ly thuyet toan 12 trung học phổ thông nguyễn viết tý thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó... Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song [r]

PHẦN 1

CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ ( các bước làm bài toán )

Hàm số bậc ba : y ax 3bx2 cx d

Hàm số bậc bốn : y ax 4bx2c Hàm số

ax b y

 Bảng biến thiên :

 Các khỏang đồng biến , nghịch biến , điểm

cực đại , điểm cực tiểu

 y’’=

y’’= 0  x = ?

Bảng xét dấu y’’:

 Các khỏang lồi , lõm , điểm uốn

 Vẽ đồ thị :

 Tập xác định : D = R\

d c

d x c

 Tiệm cận :

Tiệm cận đứng :

d x c



.Tiệm cận ngang :

a x c



 Bảng biến thiên :

 Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch biến ) Hàm số không có cực trị

x x



 g/

2 2 21

y x

 y’ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 )

 Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0 ) = a

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì y’ (x 0) = −1a

Bài tập :

Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ;y0 ) là:

y – y 0 = y’ (x 0 ) ( x – x 0 )

Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) Nếu biết một trong ba số đó

ta có thể tìm 2 số còn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 )

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

21

x x



 tại giao điểm của nó với trục hoành

3/ Cho hàm số y = x3

3 − 2 x

2+3 x+1 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :

a/ Tại điểm có hoành độ x0 = 12

b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1

4/ Cho hàm số y = x4 2x2 3 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) :

a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung

b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1

Vấn đề 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) của hàm số y =f(x) ,

Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).

Cách giải :

Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Bài toán: Tìm giátrị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên

 Tính y’

 Lập bảng biến thiên trên (a ; b )

 Kết luận : max ;  CD

412

x  trên 1;  m/ y= 2 cos2 4sin x x trên 0;2



6/ Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

 Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)

 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y= h (m)

 Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết quả :

( Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn

Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm

Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ).

1/ y =

2

x x

x



 5/

2 2

1

y x

1 Giao điểm của hai đồ thị.

Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương

trình:

f(x) = g(x) (1)

Do đó, số nghiệm phân biệt của (1) bằng số giao điểm của hai đường cong

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong.

a) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M(x0 ; y0 ) nếu

chúng có tiếp chung tại M Khi đó, M gọi là tiếp điểm

b) Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình

a) Tại hai điểm phân biệt.

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị

7) Tìm m để đường thẳng y = mx + m + 3 cắt đồ thị hàm số y = 2 x2+3 x+3

x+1

a) Tại hai điểm phân biệt

b) Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị.

8) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm A( -1 ; -1) và có hệ số góc là m cắt đồ thị hàm số

y = 2 x +1 x +2

a) Tại hai điểm phân biệt.

b) Tại hai điểm thuộc cùng một nhánh.

9) Chứng minh rằng (P) : y = x2 -3x – 1 tiếp xúc với (C) : − x2+2 x −3

x − 1 10) Tìm m sao cho (Cm) : y = x2+m

x −1 tiếp xúc với đường thẳng y = -x + 7.

11) Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3mx + m + 1 tiếp xúc với trục hòanh.

12) Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 + 1 tiếp xúc với đồ thị hàm số y = mx2 – 3.

TIẾP TUYẾN

A.TÓM T T GIÁO KHOA.ẮT GIÁO KHOA

1) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0)(C)

3.Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua

1 Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm uốn của (C).

b) Tại điểm có tung độ bằng -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5.

d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0.

2 Cho (C) : y = x −2 x +2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox.

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5.

c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x

d) Tại giao điểm của hai tiệm cận.

3.Cho (C ) : y = x2+x −1

x − 1 .Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2.

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0.

c) Vuông góc với tiệm cận xiên.

4 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).

a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)

b) y = 12x4−3 x2

+3

2 đi qua điểm A(0 ; 32¿ c) y = x −2 x +2 đi qua điểm A(-6 ; 5)

d) y = x2− 4 x+ 5

x −2 đi qua điểm A(2 ; 1).

Phần 2

HÀM LUỸ THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT

CHỦ ĐỀ 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA , HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARÍT

1/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :

3/ Cách giải :Đưa về cùng cơ số – Đặt ẩn phụ

6/ 3log 4 2log 4 3logx  4x  16x4 0

Bài 1: LUỸ THỪA

Vấn đề 1: Tính Giá trị biểu thức

Vấn đề 2: Đơn giản một biểu thức

Bài 6: Giản ước biểu thức sau

ab

b  và a > 0 , b > 0h)

Vấn đề 3: Chứng minh một đẳng thức

Bài 7 chứng minh : x2 x1 x 2 x1 2 với 1 x  2

Bài 8 chứng minh : a23 a b4 2  b2 3 a b2 4  (3a2 3b2 3)

Bài 2: HÀM SỐ LUỸ THỪA

Vấn đề 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bài 12 tìm tập xác định của hàm số

a)

1 3

Vấn đề 2: Tính đạo hàm của hàm số

Bài 13: Tính đạo hàm các hàm số

Vấn đề 1: các phép tính cơ bản của logarit

Bài 15 Tính logarit của một số

A = log24 B= log1/44 C = 5

1log

25 D = log279

E = log4 48 F =

3 1 3

log 9

G =

3

1 52

4log

I = log (2 2)16 3 J= log20,5(4) K = loga3a L =

5 3 1

a

a a

Bài 16 : Tính luỹ thừa của logarit của một số

A = 4log 3 2 B = 27log 3 9 C = log 2 3

3 2 2log 5

32

8 F = 21 log 70  2 G = 23 4log 3  8 H = 9log 2 3log 5 3  3

I = (2 )a log 1a J = 27log 2 3log 5 3  3

Vấn đề 2: Tìm cơ số X

Bai 17: Tìm cơ số X biết

a) logx7 = -1 b) logx103 0,1 c) log 8 3x 

d) log 2 8x 5 6e)

3log 2 3

2

x 

b)

1log log 9 log 5 log 2

2

1log 9log 4 3log 5

Vấn đề 3: Rút gọn biểu thức

Bài 19: Rút gọn biểu thức

log 30

5 625

log 7 2 log 49 log 27 

J = loga b logb a

Vấn đề 4: Chứng minh đẳng thức logarit

Bai 20: Chứng minh ( giả sử các biểu thức sau đã cho có nghĩa)

a)

log loglog ( )

Từ đó giải phương trình log3x.log9x = 2

e) cho a, b > 0 và a2 + b2 = 7ab chứng minh: 2 2 2

Bài 4: HÀM SỐ MŨ HÀM SỐ LOGARIT

Vấn đề 1: tìm tập xác định của hàm số

Bài 21: tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y = 2

3log

10 x b) y = log3(2 – x)2 c) y = 2

1log1

x x

log x 4x 5

h) y = 2

1log x  1 i) lg( x2 +3x +2)

Vấn đề 2: Tìm đạo hàm các hàm số

Bài 22: tính đạo hàm của các hàm số mũ

a) y = x.ex b) y = x7.ex c) y = (x – 3)ex d) y = ex.sin3xe) y = (2x2 -3x – 4)ex f) y = sin(ex) g) y = cos( e x22 1x

Vấn đề 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Bài 24: khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ , logarit

a) y = 3x b) y =

13

Vấn đề 1: Phương trình mũ

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 25 : Giải ác phương trình sau

a) 2x4 34

2 5 6 2

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 26 : Giải các phương trình

a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 - 4.32x + 5 + 27 = 0

Dạng 3 Logarit hóaï

Bài 27 Giải các phương trình

Dạng 4 sử dụng tính đơn điệu

Bài 28: giải các phương trình

a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x

Vấn đề 2: Phương trình logarit

Dạng 1 Đưa về cùng cơ số

Bài 29: giải các phương trình

a) log4(x + 2) – log4(x -2) = 2 log46 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)c) log4x + log2x + 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = 0e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – 2g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1)

Dạng 2 đặt ẩn phụ

Bài 30: giải phương trình

a)

1

4 ln x2 ln x b) logx2 + log2x = 5/2

c) logx + 17 + log9x7 = 0 d) log2x + 10log2x  6 9

e) log1/3x + 5/2 = logx3 f) 3logx16 – 4 log16x = 2log2x

Dạng 3 mũ hóa

Bài 31: giải các phương trình

a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = 2 – x

Bài 6: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ

Bài 32: Giải các bất phương trình

a) 16x – 4 ≥ 8 b)

2 5

1

93

9x 3x



Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit

Bài 35: Giải các bất phương trình

a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4

c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log1/2(log3x) ≥ 0

e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < 1





Bài 36: Giải các bất phương trình

5)∫dxx (x4

+2)7) ∫dxx¿ ¿¿]dx=1

Nguyên hàm của các hàm lợng giác

A Dạng : ∫a sin x+b cos x c sin x +d cos x dx

I Cách làm : tìm A ; B sao cho : asinx+bcosx=A(c sinx+d cosx)+B (c sinx+d cosx)’

Ta đợc ∫a sin x+b cos x c sin x +d cos x dx =Ax+Bln|c sin x +d cos x|+C

II Ap dụng : tính

1) ∫sin x cos x+2 sin x dx 2)∫3 sin x −2 cos x 2 sin x −3 cos xdx

( học sinh làm tại lớp ý 1và 2 Gv chữa)

B Một số dạng khác

1)∫sin x +cos x 3+sin 2 x dx Ta có :

∫sin x +cos x 3+sin 2 x dx=∫sin x +cos x 4 −¿ ¿ ¿

=1

4ln|2−(sin x −cos x ) 2+(sin x − cos x)|+C.

2) ∫sin 3 x 3 sin 4 x −sin 6 x − 3 sin 2 xdx

3) ∫dx

sin x sin (x+ π

6) ( Đs : 2ln

VN häc sinh lµm c¸c bµi tËp sau : tÝnh

1) ∫dx¿ ¿¿ 2)∫sin 4 xsin6x +cos6x dx

3) ∫dx¿ ¿¿ 4) ∫tg(x + π

3)cot g(x +

π

6)dx 5)∫cos

( Häc sinh lµm b¶ng vµ nh¸p, Gv chÊm ,ch÷a)

Giải : đặt t=

√x ⇒

dt= 1

2√xdx⇒ dx=2 tdt x=0⇒ t=0 x=π2⇒t=π

√x dx (ĐS: 3π − 6¿

Tích phân của một số hàm đặc biệt

A.Lý thuyết

CMR:

1) NÕu f(x) lµ hµm ch½n, liªn tôc trªn [-a;a] th× ∫

Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền (D) giới hạn bởi các đờng:

1) y=4-x2 ; y=2+x2 quanh Ox (ĐS : 16π¿

2) y=x2 ; x=y2 quanh Ox

3) y=2x-x2 ; y=x2-2x quanh Ox (ĐS : 16 π

5 ¿.4) y=-x2+4x ; trục Ox :

a) Quanh Ox (ĐS : 512 π

15 ¿b) Quanh Oy (ĐS : 128 π

3 ¿5) y=(x-2)2 ;y=4

a) Quanh Ox (ĐS : 256 π

5 ¿b) Quanh Oy (ĐS : 128 π

3 ¿6) y=x2+1 ; Ox ; Oy ; x=2

a) Quanh Ox (ĐS : 206 π

15 ¿ b) Quanh Oy (ĐS : 12π¿

Tích phân ÔN ĐAI HOC

I.Các phơng pháp tính tích phân

1 Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản

2 Ph ơng pháp đổi biến số

hoÆc

; cos

a x

x e  th× u  2.

Ta cã

dx du



, khi

2 3

th×

4 3

¸p dông c«ng thøc trªn ta cã qui t¾c c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn sau:

 Bíc 1: ViÕt f(x)dx díi d¹ng udv uv dx  ' b»ng c¸ch chän mét phÇn thÝch hîp cña f(x) lµm u(x) vµ phÇn cßn l¹i

x x v

dv e dxx P(x)dx cosxdx cosxdx

Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và

'

dv v dx  thích hợp trong biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x)

mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn

'

dv v dx  là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biếthoặc có nguyên hàm dễ tìm

mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những

hàm số: eax, cos , sin ax ax thì ta thờng đặt

'( ) ( )

Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban

đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính

+) Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: mx+n

với P(x) và Q(x) là đa thức của x.

 Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức

 Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp:

Cách 1.Bằng phơng pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:

Do

2 2

tg t dt dx

x 

∫

Gi¶i:

2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lợng giác

dx I

1

t x

1

t x



∫

Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân.

+) Nếu R  sin ,cos x x 

là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là

R   sin , cos x  x   R  sin ,cos x x 

thì đặt t tgx  hoặc t  cot gx, sau đó đa

tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t

+) Nếu R  sin ,cos x x 

là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là:

R   sin ,cos x x   R  sin ,cos x x 

thì đặt t  cos x.

+) Nếu R  sin ,cos x x 

là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là:

R  sin , cos x  x   R  sin ,cos x x 

3 3 2 2

1 2

0 3

3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn

Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức

Viết biểu thức trong căn dới dạng bình phơng đúng

4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Phơng pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 16: Tính

2 2

a a



4.Cho f(x) liªn tôc trªn ®o¹n



 th× t = 0

*NÕu f(x) liªn tôc trªn  0;1 

sin

1 cos

dx x

CHỦ ĐỀ 1 : KHỐI ĐA DIỆN , MẶT CẦU VÀ MẶT TRÒN XOAY

Cần nhớ :1/ Tam giác đều cạnh a có : Đường cao h =

32

a

và diện tích S =

2 34

b/ Góc SAC bằng 450

c/ Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600

 Thể tích của khối lăng trụ : V = B h ( B : diện tích đáy , h là chiều cao )

 Thể tích của khối hộp chữ nhật : V = a.b.c ( a,b,c là ba kích thước )

 Thể tích của khối lập phương : V = a 3 (a: cạnh )

 Thể tích của khối chóp : V =

1

3 B h ( B : diện tích đáy , h là chiều cao )

10/ a/Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có A’A, AB, BC vuông góc nhau từngđôi một và A’A= 2a, AB = a, BC= a 3

b/ Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a điểm A’ cách đều

ba điểm A ,B ,C ,cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 Tính thể tích của khối lăng trụ

c/ Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh đều bằng a Tính thể tích của khối lăng trụ

11/ Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  (ABC) , SA= a

5 Tính thể tích của khối chóp đó

Bài tập

12/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón biết : a/ Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a b/ Đường sinh bằng a , góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600

c/ Bán kính đáy r = 12 và góc ở đỉnh là 1200

13/ Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ biết a/ Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một hình vuông b/ Bán kính đáy a , chiều cao 2a

14/Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc ABCD

a/ Xác định mặt cầu đi qua S , A ,B , C, D b/ Tính diện tích của mặt cầu biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a

15/ (Đại học khối A – 2006 )

Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ , bán kính đáy bằng chiều cao và bằ.Trên

đường tròn đáy tâm O lấy điểm A , trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a

Tính thể tích khối tứ diện OO’AB

Ch

 Hình nón có : Diện tích xung quanh S xq rl - Thể tích

2

1 .3

V  r h

 Hình trụ có :Diện tích xung quanh S xq 2rl - Thể tích V  .r h2

( l : đường sinh, r : bán kính đáy, h : đường cao )

 Mặt cầu có : Diện tích S = 4 R2 - Thể tích V =

3

4

3r

§ 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I.TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉC TƠ:

1 Hệ tọa độ :

Hệ ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và có chung điểm gốc

O gọi là hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz ( hay hệ tọa độ Oxyz ).

@ i , ⃗j, ⃗k⃗ là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz.

@ i⃗2

=⃗j2

=⃗k2=1.

@ i ⃗j=⃗i ⃗k =⃗j ⃗k=0⃗ .

@ Ox: trục hoành, Oy: trục tung, Oz: trục cao.

@ O: gốc tọa độ.

2 Tọa độ của điểm:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz đã chọn, cho điểm M bất kỳ Ttọa độ của điểm M

được ký hiệu làM=(x ; y ; z)hay M (x ; y ; z) Ta có :

( ; ; )

M x y z  OM  xi y j zk 

3 Tọa độ của vectơ:

Cho hệ tọa độ Oxyz và vectơ a⃗ tùy ý, có duy nhất một bộ ba số (x,y,z):

⃗

a=x ⃗i+ y ⃗ỵ +z ⃗k, bộ ba số (x,y,z) gọi là tọa độ của vectơ a⃗.

@ Ký hiệu: a=(x , y , z )hay ⃗a(x , y , z)⃗ Vậy: a=(x , y , z )⇔ ⃗a=x ⃗i+ y ⃗ỵ+z ⃗k⃗

Nhận xét:

Vậy nếu ⃗OM=(x ; y ; z)thì tọa độ của điểm M x y z( ; ; ),

II.BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ: