Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh 3 điểm E, D, H’ thẳng hàng. Vậy H’ trùng với H[r]
Trang 1ĐỀ SỐ 7.
SỞ GD & ĐT ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút ( không kể giao đề )
Bài 1: ( 3 điểm )
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương m; n sao cho 2m + 1 chia hết cho
n và 2n +1 chia hết cho m
b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia hết cho 9
c) Có tồn tại hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:
Bài 2: ( 2 điểm )
Cho x, y, z là các số dương và Chứng minh rằng:
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Tìm x, y, z thỏa mãn:
Bài 4: ( 2 điểm )
a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,
Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chia hết cho 5
b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng
Bài 5: ( 1,5 điểm )
Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh AC, AB Gọi H là giao điểm của BI với DE Chứng minh rằng tam giác BHC là tam giác vuông
ĐÁP ÁN
Trang 2ĐỀ SỐ 7.
Bài 1: a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m; n) sao cho 2m + 1 chia hết
cho n và 2n +1 chia hết cho m
b) Có bao nhiêu số có 6 chữ số được cấu tạo bởi các chữ số 2, 3, 5 chia hết cho 9
c) Có tồn tại hay không cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình sau:
Lời giải:
a)
–Xét trường hợp m n
Ta có 0< 2n + 1 2m +1 3m
Mặt khác 2n + 1 chia hết cho m nên xảy ra các trường hợp:
*) 2n + 1 = 3m Vì m n nên chỉ xảy ra trường hợp m = n = 1
*) 2n + 1 = 2m Loại vì chẳn lẻ
*) 2n + 1 = m Khi đó 2m + 1 = 4n + 3 và do đó 2m + 1 chia hết cho n khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 3 Và ta được các cặp nghiệm (m; n) = (3; 1), (7; 3)
–Xét trường hợp m < n
Giải tương tự ta được (m; n) = (1; 3), (3; 7)
Kết luận:
Các cặp số nguyên dương (m; n) thỏa mãn bài toán là:
(1; 1), (1; 3), (3; 1), (3; 7), (7; 3)
b) Gọi số có 6 chữ số là A Gọi x là số chữ số 2, y là số chữ số 3 và z là số chữ
số 5 trong A Ta có: và x + y + z = 6
Mặt khác A chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của A chia hết cho 9 Hay nói cách khác 2x + 3y + 5z chia hết cho 9
Như vậy, ta có :
Trang 3Hệ (1) có các nghiệm là: (x; y; z) = (0; 6; 0), (2; 3;1), (4;0;2)
Hệ (2) có nghiệm (1;0;5)
Với (x; y; z) = (0; 6; 0) có 1 số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (2; 3; 1) có số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (4; 0; 2) có số A thỏa mãn bài toán
Với (x; y; z) = (1; 0; 5) có số A thỏa mãn bài toán
Vậy có tất cả 1 + 60 + 15 + 6 = 82 số thỏa mãn bài toán
c) Ta giả sử tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn phương trình
Vì p, q là số nguyên tố nên p>0, q>0
Suy ra và đều có chữ số tận cùng là 5.
Suy ra vế trái (1) chia hết cho 10 (2)
Mặt khác vì q2 là số chính phương nên q2 không thể tận cùng bằng 7, và do đó
vế phải của (1) không thể chia hết cho 10 (3)
(2) và (3) suy ra điều vô lý
Vậy không tồn tại cặp số nguyên tố p, q thỏa mãn bài toán
Bài 2:
Cho x, y, z là các số dương và Chứng minh rằng:
(1)
Lời giải:
Bổ đề: Cho a, b, c, d là các số thực dương, chứng minh rằng:
(2)
Chứng minh bổ đề: (2)
Trang 4Điều này đúng theo áp dụng của bất đẳng thức Bunhiacopski.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay nói cách khác:
Trở về bài toán đã cho,áp dụng bổ đề, ta có:
ĐPCM Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Bài 3:
Lời giải:
Dễ thấy (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm của phương trình đã cho
Ta sẽ chứng minh (x; y; z)=(0; 0; 0) là nghiệm duy nhất của phương trình (*) Thật vậy:
Giả sử tồn tại nghiệm thỏa mãn phương trình (*), ta có:
(1) Gọi k lớn nhất, sao cho: và và (2)
Thay (3) vào phương trình (1) rồi rút gọn, ta được:
(4)
Từ (4) dễ dàng nhận thấy , ta đặt (5)
Trang 5Thay (5) vào (4) rồi rút gọn ta được:
(6)
Từ (6) suy ra , ta đặt (7)
Thay (7) vào (6) rồi rút gọn, ta được:
(8)
Từ (8) suy ra , ta đặt (9)
Từ (3), (5), (7), (9) ta có: ; ;
So sánh (2) và (10) ta thấy vô lý, từ đó suy ra (0;0;0) là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho
Bài 4:
a)Với mỗi số nguyên duơng n, đặt ,
Chứng minh rằng với mọi n, chia hết cho 5 và không chia hết cho 5
b)Tìm bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao cho tích của chúng bằng tổng của chúng
Lời giải:
ĐPCM
b) Gọi 3 số nguyên dương đã cho là m, n, p Không mất tính tổng quát ta giả sử m<n<p Khi đó
Theo giả thiết, ta có
Mặt khác nên Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó Vậy bộ 3 số nguyên dương thỏa mãn bài toán là (1; 2; 3)
Bài 5:
Trang 6Cho tam giác ABC, D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh AC, AB Gọi H là giao điểm của BI với DE Chứng minh rằng tam giác BHC là tam giác vuông
Lời giải:
Gọi H’ là hình chiếu của C trên đường thẳng BI Ta sẽ chứng minh H trùng với H’ Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh 3 điểm E, D, H’ thẳng hàng Gọi lần lượt là số đo 3 góc của tam giác ABC
Ta có:
Vì
nên tứ giác CIH’D là tứ giác nội tiếp
Mặt khác:
tứ giác ADIE là tứ giác nội tiếp
Từ đó, ta có:
Suy ra E, D, H’ là 3 điểm thẳng hàng Vậy H’ trùng với H
Suy ra hay tam giác BHC là tam giác vuông ĐPCM