Phương trình đường thẳng trong không gian 91 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỬA ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN: 1. Véctơ ( ) 1 2 3 ; ;a a a a=  là véc tơ chỉ phương (VTCP) của ( ∆ ) ⇔ ( ∆ ) // giá của a  2. Nhận xét: Nếu a  là một VTCP của ( ∆ ) thì ka  ( k ≠ 0) cũng là VTCP của ( ∆ ) tức là ( ∆ ) có vô số VTCP. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình tham số: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ;a a a a=  : ( ) 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t t z z a t = +    = + ∈   = +   » 2. Phương trình chính tắc: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP ( ) 1 2 3 ; ;a a a a=  : 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = 3. Phương trình tổng quát: Phương trình đường thẳng ( ∆ ) tổng quát là giao tuyến của hai mặt phẳng 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 A x B y C z D A x B y C z D + + + =    + + + =   với 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C≠ 4. Phương trình đường thẳng ( ∆ ) đi qua 2 điểm M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ): 1 1 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z − − − = = − − − 5. Chuyển dạng phương trình tổng quát sang dạng tham số, chính tắc: Cho ( ∆ ): ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 : 0 : 0 A x B y C z D A x B y C z D  α + + + =   β + + + =   ( 1 1 1 2 2 2 : : : :A B C A B C≠ ) ⇒ VTPT của hai mặt phẳng là ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 , , , , n A B C n A B C  =   =     ⇒ VTCP 1 2 ,a n n=        Tìm điểm M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ ( α ) ∩ ( β ) ⇒ 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = . Đặt tỉ số này bằng t suy ra dạng tham số. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 92 III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng : Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , ,u a a a=  , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , ,v b b b=   Nếu [ ] 1 2 , 0u v M M⋅ ≠    thì ( ) ( ) 1 2 ,∆ ∆ chéo nhau.  Nếu [ ] 1 2 , 0u v M M⋅ =    và 1 2 3 1 2 3 : : : :a a a b b b≠ thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) cắt nhau.  Nếu [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b  ⋅ =    =     và hệ phương trình của ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   vô nghiệm thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) song song nhau.  Nếu [ ] 1 2 1 2 3 1 2 3 , 0 : : : : u v M M a a a b b b  ⋅ =    =     và hệ phương trình của ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   có nghiệm thì ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) trùng nhau. 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , ,u a b c=  và mp( α ): 0Ax By Cz D+ + + = với VTPT ( ) , ,n A B C=   Nếu 0n u⋅ ≠   0Aa Bb Cc⇔ + + ≠ thì ( ∆ ) cắt ( α ).  Nếu //n u   : : : :a b c A B C⇔ = thì ( ∆ ) ⊥ ( α ).  Nếu ( ) 0 0n u M ⋅ =    ∉ α     ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + =    + + + ≠   thì ( ∆ ) // ( α ).  Nếu ( ) 0 0n u M ⋅ =    ∈ α     ⇔ 0 0 0 0 0 Aa Bb Cc Ax By Cz D + + =    + + + =   thì ( ∆ ) ⊂ ( α ). Phương trình đường thẳng trong không gian 93 IV. GÓC GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc giữa 2 đường thẳng: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , ,u a a a=  , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , ,v b b b=  Góc giữa ( ) ( ) ( ) [ ] 1 2 , 0,90∆ ∆ = ϕ∈ ° xác định bởi: 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos a b a b a b u v u v a a a b b b + + ⋅ ϕ = = ⋅ + + + +     2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , ,u a b c=  và mp( α ): 0Ax By Cz D+ + + = với VTPT ( ) , ,n A B C=  Góc giữa ( ) ( ) ( ) [ ] , 0,90∆ α = ϕ∈ ° xác định bởi: 2 2 2 2 2 2 sin u n aA bB cC u n a b c A B C ⋅ + + ϕ = = ⋅ + + + +     3. Góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa 2 mặt phẳng ( α 1 ): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và ( α 2 ): 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90 ° ) thỏa mãn: 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 . cos n n A A B B C C n n A B C A B C + + ϕ = = + + + +     với 1 2 ,n n   là 2 VTPT của ( α 1 ), ( α 2 ). V. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng: Cho ( ∆ ) đi qua M 0 ( x 0 ; y 0 , z 0 ) với VTCP ( ) , ,u a b c=  . Khoảng cách từ điểm M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) đến đường thẳng ( ∆ ) là: ( ) ( ) 0 1 1 , u M M d M u   ⋅   ∆ =    2. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: Cho ( ∆ 1 ) đi qua M 1 ( x 1 ; y 1 , z 1 ) với VTCP ( ) 1 2 3 , ,u a a a=  , ( ∆ 2 ) đi qua M 2 ( x 2 ; y 2 , z 2 ) với VTCP là ( ) 1 2 3 , ,v b b b=  Giả sử ( ) ( ) 1 2 ,∆ ∆ chéo nhau, khi đó ( ) [ ] [ ] 1 2 1 2 , ( ),( ) , u v M M d u v ⋅ ∆ ∆ =      Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 94 3. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) đến mặt phẳng ( α ): 0Ax By Cz D+ + + = là: ( ) 0 0 0 2 2 2 , Ax By Cz D d M A B C + + + α = + + VI. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và mặt phẳng Phương pháp: Giải hệ PT tạo bởi ( ) ( ) 1 2  ∆   ∆   ; ( ) ( )  ∆   α   hoặc sử dụng dấu hiệu nhận biết qua hệ thức của các véctơ Bài 1. Xét vị trí tương đối bằng 2 cách khác nhau: ( ) ( ) 1 2 9 2 3 3 9 0 : 5 : 2 3 0 3 x t x y z y t x y z z t =   − − − =    ∆ = ∆   − + + =    = − +   ; ( ) ( ) 1 2 2 3 0 2 8 0 : : 2 3 0 8 0 x y y z x y x z − + = + − =     ∆ ∆   + = + − =     Bài 2. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ) ( ) 1 2 : 1 1 x t y t t z t = +    ∆ = − ∈   = +   » với mặt phẳng ( ) : 2 2 0x y zα + − − = Bài 3. Xác định giao điểm của đường thẳng ( ) 2 0 : 2 1 0 x y z x y z + + − =   ∆  + − − =   với mặt phẳng ( ) : 2 1 0x y zα + + − = Bài 4. Cho 3 đường thẳng: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 3 3 0 2 1 2 : 1 , : , : 1 4 3 2 1 0 5 x t x y z y x z y t x y z z t =  − + − =  +   − − ∆ = − ∆ = = ∆   − + + =    = +  a. Xét vị trí tương đối của các cặp 2 đường thẳng với nhau. b. Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) song song với ( ∆ 1 ), cắt ( ∆ 2 ) và ( ∆ 3 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 95 2. Dạng 2: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: Viết phương trình tham số của đường thẳng ( ∆ ) qua M và ( ∆ ) ⊥ ( α ) Giao điểm H của ( ∆ ) và ( α ) là hình chiếu vuông góc của M lên ( α ) Bài 1. Tìm hình chiếu vuông góc của M(1; 2; − 3) lên ( ) : 3 5 0x y zα + − + = 3. Dạng 3: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( α ). Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua ( α ) là ( ) 0 1 0 1 0 1 2 , 2 , 2M x x y y z z ′ − − − Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(13; 2; 3) qua mặt phẳng ( α ): x + y – 3 z + 5 = 0 4. Dạng 4: Xác định hình chiếu vuông góc của 1 điểm M lên đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) Phương pháp 1: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua M và ( α ) ⊥ ( ∆ ). Giao điểm H của ( ∆ ) và ( α ) là hình chiếu vuông góc của M lên ( ∆ ) Phương pháp 2: Viết PT tham số của ( ∆ ) ⇒ Tọa độ H theo tham số t. MH u⊥   là véctơ chỉ phương của ( ∆ ). GPT 0MH u⋅ =   ⇒ tham số t ⇒ Tọa độ H Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của M( − 1; − 1; 1) lên đường thẳng ( ∆ ): { } 1 ; 2 ; 3 3x t y t z t= + = + = − − 5. Dạng 5: Xác định điểm đối xứng với điểm M cho trước qua đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) Phương pháp: Tìm hình chiếu vuông góc H của M lên ( ∆ ) Giả sử M(x 1 , y 1 , z 1 ), H(x 0 , y 0 , z 0 ), khi đó điểm M’ đối xứng M qua ( ∆ ) là ( ) 0 1 0 1 0 1 2 , 2 , 2M x x y y z z ′ − − − Bài 1. Xác định điểm đối xứng với điểm M(0; 2; − 1) lên đường thẳng ( ∆ ): { } 1 ; 2 ; 3 3x t y t z t= + = + = − 6. Dạng 6: Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) lên mặt phẳng ( α αα α ) Phương pháp: TH1: ( ∆ ) ⊥ ( α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là điểm H ≡ ( ∆ ) ∩ ( α ) Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 96 TH2: ( ∆ ) ⊂ ( α ) ⇒ Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ) TH3: ( ∆ ) không vuông góc với ( α ), ( ∆ ) ⊄ ( α ): C1: Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ ) và ( β ) ⊥ ( α ). Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ’) = ( β ) ∩ ( α ). C2: Lấy 2 điểm A, B phân biệt thuộc ( ∆ ). Xác định hình chiếu vuông góc của A, B lên ( α ) là H 1 , H 2 . Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là đường thẳng ( ∆ ’) ≡ H 1 H 2 C3: Nếu ( ∆ ) cắt ( α ): Xác định A ≡ ( ∆ ) ∩ ( α ). Lấy M bất kì ∉ ( ∆ ) và M ≠ A. Xác định hình chiếu vuông góc H của M lên ( α ). Hình chiếu vuông góc của ( ∆ ) lên ( α ) là ( ∆ ’) ≡ AH Bài 1. Xác định hình chiếu vuông góc của ( ∆ ): 5 4 2 5 0 2 2 0 x y z x z − − − =    + − =   lên mặt phẳng ( α ): 2 x – y + z – 1 = 0 7. Dạng 7: Xác định hình chiếu song song của đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ) lên ( α αα α ) theo phương ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) cắt ( α αα α ) Phương pháp: TH1: ( ∆ 1 ) // ( ∆ 2 ) ⇒ Hình chiếu song song của ( ∆ 1 ) lên ( α ) theo phương ( ∆ 2 ) là điểm H ≡ ( ∆ 1 ) ∩ ( α ) TH2: ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) không song song: Viết phương trình mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ 2 ) Hình chiếu song song của ( ∆ 1 ) lên ( α ) theo phương ( ∆ 2 ) là ( ∆ ) = ( β ) ∩ ( α ) Bài 1. Xác định hình chiếu song song của đt ( ∆ 1 ): 7 1 0 2 1 0 x y z x y z + − − =    + + + =   lên ( α ): 2 2 3 0x y z− + − = theo phương ( ∆ 2 ): 1 1 2 2 1 3 y x z + − + = = 8. Dạng 8: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) qua M và cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) với ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) chéo nhau và không đi qua M Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M chứa ( ∆ 1 ) Nếu cho ( ∆ 1 ) dưới dạng tổng quát thì nên viết phương trình ( α ) dưới dạng chùm Nếu ( ∆ 1 ) dạng tham số thì lấy 2 điểm A, B ∈ ( ∆ 1 ) Phương trình đường thẳng trong không gian 97 ⇒ Phương trình ( α ) qua 3 điểm A, B, M.  Nếu ( α ) // ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( ∆ 2 ) thì tìm N = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) Nếu MN // ( ∆ 1 ) thì bài toán vô nghiệm, nếu MN cắt ( ∆ 1 ) suy ra đường thẳng cần tìm là ( ∆ ) ≡ MN. Phương pháp 2: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M chứa ( ∆ 1 ), mặt phẳng ( β ) qua M chứa ( ∆ 2 )  Xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 1 ) hoặc ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Bài 1. VPT ĐT ( ∆ ) qua M(1; 3; 0) và ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 0 2 5 0 y x z − =    − − =   , ( ∆ 2 ): { } 1 2 , 3 , 4x t y t z t= + = − = + 9. Dạng 9: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) và song song với ( ∆ ∆∆ ∆ 3 ) Phương pháp 1: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ 3 ), mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 2 ) và // ( ∆ 3 ) Nếu ( α ) // ( β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( β ) thì xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 1 ) hoặc ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Phương pháp 2: Viết phương trình tham số của ( ∆ 1 ) theo t 1 , của ( ∆ 2 ) theo t 2 . Lấy M ∉ ( ∆ 1 ), N ∉ ( ∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo t 1 , t 2 . ⇒ MN  theo t 1 , t 2 . Xác định t 1 , t 2 sao cho MN // ( ∆ 3 ) ⇒ Đường thẳng ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) và song song với ( ∆ 3 ) là ( ∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: Gọi M(x 0 , y 0 , z 0 ) là giao điểm của ( ∆ ) và ( ∆ 1 ). ( ∆ ) nhận VTCP của ( ∆ 3 ) làm VTCP ⇒ Phương trình tham số của ( ∆ ) theo x 0 , y 0 , z 0 . ( ∆ ) cắt ( ∆ 2 ) suy ra hệ ( ) ( ) 2  ∆   ∆   có nghiệm ⇒ x 0 , y 0 , z 0 . ⇒ Phương trình ( ∆ ) Bài 1. VPT đường thẳng ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 0 2 5 0 y x z − =    − − =   , ( ∆ 2 ): { } 1 2 , 3 , 4x t y t z t= + = − = + và // với trục O z . Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 98 Bài 2. VPT ĐT ( ∆ ) cắt ( ∆ 1 ): 2 2 1 3 4 1 y x z + − − = = , ( ∆ 2 ): 3 7 9 1 2 1 y x z − − − = = và // ( ∆ 3 ): 3 1 2 3 2 1 y x z + + − = = − 10. Dạng 10: VPT đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ ) qua M và vuông góc ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), cắt ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) trong đó M ∉ ∉∉ ∉ ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) Phương pháp: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua M và ⊥ ( ∆ 1 ), mặt phẳng ( β ) qua M chứa ( ∆ 2 ) Nếu ( α ) // ( β ) thì bài toán vô nghiệm. Nếu ( α ) cắt ( β ) thì xét ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Nếu ( ∆ ) cắt ( ∆ 2 ) thì đường thẳng ( ∆ ) là đường thẳng cần tìm. Nếu ( ∆ ) // ( ∆ 2 ) thì bài toán vô nghiệm. Bài 1. VPT đường thẳng ( ∆ ) qua M(1; 2; 0) và ⊥ ( ∆ 1 ): 1 1 2 2 2 1 y x z + − + = = , cắt ( ∆ 2 ): 7 1 0 2 1 0 x y z x y z + − − =    + + + =   11. Dạng 11: VPT đường vuông góc chung của 2 đường thẳng ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ), ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ) chéo nhau a. TH đặc biệt: ( ∆ ∆∆ ∆ 1 ) ⊥ ⊥⊥ ⊥ ( ∆ ∆∆ ∆ 2 ): Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và ( α ) ⊥ ( ∆ 2 ) Tìm ( ) ( ) 2 M = ∆ α∩ , H là hình chiếu vuông góc của M lên ( ∆ 1 ) ⇒ MH là đường vuông góc chung của ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) b. Phương pháp 1: Viết phương trình ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) dưới dạng tham số Lấy M ∈ ( ∆ 1 ), N ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ Tọa độ M, N theo 1 2 ,t t ⇒ MN  theo 1 2 ,t t . MN là đường vuông góc chung của ( ∆ 1 ), ( ∆ 2 ) ⇒ ( ) ( ) 1 2 ,MN MN⊥ ∆ ⊥ ∆ ⇒ 1 2 ,t t ⇒ MN. c. Phương pháp 2: Gọi 1 2 ,a a   là VTCP của ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ) ⇒ Đường vuông góc chung ( ∆ ) có VTCP 1 2 ,a a a=        Viết phương trình mặt phẳng ( α ) chứa ( ∆ 1 ) và // ( ∆ ), mặt phẳng ( β ) chứa ( ∆ 2 ) và // ( ∆ ) ⇒ ( ∆ ) = ( α ) ∩ ( β ). Phương trình đường thẳng trong không gian 99 Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B( − 2; 9; 1), S(0; 5; 8). Viết phương trình đường vuông góc chung của SB, OA. Bài 2. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 3 0 : 1 0 x y z y z + + − =  ∆  + − =  và ( ) 2 2 2 9 0 : 1 0 x y z y z − − + =  ∆  − + =  Bài 3. Viết phương trình đường vuông góc chung của ( ) 1 1 1 1 1 2 : 2 3 3 x t y t z t = +   ∆ = +   = − +  và ( ) 2 2 2 2 2 : 3 2 1 3 x t y t z t = +   ∆ = − +   = +  Bài 4. VPT đường vuông góc chung của ( ) 1 3 2 8 0 : 5 2 12 0 x y x z − − =  ∆  + − =  và ( ) { } 2 : 1 3 ; 3 2 ; 2x t y t z t∆ = − + = − − = − Bài 5. Cho ( ) 1 2 : 1 2 x t y t z t = +   ∆ = −   =  và ( ) 2 2 2 0 : 3 0 x z y + − =  ∆  − =  . Viết phương trình mặt phẳng cách đều ( ∆ 1 ) và ( ∆ 2 ). 12. Dạng 12: Các bài toán về khoảng cách 12.1. Tính khoảng cách: Bài 1. Tính khoảng cách từ M(1; 2; 3) đến ( ) 1 1 1 : 2 1 3 y x z + − − ∆ = = Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4; − 1; 1). Tính khoảng cách từ A đến BC. Bài 3. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) { } 1 2 0 : : 1 3 ; ; 2 4 0 x y x t y t z t x y z + =  ∆ ∆ = + = − = +  − + − =  Bài 4. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 2 0 2 1 3 : , : 1 2 3 2 3 5 0 x y z y x z x y z + − =  − − − ∆ = = ∆  − + − =  Bài 5. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ( ) ( ) 1 2 8 23 0 2 3 0 : , : 4 10 0 2 2 0 x z x z y z y z + + = − − =   ∆ ∆   − + = + + =   Bài 6. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng ( α ): 2 x + y + z – 1 = 0 và ( β ):2 x + y + z + 10 = 0. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 100 Bài 7. Cho A(5; 7; − 2), B(3;1;1), C(9; 4; − 4). Tính khoảng cách từ D( − 1; 5; 0) đến (ABC) 12.2. Tìm điểm biết khoảng cách cho trước: Bài 1. Cho ( α ): x + 2 y – 2 z – 2 = 0. Tìm M ∈ O y sao cho khoảng cách từ M đến ( α ) bằng 4. Bài 2. Cho A(1; − 2; 0). Tìm M ∈ O z sao cho khoảng cách từ M đến ( α ): 3 x – 2 y + 6 z + 9 = 0 bằng MA. Bài 3. Cho ( α ): x + y + z + 5 = 0. Tìm M ∈ ( ∆ ): 2 1 0 2 3 0 x y z x y z + + − =   + + + =  sao cho ( ) ( ) , 3d M α = . Bài 4. Cho ( α ): 12 x – 16 y + 15 z + 1 = 0 và ( β ): 2 x + 2 y – z – 1 = 0. Tìm M ∈ O x cách đều ( α ) và ( β ) 12.3. Các bài toán về tổng, hiệu khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất: a. Dạng 1: Cho 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , ; , ,A x y z B x y z . Tìm M ∈ (P): 0ax by cz d+ + + = để (MA + MB) min. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2 ; A B t ax by cz d t ax by cz d= + + + = + + +  Nếu 0 A B t t < ⇔ A, B khác phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB) ∩ (P), khi đó MA + MB ≥ AB = M 0 A + M 0 B.  Nếu 0 A B t t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Lấy A 1 đối xứng A qua (P). Gọi M 0 ≡ (A 1 B) ∩ (P). Khi đó MA + MB = MA 1 + MB ≥ A 1 B = M 0 A 1 + M 0 B. b. Dạng 2: Cho 2 điểm ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , ; , ,A x y z B x y z . Tìm M ∈ (P): 0ax by cz d+ + + = để |MA – MB| max. Phương pháp: Xác định vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) bằng cách tính các đại lượng: 1 1 1 2 2 2 ; A B t ax by cz d t ax by cz d= + + + = + + +  Nếu 0 A B t t > ⇔ A, B cùng phía đối với (P). Gọi M 0 ≡ (AB) ∩ (P), khi đó |MA – MB| ≤ AB = | M 0 A – M 0 B|.  Nếu 0 A B t t < ⇔ A, B khác phía đối với (P) Lấy A 1 đối xứng A qua (P). Gọi M 0 ≡ (A 1 B) ∩ (P).Khi đó |MA – MB| = |MA 1 – MB| ≤ A 1 B = | M 0 A 1 – M 0 B| . 2 2 1 5 10 2 1 2 3 10 20 min ; ; 3 3 3 3 MA t t t M A= − + ⇔ = ⇔ ≡ − − với ( ) 1 AA d⊥ ( ) ( ) 2 2 1 7 4 1 14 2 3 14 18 min ; ; 3 3 3 3 MB t t t M B= −. 1 2 9 2 3 3 9 0 : 5 : 2 3 0 3 x t x y z y t x y z z t =   − − − =    ∆ = ∆   − + + =    = − +   ; ( ) ( ) 1 2 2 3 0 2 8 0 : : 2 3 0 8 0 x y