Tài liệu chủ đề Bất đẳng thức (lớp 10 NC)

Suy ra ®iÒu ph¶i chứng minh Bài toán 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.. Trường THPT LÝ THƯỜNG KIỆT..[r]

Bài toán: 1 1 1 1 (1)

4



Đẳng thức xảy ra khi x =y.

** Chứng minh :

Cách 1

(xy)2 0(x + y)2 4 1 1 1 ( 1 )

4

xy



Rõ ràng,    3 ra khi x = y

Cách 2 áp

xy 2 xy, 1 1 2 1 1 2

:;  ( x  y )(1 1 ) 4 1 1 1 ( 1 )

4



Và    3 ra khi x =y





 2





(   minh *    này A có !" cách  

x  y

minh xin dành cho *B C,

II ÁP DỤNG TRÊN THỰC TIỄN CÁC BÀI TOÁN :

Bài toán 1 Cho ba số dương a, b, c, ta có:

1 1 1 1 1 1 1 (2)

2

a b  b c  c a  a   b c

D   3 ra khi a = b = c.

Áp 6 (1) ta có ngay !" (3   minh

* Phát

1 1 1 1 1 1 1

(3)

* K+ J( (2) và (3) ta có

Với a, b, c là các số dương:

1 1 1 1 1 1 1 (4)

D   3 ra khi a = b = c

Chú ý: L+" thêm 3 + 1 1 1 4 thì bài toán 2 là N dung câu V, D! thi DB C và

Cao  4 A, O$ 2005

Bài toán 3 Chứng minh rằng với a, b, c dương:

1 1 1 1 1 1 (5)

Giải: Q 6 *    (1) ta có:

7N +  + các *    trên và rút C ta có *    (5)

D   3 ra khi:



       



    



Bài toán 4 Hãy xác định dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn thỏa mãn đẳng thức sau:

Giải: DS xtg , ,

y  tg z  tg

Ta có:

1 4

D   3 ra khi và @ khi: x = y = z hay tam giác ABC !",

Bài toán 5 Cho x, y, z là các

0 Hãy tìm giá 'Z <  [

Q

Giải: DS a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0 Ta có: a + b + c = 6 và

1 1 4 1 1 4

3

Q

Theo *    (1) ta có:

3

3

Q

   

D   3 ra khi và @ khi:

6





3

MaxQ 

1 2 1

z

  





  



Bài toán 6 : Chøng minh r»ng : 2 2 2 1 1 1 víi x, y, z lµ

c¸c sè e, DÊu b»ng s¶y ra khi nµo ?

Gi¶i :

Tương tự ta cũng có

  2

x



Cộng từng vế bất dẳng thức trên ta có bất dẳng

;

thức cần chứng minh Dờu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1

Bài toỏn 7 : Cho 3

Giải: ta có ab+bc+ca = abc 1 1 1 1 Đặt Khi đó

ta có:

3 3

3 3

3 3

2

2 2

x y

x y

xy x y

x y

x y

x y x x y y x y x y x y







Tương tự ta có

3 3 ; 3 3

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toỏn 8: Tỡm giỏ 'Z X  [ *H"  

x t t y y z z x

A

Giải : Ta cú:

4

A

  

  

Q MinA=0 khi x = y = z = t

Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:

Bài 1 Cho a, b, c là các

2 /

Bài 2

+ ca thì:

Bài 3 Cho x > 0, y > 0 X mãn x + y 1 Tìm giá 'Z X  [ 

1 2

4

xy



Bài 4 Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không )2 BC = a, CA = b, AB = c Tìm giá 'Z <  [ *H"  

T

Bài 5 Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là N dài 3 B, 7  minh '?

1 1 1 1 1 1

2

III Mở rộng.

Cho x, y,z là ba

 

9

 

Tổng quỏt:

Cho ba

   2

6

 

 

x   y z

7  minh:

Áp 6 *    bunhiacopski ta cú:

2

2

.

:;  suy ra !" (3   minh

IV Áp dụng

Bài toỏn 1: Chứng minh rằng : với a, b, c là các số thực dương

Giải :áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

Suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng sảy ra khi và

 

 

chỉ khi a b c a b c

Bài toỏn 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

B

Giải :

Mặt khác theo bất

2

B

đẳng thức Bunhiacovski ta có :

2 2

1

Vậy 1

18

B 

Bài toỏn 3 : Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mãn xyzt=1 chứng minh rằng

3

Giải :

đặt x 1 ; y 1 ; z 1 ; t= 1 , theo bài ra ta có abcd = 1 và

; tương tự ta có :

2

3

3

a

2

4

3

  

  

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi

1

   









Bài toỏn 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

, trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa điều kiện

B

1

ab  bc  ca 

Giải :

áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

             

2

2

B



Xét biểu thức 2 2 2 2 2 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có :

a b  b c  a c

a b  b c  a c  a  b  c

B

Mát khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski  2 4 4 4

Bài toỏn 5 : Cho x,y,z>0 và 93 : 2 2 2 1

3

x  y  z 

Tỡm giỏ 'Z X  [ 

3

2 3 5 2 3 5 2 3 5

y

x  y  z  y   z x  z   x y

Nhận xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1

3 Giải: áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

1

30

x y z y z x z x y x xy xz y yz yx z xz yz

x y z

1 3 1

3



















Bài toỏn 6 : Cho a,b,c>0 và 93 : a.b.c = 1

7  minh '?

     

3

Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1

- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt a 1; b 1; c 1

Giải: Đặt a 1 ; b 1 ; c 1 Theo giả thiết ta có: xyz = 1

 

2 3

3

x

; Do đó áp dụng bất đẳng

 

2 3

3

y

2 3

3

z

thức (6) ta có :

2

2

2

2

y

y z x z y x

b c a

xyz

x y z



      

 

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x    y z 1

Bài toỏn 7 : Cho 3 x    y z 3 Tỡm GTNN [

2

x yz  y zx  z xy

Giải: áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

2

 

yz  zx  xy    x y z

3

x y z

x y z x y z

x yz y zx z xy

    

DÊu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi

3

1



   







Bài toán 8 : x y z  1

2

DS a  x b ,  y c ,  z

7  minh '? :

3 2

Áp 6 *    trên ta có

 

Bình

2

2

2

2

4

2

(3)

VT

a b c

a b c

 



3

a b c    abc 

Ta có:

2

2 9 3

>" *? 3 ra khi x = y = z = 1!" (3   minh

Tổng quỏt : ta cú bài toỏn sau:  x x1, 2, , x nn  2  là x x1 .2 xn  1

2

n

x

Bài toỏn 9 : chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

thì

16

Giải :

Từ abc  ab  bc  ca suy ra 1 1 1 1 đặt thì

Cộng ba bất đẳng thức trên ta có

x y z

 

Cách2 :

.

Tương tự ta cú:

.

N +  + ta cú:

suy ra !" (3   minh

Bài toỏn 10 Cho  , , 0 Cmr:

1

x y z



9

i3

2

2 2 2

1

DS 2 2 2 ; !" 4U

3

t

 

Áp 6 *    bunhiacopxki và Cụsi ta cú:

3

3

2 2

2

3 3

1

3

P

P

  

 

>" *? 3 ra khi và @ khi x = y = z = 1 ($,

3



Bài toỏn 11: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện: xyz = 1 Tìm

GTNN của biểu thức: P = 2  2  2 

i3

2

P

y y

H  3 S a  x x ; b  y y ; c  z z ;

Ta có

2

2

P

 

oS khác ta có a2  b2  c2  ab bc   ca Nên ta có:

2

Một số bài tập tương tự:

Bài toán 1: Tìm giá 'Z X  "3 *H"   Q = y x  z  z y  x  x z  y

3 3

3

2 x, y ,z là

HẾT

x



Cộng vế bất dẳng thức ta có bất dẳng

;

thức cần chứng minh Dờu sảy x=y=z=1

Bài toỏn : Cho ... nhỏ biểu thức

a, b, c số thực dương thỏa mãn

B

Giải :

Mặt khác theo bất

2

B

đẳng thức Bunhiacovski... biểu thức

, a, b, c số thực dương thỏa điều kiện

B

1

ab  bc  ca 

Giải :

áp dụng bất đẳng thức