tai lieu on cao hoc

Kiểm tra sự độc lập tuyến tính của ba véc tơ sau v = 3... Biết tâm vòng tròn trùng với gốc toạ độ... Hãy tính năng l-ợng của dao động tử thứ n của sợi dây dao động.. Biết rằng độ lệch v

Bài tập phơng pháp toán lí

chơng 1: Giải tích véc tơ trong các hệ toạ độ

Bài tập 1: Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc hãy xác định:

1) Véc tơ đơn vị song song với vectơ v = 2 i + 3 j − 6 k 2) Véc tơ đơn vị của đờng thẳng nối điểm P(1,0,3) với Q(0,2,1)

Bài tập 2: Chứng minh rằng véc tơ v= a i + b j c k +  vuông góc với mặt cho bởi phơng trình: ax + by + cz = λ

Bài tập 3: Giả thiết rằng véc tơ r = x i + y j z k +  là véc tơ xuất phát

từ gốc đến một điểm tuỳ ý P(x, y, z) còn v = a i + b j c k +  là một véc tơ không đổi nào đấy Chứng minh rằng (  r v r− ) = 0 là phơng trình mặt cầu.

Bài tập 4: Chứng minh rằng

( [ , ] )    ( ).    ( )     ( )    

a b c r = a r b ∧ + c b r c ∧ + a c r a ∧ b

Bài tập 5: Chứng minh rằng a b c  .[ , ] = 0 nếu a  , b và  c phụ thuộc tuyến tính Kiểm tra sự độc lập tuyến tính của ba véc tơ sau

v = 3 i + − j 2 k

u = 4 i − − j k

w = − i 2 j k +

Bài tập 6: Nghiệm lại rằng tích hỗn tạp của ba véc tơ a  , b ,   c (

  

a b c [ , ]) có thể biểu diễn nh sau: λ = a b c  .[ , ] = εijk a i b j c k

i, j, k = 1, 2, 3 với cách ký hiệu a x = a 1 , a y = a 2 , a z = a 3

εijk là ký hiệu ten xơ Levi - chivita

+ εijk = 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau.

+ εijk = 1 nếu i ≠ j ≠ k và có số lần hoán vị chẵn để về thứ tự 1,2,3 + εijk = -1 nếu i ≠ j ≠ k và có số lần hoán vị lẻ để về thứ tự 1,2,3 các chỉ số lặp lại có nghĩa là lấy tổng theo các chỉ số đó.

Bài tập 7: Cho  a và b là tuỳ ý Chứng minh rằng

λ = (a ∧ b).(a ∧b ) ( ) + a b  2 = (a.b) 2

Bài tập 8: Cho du



= = ∧• ω ; dv



Chứng minh rằng d

dt(u v) (u v)

    

Bài tập 9: Tính Grad( )a r  với a  là véc tơ không đổi

Bài tập 10: CM hệ thức sau: Grad(ϕ.ψ) = ϕ.Gradψ + ψ.Gradϕ

Bài tập 11: Tính Grad(p r 

r

.

3 ) ( p là véc tơ không đổi)

Bài tập 12: Chứng minh các hệ thức sau

(các đại lợng vô hớng và véc tơ đều là những hàm của toạ độ)

1) Div(ϕ A) =  ϕ.Div A +  A.Grad ϕ

2) Rot(ϕ A) =  ϕ.Rot A - [ A, Grad ϕ]

3) Div[ A, B] = B.Rot A- A.Rot B

4) Grad(A.B) = [A, RotB] + [B, RotA] + (B.∇)A + (A.∇)B 5) Rot[ A, B] = A.Div B - B.Div A + ( B.∇) A - ( A. ∇).B

6) C.Grad(A.B) = A.(C.∇).B + B.(C.∇).A

7) (C.∇)[ A, B] = [ A,( C.∇)B] - [B,(C.∇) A]

8) (∇.A).B = (A.∇).B + B.DivA

9) [ A, B].Rot C = B.( A. ∇).C - A.( B.∇).C

10) [ [A,∇],B ] = (A.∇).B + [A,RotB] - A.DivB

Bài tập 13: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính:

* Div(

r) * (a .∇).

r

Trong đó 

r là bán kính véc tơ, a  là véc tơ không đổi

Bài tập 14: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính:

* Grad ϕ(r) * Div (ϕ(r).

r)

* Rot (ϕ(r).

r) * (a .∇).ϕ(r).

r

Bài tập 15: Với p là véc tơ không đổi, tính

* Div[p,

r] * Rot[p,

r] Bài tập 16: Tính lu thông ( lu số) của véc tơ [ω ,

r] theo vòng tròn bán kính r 0 nằm trong mặt phẳng vuông góc với véc tơ 

ω không đổi Biết tâm vòng tròn trùng với gốc toạ độ.

Bài tập 17: Tính thông lợng của bán

kính véc tơ 

r qua mặt trụ nh hình vẽ bên

Bài tập 18: Chứng minh rằng các

tích phân sau đây bằng nhau:

  

r a n ds ( ).

∫ và ∫( ) .  a r n ds

Trong đó a  là véc tơ không đổi,



n là véc tơ pháp tuyến của mặt tích

phân.

Bài tâp 19: Chứng minh hệ thức sau

y x

z

h

ρ

o

Rota dV V



∫∫∫ = [ds a, ]

S

 

∫∫ = [ ].n a ds 

S

∫∫

Với S là diện tích bao quanh thể tích V, 

n là véc tơ pháp tuyến đơn vị hớng ra ngoài thể tích V, trờng véc tơ  a liên tục trong miền V

Bài tập 20: Chứng minh hệ thức sau

ϕ.dl [ ,n Grad dsϕ]

S L

=∫∫

∫

L là công tua bao quanh diện tích S, 

n là véc tơ pháp tuyến đơn vị có chiều làm với chiều dơng trên L 1 hệ đinh ốc thuận, ϕ là trờng vô hớng liên tục trong miền S.

Bài tập 21: Cho trờng vectơ A = y i + z j x k + 

Dùng công thức Xtốc để tính tích phân đờng A dr 

C

∫

Trong đó C là đờng trònC: x y z a

x y z

0

+ + = + + =







chạy ngợc chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dơng của trục x

Bài tập 22: Tính hệ số Lame h i trong các hệ toạ độ cong:

1) Hệ toạ độ cực: x = r.cosθ

y = r.sinθ

2) Hệ toạ độ trụ: x = r.cosϕ

y = r.sinϕ

z = z 3) Hệ toạ độ cầu: x = r.sinθ.cosϕ

y = r.sinθ.sinϕ

z = r.cosθ

Bài tập 23 Chứng minh rằng hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu là những hệ toạ cong trực giao.

Bài tập 24: * Viết biểu thức diveA trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ

* Viết biểu thức roteA trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ

* Viết biểu thức ∆A trong hệ tọa độ cầu, trụ, cực.

Bài tập 25: Cho hệ toạ độ cong: q 1 = y

x 2

q 2 = x2 y2

4 + 2

q 3 = z Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h i

Bài tập 26: Cho hệ toạ độ cong: λ = x 2 + y 2 + z 2 + z

à = x 2 + y 2 + z 2 − z

η = arctgyx Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h i

Bài tập 27: Cho hệ toạ độ cầu tổng quát: x = a.u.sinω.cosv

y = b.u.sinω.sinv

z = c.u.cosω

với 0 ≤ ≤ +∞ u

0 ≤ ≤ v 2 π

0 ≤ ≤ ω π

Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame h i

Bài tập 1(6): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol f x x L x

M

( )= ( − ) và vận tốc ban đầu

F x( ) = 0

Bài tập 2(7): ở thời điểm t = 0, ta truyền cho các điểm của sợi dâynằm trong khoảng (c - ε, c + ε) một vận tốc ban đầu không đổi V 0 Hãy xác định dao động của sợi dây nếu ban đầu nó có dạng f x( )=0

Bài tập 3(42): Tìm dao động của sợi dây ở bài một với giả thiết g(x,t) = g, trong đó g là hằng số dơng đủ nhỏ.

Bài tập 4: Một sợi dây vô hạn có dạng ban đầu là:

U x

x

t = = −

−















0

0 1 3 0

Hãy vẽ dạng của sợi dây ở các thời điểm t 0 = 0 ; t 1 = 0,5 ; t 2 = 1 ; t 3 = 2,5 Xét dao động của các điểm x = 0, x = 1, x = -1, biết vận tốc truyền sóng a = 2.

Bài tập 5(41): Hãy xác định dao động tự do của sợi dây hữu hạn đợc gắn chặt

ở các đầu mút x = 0 và x = L, dao động với vận tốc ban đầu bằng không, sợi dây có dạng ban đầu là:

( , 0 ) 4 ( 2 )

L

x L x x

0 ≤ ≤ x L

Bài tập 6(8): Xác định dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L, sợi dây có độ lệch ban đầu bằng không, dao động với vận tốc dạng ban đầu là:

U't t V x c cos( )

 0

0

0

Trong đó V 0 > 0, π/2 < c < L - π/2.

Bài tập 7: Tìm tần số dao động của sợi dây dài 10cm, có tiết diện chữ nhật 0,2x0,4mm 2 , có ρ = 7,8 g.cm -3 và sức căng T = 10 N

Bài tập 8(52): Một sợi dây đồng chất, hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L ở thời điểm ban đầu t = 0, sợi dây đợc căng lên độ cao h

Khi x c − < π2

Khi

2

π

≥

−c x

Khi x < 1 Khi 12 Khi 2 < x < 3 Khi x 3

tại điểm x = x 0 và sau đó buông ra không vận tốc ban đầu Hãy tính năng l-ợng của dao động tử thứ n của sợi dây dao động.

Bài tập 9(40): Tìm nghiệm của phơng trình:

∂

2 2

2 2

U t

U

Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng không và các điều kiện biên:

U(0,t) = 0 U(L,t) = 0 Bài tập 10: Tìm nghiệm của phơng trình:

∂

2 2

2 2

U t

U

Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng không và các điều kiện biên:

U(0,t) = 0 U(L,t) = 0

Bài tập 11(38): Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = L chuyển động theo quy luật U(L,t) = Asinω t Biết rằng độ lệch

và vận tốc ban đầu bằng không.

Bài tập 12: Tìm nghiệm của phơng trình:

b sin x

x

U a t

U

2

2 2 2

2

+

∂

∂

=

∂

∂

Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = 0

∂

∂Ut t= =

0

0

và các điều kiện biên: U(0,t) = 0

U(L,t) = 0

Bài tập 13: Hãy xét dao động của một dây gắn chặt ở các mút x = 0 và x

= L trong một môi trờng có sức cản tỉ lệ với vận tốc, cho biết các điều kiện ban đầu: U(x,0)= f(x)

∂

∂

U

t t= =F x

0

( )

Bài tập 14(39): Hãy xác định dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút x= 0 và x = L cho biết các hình dạng ban đầu của sợi dây:

U x

hx c

h L x

L c

( , )

−

−









∂

∂Ut t= =

0

0

Khi 0≤ ≤x c

Khi c x L≤ ≤

Bài tập 15(9): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U ''

tt - a 2 U ''

xx = 0 (a= const) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0)= x

L t

U

t

=

= 0

∂

∂

và các điều kiện biên: ∂∂Ux

x =

=

0

0

∂

∂Ux x L= = 0

Bài tập 16: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, hai biên gắn chặt, thoả mãn phơng trình: U ''

tt - U ''

xx = - h cosx Với các điều kiện ban đầu: U(x,0)= Lx

∂

∂Ut t= =

0

0

Bài tập 17: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U ''

tt - a 2 U ''

xx = -Mx (a= const) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0)= x(L-x)

∂

∂Ut t= =

0

0

và các điều kiện biên: ∂∂Ux

x =

=

0

0

∂

∂Ux x L= = 0

Bài tập 18(10): Lúc ban đầu, một màng vuông cạnh L có dạng U(x,y,0)

= Axy(L- x)(L - y) (A = const) Màng dao động với vận tốc ban đầu bằng không Hãy nghiên cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến Bài tập 19: Tìm nghiệm phơng trình sau bằng phơng pháp tách biến ∂

2

2 2

4

4 0

U

U x

Thoả mãn điều kiện ban đầu:

U(x,0) = Ax(L - x) U t ' (x,0) = 0

và điều kiện biên

U(0,t) = U(L,t) = 0 U ''

xx (0,t) = U ''

xx (L,t) = 0 Bài tập 20: Chứng minh rằng J 1 (x) = -J '

0 (x) Dựng đồ thị của J 1 (x).

Bài tập 21: Chứng minh rằng: ∫x J d

0

0 ( ) ξ ξ

ξ = x.J 1 (x)

Bài tập bổ xung

Bài 1(4): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung Parabol

U(x,0) = f(x) =

L

x L x

3

) (

và vận tốc ban đầu U't(x,0) = F(x) = 0

Bài 2(11): Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = L chuyển động theo quy luật U(L,t) = B.cosω t Biết rằng độ lệch và vận tốc ban

đầu bằng không

Bài 3(12): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu ban đầu sợi dây nằm ở vị trí cân bằng f(x) = 0 và vận tốc ban đầu có dạng F ( x ) = Ax ( L − x )

Bài 4(13): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U'' tt - a 2U'' xx = 0 ( a = const)

Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = x

x L t

U

t

−

=

= 0

∂

∂

0

=

=

x

x

U

∂

∂

∂

∂Ux x L= = 0

Bài 5: Tìm nghiệm của phơng trình: x

2

2 2

2

e L x

U t

∂

∂

−

∂

∂

Thoả mãn các điều kiện ban đầu và các điều kiện biên bằng không

Bài 6: Một sợi dây đồng chất, hữu hạn đợc gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x

= L ở thời điểm ban đầu t = 0, sợi dây đợc căng lên độ cao h tại điểm x = x0 và sau đó buông ra vận tốc ban đầu u ′t( x , 0 ) = A x ( L − x ) Hãy xác định dao động tự

do của sợi dây

Bài 7: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol f x x L x

M

( )= ( − ) và vận tốc ban đầu F x( ) = 0, với giả thiết g(x,t) = Mx2

Bài 8: Tìm nghiệm phơng trình

0 x

U a t

U

2

2 2 2

2

=

∂

∂

−

∂

∂ (a = const; 0 ≤ ≤ x L; t > 0 ) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = U’t (x,0) = 0

và các điều kiện biên: U(0,t) = M.sint

U(L,t) = 0 Bài 9: Tìm nghiệm phơng trình

2 2 2

2

x

U a t

U

∂

∂

=

∂

∂ (a = const; 0 ≤ ≤ x L; t > 0 ) Thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = A x

L

U’t (x,0) = B

và các điều kiện biên: U(0,t) = 0

U(L,t) = A.cost + Bsint Bài 10: Hãy xác định hình dạng tại thời điểm t của một sợi dây có độ dài L, đầu mút x = 0 và x = L luôn đợc gắn chặt Biết rằng g(x, t) = const = g (g là hằng số

d-ơng đủ nhỏ), hình dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol U(x, 0) = f(x) =

2

a

2

x

L

gx − và sợi dây dao động với vận tốc ban đầu bằng không Hãy nhận xét kết

quả thu đợc

Bài 11(51): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U'' tt - a 2U'' xx = - A.sinwt (a = const)

thoả mãn các điều kiện ban đầu: U(x,0) = L, F ( x ) x3 Lx2

t

0 t

−

=

=

∂

∂

=

x

U

0 x

=

∂

∂

x

U

L x

=

∂

∂

=

Bài 12(54): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phơng trình: U'' tt - a 2U'' xx = 0 ( a = const)

thoả mãn các điều kiện biên: 0

x

U

0 x

=

∂

∂

=

0 x

U

L x

=

∂

∂

=

và các điều kiện ban đầu: U(x,0) =

L

x cos π

L t

U

0 t

=

∂

∂

=