Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên C, tiếp tuyến của C tại M cắt các tiệm cận tại A, B.. Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên
Trang 1ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG 2011 KHOA TOÁN-TIN MÔN: TOÁN- KHỐI A
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm )
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: 2 1
1
x y x
-=
- (C).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
2 Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm bất kì trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận tại A, B Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C)
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình ( ) ( )
8
+
=
2. Giải phương trình 1 + 1 - x2 é ( 1 + x )3 - ( 1 - x )3ù = + 2 1 - x2
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân ( )
1
2 0
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có A B = A D = a, 3
AA '
2
a
= , góc BA D bằng
0
60 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh A’D’ và A’B’ Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng
(BDMN) và tính thể tích khối đa diện AA’BDMN theo a
Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực dương a b c , , thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1, ta có:
3
B PHẦN RIÊNG (3,0 ĐIỂM):Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
I Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của hai đường thẳng: d1: x - y - 3 = 0, d2: x + y - 6 = 0 Trung điểm một cạnh là giao điểm của d1 và tia
Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1;1;1) và đường thẳng d: 14 5
- Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng 16
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm hệ số chứa x2 trong khai triển: 41
2
n
x
x
çè ø, biết n là số nguyên dương thỏa mãn:
n n
+
II Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông có đỉnh là (-4; 8) và một đường chéo có phương trình 7x - y + 8 = 0 Viết phương trình các cạnh của hình vuông
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0 và hai điểm A(1;-3;0), B(5;-1;-2) Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA - MB đạt giá trị lớn nhất
Câu VII.b (1.0 điểm) Cho hệ phương trình
2
2 3
1
0
íï
ïïî
Tìm m để hệ có nghiệm
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
Trang 2ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn thi: TOÁN
.
•1 TXĐ : D = R\{ } 1 •2 Sự biến thiên: y’ =
1 0,
x
-< " Î
- Hàm số nghịch biến trên: ( - ¥ ;1 à 1; ) v ( + ¥ )
0,25
Giới hạn: lim lim 2
x® + ¥ =x® - ¥ = ; tiệm cận ngang: y = 2
x® + = + ¥ x® - = - ¥ ; tiệm cận đứng: x = 1
0,25
Gọi M(m; 2 1
1
m m
) Tiếp tuyến của (C) tại M: ( )2( )
m
-0,25
A(1; 2
1
m
m - ), B(2m-1; 2)
0,25
m
1
2
IA B
SD = IA IB = Vậy diện tích tam giác IAB không đổi khi M thay đổi trên (C) 0,25
Điều kiện:
k
+
¹ Ta có
0,25
Phương trình tương đương với: sin3x sin 3 x + c os cos 33x x = 1
8
1
2 os2 os2 os4
2
Û
Û
0,25
( ai )
6
p p
é = + ê
ê
ê
Vậy :
6
0,25
Đk: -1 £ x £ 1 Đặt u = ( )3
1 + x , v = (1 - x )3 ; u,v ³ 0 Hệ thành:
2
ïïï
ïïî
0,25
0,25
Trang 32 2
2
1 2 2
u
Þ íï ïïî - = Þ
0,25
2 2
x =
2
2
x
x
v
ïï =
2 0
2
+
ò
0,25
1 1
0
0
ln 3
dx
J
1
2 2
dx J
x
=
æ ö
3 6
p p
p
0,25
Vậy I = 3
ln 3
3 12
Gọi O là tâm của ABCD, S là điểm đối xứng với A qua A’Þ M, N lần lượt là trung
điểm của SD và SB AB = AD = a, góc BAD = 600 Þ DABD đều Þ OA =
3
2
a
2
a
0,25
'
Þ Þ D D Þ D A CC ' ~ D A IO (I là giao điểm của AC’ và SO) Þ SO ^ A C' (1) Mặt khác
BD ^ A CC A Þ BD ^ A C (2) Từ (1) và (2) Þ đpcm
0,25
2 2
'
3
SA BD
SA MN
a
V
æö ÷ ç
0,25
2
7 32
BDMN SA BD SA MN
a
Do a, b, c > 0 và 2 2 2
1
a + b + c = nên a, b, c Î ( 0;1 ) Ta có:
( 2 )2
3
1 2
1
a a
( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 2 3
3
0,25
Trang 4Xét hàm số f x( ) = - x3 + x x , Î ( 0;1 ) Ta có: ( ax )
0;1
M f x( )
= 2 3 9
0,25
0,25
3
f a + f b + f c
3
a = = = b c
I 9 3
;
2 3
æ ö ÷
çè ø, M( 3; 0 )
0,25
Giả sử M là trung điểm cạnh AD Ta có: AB = 2IM = 3 2
A BCD
- 3 = 0
0,25
Lại có MA = MB = 2 Tọa độ A, D là nghiệm của hệ:
1
y
ïî
hoặc
4 1
x y
= ìïï
íï = -ïî
0,25
Chọn A(2 ; 1) Þ D ( 4; 1 - ) Þ C ( 7;2 à ) v B ( 5; 4 ) 0,25
2
0
n
n n
n
+
1
1
n
+
+
0,25
4 7 4
0
k k k
x
Số hạng chứa x2 ứng với k thỏa: 14 3
4
k
k
-= Û = Vậy hệ số cần tìm là: 21
4
0,25
Gọi A(-4; 8) Þ BD: 7x - y + 8 = 0Þ AC: x + 7y - 31 = 0 0,25 Gọi D là đường thẳng qua A có vtpt (a ; b) D: ax + by + 4a - 5b = 0, D hợp với AC một
góc 450 Þ a = 3, b = -4 hoặc a = 4, b = 3 Þ AB:
3 x - 4 y + 32 = 0; A D : 4 x + 3 y + 1 = 0
0,25
Gọi I là tâm hình vuông Þ I( 1 9
; )
2 2
- Þ C ( 3; 4 )
Þ
0,25
Ta có: A, B nằm khác phía so với (P).Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (P) Þ B’(-1;
-3; 4)
0,25
MA - MB = MA - MB £ A B Đẳng thức xảy ra khi M, A, B’ thẳng hàng Þ M
là giao điểm của (P) và AB’
0,25
Trang 51 3 2
y
ìï = + ïï
ïï = -íï
ïï = -ïïî
0,25
Đk: x ¹ 0, y > 0
( ) ( )
2
2 3 2
3
2
0 0
, 1
ïïî
0,25
Hệ có nghiệm khi (2) có nghiệm y > 0 Ta có : f(y) =y2 + y>0 ," y > 0 0,25
Do đó pt f(y) = a có nghiệm dương khi a>0 0,25
