ 2 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định

làm xong trong 12 ngày, họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm trong

3 ngày rưỡi nữa thì xong do cải tiến kỹ thuật năng xuất tăng gấp đôi Hỏi với năng xuất bình thường mỗi đội làm một mình xong việc trong bao lâu ?

Lời giải

- Gọi thời gian đội 1 làm xong công việc là x và thời gian đội 2 làm xong công việc là y (x> 0 ,y> 0 ,ngay)

- Do đó một ngày đội 1 làm được

x

1 công việc và đội 2 một ngày

làm được

y

1 công việc

- Vì hai đội làm xong việc trong 12 ngày nên ta có

12

1 1 1

= +

y x

- Vì hai đội làm chung trong 8 ngày thì đội 1 được điều đi làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm trong 3 ngày rưỡi nữa thì xong do